精品解析：安徽省滁州市来安县2025年九年级二模数学试卷(1)

来安县2025届九年级二模试卷 数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 在，0，2，5这四个数中，比0小的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 5 2. 2024年黄山风景区接待游客约350万人次，将350万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知反比例函数（）与二次函数的图象有一个交点的横坐标为1，则k的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 6. 一位射击运动员在一次训练效果测试中射击了10次，成绩如图所示，则这10次射击成绩的平均数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 如图，正五边形的对角线与相交于点O，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，点D在的延长线上，，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 已知三个实数a，b，c满足，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图，在正方形中，，点E为中点，点F，G分别在边上（不与端点重合），且．设（），，则y关于x的函数图象为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 比较大小：________（填“”或“”）． 12. 当分式的值为0时，则实数x的值是________． 13. 如图，是的弦，点P在弦上，已知的半径为7，若，，则的长为________． 14. 如图，现有矩形纸片，，，将边沿折痕折叠，使点B落在边上点F处，再沿折痕折叠，使点C落在矩形所在平面内的点处，边与交于点G，然后还原． （1）的长为________； （2）在边上取点H，满足，沿折叠使点C落在矩形所在平面内的点处，作的平分线分别交于点P，M，则的长为________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 16. 观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第7个等式：_______________； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 水东蜜枣是安徽省宣城市宣州区特产，全国农产品地理标志．为了践行“着力抓好三农工作，深入推进乡村全面振兴”的工作要求，小徐村的鲜枣一部分直接销售，一部分制成蜜枣销售．直接销售，每千克的销售额为a元；每千克的鲜枣制成蜜枣后销售额比直接销售提高．去年该村产200000千克鲜枣，制成蜜枣的总销售额是直接销售的． （1）每千克鲜枣制成蜜枣后的销售额为________元（用a的代数式表示）； （2）求去年直接销售鲜枣多少千克？ 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为． （1）利用格点画出的外接圆，并写出圆心P的坐标为________； （2）画出绕点A按顺时针方向旋转后的； （3）在（1）（2）的条件下，连接，请仅用无刻度直尺画出的中点E．（保留作图痕迹，不需要说明） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 在安徽巢湖附近，新修建了一条风景优美的东西向滨湖公路，路旁设有多处可用于监测的观景塔．某周末，参加数学建模社团活动的同学们将距离公路垂直距离为200米的观景塔H作为车速检测点，在此进行车速检测实践．一辆新能源汽车自西向东匀速行驶，同学们借助专业设备测得该车从点M行驶到点N的时间为12秒，同时测得，．已知该路段限速40千米/小时，请计算的距离，并判断该新能源汽车是否超速．（垂直公路，O为垂足，参考数据：，，，，结果取整数） 20. 如图，是的直径，点B在上，过点B作的切线交的延长线于点E，平分交于点D． （1）求证：； （2）若，，求的值． 六、（本题满分12分） 21. 散步是一种常见的运动方式，它有利于改善身心健康、增强体质和预防疾病．很多人用微信运动小程序来统计每天的步数，这种小程序是通过手机传感器或者智能设备感应到的震动信号来进行计数的．小戴同学随机调查了所住小区部分居民某日散步的步数x（单位：千步），并将数据整理绘制成不完整的频数分布直方图和扇形统计图．数据分为五组：A：；B：；C：；D：；E：． C组的数据：6.2，6.4，6.5，6.8，6.9，7.2，7.3，7.5，7.6，7.9，8.0，8.2，8.5，8.6，8.9． 根据统计图完成下列问题： （1）扇形统计图中C组对应扇形的圆心角为________°，补全频数分布直方图； （2）被调查的这些居民该日散步步数的中位数是________（千步）； （3）小戴同学了解到，步数处于E组的4人中，分别是2名男性和2名女性，若从他们4人中，任意抽取两人了解具体的散步情况，试求恰好选中一男一女的概率． 七、（本题满分12分） 22. 在中，点P在边上运动． （1）如图1，当时，连接，交于点O，求的值； （2）如图2，当时，取的中点E，连接，求证：； （3）如图3，点P运动到点A后，再沿运动到的延长线上，且，取的中点E，连接，已知，，，求的长． 八、（本题满分14分） 23. 抛物线过点，点，C是抛物线的顶点，D是抛物线与y轴的交点． （1）求抛物线的表达式及点C的坐标； （2）点P在抛物线上，且位于直线下方，过点P作平行于x轴交直线于点Q，求的最大值； （3）M为抛物线上一点，N为抛物线对称轴上一点，若，且，求点M和点N的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 来安县2025届九年级二模试卷 数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 在，0，2，5这四个数中，比0小的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比较有理数大小，根据正数大于0，负数小于0，进行判断即可． 【详解】解：∵； ∴比0小的数是； 故选A． 2. 2024年黄山风景区接待游客约350万人次，将350万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：350万； 故选B． 3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是从左向右观察到的图形，掌握三视图的定义是解题关键，根据三视图的定义即可解题． 【详解】解：根据三视图的位置判断，只有B选项符合题意， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，求一个数的立方根，根据合并同类项，积的乘方，立方根，同底数幂的乘法法则，逐一进行计算判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选D． 5. 已知反比例函数（）与二次函数的图象有一个交点的横坐标为1，则k的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与二次函数图象的交点问题，把代入，求出的值，待定系数法求出k的值即可． 【详解】解：把代入，得：， 把，代入，得； 故选B． 6. 一位射击运动员在一次训练效果测试中射击了10次，成绩如图所示，则这10次射击成绩的平均数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图以及平均数数．根据平均数的定义，利用图中的数据，列式计算即可． 【详解】解：根据题意： 这10次射击成绩的平均数是：， 故选：C． 7. 如图，正五边形的对角线与相交于点O，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正五边形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是利用这些性质求出相关角的度数，再通过三角形外角的性质计算出的度数． 【详解】解：正五边形每个内角的度数为， 因为正五边形各边相等，所以和均为等腰三角形． 在中，； 同理，在中． ， 故选：C． 8. 如图，在中，，，点D在的延长线上，，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，过点A作于点H，先求出，易得，根据已知得到，利用勾股定理求出，由即可求出结果． 【详解】解：过点A作于点H， ∵在中，，，， ∴，是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 9. 已知三个实数a，b，c满足，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，等式的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将整理得到，代入，即可判断，再将代入即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 综上：， 故选：D． 10. 如图，在正方形中，，点E为中点，点F，G分别在边上（不与端点重合），且．设（），，则y关于x的函数图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的识别，相似三角形的判定以及性质，正方形的性质，先证明，由相似三角形的性质可得出，即可得到，即可解答． 【详解】解：在正方形中，，点E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设（），，则， ∴， ∴， ∵，且， ∴y关于x的函数图象为开口向下，顶点坐标为的抛物线，故选项A符合题意， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 比较大小：________（填“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较实数的大小，利用平方法比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， 即：； 故答案为：． 12. 当分式的值为0时，则实数x的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式值为零的条件，一元二次方程的解法，根据分式值为 的条件①分母不为 ，②分子等于 计算即可． 【详解】解：由题意得且， 由解得； 由，解得或（舍去） 所以实数的值为． 故答案为：． 13. 如图，是的弦，点P在弦上，已知的半径为7，若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理．过点O作于点C，则，，设，则，根据勾股定理可得，建立方程求出x的值，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于点C，则，， ∵，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，现有矩形纸片，，，将边沿折痕折叠，使点B落在边上点F处，再沿折痕折叠，使点C落在矩形所在平面内的点处，边与交于点G，然后还原． （1）的长为________； （2）在边上取点H，满足，沿折叠使点C落在矩形所在平面内的点处，作的平分线分别交于点P，M，则的长为________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得，结合，易证四边形都是矩形，得到，求出，推出，易证四边形是正方形，进而求出，设，则，证明，推出，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）延长交于点Q，由折叠的性质可得，结合平分，得到，求出，进而证明，利用正切的定义结合结合，求出，证明，求出，进而求出，证明，推出，再利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：（1）由折叠的性质可得， ∵是矩形，，， ∴， ∴四边形都是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 设，则， 由折叠的性质得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，则， 故答案为：； （2）延长交于点Q， 由折叠的性质可得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查的是矩形的判定性质、折叠的性质、正方形的判定与性质，相似三角形判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理和锐角三角函数，掌握矩形的性质、折叠的性质、用勾股定理和锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，移项后，利用因式分解法解方程即可．熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． 【详解】解： ∴或， ∴． 16. 观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第7个等式：_______________； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】（1） （2）， 证明如下：左边， 右边， ∴左边右边， ∴成立. 【解析】 【分析】本题考查数字的变化类、列代数式，积的乘方运算，了解等式的特点，是解题关键． （1）根据题目中等式的特点，写出第7个等式即可； （2）根据题目中等式的特点，写出猜想，再分别计算等式左边和右边，看是否相等，即可证明猜想． 【小问1详解】 解：第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； ∴第7个等式：. 【小问2详解】 略 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 水东蜜枣是安徽省宣城市宣州区特产，全国农产品地理标志．为了践行“着力抓好三农工作，深入推进乡村全面振兴”的工作要求，小徐村的鲜枣一部分直接销售，一部分制成蜜枣销售．直接销售，每千克的销售额为a元；每千克的鲜枣制成蜜枣后销售额比直接销售提高．去年该村产200000千克鲜枣，制成蜜枣的总销售额是直接销售的． （1）每千克鲜枣制成蜜枣后的销售额为________元（用a的代数式表示）； （2）求去年直接销售鲜枣多少千克？ 【答案】（1） （2）去年直接销售鲜枣千克 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，列代数式，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． （1）根据每千克的鲜枣制成蜜枣后销售额比直接销售提高，列出代数式即可； （2）设去年直接销售鲜枣千克，根据去年该村产200000千克鲜枣，制成蜜枣的总销售额是直接销售的，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，每千克鲜枣制成蜜枣后的销售额为元； 故答案为：； 【小问2详解】 设去年直接销售鲜枣千克，由题意，得： ， 解得：； 答：去年直接销售鲜枣千克． 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为． （1）利用格点画出的外接圆，并写出圆心P的坐标为________； （2）画出绕点A按顺时针方向旋转后的； （3）在（1）（2）的条件下，连接，请仅用无刻度直尺画出的中点E．（保留作图痕迹，不需要说明） 【答案】（1） 如图所示，为所求： （2） 如图所示，点为所求： （3） 如图所示，点E为所求： 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图，作三角形外接圆的圆心，垂直平分线的性质，矩形的性质．熟练掌握的外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点是解题的关键． （1）利用网格的特征作的垂直平分线交于点P即可； （2）利用旋转的性质，找到点的对应点，依次连接即可； （3）利用矩形的性质作图即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 在安徽巢湖附近，新修建了一条风景优美的东西向滨湖公路，路旁设有多处可用于监测的观景塔．某周末，参加数学建模社团活动的同学们将距离公路垂直距离为200米的观景塔H作为车速检测点，在此进行车速检测实践．一辆新能源汽车自西向东匀速行驶，同学们借助专业设备测得该车从点M行驶到点N的时间为12秒，同时测得，．已知该路段限速40千米/小时，请计算的距离，并判断该新能源汽车是否超速．（垂直公路，O为垂足，参考数据：，，，，结果取整数） 【答案】151米，超速 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，分别解，求出的长，线段的和差求出的长，利用路程除以时间求出速度，判断是否超速即可． 【详解】解：由题意，得：， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，40千米/小时，， ∴新能源汽车超速． 20. 如图，是的直径，点B在上，过点B作的切线交的延长线于点E，平分交于点D． （1）求证：； （2）若，，求的值． 【答案】（1） 证明：连接，如解图所示． 是的切线， ． 是的直径， ． ， 即． ． ， ， ． ． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，如图，先根据切线的性质得到，再根据圆周角定理得到．则，然后利用得到结论； （2）如图，连接，证明，可得，，，求解，证明，即可得到结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵，平分， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识．掌握圆的相关性质是解决问题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 散步是一种常见的运动方式，它有利于改善身心健康、增强体质和预防疾病．很多人用微信运动小程序来统计每天的步数，这种小程序是通过手机传感器或者智能设备感应到的震动信号来进行计数的．小戴同学随机调查了所住小区部分居民某日散步的步数x（单位：千步），并将数据整理绘制成不完整的频数分布直方图和扇形统计图．数据分为五组：A：；B：；C：；D：；E：． C组的数据：6.2，6.4，6.5，6.8，6.9，7.2，7.3，7.5，7.6，7.9，8.0，8.2，8.5，8.6，8.9． 根据统计图完成下列问题： （1）扇形统计图中C组对应扇形的圆心角为________°，补全频数分布直方图； （2）被调查的这些居民该日散步步数的中位数是________（千步）； （3）小戴同学了解到，步数处于E组的4人中，分别是2名男性和2名女性，若从他们4人中，任意抽取两人了解具体的散步情况，试求恰好选中一男一女的概率． 【答案】（1）， 补全图形如下： ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据A组的频数及占比，即可求得调查的学生人数；再求解组人数及扇形圆心角，再补全图形即可求解； （2）由排在最中间的两个数为第，个数据，且，结合C组的数据可得中位数； （3）利用画树状图法计算概率． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ∴组人数有， ∴扇形统计图中C组对应扇形的圆心角为， 【小问2详解】 解：∵排在最中间的两个数为第，个数据，且，而C组的数据：6.2，6.4，6.5，6.8，6.9，7.2，7.3，7.5，7.6，7.9，8.0，8.2，8.5，8.6，8.9． ∴第，个数据为7.3，7.5， ∴中位数为； 【小问3详解】 解：根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，而两个人选中一名男性和一名女性的结果有8种， ∴． 【点睛】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体的量、求扇形统计图中扇形圆心角，概率的计算，画树状图，等知识，善于从两个统计图中获取信息是解题的关键． 七、（本题满分12分） 22. 在中，点P在边上运动． （1）如图1，当时，连接，交于点O，求的值； （2）如图2，当时，取的中点E，连接，求证：； （3）如图3，点P运动到点A后，再沿运动到的延长线上，且，取的中点E，连接，已知，，，求的长． 【答案】（1） （2） 证明：如图2，延长交于点Q， ∵点E为的中点， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，则， ∴， ∴是直角三角形， ∵点E为的中点， ∴ ， ∴ ； （3） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质证明，得到，即可得出结果； （2）延长交于点Q，证明，推出，利用平行四边形的性质易证，则是直角三角形，根据点E为的中点，由直角三角形的性质可得 ，即可得出结论； （3）过点作的垂线，垂足分别为，连接，根据平行四边形的性质结合，易证是等腰三角形，得到，根据已知得到，由点E为的中点，求出，由等腰三角形三线合一可证，利用勾股定理求出，再证明，得到，进而求出，求出，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴， ∴， ∵，则， ∴， 设边的高为h， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，过点作的垂线，垂足分别为，连接， ∵在中，， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点E为的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，合理作出辅助线，构造三角形全等和相似是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 抛物线过点，点，C是抛物线的顶点，D是抛物线与y轴的交点． （1）求抛物线的表达式及点C的坐标； （2）点P在抛物线上，且位于直线下方，过点P作平行于x轴交直线于点Q，求的最大值； （3）M为抛物线上一点，N为抛物线对称轴上一点，若，且，求点M和点N的坐标． 【答案】（1）； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解出解析式，进而出顶点坐标； （2）先求出，再求出直线的解析式为，设，求出，再求出，即可求解； （3）根据题意，当，且，以为对边的四边形是平行四边形，设，求出直线的解析式为，进而求出，分为对角线和为对角线两种情况讨论，根据平行四边形的性质建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意：，解得：， ∴抛物线的表达式为； ∵， ∴抛物线的顶点C的坐标为； 【小问2详解】 解：如图， 将代入，则， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入，则， ∴， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴点Q的纵坐标为， 则，解得， ∴， ∴， ∴，且， ∴当时，有最大值为； 【小问3详解】 解：∵，且， ∴为对边的四边形是平行四边形， 设，直线的解析式为， 将代入， 则， ∴， ∴直线的解析式为， ∵N为抛物线对称轴上一点，抛物线对称轴为， 将代入， 则， ∴， ∵，， 当为对角线时， 则，解得， 则， ∴； 当为对角线时， 则，解得， 则， ∴； 综上，或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及二次函数解析式，图像与性质，二次函数与线段的问题，一次函数与几何的应用，平行四边形形的性质，灵活应用分类讨论的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $