精品解析：2025年江苏省镇江市中考一模数学试题

2025年初中结业学科学业水平测试模拟评价 九年级数学试卷 本试卷共6页，共26题；全卷满分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色水笔将自己的姓名、准考证号填写在试卷、答题卷上相应位置． 2．考生必须在试题答题卷上各题指定区域内作答，在本试卷上和其他位置作答一律无效． 3．如用铅笔作图，必须用黑色水笔把线条描清楚． 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．） 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 如图所示的几何体是由四个相同的立方体组成，从上面看，得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 3. 要使分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数是奇数 B. 某一天一定会下雨 C. 开车到达一个路口，一定遇到绿灯 D. 13个人中至少有两个人出生月份相同 6. 第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．我校积极响应，开展视力检查．某班45名同学视力检查数据如下表： 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 4 4 7 11 10 5 3 这45名同学视力检查数据的中位数是（ ） A. 4.6 B. 4.7 C. 4.8 D. 4.9 7. 将文具套尺中的量角器和三角板按照如图方式摆放，其中三角板的直角顶点与量角器的中心重合，为量角器（半圆）的直径，．下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 9. 已知矩形中，，，若以为直径的圆与边有交点，则与满足的关系为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，小辉用了14个全等的正七边形排列（图形不重叠，且每相邻的两个正七边形有一边重合），形成一个圆环状，图中所示的是其中3个正七边形的位置．如果我们用个全等的正九边形也按照同样的方式排列，形成一个圆环状，则的取值可以是（ ） A. 6，16 B. 6，18 C. 8，16 D. 8，18 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．） 11. 赤道半径为6378200米，用科学记数法表示为____米． 12. 多项式因式分解的结果为______． 13. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 14. 一个圆锥的母线长为4，其侧面展开图扇形的圆心角的度数是，则圆锥的底面圆半径为______． 15. 如图，四边形与四边形都是平行四边形，若，，则的长为______． 16. 甲、乙两车出发前油箱里都有油，油箱剩余油量y（单位：）关于行驶路程x（单位：百公里）的函数图象分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少，则______． 三、解答题（本大题共有10小题，共计72分，解答时应写出必要的文字说明．证明过程或演算步骤．） 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 解不等式组： 19. 如图，点是正方形的边上的一点，连接，将绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在边的延长线上． （1）求证：； （2）连接、交于点，若，则的度数为_______． 20. 学校初一、初二两个年级各有一个科技社团，为了解各社团学生掌握科普知识情况，学校组织了知识竞赛，现从这两个社团各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制，单位：分），其中，初一科技社团：69，72，72，73，74，74，74，74，76，76，78，89，96，97，97，98，98，99，99，99．初二科技社团：65，68，70，76，77，78，87，88，88，88，89，89，89，89，93，95，97，97，98，99．并作如下统计： 年级 平均分 中位数 众数 方差 初一科技社团 84.2 77 74 138.56 初二科技社团 86 88.5 100 （1）______； （2）根据以上数据，你认为哪个年级科技社团的学生科普知识掌握更好一些，说明理由（一条理由即可）； （3）该校初一年级科技社团有160名学生，初二年级科技社团有180名学生参加了此竞赛活动，请估计这两个社团成绩达到90分及以上的学生共有多少人？ 21. 一只不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外均相同． （1）从袋子中随机摸出2个球．请利用列表或画树状图的方法，求摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率； （2）在这只袋中再装入个红球（这些球与袋中原来的红球大小完全相同），摇匀后，从袋中随机摸出2个球，摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率是，______． 22. 如图，点在外，连接并延长，与交于点、，点在上，连接，过点作的切线，交于点，______． （1）在①；②；③这三个条件中，选择一个合适的条件，补充在上述题干中的横线上（只要写序号）； （2）在完成（1）的补充条件后，解答下列问题： ①求证：与相切； ②若，，求的半径． 23. 【阅读理解】 小明用了如下的方法计算出的值． 如图1，在中，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，．设，则，． 【拓展应用】 如图2，矩形为某建筑物的主视图，小丽在该建筑物的右侧点处用地面测角仪（忽略其高度，下同）测得顶点的仰角为，由于某个原因，的长度无法测量，于是小丽又到它的左侧点处测得顶点的仰角为，同时测得的长度为5米． （1）请模仿小明的方法，求出的值； （2）求出建筑物的高度． 参考数据：，，． 24. 如图，路灯、树的底端与小明的站位点在同一条直线上，灯（点）、树顶、小明的头顶这三个点所在的曲线的形状恰好是某个双曲线的一支，在灯光的照射下，树的影子的底部与点重合，小明的影长为3米，已知小明的身高为米，他与路灯相距9米．树与路灯相距多少米？ 25. 在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴相交于点，点在点的左侧，与轴相交于点，已知，的面积为6． （1）______； （2）点在轴上，轴，交二次函数的图像于点． ①当时，求证：； ②当且时，求证：； ③将二次函数的图像平移，记平移后的图像为图像，其顶点为坐标原点，过点且平行于轴的直线交图像于点，点在点的左侧，过点作直线的垂线，交图像于点，若，，则______． 26. 在尺规作图中，通过引入平行线，求作符合某个条件的线段或点，这样的方法我们称之为“平行线定位法”．（说明：以下作图均为尺规作图，请保留作图痕迹，并用铅笔或黑色水笔加黑加粗，必要时可以写出文字说明） 【初步尝试】 （1）如图1，在中，点在边上，，在边上求作点，使． 【自主研究】 （2）点在内，在图2和图3中分别求作过点截成等腰三角形的一条直线； （3）点在内，若过点截成等腰三角形的直线只有一条，则满足的条件是______． 【深度拓展】 （4）如图4，已知以及长为的线段，点在上，点到的垂线段分别为、，若，请在上作出满足条件的一个点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中结业学科学业水平测试模拟评价 九年级数学试卷 本试卷共6页，共26题；全卷满分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色水笔将自己的姓名、准考证号填写在试卷、答题卷上相应位置． 2．考生必须在试题答题卷上各题指定区域内作答，在本试卷上和其他位置作答一律无效． 3．如用铅笔作图，必须用黑色水笔把线条描清楚． 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．） 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值．负数的绝对值等于它的相反数，据此即可求得答案． 【详解】解：的绝对值是2025， 故选：A． 2. 如图所示的几何体是由四个相同的立方体组成，从上面看，得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，熟练掌握从三个方向看常见几何体所看到的形状是解题的关键． 从上面看，从左往右3列正方形的个数依次为，，，由此即可得出从上面看到的几何体的平面图形． 【详解】解：依题意得： 从上面看，得到的平面图形是 ， 故选：． 3. 要使分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义则分母不为0是解题的关键． 根据分式有意义的条件：分母不为0得到不等式求解即可． 【详解】解：分式有意义，则， ∴， 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是有理数的运算，根据有理数加法，乘除法和乘方运算的法则进行计算即可． 【详解】解：A、，原计算正确，符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 故选：A． 5. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数是奇数 B. 某一天一定会下雨 C. 开车到达一个路口，一定遇到绿灯 D. 13个人中至少有两个人出生月份相同 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，掌握必然事件，随件事件的概念是关键． 必然事件：在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生；随机事件；指在一定的条件下重复进行试验时，可能发生也可能不发生的事件；根据上述概念判定即可． 【详解】解：A、抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数是奇数，是随机事件，不符合题意； B、某一天一定会下雨，是随机事件，不符合题意； C、开车到达一个路口，一定遇到绿灯，是随机事件，不符合题意； D、13个人中至少有两个人出生月份相同，是必然事件，符合题意； 故选：D ． 6. 第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．我校积极响应，开展视力检查．某班45名同学视力检查数据如下表： 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 4 4 7 11 10 5 3 这45名同学视力检查数据的中位数是（ ） A. 4.6 B. 4.7 C. 4.8 D. 4.9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数的概念，解题的关键是熟知相关概念．将一列数从小到大排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数． 根据中位数的概念求解即可． 【详解】总计为45名同学，则处在最中间为第23位， 根据：， ∴中位数落在具有11人的4.7的范围内，故中位数为4.7． 故选：B． 7. 将文具套尺中的量角器和三角板按照如图方式摆放，其中三角板的直角顶点与量角器的中心重合，为量角器（半圆）的直径，．下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：， ， ，故A不符合题意； ， ， ， ，故B不符合题意； 由不能得出，故C符合题意； ， ，故D不符合题意； 故选：C． 8. 函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数与的图象相交于点，得到，求得，得到，从而得到，根据图象的对称性，得另一交点为，利用数形结合思想，确定解集即可． 本题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的综合，解析式构成不等式的解集，熟练掌握待定系数法，掌握解析式不等式解集的确定是解题的关键． 【详解】解：由函数与的图象相交于点，得到，解得， 故，故反比例函数的解析式为， 根据图象的对称性，得另一交点为，画图如下： 故不等式的解集为或． 故选：D． 9. 已知矩形中，，，若以为直径的圆与边有交点，则与满足的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆与直线的位置关系，掌握圆的半径与圆心到直线的距离的大小关系是关键． 根据圆的半径与圆心到直线的距离的关系判定即可，即，相离；，相切；，相交，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，作图如下， 以为直径的的半径为， ∵与边有交点， ∴，即， ∴， 故选：A ． 10. 如图，小辉用了14个全等的正七边形排列（图形不重叠，且每相邻的两个正七边形有一边重合），形成一个圆环状，图中所示的是其中3个正七边形的位置．如果我们用个全等的正九边形也按照同样的方式排列，形成一个圆环状，则的取值可以是（ ） A. 6，16 B. 6，18 C. 8，16 D. 8，18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．根据题意分三种情况讨论，先求出正九边形的一个内角的度数为，再根据圆周角与是否成整数倍来判断，即可得边数． 【详解】解：如图， ∵， ∴正九边形的每一个内角都为，每一个内角都为， 当以为重合边时，延长交于点O， 则， ∴， ∵，不是整数倍， ∴不能形成一个圆环状； 当以为重合边时，延长交于点， 同理得到， ∴， ∵， ∴， ∵，是整数倍， ∴能形成一个圆环状，此时，； 当以为重合边时，延长交于点，延长交延长线于点N， 同理得到， ∴， ∵， ∴， ∵，是整数倍， ∴能形成一个圆环状，此时，； 综上，的取值可以是，， 故选：B． 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．） 11. 赤道半径为6378200米，用科学记数法表示为____米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 12. 多项式因式分解的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握公式法因式分解是关键． 根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 13. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的计算是关键． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，即可求解． 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，， ∴的取值范围为， 故答案为： ． 14. 一个圆锥的母线长为4，其侧面展开图扇形的圆心角的度数是，则圆锥的底面圆半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【详解】解：设底面圆的半径为， 则， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，四边形与四边形都是平行四边形，若，，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由平行四边形的性质得到是的中位线，则可得，再由直角三角形斜边上的中线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形与四边形都是平行四边形， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：2． 16. 甲、乙两车出发前油箱里都有油，油箱剩余油量y（单位：）关于行驶路程x（单位：百公里）的函数图象分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查函数的图象，分式方程的应用，由图象知甲、乙两车行驶m百公里时，甲车耗油，乙车耗油，由题意得到关于m的分式方程，解方程并检验即可得解． 【详解】解：由图象知：甲、乙两车行驶m百公里时， 甲车耗油， 乙车耗油， 由题意得：， 解得， 经检验，是分式方程的解． 故答案为：2． 三、解答题（本大题共有10小题，共计72分，解答时应写出必要的文字说明．证明过程或演算步骤．） 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，代入求值，掌握整式的混合运算法则是关键． 运用乘法公式，整式的混合运算法则化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解： 由①得：； 由②得：， ∴原不等式组的解集为：． 19. 如图，点是正方形的边上的一点，连接，将绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在边的延长线上． （1）求证：； （2）连接、交于点，若，则的度数为_______． 【答案】（1） 证明：由旋转的性质得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴ ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质， （1）利用旋转的性质得到，结合正方形的性质即可证明结论； （2）设交点为，易证是等腰直角三角形，求出，再根据正方形的性质得到，进而推出，由即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，设交点为， 由旋转的性质得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 20. 学校初一、初二两个年级各有一个科技社团，为了解各社团学生掌握科普知识情况，学校组织了知识竞赛，现从这两个社团各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制，单位：分），其中，初一科技社团：69，72，72，73，74，74，74，74，76，76，78，89，96，97，97，98，98，99，99，99．初二科技社团：65，68，70，76，77，78，87，88，88，88，89，89，89，89，93，95，97，97，98，99．并作如下统计： 年级 平均分 中位数 众数 方差 初一科技社团 84.2 77 74 138.56 初二科技社团 86 88.5 100 （1）______； （2）根据以上数据，你认为哪个年级科技社团的学生科普知识掌握更好一些，说明理由（一条理由即可）； （3）该校初一年级科技社团有160名学生，初二年级科技社团有180名学生参加了此竞赛活动，请估计这两个社团成绩达到90分及以上的学生共有多少人？ 【答案】（1） （2）初二科技社团同学的科普知识掌握更好一些， 理由如下： 初一科技社团同学的方差大于初二科技社团同学的方差；初一科技社团同学的平均分小于初二科技社团同学的平均分；初一科技社团同学的中位数小于初二科技社团同学的中位数；初一科技社团同学的众数小于初二年级科技社团的众数； 所以初二科技社团同学的科普知识掌握更好一些； （3）估计两个社团成绩达到90分及以上的学生共有人 【解析】 【分析】本题考查了数据分析中的平均数、中位数、众数、方差以及用样本估计总体，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据初二科技社团20名学生的竞赛成绩，结合众数的定义即可解答； （2）根据题意，比较两个年级的平均数、中位数、众数、方差，即可得出结论； （3）根据题意用样本估计总体，即可得到答案． 【小问1详解】 解：初二科技社团的20名同学的竞赛成绩中89出现了4次，出现次数最多， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计两个社团成绩达到90分及以上的学生共有人． 21. 一只不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外均相同． （1）从袋子中随机摸出2个球．请利用列表或画树状图的方法，求摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率； （2）在这只袋中再装入个红球（这些球与袋中原来的红球大小完全相同），摇匀后，从袋中随机摸出2个球，摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率是，______． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，解分式方程，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）先列表得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可； （2）当添加个红球后，则总共有个球，画出树状图，由树状图可得一共有种等可能性的结果数，摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的结果数，则由概率公式得到，再解分式方程即可． 【小问1详解】 解：由题意列表如下： 红 黄1 黄2 红 （黄1，红） （黄2，红） 黄1 （红，黄1） （黄2，黄1） 黄2 （红，黄2） （黄1，黄2） 由列表可知一共有6种等可能性的结果数，其中摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的结果数有4种， ∴摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率是； 【小问2详解】 解：当添加个红球后，则总共有个球， 可画树状图为： 由树状图可得一共有种等可能性的结果数，摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的结果数， ∵摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率是， ∴， 整理得：， 解得：或 经检验：或都是原方程的解，但不符合题意，舍 故答案为：2． 22. 如图，点在外，连接并延长，与交于点、，点在上，连接，过点作的切线，交于点，______． （1）在①；②；③这三个条件中，选择一个合适的条件，补充在上述题干中的横线上（只要写序号）； （2）在完成（1）的补充条件后，解答下列问题： ①求证：与相切； ②若，，求的半径． 【答案】（1）①或②或③ （2）①选择①：如图， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与相切； 选择②：如图， 证明： ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与相切； 选择③：如图， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与相切； ② 【解析】 【分析】（1）选择①：证明，则，由圆周角定理得到，而，那么，则，故，即可证明；选择②：同选择①证明；选择③：由，得到，由切线的性质得到，则，而，故，那么，即可证明； （2）①证明分析见（1）；②连接，证明 ，则，故，可得，则，再解即可． 【小问1详解】 ①或②或③ 【小问2详解】 解：①略 ②连接，如图： 由上可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的半径为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆的切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算等知识点，解题的关键在于正确添加辅助线． 23. 【阅读理解】 小明用了如下的方法计算出的值． 如图1，在中，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，．设，则，． 【拓展应用】 如图2，矩形为某建筑物的主视图，小丽在该建筑物的右侧点处用地面测角仪（忽略其高度，下同）测得顶点的仰角为，由于某个原因，的长度无法测量，于是小丽又到它的左侧点处测得顶点的仰角为，同时测得的长度为5米． （1）请模仿小明的方法，求出的值； （2）求出建筑物的高度． 参考数据：，，． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题考查了有关仰俯角的解直角三角形的实际应用，涉及勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，难度较大，解题的关键在于添加辅助线． （1）作，连接，作的垂直平分线交于点，连接，则四边形是平行四边形，由线段垂直平分线的性质以及三角形的外角定理得到，由，设，则，设，在中，由勾股定理得，解得：，由即可求解； （2）设，作的垂直平分线交于点，连接，则导角可得，设，在中由勾股定理得到，解得：，可得，再由即可求解． 【小问1详解】 解：如图，作，连接，作的垂直平分线交于点，连接， 由题意得：， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴， 由题意得：， ∵， ∴设，则， 设， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴设， 作的垂直平分线交于点，连接，则， ∴， ∴， 设， 在中，， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 答：建筑物的高度为米． 24. 如图，路灯、树的底端与小明的站位点在同一条直线上，灯（点）、树顶、小明的头顶这三个点所在的曲线的形状恰好是某个双曲线的一支，在灯光的照射下，树的影子的底部与点重合，小明的影长为3米，已知小明的身高为米，他与路灯相距9米．树与路灯相距多少米？ 【答案】6米 【解析】 【分析】证明，得出，代入数据求出，设点B的坐标为，则点的坐标为，求出，得出反比例函数解析式为：，设点D的坐标为，得出，证明，得出，即，求出m的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：米，米，米，，，， 则，，（米）， ∴， ∴， 即， 解得：， 设点B的坐标为，点的坐标为， ∵灯（点）、树顶、小明的头顶这三个点所在的曲线的形状恰好是某个双曲线的一支， ∴， 解得：， ∴点B的坐标为， 设反比例函数解析式为， 把代入得：， ∴反比例函数解析式为：， 设点D的坐标为， 则， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：，（舍去）， 经检验是原方程的解， ∴（米）， 答：树与路灯相距6米． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，求出反比例函数解析式． 25. 在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴相交于点，点在点的左侧，与轴相交于点，已知，的面积为6． （1）______； （2）点在轴上，轴，交二次函数的图像于点． ①当时，求证：； ②当且时，求证：； ③将二次函数的图像平移，记平移后的图像为图像，其顶点为坐标原点，过点且平行于轴的直线交图像于点，点在点的左侧，过点作直线的垂线，交图像于点，若，，则______． 【答案】（1）1 （2） ① 当时，， 故， 由， 得当时，， 故， ∴， ∵，， ∴，， 故， 故； ②当且时， ∵， 当时，点M在x轴下方抛物线上， 由， 得当时，， 故， ∴， ∵，， ∴，， 故， 故； 当时，点M在x轴上方抛物线上， 由， 得当时，， 故， ∴， ∵，， ∴，， 故， 故； 当时，点M在x轴上方抛物线上， 由， 得当时，， 故， ∴， ∵，， ∴，， 故， 故； 综上所述，结论都成立． ③1或4 【解析】 【分析】（1）根据，令，得，根据，得，求得得到，，确定，设，结合的面积为6．确定点C，后代入解析式确定a的值即可． （2）①当时，，确定，根据，，得，，故即可得证； ②分三种情况讨论：当时，点M在x轴下方抛物线上；当时，点M在x轴上方抛物线上；当时，点M在x轴上方抛物线上，分别表示出、、的长，即可证明结论； ③ 先确定即为图像，过点且平行于轴的直线交图像于点，点在点的左侧，故，解得，故，，分两种情况讨论，过点作直线的垂线，交图像于点，得时，，故，由，，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵，令，得， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， 设， ∵的面积为6． ∴， 解得或（舍去）， 故， ， 解得． 故答案为：1． 【小问2详解】 解：①略 ② 略 ③ 根据二次函数，将图像左移1个单位，上移4个单位，得到即为图像， 过点且平行于轴的直线交图像于点，点在点的左侧， 故， 解得， 故，， 当时，由过点作直线的垂线，交图像于点， 得时，， 故， 由，， 故，， 故， 解得， 当时，由过点作直线的垂线，交图像于点， 得时，， 故， 由，， 故，， 故， 解得， 故； 故答案为：1或4． 【点睛】 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，抛物线的平移，解方程，绝对值的应用，熟练掌握平移和待定系数法是解题的关键． 26. 在尺规作图中，通过引入平行线，求作符合某个条件的线段或点，这样的方法我们称之为“平行线定位法”．（说明：以下作图均为尺规作图，请保留作图痕迹，并用铅笔或黑色水笔加黑加粗，必要时可以写出文字说明） 【初步尝试】 （1）如图1，在中，点在边上，，在边上求作点，使． 【自主研究】 （2）点在内，在图2和图3中分别求作过点截成等腰三角形的一条直线； （3）点在内，若过点截成等腰三角形的直线只有一条，则满足的条件是______． 【深度拓展】 （4）如图4，已知以及长为的线段，点在上，点到的垂线段分别为、，若，请在上作出满足条件的一个点． 【答案】（1） 点E和点即为所求． （2）直线即为所求． （3）钝角或直角或． （4） 则点P即为所求． 【解析】 【分析】（1）作，交于点E，以点D为圆心，为半径画弧交于点，连接，根据，得到，得到，结合，得，故点E和点即为所求． （2）作的平分线，再过点P作平分线的垂线，根据三角形全等的判定和性质，可知直线即为所求； （3）根据三角形内角和定理，一个三角形中，最多有一个直角或钝角和等边三角形的性质解答即可． （4）过点C作于点C，且满足；过点M作于点M，交所在直线与点N；作的平分线，交于点P；过点P作于点E，作于点G，则点P即为所求． 【详解】解：（1）作，交于点E，以点D为圆心，为半径画弧交于点，连接，故点E和点即为所求． 由作图可知， ， ， ， ， 又， 则， ． （2）当为钝角时，如图，作得平分线，再过点P作平分线的垂线，根据三角形全等的判定和性质，可知直线即为所求； 当为锐角时，如图，作的平分线，再过点P作平分线的垂线，根据三角形全等的判定和性质，可知直线即为所求． （3）当为钝角或直角或时，符合题意； 过点截成等腰三角形， 当为钝角或直角时， 根据等腰三角形的两个底角相等，若三角形中有两个钝角或两个直角，三角形是不存在的，则只能是等腰三角形的顶角，故点截成等腰三角形的直线只有一条； 当时，此时的等腰三角形是等边三角形，故也只有一条； 故答案为：钝角或直角或． （4）过点C作于点C，且截取； 过点M作于点M，交所在直线与点N； 作的平分线，交于点P； 过点P作于点E，作于点G， 根据角的平分线性质，得， 延长交于点F， 根据作图，得 四边形是矩形； 则， 则点P即为所求． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，角的平分线的基本作图，作一个角等于已知角，平行线的判定，垂线的基本作图，角的平分线的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握性质和判定，基本作图是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $