8.6.2 直线与平面垂直（第二课时）导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.2《直线与平面垂直（第二课时）》导学案 一、学习目标 1. 深入理解并熟练掌握直线与平面垂直的性质定理，能准确运用三种语言（文字、图形、符号）进行表述。 1. 通过观察、分析几何模型，提升直观想象素养，构建直线与平面垂直性质相关的空间图形。 1. 运用性质定理进行严谨的逻辑推理，证明直线平行等结论，培养逻辑推理能力。 1. 学会运用性质定理解决距离计算、体积推导等问题，提高数学运算能力和综合运用知识的能力。 1. 能够将实际生活中的空间几何问题转化为数学模型，运用性质定理解题，增强数学建模意识。 二、知识回顾 1. 直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线和这个平面垂直。用符号表示为：若直线垂直平面 ，则。 1. 直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。用符号表示为：若，，，，，那么 。 三、新知探究 （一）观察与思考 观察长方体模型，思考棱、、、所在直线与底面的位置关系，它们彼此之间的位置关系是怎样的？若已知直线和平面，且，，那么直线、有怎样的位置关系？ （二）性质定理的证明 已知，，求证 。 1. 采用反证法证明：假设不平行于，设是经过点与直线平行的直线。 1. 因为，，根据直线与平面垂直的性质（如果一条直线垂直于一个平面，那么与这条直线平行的直线也垂直于这个平面），可得。 1. 此时出现经过同一点的两条直线，都垂直于平面，这与 “过一点有且只有一条直线与已知平面垂直” 相矛盾，所以假设不成立，因此 。 1. 直线和平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。用图形语言和符号语言表示定理： (1) 图形语言：画出两条垂直于同一平面的直线，直观展示定理内容。 (2) 符号语言：， 。 四、学以致用 （一）例题讲解 1. 例1：直线平面，求证：直线上各点到平面的距离相等。 分析思路：过直线上任意两点、分别作平面的垂线、，垂足分别为、 。利用直线与平面垂直的性质定理证明，再结合直线与平面平行的性质证明四边形是矩形，从而得出 。 证明过程：书写证明过程，注意逻辑和规范。 概念学习：直线到平面的距离的概念：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。 1. 棱台体积公式推导：以推导棱台的体积公式（、分别为棱台上下底面面积，为棱台的高）为例。 观察棱台图形，延长棱台各侧棱交于点，得到截得棱台的棱锥。过点作棱台的下底面的垂线，分别与棱台的上、下底面交于点、，则棱台的下底面，棱台的上底面。 设截得棱台的棱锥的体积为，去掉的棱锥的体积为，高分别为和 ，则 。 由棱台的上下底面平行，证明棱台的上、下底面相似，根据相似图形面积比与对应边长比的关系，结合体积公式进行推导，将相关关系代入得出棱台体积公式。 （二）练习巩固 1. 在正方体中，是上一点，是的中点，平面 。求证： 。（自行作图） 1. 新增训练题 (1) 在三棱柱中，底面，、分别是、的中点，求证：。（自行作图） (2) 已知直线、和平面，，，直线与相交且，求证：与也垂直。 (3) 在四棱锥中，底面是矩形，底面，、分别是、的中点，平面，求证：。（自行作图） (4) 在直三棱柱中，，，是的中点，是上一点，且平面，求证：。 （自行作图） 五、课堂小结 1. 回顾直线与平面垂直的性质定理的内容、证明方法。 1. 总结运用性质定理解决的问题类型，如证明直线平行、计算直线到平面的距离、推导体积公式等。 1. 梳理各知识点之间的联系，明确性质定理的应用条件和常见解题思路。 六、作业布置 1. 必做题：完成教材练习2、3。 1. 选做题：思考在三棱柱中，如果侧棱垂直于底面，如何利用直线与平面垂直的性质定理证明一些线段平行关系；预习平面与平面垂直的相关内容，思考平面与平面垂直的定义和判定方法与直线与平面垂直的联系。 七、教学反思 1. 成功之处：借助长方体模型引导学生探究性质定理，激发了学生的学习兴趣和自主探究能力，让学生更直观地理解了定理内容。在讲解过程中，注重逻辑推理的引导，帮助学生理解反证法的运用和证明思路，提升了学生的逻辑推理能力。通过例题和练习，让学生在实践中掌握了性质定理的应用，提高了学生解决问题的能力。 1. 不足之处：部分学生对反证法的理解不够深入，在证明过程中逻辑不够严谨，容易出现错误。在应用性质定理解决复杂问题时，学生综合运用知识的能力还有待提高，如在棱台体积公式推导中，部分学生对相似图形性质和体积公式的结合运用不够熟练。此外，在练习过程中，发现学生在将实际问题转化为数学模型时存在困难，数学建模能力有待加强。 1. 改进措施：针对反证法理解困难的学生，增加更多反证法的实例讲解和练习，帮助他们掌握反证法的证明步骤和逻辑。加强对学生综合运用知识能力的训练，通过更多复杂例题和练习，引导学生学会分析问题，提高解题能力。对于数学建模能力较弱的学生，提供更多实际问题的案例分析，引导学生将实际问题抽象为数学模型，提高数学建模能力。根据学生的学习情况，灵活调整教学策略，增加拓展性练习和实际案例，满足不同层次学生的学习需求，提升整体教学效果。 学科网（北京）股份有限公司 $$