精品解析：天津市南开区2023-2024学年高三下学期质量监测（二）数学试卷

2023—2024学年度第二学期高三年级质量监测（二） 数学学科试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至9页. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号； 2.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式： ·如果事件A，B互斥，那么. ·如果事件A，B相互独立，那么. ·锥体的体积公式，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“且”是“”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，，则（ ）. A. B. C. D. 4. 已知函数的部分图象如下： 则的解析式可能为（ ）. A. B. C. D. 5. 某校抽取名学生做体能测认，其中百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间，将测试结果分成五组：第一组，第二组，，第五组．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩低于即为优秀，如果优秀的人数为人，则的估计值是（ ） A. B. C. D. 6. 设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数b的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 7 已知函数（），，则（ ）. A. B. 的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称 C. 上单调递减 D. 8. 如图，在正方体中，，，分别为，的中点，，分别为棱，上的动点，则三棱锥的体积（ ） A. 存在最大值，最大值为 B. 存在最小值，最小值为 C. 为定值 D. 不确定，与，的位置有关 9. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共11小题，共105分 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对一个给3分，全部答对的给5分. 10. 是虚数单位，复数___________. 11. 在的展开式中，的系数为___________. 12. 过圆C：上的点作圆C切线l，则l的倾斜角为___________. 13. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能，则3次结果中有正面向上，也有反面向上的概率为___________；3次结果中最多一次正面向上的概率为___________. 14. 已知在平行四边形中，，，记，，用和表示___________；若，，则值为___________. 15. 已知函数，若关于的方程有三个不同实数根，则实数的取值范围是__________. 三、解答题：本大题共5题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，. （1）求证：； （2）求的值； （3）求的值. 17. 在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，O为CD的中点，二面角A-CD-P为直二面角. （1）求证：； （2）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值； （3）求平面POB与平面PAB夹角的余弦值. 18. 已知椭圆C：（）的离心率为，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为. （1）求椭圆C方程； （2）过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，过点A与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为.当的面积取得最大值时，求直线l的方程. 19. 已知是等差数列，公差，，且是与的等比中项. （1）求通项公式 （2）数列满足，且. （ⅰ）求的前n项和. （ⅱ）是否存在正整数m，n（），使得，，成等差数列，若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由. 20. 已知函数，. （1）求曲线在处的切线方程； （2）证明：对，恒成立（为的导数）； （3）设，证明：（）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期高三年级质量监测（二） 数学学科试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至9页. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号； 2.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式： ·如果事件A，B互斥，那么. ·如果事件A，B相互独立，那么. ·锥体的体积公式，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助集合的并集与补集的定义计算即可得. 【详解】由，，则， 又，则. 故选：B. 2. 设，则“且”是“”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若且，则，即充分性成立； 若，例如，满足， 但不满足且，即必要性不成立； 综上所述：“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知，，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助对数函数与指数函数的单调性，可得、、范围，即可判断. 【详解】因为， ，， 故. 故选：C. 4. 已知函数的部分图象如下： 则的解析式可能为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图可知函数由图可知函数为奇函数，可以排除AB两个选项，再由特殊点排除错误选项，从而得到正确选项. 【详解】由图可知函数为奇函数，排除AB两个选项； C选项，因为，所以，由图，故排除C选项； D选项，是奇函数，故D正确. 故选：D. 5. 某校抽取名学生做体能测认，其中百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间，将测试结果分成五组：第一组，第二组，，第五组．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩低于即为优秀，如果优秀的人数为人，则的估计值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用左边的矩形面积之和为列等式可求得实数的值. 【详解】优秀人数所占的频率为， 测试结果位于的频率为，测试结果位于的频率为，所以，， 由题意可得，解得. 故选：B. 6. 设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数b的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由递增数列定义可得，代入计算即可得解. 【详解】由题意可得恒成立，即， 即，又，，故. 故选：A. 7. 已知函数（），，则（ ）. A. B. 的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称 C. 在上单调递减 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，即函数关于对称，可得，根据三角函数的性质和图象变换，逐项判断. 【详解】根据题意，，即函数关于对称， 即，又， 所以，， 则，A错误； 的图象向左平移个单位长度得， ， 而，所以B错误； ，则，则函数先减后增，C错误； ，D正确. 故选：D 8. 如图，在正方体中，，，分别为，的中点，，分别为棱，上的动点，则三棱锥的体积（ ） A. 存在最大值，最大值为 B. 存在最小值，最小值为 C. 为定值 D. 不确定，与，的位置有关 【答案】C 【解析】 【分析】通过顶点转换，确定三棱锥的底和高的变化情况，即可确定答案. 【详解】如下图，连接，在正方体中，，分别为，中点，可得，，所以当在棱移动时，到平面的距离为定值，当在棱移动时，到的距离为定值，所以为定值，则三棱锥的体积为定值. 平面即平面，作，由于，可得平面MABN，由，可得，而，. 故选：C. 9. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】，由双曲线的定义可得，再由余弦定理，可得，，即可判断出所求双曲线的可能方程． 【详解】因为，由双曲线的定义可知， 所以， 由于过的直线斜率为， 所以在等腰三角形中，，则， 由余弦定理得：， 化简得，可得，即，， 可得，， 所以此双曲线的标准方程可能为：. 故选：C 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共11小题，共105分 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对一个给3分，全部答对的给5分. 10. 是虚数单位，复数___________. 【答案】 【解析】 【分析】由复数除法法则直接计算即可. 【详解】由题. 故答案为：. 11. 在的展开式中，的系数为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对有， 则有， 即，的系数为. 故答案为：. 12. 过圆C：上的点作圆C切线l，则l的倾斜角为___________. 【答案】150° 【解析】 【分析】根据两直线垂直和得到直线l的斜率，从而得到l的倾斜角. 【详解】由题意得，直线与直线l垂直， 因为，故l的斜率为， 故l的倾斜角为150° 故答案为：150° 13. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能，则3次结果中有正面向上，也有反面向上的概率为___________；3次结果中最多一次正面向上的概率为___________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】借助概率的乘法公式计算即可得. 【详解】设为所抛掷三枚硬币正面向上的枚数， 事件为3次结果中有正面向上，也有反面向上， 事件为3次结果中最多一次正面向上， 则； . 故答案为：；. 14. 已知在平行四边形中，，，记，，用和表示___________；若，，则值为___________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】对于空1，由得，结合即可得解；对于空2，利用已知条件将向量和转换成向量和来表示即可得解. 【详解】因为，所以， 所以； 因为，所以， 所以， 故，即， 又， 故，即， 因为，， 所以. 故答案为：；. 15. 已知函数，若关于的方程有三个不同实数根，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】在坐标平面中画出的图象，动态分析的图象后可得实数的取值范围. 【详解】当时，，令， 则，故此时的图象为圆的一部分， 在坐标平面中画出的图象如下： 因为关于的方程有三个不同的实数根， 所以的图象与的图象有3个不同的交点. 当时，的图象与的图象无交点，舍； 当时，的图象的左边的射线与的图象有一个交点， 当射线与相切时，设切点为， 则，故，. 当射线过时，， 当与圆相切时， 有，故. 因为，故当的图象与的图象有3个不同的交点时， 有或. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：（1）对于较为复杂的函数方程，知道零点的个数求参数的取值范围时，可将方程转化为简单函数的图象交点个数来讨论. （2）刻画函数图象时，注意结合解析式的特征来考虑，特别是带有根号的函数，其图象往往和圆、椭圆、双曲线等有关. （3）不同图象临界位置的刻画，可借助导数的几何意义来计算. 三、解答题：本大题共5题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，. （1）求证：； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）或 【解析】 分析】（1）根据题意，结合余弦定理可得，从而得证； （2）由（1）及正弦定理得，结合同角基本关系式可求； （3）根据，结合诱导公式得，或，分情况求解. 【小问1详解】 因为， 又由余弦定理， 可得， 由知， 所以， 【小问2详解】 由（1）及正弦定理得， 又因为， 所以， 又因为， 解得． 【小问3详解】 由（2）知， 所以，， 因为，即， 则，或， 当时， ． 当，B为，此时． 17. 在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，O为CD的中点，二面角A-CD-P为直二面角. （1）求证：； （2）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值； （3）求平面POB与平面PAB夹角余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明出，平面ABCD，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，得到垂直关系； （2）求出平面的法向量，利用线面角求解公式得到答案； （3）求出两平面法向量，求出面面角的余弦值. 【小问1详解】 因为，O为CD的中点， 所以． 又因为平面平面ABCD，平面平面，平面PCD， 所以平面ABCD． 因为，，，所以． 取的中点，连接，则⊥， 以点O为坐标原点，OD，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，． ，， 因， 所以． 【小问2详解】 设平面PAB的一个法向量为， 则，即， 解得，令，则，则． 设直线PC与平面PAB所成的角为， 又， 则， 所以直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为． 【小问3详解】 设平面POB的一个法向量为， 则，即， 解得，令，则，故． 设平面POB与平面PAB的夹角为， 则． 故平面POB与平面PAB的夹角的余弦值为． 18. 已知椭圆C：（）的离心率为，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为. （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，过点A与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为.当的面积取得最大值时，求直线l的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆焦点与顶点的坐标与离心率的定义计算即可得答案； （2）设出直线l的方程，联立曲线方程后可得与坐标有关的韦达定理表达式，结合三角形面积公式表示出面积后借助基本不等式计算即可得答案. 【小问1详解】 设椭圆C焦距为2c，依题意，，，又， 解得，，， 所以椭圆C的方程为； 【小问2详解】 由题意可得直线的斜率不为，故可设直线l的方程为， ，，则， 联立直线l与椭圆C的方程，得， 由于直线过椭圆内一点，故必有，则． 又，， 易知与同号， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最大值为，此时直线l的方程为． 19. 已知是等差数列，公差，，且是与的等比中项. （1）求的通项公式 （2）数列满足，且. （ⅰ）求的前n项和. （ⅱ）是否存在正整数m，n（），使得，，成等差数列，若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在，，． 【解析】 【分析】（1）由等差中项得到，由等比中项得到，解出，求得的通项公式； （2）（ⅰ）根据，由累加法得到数列的通项公式进而得到数列的通项公式，裂项相消法求和； （ⅱ）假设存在，分别表示出，，，由等差中项得到，得到或，解得，符合题意. 【小问1详解】 因为为等差数列，且，所以． 又是与的等比中项，所以，即． 化简得，解得或（舍）， 所以． 【小问2详解】 （i）由，得，所以（），又， 当时， ， 又也适合上式，所以， 则， 所以． （ⅱ）假设存在正整数m，n，使得，，成等差数列， 则，即，整理得， 显然是25的正约数，又，则或， 当，即时，与矛盾； 当，即时，，符合题意， 所以存在正整数使得，，成等差数列，此时，． 【点睛】方法点睛：裂项相消法求和常见的裂项方法 （1），特别地当时，； （2），特别地当时，； （3） （4） （5） 20. 已知函数，. （1）求曲线在处的切线方程； （2）证明：对，恒成立（为的导数）； （3）设，证明：（）. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由处的导数得到切线的斜率，由处的函数值得到切线上的点，由直线的点斜式方程得到切线方程； （2）构造新函数，求导之后对导数再求导，得到在上单调递增，从而，从而恒成立得证； （3）利用进行放缩，再结合（2）中的得到，乘公比错位相减法求和. 【小问1详解】 ，可得，又， 所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 令，，则，， 令，则在上恒成立，故在单调递增， 其中，故在上恒成立，故在上单调递增， 故，即恒成立． 【小问3详解】 设，证明． 令，， 因为，所以在上单调递减， 所以，从而，． 由于， 所以． 由（2）知，（），所以． 设，①，则，② ①－②得， 所以． 【点睛】方法点睛：利用放缩法证明不等式 放缩法就是针对不等式的结构特征，运用不等式的性质，将不等式的一边或两边进行放大或缩小，也就是对代数式进行恰到好处的变形，使问题便于解决．放缩法大致分为以下几类． （1）将代数式中的分母和分子同时扩大和缩小． （2）利用均值不等式或其他的不等式放缩数式． （3）不等式两边同时加上或减去某一项． （4）把代数式中的一些项进行分解再重新组合，这样就可以消去一些项便于求解，这也是我们常用的裂项法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$