精品解析：北京汇文中学2024--2025学年八年级下学期期中考试数学试卷

北京汇文中学教育集团2024－2025学年度第二学期期中考试初二年级数学学科 本试卷共8页，试卷分值为100分．考试时长120分钟．请考生务必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 一、选择题（本题共16分，每题2分，第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，具备以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、的被开方数中是小数，不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、的被开方数是分数，不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、是最简二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据二次根式的加减乘除运算法则可直接进行排除选项． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，错误，故不符合题意； B、，错误，故不符合题意； C、，正确，故符合题意； D、，错误，故不符合题意； 故选：C． 3. 在中，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A、∵ ∴是直角三角形， 故A不符合题意； B、 ∴ 不是直角三角形，故B符合题意； C、∵ ∴设 ∴ ∴ 是直角三角形 故C不符合题意； D、∵ ∴ ∴是直角三角形， 故D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 4. 在中，，分别平分，，分别交于点，．若，，则的长为（ ） A. B. 1 C. 1.5 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先证，同理，，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， 即， 解得：； 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键． 5. 在奥运会跳水项目中，多名评委对同一位选手打分，去掉一个最高分和一个最低分后再计算该选手的成绩．去掉这两个分数的前后， 一定不发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中位数、众数、算术平均数、方差的含义和判断，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响. 【详解】解：中位数为大小排序后中间1位数或者中间2位数的平均数，故去掉一个最大的数和最小的数后，排序中间的1位数或2位数仍在中间，没有变化，故中位数不变．平均数，众数，方差都可能变化． 故选：B． 6. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， 由长方形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：C． 7. 若正比例函数的图象经过点和点，当时，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．准确理解一次函数图象的性质，确定随的变化情况是解题的关键．由题目所给信息“当时 ”可以知道，随的增大而增大，则由一次函数性质可得，即可求解． 【详解】解：正比例函数的图象经过点和点，当时，， ， 解得：， 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．例如点的坐标是，点就是一个整点．已知一次函数的图象与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，如果内部（不包括边上）的整点只有个，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一次函数图象和性质，根据题意画出图象，结合题意分析即可得到答案． 【详解】解：当时，， 当时，， 解得：， 一次函数的图象与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点， 点的坐标为，点的坐标为， 内部（不包括边上）的整点满足、均为正整数，， 当时，只有一个整点，整点不足个，不符题意； 当时，整点有、、，共个，符合题意； 当时，有多个整点，不符合题意； 故选：D． 二、填空题（本题共16分，每题2分） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式．根据二次根式有意义的条件得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 10. 在中，，则______． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．可证，从而可求，进而即可求解． 【详解】解： 四边形是平行四边形， ， ， ∵， ， ， ． 故答案：． 11. 下表是某校排球队队员的年龄分布，该排球队队员的平均年龄是_________ 岁． 年龄/岁 12 13 14 15 频数 1 1 3 3 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了求平均数；根据平均数公式直接计算即可． 【详解】解：该排球队队员的平均年龄是（岁） 故答案为：14． 12. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则_______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握这三种性质是关键；由题意得是等腰三角形，则可求得的度数；同理可求得的度数，由即可求解． 【详解】解：正方形中，； 为等边三角形， ， ，， ； 同理，； ； 故答案为：30． 13. 如图，等腰三角形，其中，，、分别在、上，四边形为菱形，若，，则长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性质，勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定等知识点，灵活运用相关判定与性质定理成为解题的关键． 如图：过F作，连接交于O，先说明四边形是矩形可得；再根据等腰三角形的性质及勾股定理可得，进而得到，即即可解答． 【详解】解：如图：过F作，连接交于O， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 14. 一次函数中变量与的部分对应值如下表所示． x … 0 1 2 … y … 0 1 2 … 给出下面四个结论： ①；②方程的解为；③一次函数的图象不经过第四象限；④若，则．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．先求出该一次函数解析式为，再根据一次函数的图象和性质，可判断，再由点①、②、③，当时，，又，随的增大而增大，当时，，即可判断④，即可求解． 【详解】解：根据题意得：当时，，当时，， ∴方程的解为，故②错误； ，解得：， ∴该一次函数解析式为， ∴，随的增大而增大，图像经过一、二、三象限，不经过第四象限，故①、③选项正确； 当时，， ∵，随的增大而增大，当时，， ∴若，则，故④正确， 故答案为：①③④ 15. 如图，四边形是正方形，点，分别在，的延长线上，且，设，，．给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①② 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明，结合三角形的三边关系判断①；完全平方公式结合勾股定理判定②；勾股定理判断③． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，，，， ，故①正确； ，即， ， ，故②正确； ，且点，为动点， 无法确定和的关系，故③错误； 故答案为：①②． 16. 如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a～h的小球． 甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下： ①每人首次取球时，只能取走2个或3个球：后续每次可取走1个，2个或3个球； ②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走； ③最后一个将球取完的人获胜． （1）若甲首次取走写有b，c的两个球，乙又取走g，h两个球，接着甲又取走两个球，则______（填“甲”或“乙”）一定获胜； （2）若甲首次取走写有g，h的两个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是______． 【答案】 ①. 甲 ②. c，d 【解析】 【分析】本题考查了逻辑推理，关键是明确最后一个将球取完的人获胜． （1）由取法可知，余下两个相邻，根据规则即可判断结果； （2）根据规则可知，要想自己获胜必须保证自己倒数第二次时，最后余下2个不相邻的球，由此设计方案即可． 【详解】解：（1）∵甲首次取走写有b，c的两个球，乙又取走g，h两个球，剩下a， ，，d，e，f， ，， 接着甲又取走两个球，它们是d，e，或e，f，只剩下a，，f或a，，d， ∵它们不相邻， ∴乙只能拿走一个，故甲拿走最后一个，故甲胜； 枚答案为：甲； （2）∵甲首次取走g，h二个球，还剩下a，b，c，d，e，f，， 乙取c，d，余下a，b，，，e，f，， 此时甲取a，b或e，f，余下两个相邻，乙可取完，乙胜； 若甲取a或b，那么乙取e或f，那么剩下两个不相邻，则乙胜； 若甲取e或f，那么乙取a或b，那么剩下2个球不相邻，则乙胜； 因此，乙一定要获胜，那么它首次取c，d， 故答案为：c，d． 三、解答题（共68分，第17－22题，每题5分，第23题6分，第24题5分，第25题6分，第26－28题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质化简，混合运算法则是解题的关键．先根据二次根式的性质化简二次根式，再根据二次根式的混合运算法则即可求解． 【详解】解： 18. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，利用二次根式的性质正确化简是解题的关键；先化简二次根式，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ， 当时，原式． 19. 下面是小红设计的“已知直角作矩形”的尺规作图过程． 已知：如图，． 求作：矩形． 作法：如图， ①在的两边上分别任取点，（不与点重合）； ②以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧在的内部交于点； ③连接，． 所以四边形即为所求作的矩形． 根据小红设计的尺规作图过程 （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下列证明． 证明： ∵，_________， ∴四边形是平行四边形（_________）（填推理的依据）． 又∵， ∴四边形是矩形（_________）（填推理的依据）． 【答案】（1）作图见解析 （2）；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形 【解析】 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据，可得结论． 【小问1详解】 解：如图，四边形即为所作． 【小问2详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， 又∵， ∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 故答案为：；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查应用与设计作图，矩形的判定，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20. 如图，在中，点分别在上，且相交于点，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，连接，证明四边形为平行四边形即可得证． 【详解】证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵相交于点， ∴． 21. 一次函数与轴交点纵坐标为，与轴交点的横坐标为． （1）在坐标系中画出一次函数的图象； （2）结合图象解答下列问题： ①当时，的取值范围是________； ②当时，对于每一个值，函数的值大于一次函数的值，则的取值范围是______． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象，一次函数与不等式的关系，正确的理解题意是解题的关键． （1）由题意可知，一次函数与轴交点为，与轴交点为，据此作出图象即可； （2）①观察图象即可求解；②先求出一次函数的解析式为，根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，一次函数与轴交点为，与轴交点为， 函数图像如图所示： 【小问2详解】 ①由图可知，当时，的取值范围是， 故答案为：； ②将、代入一次函数得： ， 解得：， 一次函数的解析式为， 当时，，即一次函数过点， 当函数的图象过时，， 当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，则的取值范围是， 故答案为：． 22. 某企业生产甲、乙两款红茶，为了解两款红茶的质量，请消费者和专业机构分别测评．随机抽取名消费者对两款红茶评分，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． ．甲款红茶分数（百分制）的频数分布表如下： 分数 频数 ．甲款红茶分数在这一组的是：，，，，，，，，，； c．甲、乙两款红茶分数的平均数、众数、中位数如表所示： 品种 平均数 众数 中位数 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全甲款红茶分数的频数分布直方图； （2）表格中的值为____，的值为____； （3）专业机构对两款红茶的条索、色泽、整碎、净度、内质、香气、滋味醇厚度、汤色、叶底来进行综合评分如下：甲款红茶分，乙款红茶分．若以这名消费者评分的平均数和专业机构的评分按照的比例确定最终成绩，可以认定_____款红茶最终成绩更高（填“甲”或“乙”）． 【答案】（1）见解析 （2）， （3）甲 【解析】 【分析】（1）根据题意可得甲款红茶分数在这一组的数据有个，则在这一组的数据有个，进而补全统计图； （2）根据众数与中位数的定义即可求解； （3）分别计算甲、乙成绩的加权平均数，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得：．甲款红茶分数在的频数为， 甲款红茶分数在的频数为， 补全甲款红茶分数的频数分布直方图如下： 【小问2详解】 甲款红茶分数在这一组的是：，，，，，，，，，；                            众数为； 中位数是第个，，在这一组从小到大的第个数据为， 故答案为：，； 【小问3详解】 甲款红茶的平均分为， 乙款红茶的平均分为， ， 可以认定甲款红茶最终成绩更高， 故答案为：甲． 【点睛】本题考查了频数分布表与频数分布直方图，中位数，众数，加权平均数，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23. 如图，在长方形中，，，动点沿着的路径运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为． （1）当点在上运动时，与的函数关系式为_____； （2）当时，_____； （3）当点在上运动时，与的函数关系式为_____； （4）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） （4）的值为或 【解析】 【分析】本题考查了动点在矩形上运动所形成的三角形面积的问题，函数的应用，需要利用面积公式表示出相关位置的函数关系式，并求特定取值的函数值． （1）用的长乘以，再除以即可； （2）将代入（1）中解析式，计算即可． （3）用含的式子表示出的长，再用的长乘以的长并除以，计算即可． （4）当时，点可能位于段或者段上，将分别代入（1）和（3）中函数解析式，求得值即可． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ， 当点在上运动时，， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 四边形是矩形， ， ， 点在上运动， ， 当时，， 故答案为：； 【小问3详解】 四边形是矩形， ，，， ， ， ， 故答案为：； 【小问4详解】 当点在上运动时，，当时，， 解得：； 当点在上运动时，，当时，， 解得：； 综上所述，的值为或． 24. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：． 证明：， 又S四边形， ． 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明： 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明． 连接，过点B作边上的高，则，仿照已知材料中的方法，利用五边形面积的不同表示方法解答即可． 【详解】证明：连接，过点B作边上的高，则． ∵ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 如图，在中，D是AB上一点，，DE平分∠ADC交AC于点E，DF平分∠BDC交BC于点F，． （1）求证：四边形CEDF是矩形； （2）若，，连接BE，求BE的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证∠EDF=90°，∠CED=90°，再由∠DFC=90°，即可得出结论； （2）证△ACD是等边三角形，得∠ACD=60°，AC=AD=2，则AE=CE=1，再由勾股定理得DE，然后由三角形中位线定理得BC=2DE=，由勾股定理即可得出结论． 【小问1详解】 解：证明：∵DE平分∠ADC，DF平分∠BDC， ∴∠ADE=∠CDE=∠ADC，∠CDF=∠BDC， ∴∠CDE+∠CDF=（∠ADC+∠BDC）=×180°=90°， 即∠EDF=90°， ∵AD=DC， ∴∠DCA=∠DAC， ∴∠CED=∠AED=×180°=90°， 又∵∠DFC=90°， ∴四边形CEDF是矩形； 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形CEDF是矩形， ∴∠CED=∠ECF=90°， ∴∠A=90°-∠B=90°-30°=60°，DE⊥AC， ∵AD=DC， ∴CE=AE，△ACD是等边三角形， ∴∠ACD=60°，AC=AD=2， ∴AE=CE=1， ∴DE=， ∠DCB=∠ECF-∠ACD=90°-60°=30°， ∴∠DCB=∠B， ∴DB=DC=AD， ∴DE是△ABC的中位线， ∴BC=2DE=， 在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE=， 即BE的长为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 26. A城有肥料400t，B城有肥料600t，现要把这些肥料全部运往C、D两乡，所需运费如下表所示： 城市 A城 B城 运往C乡运费（元/t） 20 15 运往D乡运费（元/t） 25 24 现C乡需要肥料480t，D乡需要肥料520t． （1）设从A城运往C乡肥料x吨，总运费为y元； ①求B城运往C、D两乡的肥料分别为多少吨？（用含x的式子表示）． ②写出y关于x的函数解析式，并求出最少总运费． （2）由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少m元（0＜m＜6），这时怎样调运才能使总运费最少？ 【答案】（1）①B城运往C：（480-x）吨；B城运往D：（120+x）吨②当x=0时，y最小值20080；（2）当0＜m＜4时，A运往D处400t，B运往C处480t，运往D处120t，总运费最少；m=4时，三种方案都可以，总运费都一样；4＜m＜6时，A运往C处400t，B运往C处80t，运往D处520t，总运费最少； 【解析】 【分析】（1）①根据题意列代数式即可； ②根据：运费=运输吨数×运输费用，得一次函数解析式，然后根据一次函数的性质解答即可； （2）列出当A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元时的一次函数解析式，利用一次函数的性质讨论，并得结论． 【详解】解：（1）①B城运往C：（480-x）吨；B城运往D：（120+x）吨； ②根据题意得：y=20x+25（400-x）+15（480-x）+24（120+x）， 即y=4x+20080（0≤x≤400）， ∵k=4＞0， ∴y随x的增大而增大， 当x=0时，y最小值20080； （2）设从A城运往C乡肥料x吨，总费用为y，则： y=（20-m）x+25（400-x）+15（480-x）+24（120+x）， 即y=（4-m）x+20080． ①当4-m＜0即4＜a＜6时， y随x的增大而减小， ∴当x=400时y最少． 调运方案：A运往C处400t，B运往C处80t，运往D处520t； ②4-m=0即m=4时，无论x取多少y的值一样，符合要求的方案都可以； ③当4-m＞0，即0＜m＜4时，y随x的增大而增大， ∴当x=0时，y最小． 调运方案：A运往D处400t，B运往C处480t，运往D处120t． 【点睛】本题考查了一次函数的应用．根据题意列出一次函数解析式是关键．注意到（2）需分类讨论，. 27. 如图，中，，D为中点，点E在直线上（点E不与点B，C重合），连接，过点D作交直线于点F，连接． （1）如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段与数量关系：______． （2）如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）若，，，请直接写出线段AF的长． 【答案】（1）（1） （2）结论：，证明见详解 （3）的长为或1 【解析】 【分析】（1）结论：．利用线段的垂直平分线的性质证明即可． （2）结论：如图2中，过点作交的延长线于，连接．证明，推出，，再证明，可得结论． （3）分两种情形：如图中，当点在线段上时，如图中，当点在线段延长线上时，设，则．构建方程求解即可． 【小问1详解】 解：结论：． 理由：如图1中， ，， 垂直平分， ． 【小问2详解】 结论：． 理由：如图2中，过点作交的延长线于，连接． ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ． 小问3详解】 如图中，当点在线段上时，设，则． ，， ， ， ， ， ． 如图中，当点在线段的延长线上时，设，则． ，， ， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的长为或1． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 28. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：P为图形M上任意一点，如果点P到直线的距离等于图形M上任意两点距离的最大值时，那么点P称为直线的“伴随点”．例如：如图①，已知点，，在线段上，则点P是直线：x轴的“伴随点”． （1）如图②，已知点，，P是线段上一点，直线与x轴的夹角，，当点P是直线的“伴随点”时，点P的坐标为_____； （2）如图③，x轴上方有一等边三角形，轴，顶点A在y轴上且在上方，，点P是上一点，且点P是直线轴的“伴随点”，当点P到x轴的距离最小时，求等边的边长； （3）如图④，以，，为顶点的正方形上始终存在点P，使得点P是直线：的“伴随点”，请直接写出b的取值范围． 【答案】（1） （2）2 （3）或 【解析】 【分析】（1），根据新定义得出，过点作于点，根据已知得出，则，即可求解； （2）边上任意两点的距离的最大值即为的边长，当点在线段上，到轴的距离最小时，则点P到x轴的距离为的长；设与y轴交于点D，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案； （3）由正方形的边长为1，即可求出P到的距离为，从而可得P既在正方形的边上，也在到距离为的直线上，求出直线恰好经过点A和点C时b的值，再求出直线经过点A时，在直线下方与其平行，且与直线的距离为的直线解析式，直线经过点C时，在直线上方与其平行，且与直线的距离为的直线解析式即可得到答案． 小问1详解】 解：∵，， ∴线段上任意两点的距离的最大值为， 如图所示，过点作于点，过点Q作轴于H， ∵点是直线的“伴随点”， ∴点到直线的距离为2，即， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴边上任意两点的距离的最大值即为的边长， ∵轴，即轴， ∴当点在线段上，到轴的距离最小时， ∵点是直线：轴的“伴随点”，且点到轴的距离最小， ∴点P到x轴的距离为的长； 如图所示，设与y轴交于点D， ∵轴，且点A在y轴上， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴等边三角形的边长为； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴正方形的边长为1， ∵正方形四条边上任意两点的距离最大值为其对角线的长， ∴正方形上任意两点距离的最大值为， ∵正方形上始终存在点，使得点是直线：的“伴随点”， ∴正方形上始终存在点P，使得点P到的距离为． 当直线恰好经过点A时，则，解得， 当直线恰好经过点C时，则，解得； 如图所示，作直线交y轴于T， 由正方形的性质可得， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， 设直线与y轴交于I，则， ∴， ∴， ∴，即， 如图所示，作直线平行于直线，则直线与直线的距离为， ∵当点P与点A重合时，点P到直线的距离最小为，此时刚好存在点P满足题意， 当直线向下平移时，点P到直线的距离一定会大于，故此时不符合题意； 而当直线向上平移至直线的过程中，始终存在点P，满足点P到直线的距离为， 把代入中得， ∴当时，正方形上始终存在点，使得点是直线：的“伴随点”； ∵直线与直线的距离为（直线向上平移2个单位得到直线）， ∴直线与直线的距离为（直线向上平移2个单位得到直线）， 同理可得当时，正方形上始终存在点，使得点是直线：的“伴随点”； 综上，当或时，正方形上始终存在点，使得点是直线：的“伴随点”． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，正方形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，理解新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京汇文中学教育集团2024－2025学年度第二学期期中考试初二年级数学学科 本试卷共8页，试卷分值为100分．考试时长120分钟．请考生务必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 一、选择题（本题共16分，每题2分，第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，分别平分，，分别交于点，．若，，则的长为（ ） A B. 1 C. 1.5 D. 2 5. 在奥运会跳水项目中，多名评委对同一位选手打分，去掉一个最高分和一个最低分后再计算该选手的成绩．去掉这两个分数的前后， 一定不发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 6. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（    ） A. B. C. D. 7. 若正比例函数的图象经过点和点，当时，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数点叫做整点．例如点的坐标是，点就是一个整点．已知一次函数的图象与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，如果内部（不包括边上）的整点只有个，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共16分，每题2分） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 10. 在中，，则______． 11. 下表是某校排球队队员的年龄分布，该排球队队员的平均年龄是_________ 岁． 年龄/岁 12 13 14 15 频数 1 1 3 3 12. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则_______． 13. 如图，等腰三角形，其中，，、分别在、上，四边形菱形，若，，则长为_____． 14. 一次函数中变量与的部分对应值如下表所示． x … 0 1 2 … y … 0 1 2 … 给出下面四个结论： ①；②方程的解为；③一次函数的图象不经过第四象限；④若，则．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 15. 如图，四边形是正方形，点，分别在，的延长线上，且，设，，．给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 16. 如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a～h的小球． 甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下： ①每人首次取球时，只能取走2个或3个球：后续每次可取走1个，2个或3个球； ②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走； ③最后一个将球取完的人获胜． （1）若甲首次取走写有b，c的两个球，乙又取走g，h两个球，接着甲又取走两个球，则______（填“甲”或“乙”）一定获胜； （2）若甲首次取走写有g，h的两个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是______． 三、解答题（共68分，第17－22题，每题5分，第23题6分，第24题5分，第25题6分，第26－28题7分） 17. 计算：． 18. 已知，求代数式的值． 19. 下面是小红设计的“已知直角作矩形”的尺规作图过程． 已知：如图，． 求作：矩形． 作法：如图， ①在的两边上分别任取点，（不与点重合）； ②以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧在的内部交于点； ③连接，． 所以四边形即为所求作的矩形． 根据小红设计的尺规作图过程 （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下列证明． 证明： ∵，_________， ∴四边形是平行四边形（_________）（填推理的依据）． 又∵， ∴四边形是矩形（_________）（填推理的依据）． 20. 如图，在中，点分别在上，且相交于点，求证：． 21. 一次函数与轴交点纵坐标为，与轴交点的横坐标为． （1）在坐标系中画出一次函数的图象； （2）结合图象解答下列问题： ①当时，的取值范围是________； ②当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，则的取值范围是______． 22. 某企业生产甲、乙两款红茶，为了解两款红茶的质量，请消费者和专业机构分别测评．随机抽取名消费者对两款红茶评分，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． ．甲款红茶分数（百分制）的频数分布表如下： 分数 频数 ．甲款红茶分数在这一组的是：，，，，，，，，，； c．甲、乙两款红茶分数的平均数、众数、中位数如表所示： 品种 平均数 众数 中位数 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全甲款红茶分数的频数分布直方图； （2）表格中的值为____，的值为____； （3）专业机构对两款红茶条索、色泽、整碎、净度、内质、香气、滋味醇厚度、汤色、叶底来进行综合评分如下：甲款红茶分，乙款红茶分．若以这名消费者评分的平均数和专业机构的评分按照的比例确定最终成绩，可以认定_____款红茶最终成绩更高（填“甲”或“乙”）． 23. 如图，在长方形中，，，动点沿着的路径运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为． （1）当点在上运动时，与的函数关系式为_____； （2）当时，_____； （3）当点在上运动时，与的函数关系式为_____； （4）若，求的值． 24. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：． 证明：， 又S四边形， ． 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明： 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 25. 如图，在中，D是AB上一点，，DE平分∠ADC交AC于点E，DF平分∠BDC交BC于点F，． （1）求证：四边形CEDF是矩形； （2）若，，连接BE，求BE的长． 26. A城有肥料400t，B城有肥料600t，现要把这些肥料全部运往C、D两乡，所需运费如下表所示： 城市 A城 B城 运往C乡运费（元/t） 20 15 运往D乡运费（元/t） 25 24 现C乡需要肥料480t，D乡需要肥料520t． （1）设从A城运往C乡肥料x吨，总运费为y元； ①求B城运往C、D两乡的肥料分别为多少吨？（用含x的式子表示）． ②写出y关于x的函数解析式，并求出最少总运费． （2）由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少m元（0＜m＜6），这时怎样调运才能使总运费最少？ 27. 如图，中，，D为中点，点E在直线上（点E不与点B，C重合），连接，过点D作交直线于点F，连接． （1）如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段与的数量关系：______． （2）如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）若，，，请直接写出线段AF的长． 28. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：P为图形M上任意一点，如果点P到直线距离等于图形M上任意两点距离的最大值时，那么点P称为直线的“伴随点”．例如：如图①，已知点，，在线段上，则点P是直线：x轴的“伴随点”． （1）如图②，已知点，，P是线段上一点，直线与x轴的夹角，，当点P是直线的“伴随点”时，点P的坐标为_____； （2）如图③，x轴上方有一等边三角形，轴，顶点A在y轴上且在上方，，点P是上一点，且点P是直线轴的“伴随点”，当点P到x轴的距离最小时，求等边的边长； （3）如图④，以，，为顶点的正方形上始终存在点P，使得点P是直线：的“伴随点”，请直接写出b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$