考点01 两角和与差的三角函数（专项训练）高一数学苏教版必修第二册

考点01 两角和与差的三角函数 考点一：两角和的余弦函数 两角和的余弦公式： 知识点诠释： （1）公式中的都是任意角； （2）和差角的余弦公式不能按分配律展开，即； （3）公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题． （4）记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反． 考点二：两角和与差的正弦函数 两角和正弦函数 在公式中用代替，就得到： 两角差的正弦函数 知识点诠释： （1）公式中的都是任意角； （2）与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即； （3）和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例．如 当或中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便； （4）使用公式时，不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简时，不要将和展开，而应采用整体思想，进行如下变形： 这也体现了数学中的整体原则． （5）记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的等号右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的等号右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相同． 考点三：两角和与差的正切函数 知识点诠释： （1）公式成立的条件是：，或，其中； （2）公式的变形： （3）两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题．所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了． （4）公式对分配律不成立，即． 题型一：两角和与差的余弦公式 已知，的某种三角函数值，求的余弦，先要根据平方关系求出、的另一种三角函数值．求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的三角函数公式中求值． 易混淆符号相反：余弦是同名相乘、符号相反，别和正弦公式搞混。注意符号、角度顺序、正负号，展开时别漏项、别错符号。 1．下列式子中，正确的个数为（   ） （1）; （2）; （3）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（   ） A． B． C． D．1 3．（    ） A． B． C． D． 4．的值等于（   ） A．0 B． C． D． 5．化简所得的结果是（    ） A． B． C． D． 题型二：两角和与差的正弦公式 已知，的某种三角函数值，求的正弦，先要根据平方关系求出、的另一种三角函数值．求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的三角函数公式中求值． 易与余弦公式混淆，符号与和差一致，展开是正余 + 余正。注意角度顺序、函数名别写反，符号、正负号别搞错。 1．（   ） A． B． C． D．1 2．的值为（   ） A． B．1 C．0 D． 3．已知，知都是锐角，且，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．的值为（     ） A． B． C． D． 5．（   ） A． B． C． D． 题型三：两角和与差的正切公式 公式的变形应予以灵活运用． 忽略正切定义域致错，分母符号易写反。逆用时未构造标准形式，由函数值求角时漏判角的范围。 1．（   ） A． B．1 C． D． 2．和是关于的方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则（    ） A． B． C． D．7 5．已知，则（    ） A．-3 B．-5 C．5 D．3 题型四：给角求值 在利用公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差（或同一个非特殊角与特殊角的差），利用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值． 易忽略角的范围导致符号判断错误，乱用公式、拆角不当，忽视定义域，特殊角记错，约分出错，未统一角度制与弧度制。 1．的值为（    ） A． B． C． D． 2．（    ） A． B． C． D． 3．（    ） A． B． C． D． 4．（    ） A． B． C． D． 5．（    ） A． B． C． D． 题型五：给值求值 （1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，适当地拆角与凑角． （2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有： ①；②；③；④． 忽略角的范围导致符号判断错误，未观察角之间关系、乱拆角，公式混用，忽略同角三角函数平方关系，漏解或多解。 1．若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，都是锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D．或 3．已知，都是锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，，则（    ） A． B．7 C． D． 题型六：给值求角 解决三角函数给值求角问题的方法步骤 （1）给值求角问题的步骤． ①求所求角的某个三角函数值． ②确定所求角的范围（范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解），根据范围找出角． （2）选取函数的原则． ①已知正切函数值，选正切函数． ②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 只算函数值不缩小角的范围，导致多解；选错三角函数名；忽略角的象限与正负；未检验所求角是否在已知范围内。 1．已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 2．在中，已知，是关于的方程的两个实根，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，是方程的两根，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知为三角形的两个内角，，则＝（ ） A． B． C． D． 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 题型七：两角和与差的正切公式的综合应用 当化简的式子中出现“”与“”形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围． 忽略角范围致多解或少解，分子分母符号写反，忘记正切定义域，乱拆公式，逆用变形不熟练，未统一角度制。 1．已知的三个内角满足，则________． 2．计算：________． 3．计算______. 4．计算： __________． 5．观察下列各等式： ， ， ． (1)尝试再写出一个相同规律的式子； (2)写出能反映以上式子一般规律的恒等式，并对你写出的恒等式进行证明． 1．的值为（    ） A． B． C． D． 2．，，（   ） A． B． C． D． 3．已知角和满足，则（   ） A． B． C． D．3 4．（   ） A． B． C． D． 5．已知锐角，满足，，则等于（   ） A． B．或 C． D． 6．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．的值是（   ） A． B． C． D． 8．已知，，则（    ） A．0 B． C．1 D． 9．已知锐角，满足，，则___________． 10．化简：_____________． 11．已知，，且． （1）则的值为______； （2）则的值为______． 12．若，，，求的值． 13．（1）已知，， ，若，求的值． （2）已知，是方程的两根，且，，求． 14．在平面直角坐标系中，角的终边分别与单位圆交于两点，其中. (1)求； (2)如图，若两点分别从同时出发，沿圆作匀速圆周运动，其中按逆时针方向，按顺时针方向，且角速度均为.求与第2次相遇时的纵坐标. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点01两角和与差的三角函数 ①sin(a±p)=sinacosB±cosasinB; 两角和与差 ②cos(a±β)=cosacosB千sinasinβ； 的三角函数 tana±fanβ ③tan(ap)F1干tanatan那 考点壶缺 精准补漏 考点一：两角和的余弦函数 两角和的余弦公式： cos(+B)=cosa cosB-sina sin B C) 知识点诠释： (1)公式中的a、B都是任意角； (2)和差角的余弦公式不能按分配律展开，即cosa±β)≠cosa±cosB; (3)公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题， (4)记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反， 考点二：两角和与差的正弦函数 两角和正弦函数 sin(a+B)=sina cosB+cosa sin B S) 在公式Sa+B)中用-B代替B,就得到： 两角差的正弦函数 sin(a-B)=sina cosB-cosa sin B S(a-B) 知识点诠释： (1)公式中的a、B都是任意角； (2)与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即sina±B)≠sina±sinB; (3)和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如 sin2π-a）=sin2 t cosa-cos2πsina=0 x cosa-1x sina=-sina 当α或B中有一个角是匹的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便； 2 1/23 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (4)使用公式时，不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sina+B)cosB-cosa+B)sinB时， 不要将sina+B)和cosa+B)展开，而应采用整体思想，进行如下变形： sin(a+B)cos B-cos(a+B)sin B=sin (a+B)-B=sina 这也体现了数学中的整体原则. (5)记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的等号右端的两部分为同名 三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的等号右端的两部分为异名 三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相同. 考点三：两角和与差的正切函数 tana tan B tan(a+B)= 1-tana tan B Ta+B) tan(a-β)= tan a tan B 1+tan a tan B Ta-刷 知识点诠释： （)公式成立的条件是：a受+红，B受+缸，a+B号+k红，或a-B号+k红，其中eZ； (2)公式的变形：tana+tanB=tan(a+B)1-tan a tan B tan a tan B tan(a-B)(1+tan a tan B) (3)两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式 的重要手段，如tana+tanB=tan(a+B)1-tan a tan B)就可以解决诸如tan25°+tan20°+tan25°tan20°的求 值问题.所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了. (4)公式对分配律不成立，即tana±B)≠tana±tanB. 2/23 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型突破 遥法接凉 题型一：两角和与差的余弦公式 点方法 己知，B的某种三角函数值，求α±B的余弦，先要根据平方关系求出o、B的另一种三角函数值 求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和己知函数值代 入和角或差角的三角函数公式中求值， 舞易结 易混淆符号相反：余弦是同名相乘、符号相反，别和正弦公式搞混。注意符号、角度顺序、正负号，展 开时别漏项、别错符号。 1.下列式子中，正确的个数为() (1)cos(a-β)=cosa-cosβ； (2) cos 2-a -sina (3)cos(a-β)=cosa cosβ-sina sinβ. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】A 【解析】根据两角差的余弦公式得cos(a-β)=cosa cos B+sina sin阝，故(1)，(3)错误： 根据诱导公式得cos =sina,故(2)错误 故选：A 2.c0s8°c0s37°+sin188°sin37°=() B.② C.cos 29 D.1 2 2 【答案】B 【解析】 cos8cos37+sin1sin37coscos37+sin(l8)sin37-cos8cos37-sin8sin37cos(+37)co45 2 故选：B 3.cos(-75)=() 3/23 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A. 6-V2 B. 6+V2 c.6-2 D. √2-6 2 4 4 4 【答案】C 【解析】c0s(-75)=cos75=c0s45+30)-2x5互x1-6-互 2×222 4 故选：C 4.c0s66°c0s36°+c0s24°c0s54°的值等于() A.0 B. C.v3 2 D 【答案】C 【解析】cos66c0s36°+cos24°c0s54°=cos66°c0s36°+sin66°sin36° =cos(6°-36)=c0s30= 2 故选：C 5.化简cos2π-0)cos20-sin0sinπ+20)所得的结果是() A.cos0 B.-cos0 C.cos30 D.-c0s30 【答案】A 【解析】易知cos2π-0)cos20-sin0sinπ+20)=cos-0)cos20-sin0(-sin20） cosecos20+sinesin20 cos(0-20)=cos0 故选：A 题型二：两角和与差的正弦公式 点方法 己知α，B的某种三角函数值，求a±B的正弦，先要根据平方关系求出、B的另一种三角函数值， 求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和己知函数值代 入和角或差角的三角函数公式中求值， 舞易猪 易与余弦公式混淆，符号与和差一致，展开是正余+余正。注意角度顺序、函数名别写反，符号、正负 号别搞错。 1.sinπ =() 6 6 A.2 B.V2 C.3 D.1 2 4/23 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【解析】sin交cosT+cossin亚=sin工+刀 =sin 12 6 126 126 42 故选：B。 2.sin62°cos28°+c0s62°sin28°的值为() A.-1 B.1 C.0 D. 【答案】B 【解析】sin62°cos28°+cos62°sin28°=sin(62°+28)=sin90°=1， 故选：B 3。已知a,B知都是锐角，且sina=行smB=},则sin(a+)的值为() 4 5 A.6 B. 33 C.56 63 5 65 65 D. 65 【答案】D 【解析】因为a,B都是锐角，则cosa--sina-},c0sB=-sinB- 13 则sin(a+β)=sinacosB+cosasinB= 412.3.563 5×135×1365 故选D 4.sin45°cos15°+cos225°sin15°的值为() A.3 2 B:2 2 D 【答案】D 【解析】由题可得sin45°cos15°+cos225°sin15 =sin45°cos15°+cos180°+45)sin15°=sin45°cos15°-cos45°sin15° =sin(45°-15）=sin30°= 2 故选：D 5.sin15°c0s45°-c0s165°sin45°=() A.3 B.-3 2 2 C. D 【答案】A 【解析】sin15°cos45°-cosl65°sin45 =sin15°c0s45°-cos180°-15o)sin45° =sin15°cos45°+c0sl5°sin45° 5/23 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =sin15°+45）=sim60=V5 故选：A 题型三：两角和与差的正切公式 点方法 公式tan(a+B)= tan a tan B 的变形tana+tanB=tan(a+B)l-tan a tan B)应予以灵活运用. 1-tan a tan B 舞易猪 忽略正切定义域致错，分母符号易写反。逆用时未构造标准形式，由函数值求角时漏判角的范围。 1. 3-tan 105 =() 1+√5tanl05° A.-1 B.1 C.-5 D.-3 【答案】A 【解析】 V3-tanl05o_tan60°-tanl05° 1+V3tam105o-1+an60°tan1050=tan(-45）=-tan450=-l. 故选：A 2.tanA和tanB是关于x的方程6x2-5x+1=0的两根，则tan(A+B)=() A.-V3 B.-1 C.1 D.5 【答案】C 【解析】由tanA和tanB是关于x的方程6x2-5x+1=0的两根， 5 1 则tanA+tanB=，tanAltanB= 6 6 tan A+tan B tan(A+B)= 6,=1 1-tan Atan B 1- 1 6 故选：C 3. 己知tan 经+-2,则ana=（) B.3 1 A.-3 c D.3 【答案】D 6/23 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 tan 【解析】因为tan 1+tanc=-2,整理得到tana=3, 1-tan tand 1-tang 故选：D 4.已知0∈ s0则m(任-小（) B.-7 C.-7 D.7 【答案】C 【解析】因为0∈ 所以tan0=sin8」 454 cos0 533 tan tan 0 所以tan -0 4 4 1+tan tan0 4 -3 故选：C 5.已 2cosa+sina4,则tana+ cosa 1 4 =() A.-3 B.-5 C.5 D.3 【答案】A 1 【解析】 1= 2cosa+sina2+tana4,可得tana=2, cosa tana+1 2+1 所以tana+ =-3 4 1-tana 1-2 故答案为：A 题型四：给角求值 点方法 在利用公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差（或同 一个非特殊角与特殊角的差)，利用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两 角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值. 科易精 易忽略角的范围导致符号判断错误，乱用公式、拆角不当，忽视定义域，特殊角记错，约分出错，未统 7/23 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 角度制与弧度制。 1. √3tanl0-l的值为() sin10 A.2 B.4 C.-2 D.-4 【答案】D 【解析】 5m0-155n10-cos10_2sm0-30）.-2sm20=4 V3tan10-l-cos10。 sin10 sinl0° sin10°cos10 Isin20 1 sin 20 故选：D 2.sin40° 3 anl0° =() 3 A吉 B.. 2 c.3 D.6 3 3 3 【答案】C sin40°V3sin10°-3cos10° 【解析】sin40 √3sinl0 1- -tan 10 sin 40 1- 3 3cos10 3cos10 2√3sin40°sin10°-60) 2V3sin40°sin50° 23sin40°sin90°-40°） 3cos10 3c0s90°-80） 3sin 80 2W3sin40°cos40 V3sin80° ⑤ 3sin 80 3sin 80 3 故选：C 2cos70° 3. 1+tan190° =() 1-tan370° sin40° A.tan 200 B.tan70° C.-tan 20 D.-tan 70 【答案】A 1+tan190°2cos70°1+tan10° 2sin 209 1+tanl0° 1 【解析】 1-tan370°sin40°-1-tan10° 2sin20°cos20°1-tan10°cos20° 1+tan10°cos210°+sin210°1+tan10°1+tan210° 1-tan10° cos210°-sin210°1-tanl0°1-tan210° (1+tanl0)21+tan210°2tanl0° =tan20° 1-tan210°1-tan210°1-tan210° 故选：A 4.sin=() 12 8/23 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.25 B V3 C 2-3 /2+ D. V2-5 2 2 2 【答案】D 【解析】sin交=sin ππ 12 46 4 6 4 62222 √6-√2 6-2i 6+2-4W3 /8-4V5 2-5√2-万 4 16 16 16 =14 2 故选：D 5. 1-tan105 =() 1+tan105 A.3 3 B.-3 C.5 D.-V5 3 【答案】D tan45°-tanl05o 【解析】因为原式= =tan(45°-105)=-tan60°=-√5， 1+tan45°.tanl05° 故选：D 题型五：给值求值 点方法 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角 的关系，适当地拆角与凑角. (2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见 角的变换有： ①u=口-B1+B;②a=a+B+a,B；®2a=a+B)+(a-B):④2B=a+B)-a-Bl. 2 2 料易楷 忽略角的范围导致符号判断错误，未观察角之间关系、乱拆角，公式混用，忽略同角三角函数平方关系， 漏解或多解。 1.若cos0+2π () A.3 1 B. 5 2 c D. 2 【答案】B 9/23 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故选：B 2.已知a,B都是镜角，sma-专e+到-则nB的位为() A.16 B.16 56 C. D. 16或56 65 65 65 6565 【答案】B 【解折】a是锐角，sina-手故eosa=一sina-} 5 又a,B都是锐角，故a+Be(0,，又cos(a+B)=3>0, 故a+Be0引所以snla+)--) 1-5-12 3 所以sinB=sin(a+β)-a=sin(a+p)cosa-cos(a+B)sina =12×35416 13513565 故选：B 3.已知a,B都是锐角，sima-子co9a+B)=音，则snB的催为() 5 治 B. 13 65 C.56 65 D.16 65 【答案】D 【解析】因为a,B都是锐角，所以a+B∈(0，π)， 又cos(a+β)= 方所以sia+B)=-cosa+A)= 5 13 4 3 又sina ，所以cosa=1-sna=亏 所以sinβ=sin(a+β)-a=sin(a+β)cosa-cos(a+β)sina 1235416 13513565 故选：D 4.已知<r<4π 3 A. B.V7 D.-2 3 C.② 3 3 3 10/23