精品解析：北京师范大学附属中学2024-2025学年下学期八年级期中数学试卷

北京师大附中2024—2025学年（下）初二期中考试 数学试卷 考生须知 1．本试卷有三道大题，共8页．考试时长120分钟，满分100分． 2．考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效． 3．考试结束后，考生应将答题纸交回． 一、选择题（本大题共10小题，共20分） 1. 下列四个式子中，最简二次根式为（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长，可以组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，5 B. 6，7，8 C. 1，1， D. 2，，3 3. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）． A. 两组对边分别平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等 5. 在平面直角坐标系中，若一次函数的图像由直线向上平移3个单位长度得到，则一次函数的图像经过的象限是（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限 6. 如图，菱形中，点E、F分别是的中点，若，则菱形的周长为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 7. 满足下列条件的四边形一定是正方形的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形 B. 有三个角是直角的四边形 C. 有一组邻边相等的平行四边形 D. 对角线相等的菱形 8. 如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点P.下面有四个结论:①k>0；②b>0；③当x>0时，>0；④当x<-2时，kx>-x+b.其中正确的是( ) A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ①④ 9. 如图，在四边形中，P 是对角线的中点，点E，F 分别是的中点，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作▱EFGH，且点G、H分别在CD、AD上．在动点F运动的过程中，▱EFGH的面积（　　） A. 逐渐增大 B. 逐渐减小 C. 不变 D. 先增大，再减小 二、填空题（本大题共8小题，共16分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 已知，是一次函数图象上的两个点，则______（填“”、“”或“”）． 13. 如图，直线过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直E的距离分别是1和2，则正方形ABCD面积是____． 14. 如图，在正方形网格中，，，，，都是格点，则_______． 15. 如图，平行四边形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于E、F，且，那么图中阴影部分的面积为___________． 16. 如图，已知菱形的边长为6，分别是边的中点，是对角线上一点，则的最小值是______． 17. 小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图．则下列说法： ①小明家和学校距离米； ②小华乘坐公共汽车的速度是米/分； ③小华乘坐公共汽车后与小明相遇； ④小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是米/分时，他们可以同时到达学校．其中正确的是__________．（填序号） 18. 如图，在中，．点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当AEF为直角三角形时，BD的长为________． 三、解答题（本大题共10小题，共64分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：在中，，求的长． 21. 如图，，平分，且交于点平分，且交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）过点作，垂足为点，连接，若，，求的长． 22. 一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． （1）求该直线的表达式，并画出该函数图象； （2）若x轴上有一点，且，直接写出点的坐标__________． 23. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，且与轴交于点． （1）求该函数的解析式及点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 24. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图： （1）在图①中以已知线段为对角线画出一个矩形，使矩形的另外两个顶点也在格点上．（非正方形） （2）在图②中以已知线段为对角线画出一个菱形，使菱形的另外两个顶点也在格点上．（非正方形） （3）在图③中画一个周长为的菱形．（非正方形） （4）在图④中画出面积为的正方形． 25. 在中，，锐角所对的直角边与相邻的直角边的比值称为的坡度，记为“（）”，即，同样地，．对于锐角的每一个确定的值，（）都有唯一确定的值与它对应． 请回答以下问题： （1）在中，，，则__________； （2）在中，，，则__________； （3）在中，，，则__________； （4）如图，在中，，是的中点，过点作的垂线交于点，，，则__________； （5）如图，两个边长相等的正六边形的公共边为，点在同一直线上，点分别为两个正六边形的中心，则__________； 26. 北京天安门广场上的国旗每天伴着太阳升起，伴着太阳降落．下表是天安门广场年部分日期的升旗时间． 年天安门广场部分日期升旗时间 日期 升旗时间 日期 升旗时间 日期 升旗时间 日期 升旗时间 月日 月日 月日 月日 月日 月日 月日 月日 月日 月日 月日 月日 （1）我们将升旗时间作为当日的日出时间来处理，研究一年内日出时间的变化规律，结合表中数据，在日期和升旗时间这两个变量中，确定__________是自变量，__________是自变量的函数； （2）将日期以月日为起点按年天依次排序，月日序号为，以每一天的序号表示日期变量，日出时间整理为以“时”为单位的十进制数（保留两位小数），对上表进行转换，请补全下表，并建立合适的坐标系，描出表格中各对数值所对应的点． 日期 升旗时间 日期 升旗时间 日期 升旗时间 日期 升旗时间 （3）用平滑的曲线连接坐标系中散点，结合函数图象回答问题： ①年中太阳升起时间最早的一天大约在这一年中第__________天； ②年中太阳在点钟以前（包含点钟）升起的时间约有__________天． 27. 正方形的边长为，是边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． （1）如图1，当点为中点时，连接，求的长； （2）如图2，当点为线段上任意一点时，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，分别连接，依题意补全图形，猜想与的数量关系，并证明你的结论． （3）在（2）的条件下，当点在线段上运动，线段的最小值为__________． 28. 对于图形和点，若图形上存在三点、和，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则称点是图形的“点”．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）在点，，，中，__________是正方形的“点”； （2）点在轴上，以为圆心，为半径的圆记作． ①当圆心与原点重合时，若上存在正方形的“点”，直接写出的取值范围_________； ②若，且正方形的每个点都是的“点”，直接写出圆心的横坐标的取值范围__________； ③若，若存在点既是的“点”，也是的“点”，直接写出圆心的横坐标的取值范围__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师大附中2024—2025学年（下）初二期中考试 数学试卷 考生须知 1．本试卷有三道大题，共8页．考试时长120分钟，满分100分． 2．考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效． 3．考试结束后，考生应将答题纸交回． 一、选择题（本大题共10小题，共20分） 1. 下列四个式子中，最简二次根式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，结合选项求解即可． 【详解】解：A． ，不是最简二次根式，所以选项不符合题意； B． ，被开方数12中含有能开得尽方的因式4，因此选项不符合题意； C． ，被开方数中含有分母，因此选项不符合题意； D． ，是最简二次根式，因此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式的概念，解答本题的关键在于掌握最简二次根式的概念，对各选项进行判断． 2. 以下列各组数为边长，可以组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，5 B. 6，7，8 C. 1，1， D. 2，，3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理判定直角三角形，掌握勾股定理逆定理的计算是关键． 运用勾股定理逆定理的计算判定直角三角形即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，能构成直角三角形，符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：C ． 3. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的化简及运算法则计算即可． 【详解】解：A. ，选项A错误，不符合题意； B. ，选项B错误，不符合题意； C. ，选项C错误，不符合题意； D. ，选项D正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的化简及运算，熟记其运算法则是解题的关键． 4. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）． A. 两组对边分别平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项解析判断后利用排除法求解： 【详解】A．矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误，不符合题意； B．矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确，符合题意； C．矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误，不符合题意； D．矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误，不符合题意． 故选B． 5. 在平面直角坐标系中，若一次函数的图像由直线向上平移3个单位长度得到，则一次函数的图像经过的象限是（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】向上平移，则，根据图像位置与系数的关系判断． 【详解】解：由题知，， ∵ ∴位于第一、二、三象限． 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数图像平移，掌握图像平移与点坐标变化的关系是解题的关键． 6. 如图，菱形中，点E、F分别是的中点，若，则菱形的周长为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理，得到，得到，结合菱形的周长为，解答即可． 本题考查了三角形中位线定理，菱形的性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键 ． 【详解】∵菱形中，点E、F分别是的中点，， ∴， ∴， ∴菱形的周长为， 故选D． 7. 满足下列条件的四边形一定是正方形的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形 B. 有三个角是直角的四边形 C. 有一组邻边相等的平行四边形 D. 对角线相等的菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，同时也考查了平行四边形、矩形及菱形的判定，掌握这些四边形的判定方法是关键．根据正方形的判定方法即可作出判断． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不符合题意； B、有三个角是直角的四边形是矩形，不符合题意； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，符合题意； 故选：D． 8. 如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点P.下面有四个结论:①k>0；②b>0；③当x>0时，>0；④当x<-2时，kx>-x+b.其中正确的是( ) A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据正比例函数和一次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵直线y1=kx经过第一、三象限， ∴k＞0，故①正确； ∵y2=-x+b与y轴交点在负半轴， ∴b＜0，故②错误； ∵正比例函数y1=kx经过原点，且y随x的增大而增大， ∴当x＞0时，y1＞0；故③正确； 当x＜-2时，正比例函数y1=kx在一次函数y2=-x+b图象的下方，即kx＜-x+b，故④错误． 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断． 9. 如图，在四边形中，P 是对角线的中点，点E，F 分别是的中点，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，根据三角形中位线定理得到，，得，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵P是的中点，E是的中点， ∴是的中位线， ∴，, ∴ ∴ 同理，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作▱EFGH，且点G、H分别在CD、AD上．在动点F运动的过程中，▱EFGH的面积（　　） A. 逐渐增大 B. 逐渐减小 C. 不变 D. 先增大，再减小 【答案】C 【解析】 【分析】设AB=a，BC=b，BE=c，BF=x，根据S平行四边形EFGH=S矩形ABCD-2()=，由E是AB的中点可得,即可得出判断． 【详解】解：设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x， 连接EG， ∵四边形EFGH为平行四边形， ∴EF＝HG，EF∥HG， ∴∠FEG＝∠HGE， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB∥CD， ∴∠BEG＝∠DGE， ∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH， ∴∠BEF＝∠HGD ∵EF＝HG，∠B＝∠D， ∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS）， 同理Rt△AEH≌Rt△CGF， ∴S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2(S△BEF+S△AEH) ＝ab﹣2[cx+(a﹣c)(b﹣x)] ＝ab﹣(cx+ab﹣ax﹣bc+cx) ＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx ＝(a﹣2c)x+bc， ∵E是AB的中点， ∴a＝2c， ∴a﹣2c＝0， ∴S平行四边形EFGH＝bc＝ab， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形和平行四边形的性质，解题关键是掌握矩形和平行四边形的性质． 二、填空题（本大题共8小题，共16分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 12. 已知，是一次函数图象上的两个点，则______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据可知一次函数的值随的增大而增大，据此判断即可求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴一次函数的值随的增大而增大， ∵，是一次函数图象上的两个点，且， ∴， 故答案为：． 13. 如图，直线过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直E的距离分别是1和2，则正方形ABCD面积是____． 【答案】5． 【解析】 【分析】根据正方形性质得出AB=CB，∠ABC=90°，求出∠EAB=∠FBC，证△AEB≌△BFC，求出BE=CF=2，在Rt△AEB中，由勾股定理求出AB，即可求出正方形的面积． 【详解】解：如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABC=90°， ∵AE⊥EF，CF⊥EF， ∴∠AEB=∠BFC=90°， ∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，∠ABE+∠EAB=90°， ∴∠EAB=∠CBF， 在△AEB和△BFC中， , ∴△AEB≌△BFC（AAS）， ∴BE=CF=2， 在Rt△AEB中，由勾股定理得： , 即正方形ABCD的面积是5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，关键是求出BE=CF，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中． 14. 如图，在正方形网格中，，，，，都是格点，则_______． 【答案】； 【解析】 【分析】首先根据三角形内角与外角的关系计算出∠1+∠BAC=45°,∠2+∠CDE=45°,再利用勾股定理逆定理∠BCE=90°,再证明∠ADC=90°,进而得到∠ACD=45°,从而得到∠1+∠2=45°,继而得到∠BAC+∠CDE=45°. 【详解】解：∵BF=CF,CK=EK， ∴∠FBC=CEK=45°， ∴∠1+∠BAC=45°，∠2+∠CDE=45°， 连接AD、BE， ∵BC²=2²+2²=8，CE²=1²+1²=2,BE²=3²+1²=10， ∴BC²+CE²=BE²， ∴∠BCE=90°， ∵AD²=3²+1²=10,CD²=3²+1²=10,AC²=4²+2²=20， ∴AD²+CD²=AC²， ∴∠ADC=90°， ∴∠ACD=45°， ∴∠1+∠2=45°， ∴∠BAC+∠CDE=45°， 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理,以及三角形内角与外角的关系,关键是掌握勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a²+b²=c²,那么这个三角形就是直角三角形． 15. 如图，平行四边形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于E、F，且，那么图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形全等，把阴影面积转化为的面积计算即可．本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 如图所示，过点D作于点G， ∵, ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，已知菱形的边长为6，分别是边的中点，是对角线上一点，则的最小值是______． 【答案】6 【解析】 【分析】作点关于的对称点，连接，则，为的中点，根据“两点之间线段最短”可得的最小值为的长，通过证明四边形为平行四边形，即可得到答案． 【详解】解：作点关于的对称点，连接， 则，为的中点，根据“两点之间线段最短”可得的最小值为的长， ， 为的中点， ， ， 四边形为菱形， ， 四边形为平行四边形， ， 的最小值为：6， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、两点之间线段最短，熟练掌握轴对称的性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、两点之间线段最短，添加适当的辅助线，是解题的关键． 17. 小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图．则下列说法： ①小明家和学校距离米； ②小华乘坐公共汽车的速度是米/分； ③小华乘坐公共汽车后与小明相遇； ④小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是米/分时，他们可以同时到达学校．其中正确的是__________．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了函数图象与行程的计算，理解函数图象的性质，掌握行程的数量关系是关键． 根据函数的横轴与纵轴表示的意义，可判定①；根据行程的数量关系判定②；根据函数的交点可得小明与小华相遇，由行程关系可判定③；计算处小华跑步到学校的时间与小明到学校的时间比较即可判定④． 【详解】解：根据图示，小明家和学校距离米，故①正确； 小华乘坐公共汽车的速度是米/分，故②正确； ∵小华的速度是米/分， ∴（分钟）， ∴小华用了分钟达到米处与小明相遇， ∴小华乘坐公共汽车后与小明相遇，故③正确； ∵小明先出发去学校，根据函数图象可得，时停下吃早餐，此时小华跑步去学校， ∴小明到学校的时间为， 当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是米/分时，所用时间为（分钟）， ∴小华到学校的时间为， ∴他们不可以同时到达学校，故④错误； 综上所述，正确的有：①②③， 故答案为：①②③ ． 18. 如图，在中，．点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当AEF为直角三角形时，BD的长为________． 【答案】1或2##2或1 【解析】 【分析】由直角三角形的性质可得∠BAC=60°，，分两种情况讨论，由锐角三角函数和折叠的性质可求解． 【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°， ∴ ∵∠B=30°，DE⊥BC， ∴∠BED=60°． 由翻折的性质可知：∠BED=∠FED=60°， ∴∠AEF=60°． ∵△AEF为直角三角形， ∴∠EAF=30°． ∴AE=2EF． 由翻折的性质可知：BE=EF， ∴AB=3BE． ∴ BD=EB•cosB= 当点F在BC的延长线上时． ∵△AEF为直角三角形， ∴∠EAF=90°， ∴∠EFA=30°． ∴∠EFD=∠EFA． 又∵ED⊥BF，EA⊥AF， ∴AE=DE． ∵BC=3，∠ACB=90°，∠B=30°， ∴ 设DE=x，BE= ∵DE∥AC， ∴ 解得，xBD= 故答案为1或2． 【点睛】本题主要考查的是翻折的性质和特殊锐角三角函数值的应用，掌握翻折的性质和特殊锐角三角函数值是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共64分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）运用乘法公式展开，再根式二次根式的混合运算法则计算即可 （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：在中，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理建立方程是解题的关键．在中利用勾股定理建立方程即可求出． 【详解】解：∵， ∴， 在中，，， 即， 解得． 21. 如图，，平分，且交于点平分，且交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）过点作，垂足为点，连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据平行线的性质和角平分线的定义得到，四边形是平行四边形，再证明菱形即可； （2）根据菱形的性质，勾股定理得到，则，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示， ∵四边形是菱形， ∴，点是线段中点， ∵， ∴，， ∴， ∴在中，． 22. 一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． （1）求该直线的表达式，并画出该函数图象； （2）若x轴上有一点，且，直接写出点的坐标__________． 【答案】（1）， 函数图象如下， （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象于几何图形面积的计算，掌握待定系数法，几何图形面积的计算是关键． （1）根据题意，运用待定系数法即可得到解析式，根据两点确定一条直线作图即可； （2）根据题意，设，则，根据，得到，由此即可求解． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与轴交于点， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为， ∴当时，，即， 【小问2详解】 解：根据题意，， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得，或， ∴或， 故答案为：或． 23. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，且与轴交于点． （1）求该函数的解析式及点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法可求出函数的解析式，进而可求出点的坐标； （）由题意得，即得，进而得，解不等式即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解不等式，正确求出一次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵函数的图象经过点，， ∴， 解得， ∴该函数的解析式， 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴， ∵当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值， ∴， 解得． 24. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图： （1）在图①中以已知线段为对角线画出一个矩形，使矩形的另外两个顶点也在格点上．（非正方形） （2）在图②中以已知线段为对角线画出一个菱形，使菱形的另外两个顶点也在格点上．（非正方形） （3）在图③中画一个周长为的菱形．（非正方形） （4）在图④中画出面积为的正方形． 【答案】（1） 如图①，矩形即为所求． ． （2） 如图②，菱形即为所求． （3） 由题意得：这个菱形的边长为， 如图③，菱形即为所求． （4） 由题意得：这个正方形的边长为， 如图④，正方形即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了格点作图、矩形、菱形与正方形、勾股定理、二次根式的应用，熟练掌握矩形、菱形与正方形的格点作图方法是解题关键． （1）根据矩形的两条对角线相等，结合网格特点作图即可得； （2）根据菱形的两条对角线互相垂直且平分，结合网格特点作图即可得； （3）先求出这个菱形的边长为，再根据勾股定理、网格特点作图即可得； （4）先求出这个正方形的边长为，再根据勾股定理、网格特点作图即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 25. 在中，，锐角所对的直角边与相邻的直角边的比值称为的坡度，记为“（）”，即，同样地，．对于锐角的每一个确定的值，（）都有唯一确定的值与它对应． 请回答以下问题： （1）在中，，，则__________； （2）在中，，，则__________； （3）在中，，，则__________； （4）如图，在中，，是的中点，过点作的垂线交于点，，，则__________； （5）如图，两个边长相等的正六边形的公共边为，点在同一直线上，点分别为两个正六边形的中心，则__________； 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） 【解析】 【分析】本题主要考查新定义运算，含特殊角的直角三角形的性质，正多边形的性质的综合运用，理解新定义，掌握其计算方法是关键． （1）根据题意得到是等腰直角三角形，，结合坡度的计算方法即可求解； （2）根据题意得到，结合坡度的计算方法即可求解； （3）根据题意得到是等腰三角形，过点作于点，在上取点，连接，使得，设,结合（2）的结算得到，则，根据坡度的计算方法即可求解； （4）根据题意，得到，由垂直平分线得到，根据，由此即可求解； （5）根据题意，正六边形的每个内角为，每条边对应的圆心角的度数为，如图所示，连接，过点作于点，设正六边形的边长为，由此得到，结合坡度的计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图所示，，， ∴，， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图所示，，， ∴，是等腰三角形， 过点作于点，在上取点，连接，使得， ∴， ∴， 设，则， 由（2）的计算得到， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问4详解】 解：在中，， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：； 【小问5详解】 解：正六边形的每个内角为，每条边对应的圆心角的度数为， 如图所示，连接，过点作于点，设正六边形的边长为， ， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 26. 北京天安门广场上的国旗每天伴着太阳升起，伴着太阳降落．下表是天安门广场年部分日期的升旗时间． 年天安门广场部分日期升旗时间 日期 升旗时间 日期 升旗时间 日期 升旗时间 日期 升旗时间 月日 月日 月日 月日 月日 月日 月日 月日 月日 月日 月日 月日 （1）我们将升旗时间作为当日的日出时间来处理，研究一年内日出时间的变化规律，结合表中数据，在日期和升旗时间这两个变量中，确定__________是自变量，__________是自变量的函数； （2）将日期以月日为起点按年天依次排序，月日序号为，以每一天的序号表示日期变量，日出时间整理为以“时”为单位的十进制数（保留两位小数），对上表进行转换，请补全下表，并建立合适的坐标系，描出表格中各对数值所对应的点． 日期 升旗时间 日期 升旗时间 日期 升旗时间 日期 升旗时间 （3）用平滑的曲线连接坐标系中散点，结合函数图象回答问题： ①年中太阳升起时间最早的一天大约在这一年中第__________天； ②年中太阳在点钟以前（包含点钟）升起的时间约有__________天． 【答案】（1）日期，升旗时间 （2） 解：补全表格如下： 日期 升旗时间 日期 升旗时间 日期 升旗时间 日期 升旗时间 建立坐标系并描点如下： （3） 解：连线如下： ①；② 【解析】 【分析】（）根据题意及函数的定义即可求解； （）根据十进制数进行转化后补全表格即可； （）根据表格对应值描点、连线画出图形，再根据图象解答即可求解； 本题考查了函数及其图象的应用，看懂题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，日期是自变量，升旗时间是自变量的函数， 故答案为：日期，升旗时间； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①由图知，年中太阳升起时间最早的一天大约在这一年中第天， 故答案为：； ②由图知，年中太阳在点钟以前（包含点钟）升起的时间约有天， 故答案为：． 27. 正方形的边长为，是边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． （1）如图1，当点为中点时，连接，求的长； （2）如图2，当点为线段上任意一点时，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，分别连接，依题意补全图形，猜想与的数量关系，并证明你的结论． （3）在（2）的条件下，当点在线段上运动，线段的最小值为__________． 【答案】（1） （2），证明如下， 过点作延长线于点，过点作延长线于点，则， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴，即， 同理，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）线段的最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，最短线段的计算，掌握正方形的性质是关键． （1）根据正方形的性质，勾股定理得到，根据旋转的性质得到，再根据等腰直角三角形，勾股定理定理得到，由此即可求解； （2）过点作延长线于点，过点作延长线于点，则，可证，得到，同理，，再证明，即可求解； （3）在中，，当点共线时，的值最小，四边形是正方形，是对角线，，可得是等腰直角三角形，，结合（2）的证明即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形，点为中点， ∴， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，连接， 在中，， ∴当点共线时，的值最小，如图所示， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 由（2）可得， ∴， ∴， ∴线段的最小值为． 28. 对于图形和点，若图形上存在三点、和，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则称点是图形的“点”．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）在点，，，中，__________是正方形的“点”； （2）点在轴上，以为圆心，为半径的圆记作． ①当圆心与原点重合时，若上存在正方形的“点”，直接写出的取值范围_________； ②若，且正方形的每个点都是的“点”，直接写出圆心的横坐标的取值范围__________； ③若，若存在点既是的“点”，也是的“点”，直接写出圆心的横坐标的取值范围__________． 【答案】（1）、 （2）①；②；③ 【解析】 【分析】（1）根据题意在平面直角坐标系中分别判断点，，，是否为正方形的“点”即可； （2）①根据题意，利用平行四边形的定义，先求得点是正方形的“点”时，点的所在区域，然后求得当上存在任意一点在该区域内时的的最大值，即可；②同理先求得当点是的“点”时，点在以为圆心，半径为3的圆的区域内（不包含圆上），然后分别求得当点在半径为3的上和当点在半径为3的上的值即可；③同①先求得点是的“点”时，点的所在区域，根据②中点是的“点”时的区域，然后求得两区域重叠时取值即可． 【小问1详解】 解：如图所示， 在正方形上存在点、、使得四边形为平行四边形， 存在点、、使得四边形为平行四边形， 点、是正方形的“点”， 故答案为：、； 【小问2详解】 解：①根据题意可知，正方形的边长为1，连接， ，， 如图所示，延长到，使，连接，并延长到，使，连接，延长交于点， 当点在正方形区域时，连接，过点作交于点，过点作交于点，此时四边形为平行四边形， 同理当点在区域时（不包含点），上总存在点，使得四边形为平行四边形， 当点在四边形区域时（不包含点），点是正方形的“点”， 同理可得当点在如下图正方形区域内时（不包含四个顶点），点是正方形的“点”， 当圆心与原点重合时，当时，上存在正方形的“点”， ， 当时，上存在正方形的“点”， 故答案为：； ②的半径， 上两点最大距离为， 当点在以为圆心，半径为3的圆的区域内时（不包含圆上），存在点、、使得四边形为平行四边形，如图所示， 当点在以为圆心，半径为3的圆的区域内时（不包含圆上），点是的“点”， 当点在半径为3的上时，连接，如图， 则，， ， ， 此时圆心的横坐标为， 同理，当点在半径为3的上时，连接，如图， 同理可求得，此时圆心的横坐标为， 综上所述，当圆心的横坐标的取值范围为时，正方形的每个点都是的“点” 故答案为：； ③同①可得，当点在四边形、、区域时（不含端点），点是的“点”，如下图所示， 由②可知，当点在以为圆心，半径为3的圆的区域内时（不包含圆上），点是的“点”， 当点在半径为3的上时，连接，作轴于点，如图， 则，， ， ， 此时圆心的横坐标为， 当半径为3的与相切于点时，如图， 则，， ， 此时圆心的横坐标为5， 存在点既是的“点”，也是的“点” 当时，存在点既是的“点”，也是的“点”， 故答案为：． 【点睛】本题考查了“点”的定义，平面直角坐标系，勾股定理，平行四边形的定义，读懂题意理解“点”的定义，利用数形结合的思维是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $