10.1.1 两角和与差的余弦 练习-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

10.1.1　两角和与差的余弦 一、 单项选择题 1 化简cos βcos (α＋β)＋sin βsin (α＋β)的结果为(　　) A. cos (α＋2β) B. cos (2α＋β) C. cos α D. cos β 2 (2024北京月考)已知sin α＝，α∈，则cos 的值为(　　) A. B. C. D. 3 已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝，则cos (α－β)的值为　(　　) A. － B. C. D. － 4 (2023佛山月考)若0<α<，0<β<，cos (α＋β)＝，sin (β－)＝，则cos 的值为(　　) A. B. C. D. 5 (2024盐城期中)的值为(　　) A. B. C. D. 6 (2023深圳中学期中)已知cos α＋cos β＝，sin α－sin β＝，则cos (α＋β)的值为(　　) A. － B. C. － D. 二、 多项选择题 7 (2024佛山月考)已知sin α＝，α∈，则下列结论中正确的是(　　) A. cos α＝－ B. tan α＝－ C. cos ＝－ D. cos ＝ 8 (2024朔州期末)已知cos (α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，则下列结论中正确的是(　　) A. sin 2α＝ B. cos (α－β)＝ C. cos αcos β＝ D. tan αtan β＝3 三、 填空题 9 已知α，β∈，sin α＝，cos β＝，则cos (α－β)＝________． 10 (2024益阳期末)若α是锐角，sin ＝，则cos α＝________． 11 (2023常州月考)已知cos (α＋β)＝，tan αtan β＝－，则cos (α－β)＝________． 四、 解答题 12 (2024商洛期中)已知sin α＝－，α∈. (1) 求cos 的值； (2) 若sin (α＋β)＝－，β∈，求β的值． 13 已知cos ＝－，sin ＝，且<α<π，0<β<，求cos 的值． 10.1.1　两角和与差的余弦 1. C　由两角差的余弦公式，得cos βcos (α＋β)＋sin βsin (α＋β)＝cos [(α＋β)－β]＝cos α. 2. B　因为sin α＝，α∈，sin2α＋cos2α＝1，所以cosα＝，则cos ＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝. 3. B　由题意，得|a|＝|b|＝1，且a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos (α－β).又|a－b|2＝，即a2＋b2－2a·b＝，所以2－2cos (α－β)＝，所以cos (α－β)＝. 4. C　因为0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π，所以sin (α＋β)＝＝.又－<β－<，所以cos＝＝，所以cos(α＋)＝cos [(α＋β)－(β－)]＝cos (α＋β)cos (β－)＋sin (α＋β)sin ＝×＋×＝. 5. B　＝＝＝＝. 6. C　由题意，得(cos α＋cos β)2＝cos2α＋2cosαcos β＋cos2β＝，(sinα－sin β)2＝sin2α－2sinαsin β＋sin2β＝，两式相加，得2＋2(cosαcos β－sin αsin β)＝2＋2cos (α＋β)＝＋＝，解得cos (α＋β)＝－. 7. ABC　因为sin α＝，α∈，所以cos α＝－＝－，tan α＝＝＝－，所以cos ＝－×－×＝－，cos (α－)＝－×＋×＝－.故选ABC. 8. ABD　因为α，β为锐角，所以0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π，0<2α<π.又因为cos (α＋β)＝－<0，所以<α＋β<π，所以sin (α＋β)＝＝，对于A，因为cos2α＝－<0，所以<2α<π，则sin 2α＝＝，故A正确；对于B，cos(α－β)＝cos [2α－(α＋β)]＝cos 2αcos (α＋β)＋sin 2αsin (α＋β)＝×＋×＝，故B正确；对于C，因为cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－，两式相加并化简，得cos αcos β＝，故C错误；对于D，由C可得sin αsin β＝，所以tan αtan β＝＝＝3，故D正确．故选ABD. 9. 　由题意，得cos α＝，sin β＝，故cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝. 10. 　由α是锐角，得－<－α<.又sin ＝，所以cos ＝＝，所以cos α＝cos ＝cos cos (－α)＋sin sin ＝×＋×＝. 11. 　因为cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，tan αtan β＝＝－，所以sin αsin β＝－，cos αcos β＝，则cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－＝. 12. (1) 由sin2α＋cos2α＝1，sinα＝－，α∈，可得cos α＝， 所以cos ＝cos αcos －sin αsin ＝×－×＝. (2) 由α∈，β∈， 可得α＋β∈， 所以cos (α＋β)＝＝， 则cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)·sin α＝×＋×＝. 又β∈，可得β＝. 13. 因为<α<π，所以<<. 因为0<β<， 所以－<－β<0，－<－<0， 所以<α－<π，－<－β<. 又cos ＝－<0，sin ＝>0， 所以<α－<π，0<－β<， 所以sin ＝，cos ＝， 故cos ＝cos ＝cos ·cos ＋sin sin ＝×＋×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$