精品解析：北京市育英学校2025-2026学年八年级下学期数学期中调研试题

2025~2026学年度第二学期期中考试试卷 初二数学 学生需知 1．本试卷共4页，共三道大题，27道小题．满分100分．考试时间90分钟． 2．在试卷上准确填写班级名称、姓名． 3．答案一律填涂或书写在答题卡上，用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1. 下列图形中，具有稳定性的是（ ） A. B. C. D. 2. 每一个外角都是的正多边形是（ ） A. 正四边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正九边形 3. 直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，若，，则b的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 144 4. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 6，8，10 5. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各曲线中哪些表示y是x的函数？ 7. 依据所标数据，下列四边形一定为平行四边形的是 （ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 9. 如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个长方形，以表示0的点为圆心，以长方形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点表示的数是（　　）． A. B. C. D. 10. 如图，矩形的对角线，交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是_____． 12. 购买一些铅笔，单价为0.4元/支，总价（单位：元）随铅笔支数的变化而变化，请写出函数解析式___________ 13. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为________. 14. 如图，在中，，，是高．若，则___________． 15. 如图，、、、是五边形的4个外角，若，则_______°． 16. 如图，在中，，，，E是边上一点，将沿折叠，使点B的对应点恰好落在边上，则的长等于___________． 三、解答题（本题共52分，第17-19题4分，第20-21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题4分，第25题-27题5分） 17. 计算： （1） （2） 18. 已知，求代数式的值． 19. 已知的三边长均为整数，且和满足． （1）求的值． （2）求满足条件的的值． 20. 如图，四边形ABCD中，，，，，．求四边形ABCD的面积． 21. 下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．其中表示时间，表示张强离家的距离．根据图象回答下列问题： （1）体育场离张强家_____________千米；张强从家去体育场用了____________分钟； （2）体育场离文具店_______________千米，张强在文具店停留了___________分钟； （3）请计算：张强从离家到回家的平均速度是每分钟多少米? 22. 下面是小丽设计的“作已知角的平分线”的尺规作图过程． 已知：． 求作：的平分线． 作法： ①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点； ②分别以，为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于内部一点； ③作射线． 则射线即为所求角平分线． 根据小丽设计的尺规作图过程，完成下列问题． （1）使用直尺和圆规作图，补全图形（保留作图痕迹）； （2）补全下面的证明过程． 证明：连接，． ， 四边形是______________形（_________________）（填推理依据） 平分（_________________）（填推理依据） 23. 如图，港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一小时后分别位于点，处，且相距20海里．如果“海天”号沿北偏西方向航行，那么“远航”号沿什么方向航行？ 24. 如图，在正方形中，点E在边上，将点E绕点D逆时针旋转得到点F，若点F恰好落在边的延长线上，连接． （1）判断的形状，并证明； （2）若，则的面积为___________． 25. 如图，在平行四边形中，，点分别是、的中点，交于点，连接， （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，直接写出的长___________ 26. 阅读下列材料：如图(1)，在四边形ABCD中，若AB=AD，BC=CD，则把这样的四边形称之为筝形． (1)写出筝形的两个性质(定义除外)． ① ；② ． (2)如图(2)，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE=AF，∠AEC=∠AFC．求证：四边形AECF是筝形． (3)如图(3)，在筝形ABCD中，AB=AD=26，BC=DC=25，AC=17，求筝形ABCD的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期中考试试卷 初二数学 学生需知 1．本试卷共4页，共三道大题，27道小题．满分100分．考试时间90分钟． 2．在试卷上准确填写班级名称、姓名． 3．答案一律填涂或书写在答题卡上，用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1. 下列图形中，具有稳定性的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据观察选项的图中信息，且结合三角形的稳定性进行分析，即可作答． 【详解】解：A、该图形是五边形，不具有稳定性，故该选项不符合题意； B、该图形含有四边形结构，不具有稳定性，故该选项不符合题意； C、该图形含有三个三角形结构，具有稳定性，故该选项符合题意； D、该图形含有五边形结构，不具有稳定性，故该选项不符合题意； 故选：C 2. 每一个外角都是的正多边形是（ ） A. 正四边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正九边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理．根据多边形的外角和是和这个多边形的每一个外角都等于，即可求得多边形的边数． 【详解】解：∵多边形的外角和是，这个多边形的每一个外角都等于， ∴这个多边形的边数是， 故选：D． 3. 直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，若，，则b的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 144 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，已知直角三角形的一条直角边和斜边长，求另一直角边时直接利用勾股定理求斜边长即可． 【详解】解：由勾股定理的变形公式可得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，属于基础题. 本题比较简单，解答此类题的关键是灵活运用勾股定理． 4. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 6，8，10 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、1+2=3，不能构成三角形，故本选项不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，能构成直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 5. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查最简二次根式问题，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，被开方数不能含有分母；（2）在二次根式的被开方数中不能含有开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 6. 下列各曲线中哪些表示y是x的函数？ 【答案】图（1）（2）（3）中y是x的函数 【解析】 【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．由此即可得出结论． 【详解】解：图（1）对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数； 图（2）对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数； 图（3）对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数； 图（4）对于一部分自变量x的值，y有两个值与之相对应， y不是x的函数； 故图（1）（2）（3）中y是x的函数 【点睛】本题主要考查了函数概念，关键是掌握注意对函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 7. 依据所标数据，下列四边形一定为平行四边形的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理分别判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴一组对边平行，另一组对边不平行， ∴图中的四边形一定不是平行四边形，故A不符合题意； B、∵，， ∴一组对边平行，另一组对边相等， ∴图中四边形不一定是平行四边形，故B不符合题意； C、∵， ∴一组对边相等， ∴图中的四边形不一定是平行四边形，故C不符合题意； D、∵，， ∴一组对边平行且相等， ∴图中的四边形是平行四边形，故D符合题意． 故选：D． 8. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质，得，结合，得到是等边三角形，结合，得到，解得即可． 本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】根据矩形的性质，得， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 解得． 故选C． 9. 如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个长方形，以表示0的点为圆心，以长方形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点表示的数是（　　）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求出矩形对角线的长度．以对角线长度为半径作圆与x轴正方向交于点P，则可得点P表示的数． 【详解】解：应用勾股定理得，矩形的对角线的长度， 以矩形对角线长为半径画弧，交数轴正方向于点P， 所以数轴上的点P表示的数为：． 10. 如图，矩形的对角线，交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质以及三角形的面积公式的运用，首先结合矩形的性质可得，证明，进而可得与的面积相等；接下来即可将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故． B故选：b故选：B． 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数非负，据此列式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴． 12. 购买一些铅笔，单价为0.4元/支，总价（单位：元）随铅笔支数的变化而变化，请写出函数解析式___________ 【答案】（且为整数） 【解析】 【详解】解：由题意得，函数解析式为：（且为整数）． 13. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为________. 【答案】2.5 【解析】 【详解】分析：根据矩形的性质可得AC=BD=10，BO=DO=BD=5，再根据三角形中位线定理可得PQ=DO=2.5． 详解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD=10，BO=DO=BD， ∴OD=BD=5， ∵点P、Q是AO，AD的中点， ∴PQ是△AOD的中位线， ∴PQ=DO=2.5． 故答案为2.5． 点睛：此题主要考查了矩形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握矩形对角线相等且互相平分． 14. 如图，在中，，，是高．若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】通过直角三角形的性质求出 ，根据含度角的直角三角形性质求出，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是高， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 15. 如图，、、、是五边形的4个外角，若，则_______°． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得，∠A的外角=180°－∠A=60°， 又∵多边形的外角和为360°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°－∠A的外角=300°． 故答案为：300． 【点睛】本题考查多边形外角性质，补角定义． 16. 如图，在中，，，，E是边上一点，将沿折叠，使点B的对应点恰好落在边上，则的长等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与折叠，熟练掌握勾股定理与折叠的性质是解题关键．先利用勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，，从而可得，设，从而可得，然后在中利用勾股定理即可得． 【详解】解：， ， 由折叠的性质得：， ， 设，则， 在中，，即， 解得， 即的长为， 故答案为：． 三、解答题（本题共52分，第17-19题4分，第20-21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题4分，第25题-27题5分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，再计算加减即可； （2）先计算二次根式的乘、除法，再计算加减即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 已知，求代数式的值． 【答案】1 【解析】 【分析】将变形为，再进行平方求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴． 19. 已知的三边长均为整数，且和满足． （1）求的值． （2）求满足条件的的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根和平方的非负性求解即可； （2）先根据三角形的三边关系求出的取值范围，即可写出整数的值． 【小问1详解】 解： ∵ ∴ 解得； 【小问2详解】 解：∵的三边长均为整数， ∴ ∴， 可取． 20. 如图，四边形ABCD中，，，，，．求四边形ABCD的面积． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理可知,再根据勾股定理的逆定理可知，即可求解面积． 【详解】解：连接, ∵，，， 根据勾股定理可知，, ∵，， ∴, , 则． 21. 下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．其中表示时间，表示张强离家的距离．根据图象回答下列问题： （1）体育场离张强家_____________千米；张强从家去体育场用了____________分钟； （2）体育场离文具店_______________千米，张强在文具店停留了___________分钟； （3）请计算：张强从离家到回家的平均速度是每分钟多少米? 【答案】（1）， （2）， （3）张强从离家到回家的平均速度是每分钟米 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）观察函数图象即可得解； （2）观察函数图象即可得解； （3）根据速度路程时间，计算即可得解． 【小问1详解】 解：由图象可得，体育场离张强家千米，张强从家去体育场用了分钟； 【小问2详解】 解：由图象可得：体育场离文具店千米，张强在文具店停留了分钟； 【小问3详解】 解：张强从离家到回家的平均速度是每分钟（米）， 故张强从离家到回家的平均速度是每分钟米． 22. 下面是小丽设计的“作已知角的平分线”的尺规作图过程． 已知：． 求作：的平分线． 作法： ①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点； ②分别以，为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于内部一点； ③作射线． 则射线即为所求角平分线． 根据小丽设计的尺规作图过程，完成下列问题． （1）使用直尺和圆规作图，补全图形（保留作图痕迹）； （2）补全下面的证明过程． 证明：连接，． ， 四边形是______________形（_________________）（填推理依据） 平分（_________________）（填推理依据） 【答案】（1）见解析 （2）菱形；四条边都相等的四边形是菱形；菱形的每条对角线平分一组对角 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定和性质等知识． （1）根据作法补全图形即可； （2）证明四边形是菱形，再根据菱形的性质“菱形的每条对角线平分一组对角”即可得到结论． 【小问1详解】 解：补全图形，如图： 【小问2详解】 证明：连接， ， 四边形是菱形（四条边都相等的四边形是菱形） 平分（菱形的每条对角线平分一组对角）． 23. 如图，港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一小时后分别位于点，处，且相距20海里．如果“海天”号沿北偏西方向航行，那么“远航”号沿什么方向航行？ 【答案】“远航”号沿北偏东方向航行 【解析】 【分析】根据题意可求出的长，则可证明得到，根据“海天”号的航向得到的度数，进而求出的度数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，（海里），（海里）， ∴， ∵海里， ∴， ∴， ∴， ∵“海天”号沿北偏西方向航行， ∴， ∴， ∴“远航”号沿北偏东方向航行， 答：“远航”号沿北偏东方向航行． 24. 如图，在正方形中，点E在边上，将点E绕点D逆时针旋转得到点F，若点F恰好落在边的延长线上，连接． （1）判断的形状，并证明； （2）若，则的面积为___________． 【答案】（1）是等腰直角三角形，证明见解析 （2）8 【解析】 【分析】（1）证明，进而可得，，根据旋转的性质可得，即可证明是等腰直角三角形； （2）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，进而即可求得的面积． 【小问1详解】 是等腰直角三角形． 证明：在正方形中，，． ∵ F落在边的延长线上， ∴ ． ∵ 将点E绕点D逆时针旋转得到点F， ∴． ∴， ∴． ∵ ， ∴，即． ∴是等腰直角三角形． 【小问2详解】 ∵是等腰直角三角形， ∴， ，， ∴， ∴的面积为． 故答案为： 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，证明是解题的关键． 25. 如图，在平行四边形中，，点分别是、的中点，交于点，连接， （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，直接写出的长___________ 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明其邻边相等即可； （2）过点O作于点G，先求，再求，最后根据勾股定理求． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E，F分别是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：过点O作于点G， ∵E是的中点，， ∴ ， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 26. 阅读下列材料：如图(1)，在四边形ABCD中，若AB=AD，BC=CD，则把这样的四边形称之为筝形． (1)写出筝形的两个性质(定义除外)． ① ；② ． (2)如图(2)，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE=AF，∠AEC=∠AFC．求证：四边形AECF是筝形． (3)如图(3)，在筝形ABCD中，AB=AD=26，BC=DC=25，AC=17，求筝形ABCD的面积． 【答案】（1）∠BAC＝∠DAC；∠ABC＝∠ADC（2）见解析（3）408 【解析】 【分析】（1）根据题意证明△ABC≌△ADC即可， （2）先判断出∠AEB＝∠AFD在得到△AEB≌△AFD，然后判断出平行四边形ABCD是菱形即可； （3）先判断出△ABC≌△ADC．得到S△ABC＝S△ADC，过点B作BH⊥AC，垂足为H，利用勾股定理BH2＝AB2−AH2＝262−AH2，BH2＝CB2−CH2＝252−（17−AH）2，求出AH,BH即可求解． 【详解】（1）在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC ∴∠BAC＝∠DAC，∠ABC＝∠ADC， 故答案为：∠BAC＝∠DAC；∠ABC＝∠ADC （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D． ∵∠AEC＝∠AFC，∠AEC＋∠AEB＝∠AFC＋∠AFD＝180°， ∴∠AEB＝∠AFD． ∵AE＝AF， ∴△AEB≌△AFD（AAS）． ∴AB＝AD，BE＝DF． ∴平行四边形ABCD是菱形． ∴BC＝DC， ∴EC＝FC， ∴四边形AECF是筝形． （3）如图 ∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC， ∴△ABC≌△ADC． ∴S△ABC＝S△ADC． 过点B作BH⊥AC，垂足为H． 在Rt△ABH中，BH2＝AB2−AH2＝262−AH2． 在Rt△CBH中，BH2＝CB2−CH2＝252−（17−AH）2． ∴262−AH2＝252−（17−AH）2， ∴AH＝10． ∴BH＝=24． ∴S△ABC＝×17×24＝204． ∴筝形ABCD的面积=2S△ABC＝408． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质和判定，三角形的全等的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，解本题的关键是理解筝形的定义． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $