精品解析：四川省自贡市荣县中学校2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题

2024-2025学年度下学期半期教学质量监测试题七年级数学 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 下列各图中，与是对顶角的是（ ） A. B. C D. 2. 在实数，，，，，中，无理数的个数是（　　） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行 5. 估计的值在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 6. 的立方根是（　　） A. B. 4 C. 8 D. 2 7. 如果方程组的解为，那么被“”“”遮住的两个数分别是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 8. 找规律，如图：在平面直角坐标系中，各点坐标分别为，，，，，，，，，，，则依图中所示规律，点坐标为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共计18分） 9. 的相反数是______________． 10. 已知是关于的二元一次方程，则______． 11. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到点，则点的坐标为__________． 12. 把命题“互为相反数的两个数之和等于0”改写成“如果……那么……”形式___________． 13. 如图，将周长为25个单位的沿边向右平移3个单位得到，则四边形的周长为___________． 14. 如图是由7个形状、大小都相同的小长方形和阴影部分无缝隙拼合而成的一个大长方形，则图中阴影部分的面积为_______． 三、解答题（本题有5个小题，每小题5分，共计25分） 15. 计算：． 16. 完成下列解答过程，并在括号内填上相应的推理依据． 如图，直线，，．求证：． 证明：∵（已知）， ∴________（______________________）． ∵，（已知）， ∴（等式的性质）． ∴________（______________________）． ∴（____________________________）． 17. 解方程组： 18. 如图，直线，相交于点O，把分成两部分． （1）的对顶角为__________，的邻补角为__________； （2）若，且，求的度数． 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点都在网格点上，其中，C点的坐标为（1，2）． （1）写出点A，B的坐标： A（ ， ），  B（ ， ）；  （2）三角形先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到三角形，画出三角形； （3）写出三个顶点的坐标； （4）求三角形的面积． 四、解答题（本题有3个小题，每小题6分，共计18分） 20. 已知是的算术平方根，的立方根是． （1）求，值； （2）求的立方根． 21. 某中学准备去采购A、B两种实验器材，下面是销售人员呈现的两次销售记录（每次销售这两种实验器材的单价都不变），如表： A（件） B（件） 金额（元） 第一次 20 10 1100 第二次 25 20 1750 （1）求A型实验器材与B型实验器材的单价分别为多少元？ （2）此中学打算同时采购A、B两种实验器材，预算为600元，请问共有几种采购方案？ 22. 已知a，b，m都是实数，若，则称a与b是关于1的“平衡数”． （1）4与 是关于1的“平衡数”，与 是关于1的“平衡数”； （2）若，判断与是否是关于1的“平衡数”，并说明理由． 五、解答题（本题有2个小题，第23题7分，第24题8分，共计15分） 23. 观察下列等式，归纳等式规律，解决下列问题： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ．．．．．． （1）根据上述等式规律，直接写出第5个等式：___________； （2）用含的式子表示出第个等式：___________； （3）计算：． 24. （1）问题发现：如图1，直线，连接可以发现． 请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点E作，（已知），（辅助线的作法）， （ ）． （ ）． ， ． （等量代换）． 即． （2）拓展探究：如果点E运动到图2所示的位置，其他条件不变，试说明： ． 【拓展变式】如图3，平分平分，则 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期半期教学质量监测试题七年级数学 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 下列各图中，与是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查对顶角．根据对顶角的特点，有公共顶点，两边互为反向延长线，进行判断即可． 【详解】解：A、没有公共顶点，与不是对顶角，该选项不符合题意； B、与是对顶角，该选项符合题意； C、有公共顶点，两边不是互为反向延长线，与不是对顶角，该选项不符合题意； D、没有公共顶点，与不是对顶角，该选项不符合题意； 故选：B． 2. 在实数，，，，，中，无理数的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数，掌握无理数的定义是解题的关键． 根据无限不循环小数叫做无理数，进行判断即可． 【详解】解：在实数，，，，，中，无理数有，，，共3个， 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据，确定P得坐标特征为，解答即可． 本题考查了点位置，熟练掌握点的象限判定是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴P得坐标特征为， ∴点在第二象限． 故选：B． 4. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了立真假命题的判断，对顶角的性质，平行线的性质与判定，解题关键是熟记相关定理，正确进行判断．根据对顶角的定义、平行线的性质、平行线的判定逐项判断即可． 【详解】解：相等的角不一定是对顶角，原选项是假命题，故选项A错误； 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，原选项是假命题，故选项B错误； 经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，原选项是假命题， 故选项C错误； 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，真命题，选项D正确． 故选： D． 5. 估计的值在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，利用夹逼法进行估算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选B． 6. 的立方根是（　　） A. B. 4 C. 8 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先根据算术平方根求得=8，再由立方根概念“一个数x的立方等于a，那么x就叫做a的立方根”求解即可． 【详解】解：∵=8， ∴8的立方根是2， ∴的立方根是2， 故选：D． 【点睛】本题考查算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根和由立方根概念是解题的关键． 7. 如果方程组的解为，那么被“”“”遮住的两个数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由方程组解为，得，然后解方程组即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴， 解得：， ∴被“”“”遮住的两个数分别是，． 8. 找规律，如图：在平面直角坐标系中，各点坐标分别为，，，，，，，，，，，则依图中所示规律，点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点坐标规律探索问题，旨在考查学生的抽象概括能力，由题意可得在横轴的正方向，且坐标为，在横轴的正方向，且坐标为，结合即可． 【详解】解：∵，，，，，，… ∴在横轴的正方向，且坐标为，在横轴的负方向，且坐标为， ∵， ∴点的坐标为． 故选：D． 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共计18分） 9. 的相反数是______________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数是互为相反数，即可得到正确的答案． 【详解】解：无理数的相反数是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了求一个实数的相反数的能力，关键是能准确理解、运用相反数的概念． 10. 已知是关于的二元一次方程，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解答本题的关键． 根据二元一次方程的定义解答即可． 【详解】解：是关于的二元一次方程， 且， 解得：， 故答案为：． 11. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到点，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案． 本题考查了坐标系中点的平移规律．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】解：将点先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到点， 则点的坐标为，即． 故答案为：． 12. 把命题“互为相反数的两个数之和等于0”改写成“如果……那么……”形式___________． 【答案】如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零 【解析】 【分析】本题考查命题的改写，找准命题中的题设与结论是解题的关键；将原命题分解为题设和结论，并用“如果”引导题设，“那么”引导结论． 【详解】解：把命题“互为相反数的两个数之和等于0”改写成“如果……那么……”形式为“如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零”． 故答案为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零． 13. 如图，将周长为25个单位的沿边向右平移3个单位得到，则四边形的周长为___________． 【答案】31 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，熟知平移只改变位置不改变形状和大小是解题的关键． 根据平移的性质求解即可． 【详解】解：由平移的性质可知， ∵的周长为25， ∴， ∴四边形的周长， 故答案为：31． 14. 如图是由7个形状、大小都相同小长方形和阴影部分无缝隙拼合而成的一个大长方形，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为x，宽为y，根据题意可知长加上宽的两倍等于15，长为宽的三倍，据此列出方程组求解即可． 【详解】解；设小长方形的长为x，宽为y， 由题意得，， 解得， ∴阴影部分的正方形边长为， ∴阴影部分的面积为：． 故答案为． 三、解答题（本题有5个小题，每小题5分，共计25分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、绝对值、乘方，先根据相关性质内容进行化简算术平方根、立方根、绝对值、乘方，再运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 16. 完成下列解答过程，并在括号内填上相应的推理依据． 如图，直线，，．求证：． 证明：∵（已知）， ∴________（______________________）． ∵，（已知）， ∴（等式的性质）． ∴________（______________________）． ∴（____________________________）． 【答案】；两直线平行，同位角相等；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先由平行线的性质得出，然后结合已知可得出，然后根据平行线的判定即可得证． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵，（已知）， ∴（等式的性质）． ∴（等量代换）． ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 17. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法：加减法与代入法是解题的关键． 用加减法求解即可． 【详解】解： ，得③， ，得④， ，得， 把代入①，得， 所以方程组的解是 18. 如图，直线，相交于点O，把分成两部分． （1）的对顶角为__________，的邻补角为__________； （2）若，且，求的度数． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查对顶角，邻补角以及角的运算： （1）根据对顶角，邻补角的概念求解即可； （2）求得根据求得，从而求出． 【小问1详解】 解：的对顶角为，的邻补角为， 故答案为：， 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点都在网格点上，其中，C点的坐标为（1，2）． （1）写出点A，B的坐标： A（ ， ），  B（ ， ）；  （2）三角形先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到三角形，画出三角形； （3）写出三个顶点的坐标； （4）求三角形的面积． 【答案】（1），；， （2）见解析 （3），，； （4）5 【解析】 【分析】本题考查作图-平移变换，利用割补法求三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）由图可直接得出答案； （2）根据平移的性质可直接得出答案； （3）根据平面直角坐标系可直接得出答案； （4）利用割补法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：根据图形可得、； 故答案为：，；，； 【小问2详解】 解：平移后的三角形在图中表示如下： ； 【小问3详解】 解：根据平面直角坐标系可得，，； 【小问4详解】 解：三角形的面积为：． 四、解答题（本题有3个小题，每小题6分，共计18分） 20. 已知是的算术平方根，的立方根是． （1）求，的值； （2）求的立方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查立方根，平方根以及算术平方根的定义； （1）根据算术平方根的定义求出，再根据立方根的定义求出，即可解答； （2）将，代入求出的值，再根据立方根的定义解答． 【小问1详解】 解：是的算术平方根， ， 解得：， 的立方根是， ∴，即 解得：； 【小问2详解】 ，， ， 的立方根是． 21. 某中学准备去采购A、B两种实验器材，下面是销售人员呈现的两次销售记录（每次销售这两种实验器材的单价都不变），如表： A（件） B（件） 金额（元） 第一次 20 10 1100 第二次 25 20 1750 （1）求A型实验器材与B型实验器材的单价分别为多少元？ （2）此中学打算同时采购A、B两种实验器材，预算为600元，请问共有几种采购方案？ 【答案】（1）型实验器材的单价为30元，型实验器材的单价为50元 （2）共有3种采购方案 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出二元一次方程． （1）设型实验器材的单价为元，型实验器材的单价为元，根据两次采购A、B两种实验器材的金额列出方程组求解即可； （2）设购买种器材台，种器材台，根据预算为600元，列出方程，再结合为正整数求解即可． 【小问1详解】 解：设型实验器材的单价为元，型实验器材的单价为元， 依题意，得， 解得， 答：型实验器材的单价为30元，型实验器材的单价为50元； 【小问2详解】 解：设购买种器材台，种器材台． 由题意，得， 为正整数， 当时，； 当时，； 当时，， 答：共有3种采购方案． 22. 已知a，b，m都是实数，若，则称a与b是关于1的“平衡数”． （1）4与 是关于1的“平衡数”，与 是关于1的“平衡数”； （2）若，判断与是否是关于1的“平衡数”，并说明理由． 【答案】（1）， （2）不是，见解析 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，实数混合运算的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据“平衡数”的定义，即得答案； （2）若与是关于1的“平衡数”，则，求得，但是当时，，即可判断答案． 【小问1详解】 解：， 4与是关于1的“平衡数”， ， 与是关于1的“平衡数”； 故答案为：，； 小问2详解】 解：与不是关于1的“平衡数”． 理由：若与是关于1“平衡数”， 则， ， 当时，， 故与不是关于1的“平衡数”． 五、解答题（本题有2个小题，第23题7分，第24题8分，共计15分） 23. 观察下列等式，归纳等式规律，解决下列问题： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ．．．．．． （1）根据上述等式规律，直接写出第5个等式：___________； （2）用含的式子表示出第个等式：___________； （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化规律，实数的简便计算，找出分数的分母与n的关系是解题关键． （1）根据分数的分母变化规律即可解答； （2）根据分数的分母变化规律即可解答； （3）根据前后两项相加后抵消的规律，利用（2）的结论计算求值即可． 【小问1详解】 解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ∴第5个等式为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由上规律可得，第个等式为：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：原式 ． 24 （1）问题发现：如图1，直线，连接可以发现． 请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点E作，（已知），（辅助线的作法）， （ ）． （ ）． ， ． （等量代换）． 即． （2）拓展探究：如果点E运动到图2所示的位置，其他条件不变，试说明： ． 【拓展变式】如图3，平分平分，则 ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；【拓展变式】 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）根据平行于同一条直线的两条直线平行得，再根据两直线平行，内错角相等得，，进而得，由此可得出结论； （2）过点E作，平行于同一条直线的两条直线平行得，再根据两直线平行，同旁内角互补得，由此可得出结论； （3）根据角平分线定义设，则，由（1）的结论得，由（2）的结论得，则，由此可得出的度数． 【详解】（1）证明：过点E作，如图1所示： （已知），（辅助线的作法）， （平行于同一条直线的两条直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴． ∴（ 等量代换）． 即． 故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；； （2）证明：过点E作，如图2所示： ∵， ， ， ， ， ， 即； （3）解：平分平分， ∴设， ， 由（1）的结论得： ， ， ， 由（2）的结论得：， ， ． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $