精品解析：四川省广安友谊中学2024-2025学年九年级下学期期中检测数学试题

四川省广安友谊中学2025年上期 初2022级半期考试试题数学 （考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．本试卷分为试题卷（1-6页）和答题卡两部分． 2．考生答题前，请先将姓名、准考证号等信息用黑色墨迹签字笔填写在答题卡上的指定位置． 3．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡上的相应位置，非选择题用0.5毫米黑色字迹签字笔答在答题卡上的相应位置．超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；作图题应先用铅笔画，确定不修改后，再用黑色字迹签字笔描黑． 4．考试结束后，只交答题卡． A卷（共100分） 一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡相应位置上．本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 点在数轴上的位置如图所示，则点表示的数的倒数是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求一个数的倒数，先根据点在数轴上的位置，确定点表示的数，再根据互为倒数的两数之积为1，进行求解即可． 【详解】解：由图可知，点表示的数为， ∴点表示的数的倒数是； 故选D． 2. 数据显示，自2025年1月10日正式发布至2025年1月26日， 的全球下载量已突破1600万次，这无疑是 应用市场上的一次巨大成功，数据1600万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同；据此即可求解． 【详解】解：1600万． 故选：B． 3. 如图，一个由6个大小相同、棱长为1的正方体搭成的几何体，下列关于这个几何体的说法正确的是（ ） A. 主视图的面积为6 B. 左视图的面积为2 C. 俯视图的面积为4 D. 俯视图的面积为3 【答案】C 【解析】 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，在不同的视图中分别看到几个小正方形的面，即可得出相应视图的面积，与选项比较即可得出答案． 【详解】解：A. 从主视图看，可以看到5个面，故本选项错误； B. 从左视图看，可以看到3个面，故本选项错误； C. 从俯视图看，可以看到4个面，故本选项正确； D. 由以上判断可知，故本选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查了三视图的相关知识.正确理解主视图、左视图、俯视图的定义，并能根据几何形体画出它的三视图是解题的关键． 4. 下列说法正确的是（ ） A. “某同学投篮球，投中”是随机事件 B. 天气预报“明天降水概率 ”，是指明天有12小时会下雨 C. 甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，则乙的成绩更稳定 D. 了解某市九年级学生的视力情况，采用全面调查 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查随机事件、概率、方差及统计与调查，熟练掌握各个概念是解题的关键． 根据随机事件、概率、方差及统计与调查可进行求解． 【详解】解：A、“某同学投篮球，投中”是随机事件，说法正确，符合题意； B、天气预报“明天降水概率 ，是指明天有可能会降雨”，原说法错误，故不符合题意； C、甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，所以，则甲的成绩更稳定；原说法错误，不符合题意； D、了解某市九年级学生的视力情况，应采用抽样调查，原说法错误，故不符合题意； 故选A． 5. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米．停车场内车道的宽都相等，若停车位的总占地面积为390平方米，列方程求解车道宽度时，设车道宽度为 （单位：米），下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，先计算停车位的长，宽，后计算即可，本题看出来一元二次方程的应用，正确表示车位的面积是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 故选D． 6. 如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据位似图形的性质即可得． 【详解】解：∵的位似比为2的位似图形是，且， ，即， 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． 7. 某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，电阻随人的质量m的变化而变化，此时可通过电压表显示的读数换算为人的质量．已知随的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量m的关系见图3，则下列说法不正确的是（ ） A. 在一定范围内，越小越大 B. 当时，的阻值为 C. 当踏板上人的质量为时， D. 若电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数与图象，解题的关键是理解题意，能够根据函数图象获取信息．根据所给函数图象，可判断A、B选项；根据函数关系式和函数图象，分别求出质量为和时的阻值，可判断C选项；根据函数图象和一次函数的增减性，可判断D选项． 【详解】解：A、由图2可知，在一定范围内，越小，越大，原说法正确，不符合题意； B、由图2可知，当时，的阻值为，原说法正确，不符合题意； C、由图3关系式可知，当踏板上人的质量为时，，由图2可知，时，，原说法正确，不符合题意； D、当电压表量程为时，由图2可知，当，阻值最小为，由可知，随着 的增大而减小，则当 时， 有最大值，，解得：，即该电子体重秤可称的最大质量是，原说法错误，符合题意； 故选：D． 8. 已知是关于 的一元二次方程的一个实数根，则方程的另一个根是（　　） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 设该方程的另一个根为 ，则根据根与系数的关系得，然后解方程即可． 【详解】解：设另一个根为 ，则由题意得，， ∴， 故选：D． 9. 如图，菱形的周长为48，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，且该圆锥的高为8．则扇形（阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、圆锥侧面积的计算，由题意得出，即圆锥的母线长为，由勾股定理得出底面半径为，再由圆锥侧面积公式计算即可得出答案． 【详解】解：∵菱形的周长为48， ∴，即圆锥的母线长为， ∵该圆锥的高为8， ∴底面半径为， ∴由圆锥侧面积公式得：， ∴， 故选：B． 10. 如图，二次函数的图象与 轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，求出，进一步得到，又根据 得到，即可判断④. 【详解】解：①函数图象开口方向向上， ； 对称轴在轴右侧， 、异号， ， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ， ，故①错误； ②二次函数的图象与 轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线， ， ， 时， ， ， ， ，故②正确； ③对称轴为直线， ， 最小值， ， ∴， 故③正确； ④， ∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有②③④， 故选：C 二、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置．本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 11. 因式分解：=______． 【答案】3（x+3）（x﹣3） 【解析】 【详解】解：原式==3（x+3）（x﹣3）， 故答案为3（x+3）（x﹣3）． 12. 如图，的一边为平面镜，，一束光线（与水平线平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在上的点E处，则的度数是_______度． 【答案】76° 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得∠ADC的度数，由光线的反射定理可得∠ODE的度数，在根据三角形外角性质即可求解． 【详解】解：∵DC∥OB， ∴∠ADC=∠AOB=38°， 由光线的反射定理易得，∠ODE=∠ACD=38°， ∠DEB=∠ODE+∠AOB =38°+38°=76°， 故答案为：76°． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角性质和光线的反射定理，掌握入射角=反射角是解题的关键． 13. 若一组数据1，3，2，2，5，3，2，4，6的中位数是 ，众数是，实数 ，满足方程组，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，求中位数和众数，一组数据中出现次数最多的数据为该组数据的众数，一组数据中，处在最中间的那个数据或最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求出m、n的值，再解方程组求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：∵数字2出现了3次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数为2，即 ， 把这组数据按照从小到大的顺序排列为：1，2，2，2，3，3，4，5，6，处在最中间的数为3， ∴这组数据的中位数为3，即， ∴方程组即为方程组， 解方程组得， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在 中，， ，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在 内交于点；作射线，交于点，交延长线于点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据条件先得到，则可求，再证明，由即可求解． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴ ，，， ∴ ，， ∵由作图可知， 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、计算题：（本大题共6小题，共44分） 15. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，若，请你选取一个合适的整数 ，求出原式的值． 【答案】（1）；（2），当时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，分式的化简求值，求特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂，接着去绝对值后计算加减法即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件确定x的值并代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且且， ∵且x是整数， ∴， ∴原式． 16. 某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：．高锰酸钾制取氧气；．电解水；．木炭还原氧化铜；．高温煅烧石灰石；．碳酸钠和稀盐酸反应，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）． 请结合统计图，回答下列问题： （1）________，所对应的扇形圆心角是________ ； （2）请你根据调查结果，估计该校九年级名学生中有________人最喜欢的实验是“．高温煅烧石灰石” （3）某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊，若小明从上面的五个实验中任意选取两个，请求出两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率________． 【答案】（1） ， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了统计图表的综合运用（条形图、扇形图）、用样本估计总体以及概率的计算，准确提取图表信息、掌握概率公式是解题关键． （1）先通过“实验人数及对应百分比”求出抽取的总人数，再用总人数减去其他实验的人数得到；利用“实验人数总人数”计算对应的扇形圆心角； （2）先算出样本中“实验”的人数占比，再用该占比乘以九年级总人数，估计喜欢实验的人数； （3）先确定能产生二氧化碳的实验，再通过列表法列出所有取两个实验的可能结果，最后根据“符合条件的结果数总结果数”计算概率． 【小问1详解】 解：抽取的学生人数为 （人）， 选择的学生人数为（人） ， 所对应的扇形圆心角是 ； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校九年级名学生中有 人最喜欢的实验是“．高温煅烧石灰石”． 【小问3详解】 解：本次调查的五个实验中，三个实验均能产生二氧化碳， 列表如下， 由列表可知，共有种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的情况有种， （两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）． 17. 广安白塔，又名“舍利宝塔”，位于广安老城南两千米的渠江聋子滩上．广安白塔修建于南宋淳熙至嘉定年间（1174年～1224年），为宋资政大学士、少师安丙建造．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的台阶，已知 ，的坡度为点，，在同一条水平直线上．某学习小组在台阶处测得塔顶部的仰角为45°，在台阶处测得塔顶部的仰角为39°（参考数据：， ） （1）求的长； （2）求塔的高度．（结果精确到个位） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）解得到，则； （2）过点D作于H，则四边形是矩形，可得，解得到，设，则；解得到，解 得到，则，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵的坡度为， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过点D作于H，则四边形是矩形， ∴， 在中，， 设，则； 在中，， 在 中，， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：塔的高度约为 ． 18. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点，与 轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）请直接写出关于 的不等式的解集； （3）连接、，在直线上是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，反比例函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，三角形的面积的计算，正确求出一次函数和反比例函数解析式是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，用待定系数法即可求出一次函数表达式； （2）根据函数图像找到一次函数的图像在反比例函数图像上方时自变量的取值范围即可得到答案； （3）求出点坐标，根据、、三点坐标求出的面积，再得到的面积，设，利用三角形面积求出 的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：把代入，得，解得， 反比例函数表达式为， 在中，当 时，，， ∴ 把，代入，得， ， 一次函数表达式为 ； 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当时，一次函数的图像在反比例函数图像上方， ∴关于 的不等式的解集为； 【小问3详解】 解：在 中，当 时，则得， ， 点的坐标为， ， ， 设，则，得 ∴， ， 解得：或， 故或． 19. 如图所示，是上的弦（点C异于点A），连接，，，E为上一点，连接 ，且，F是延长线上的一点，使得，连接，交于点G． （1）求证： 是的切线． （2）若，求 ． 【答案】（1） 证明：如图1：连接， ∵， ∴为的直径，即经过点O， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为的直径， ∴ 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）如图1：连接，根据得为的直径，根据得，再根据 得，则，然后根据得，再根据三角形内角和定理可得，由此即可得出结论； （2）如图2：连接交于K，连接交于H，连接，先证明，根据垂径定理得，由勾股定理求出 ，则，进而由勾股定理分别求出；再证明得，则，再证明得，然后在中由锐角三角函数定义可求出 的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2：连接交于K，连接交于H，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵为的直径， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵ ∴， ∴， 在中， 【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识点，灵活运用相似三角形的性质及勾股定理进进行计算是解决问题的关键． B卷 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 20. 某等腰三角形的一边长为3，另外两边长是关于 的方程的两根，则_______； 【答案】36 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分当腰长为3时，当底边长为3时，两种情况分别求出腰长或底边长，再根据构成三角形的条件进行验证即可得到答案． 【详解】解：当腰长为3时，则是方程的一个根， ∴， 解得， ∴原方程为， 解方程得或， ∴底边长为9， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当底边长为3时，则方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴原方程为， 解方程得， ∴腰长为6， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 综上所述，； 故答案为：36． 21. 折纸能锻炼人的综合协调能力，包括手、眼和大脑． 如图，纸艺社团的小凡拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿 折叠，再将折叠后的纸片沿 折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现， 则的度数是__________． 【答案】## 度 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，理解并掌握折叠后对应的角相等，角的互补关系，直角三角形两锐角互余等知识是解题的关键． 根据折叠可得，，由与互补可得，从而求出的度数，在中根据直角三角形两锐角互余可得的度数，由对顶角相等可得的度数，最后再由折叠的性质得，由此即可求解． 【详解】解：将纸片沿   折叠，再将折叠后的纸片沿  折叠，使得与重合， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 故答案为： ． 22. 对于任意实数，m，n，定义一种运算：，请根据上述定义解决问题：若关于x的不等式的解集中只有一个整数解，则实数a的取值范围是________． 【答案】6≤a＜ 【解析】 【分析】根据新定义列出不等式组，解关于x的不等式组，再由不等式的解集中只有一个整数解得出关于a的不等式组求解可得． 【详解】解：根据题意，得：， 解不等式①，得：x＜﹣2a+6， 解不等式②，得：x＞﹣8， ∵不等式的解集中只有一个整数解， ∴﹣7＜﹣2a+6≤﹣6， 解得：6≤a＜， 故答案为：6≤a＜． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组的能力和不等式组的整数解，根据新定义列出关于x的不等式组是解题的关键． 23. 如图，为正方形内一点，，连接，，分别是，的中点，若 ，则 的最小值是______________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，根据三角形中位线定理得到，又有、、三点共圆，圆心为的中点，当、、三点共线时，的值最小，即 的值最小，利用正方形性质和勾股定理得到，进而推出，即可解题． 【详解】解：，分别是，的中点， 连接， ， ， 、、三点共圆，圆心为的中点， 当、、三点共线时，的值最小，即 的值最小， 连接，交于点， 四边形为正方形， ， ， ， ， 的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形性质，勾股定理，三点共圆，三角形中位线定理，解题的关键在于找到最小值情况． 24. 我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．观察如图的杨辉三角，它也可以得到的展开式的各项系数，例如，，，，按照其规律，则的项的系数为______，进一步计算，为自然数，计算结果中项的系数为______（用含的代数式表示） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，根据题意可得，即可得到的项的系数，再分别求出第项的系数，可得，第项系数为 ，进而得到第项的系数为，即得，进而解答即可求解，找到系数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：根据规律可得： ∴， ∴项的系数为， 时，第项系数为， 时，第项系数为， 时，第项系数为， 时，第项系数为， ， ∴，第项系数为， ∴第项为，故系数为， 第项为，故系数为， 第项为，故系数为， ， ∴第项的系数为， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：， 五、解答题（本大题共3小题，共30分） 25. 据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． （1）求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ （2）因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？ 【答案】（1）购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元 （2）最少要花3210元钱 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是 元，元，再依题意列出，进行计算，即可作答． （2）先设该玩具店购进种哪吒玩偶个，则该玩具店购进种哪吒玩偶个，根据种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，得，解得，再设购进、两种哪吒玩偶所需元，得，运用一次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍， ∴设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是 元，元， ∵某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．购进两种玩偶的数量共15个． ∴， 解得 ， 经检验： 是原分式方程的解， 则（元） ∴购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， 【小问2详解】 解：∵该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个， ∴设该玩具店购进种哪吒玩偶个，则该玩具店购进种哪吒玩偶个， ∵种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍， ∴， 解得， 设购进、两种哪吒玩偶所需元， ∵、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， ∴， ∵， ∴随着的增大而减小， ∵，且为正整数， ∴当时，有最小值，且． 26. 已知点C为和 的公共顶点，将 绕点C顺时针旋转 ，连接，． （1）问题发现：如图1所示，若和 均为等边三角形，则线段与线段的数量关系是________； （2）类比探究：如图2所示，若 ， ，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：如图3所示，若 ，， ，，当点B，D，E三点共线时，求的长． 【答案】（1） （2） ，理由为： 如图2，∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ，则， ∴ ， ∴， ∴ ； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质和三角形的判定证明，根据全等三角形的对应边相等可得结论； （2）根据含30度角的直角三角形的性质得到，证明 得到即可得到结论； （3）先根据等腰直角三角形的性质和得到， ，证明 得到 ，分点D在线段上时和E在线段上时两种情况，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求得 ，，进而求得即可求解． 【小问1详解】 解：如图1，∵和 均为等边三角形， ∴， ， ， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴ ， 故答案为： ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵ ，， ， ∴ ， ， ， ∴， ， ∴ ，则， ∴ ， 当点D在线段上时，如图4， ∵ ， ，， ∴由得 ， ∴， 则 ， ∴； 当E在线段上时，如图5， 则 ， ∴， 综上，当点B，D，E三点共线时，的长为或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，解答的关键是找到全等三角形或相似三角形解决问题． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为直线下方抛物线上的一动点， 于点M，轴交于点N．求线段 的最大值和此时点P的坐标； （3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2），P（，）；（3）（-5，0）或（，0）或（0，0）或（，0） 【解析】 【分析】（1）将A、B坐标代入，利用待定系数法求解； （2）证明∠PNM=45°，得到PM=PN，求出PN，利用二次函数的性质得到PN的最大值即可得到结果； （3）画出图形，分情况讨论，根据等腰直角三角形的性质构造全等三角形，得到方程，解之可得点E坐标． 【详解】解：（1）将A，B代入中， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）令x=0，则y=-3， ∴C（0，-3）， ∵B（3，0）， ∴∠OBC=∠OCB=45°， ∵PN∥y轴， ∴∠PNM=45°， ∵PM⊥BC， ∴PM=PN，则当PN最大时，PM最大， 设BC的解析式为y=mx+n， 则，解得：， ∴BC的解析式为y=x-3， 设P（x，），N（x，x-3）， 则PN==， 当x=时，PN最大，则PM=PN==， 此时P（，）； （3）∵△CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形， 设Q（x，）， 如图，过E作x轴的垂线，再分别过C和Q作y轴的垂线，分别交于M，N， ∵∠CEQ=90°，即∠QEN+∠CEM=90°，∠QEN+∠EQN=90°， ∴∠CEM=∠EQN，又∠M=∠N=90°，EQ=EC， ∴△QNE≌△EMC（AAS）， ∴CM=EN=，NQ=EM=3， 则， 即， 解得：x=-2或x=3（舍）， ∴OE=CM=2+3=5，即E（-5，0）； 如图，过E作x轴的垂线，再分别过C和Q作y轴的垂线，分别交于M，N， 同理可得，△QNE≌△EMC（AAS）， ∴CM=EN=，NQ=EM=3， ∴， 解得：x=或（舍）， ∴OE=CM=，即E（，0）； 如图，点E和点O重合，点Q和点B重合， 此时E（0，0）； 如图，过E作x轴的垂线，再分别过C和Q作y轴的垂线，分别交于M，N， 同理可得，△QNE≌△EMC（AAS）， ∴CM=EN=，NQ=EM=3， ∴， 解得：x=（舍）或， 则OE=CM=，即E（，0）； 综上：点E的坐标为（-5，0）或（，0）或（0，0）或（，0）． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解一元二次方程，理解坐标与图形性质，进行分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省广安友谊中学2025年上期 初2022级半期考试试题数学 （考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．本试卷分为试题卷（1-6页）和答题卡两部分． 2．考生答题前，请先将姓名、准考证号等信息用黑色墨迹签字笔填写在答题卡上的指定位置． 3．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡上的相应位置，非选择题用0.5毫米黑色字迹签字笔答在答题卡上的相应位置．超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；作图题应先用铅笔画，确定不修改后，再用黑色字迹签字笔描黑． 4．考试结束后，只交答题卡． A卷（共100分） 一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡相应位置上．本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 点在数轴上的位置如图所示，则点表示的数的倒数是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 数据显示，自2025年1月10日正式发布至2025年1月26日， 的全球下载量已突破1600万次，这无疑是 应用市场上的一次巨大成功，数据1600万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一个由6个大小相同、棱长为1的正方体搭成的几何体，下列关于这个几何体的说法正确的是（ ） A. 主视图的面积为6 B. 左视图的面积为2 C. 俯视图的面积为4 D. 俯视图的面积为3 4. 下列说法正确的是（ ） A. “某同学投篮球，投中”是随机事件 B. 天气预报“明天降水概率 ”，是指明天有12小时会下雨 C. 甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，则乙的成绩更稳定 D. 了解某市九年级学生的视力情况，采用全面调查 5. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米．停车场内车道的宽都相等，若停车位的总占地面积为390平方米，列方程求解车道宽度时，设车道宽度为（单位：米），下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（　　） A. B. C. D. 7. 某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，电阻随人的质量m的变化而变化，此时可通过电压表显示的读数换算为人的质量．已知随的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量m的关系见图3，则下列说法不正确的是（ ） A. 在一定范围内，越小越大 B. 当时，的阻值为 C. 当踏板上人的质量为时， D. 若电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是 8. 已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则方程的另一个根是（　　） A. 1 B. C. 2 D. 9. 如图，菱形的周长为48，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，且该圆锥的高为8．则扇形（阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4 二、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置．本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 11. 因式分解：=______． 12. 如图，的一边为平面镜，，一束光线（与水平线平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在上的点E处，则的度数是_______度． 13. 若一组数据1，3，2，2，5，3，2，4，6的中位数是，众数是，实数，满足方程组，则___________． 14. 如图，在 中，， ，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在 内交于点；作射线，交于点，交延长线于点，则___________． 三、计算题：（本大题共6小题，共44分） 15. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，若，请你选取一个合适的整数，求出原式的值． 16. 某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：．高锰酸钾制取氧气；．电解水；．木炭还原氧化铜；．高温煅烧石灰石；．碳酸钠和稀盐酸反应，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）． 请结合统计图，回答下列问题： （1）________，所对应的扇形圆心角是________ ； （2）请你根据调查结果，估计该校九年级名学生中有________人最喜欢的实验是“．高温煅烧石灰石” （3）某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊，若小明从上面的五个实验中任意选取两个，请求出两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率________． 17. 广安白塔，又名“舍利宝塔”，位于广安老城南两千米的渠江聋子滩上．广安白塔修建于南宋淳熙至嘉定年间（1174年～1224年），为宋资政大学士、少师安丙建造．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的台阶，已知 ，的坡度为点，，在同一条水平直线上．某学习小组在台阶处测得塔顶部的仰角为45°，在台阶处测得塔顶部的仰角为39°（参考数据：， ） （1）求的长； （2）求塔的高度．（结果精确到个位） 18. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点，与轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）请直接写出关于的不等式的解集； （3）连接、，在直线上是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 如图所示，是上的弦（点C异于点A），连接，，，E为上一点，连接 ，且，F是延长线上的一点，使得，连接，交于点G． （1）求证： 是的切线． （2）若，求 ． B卷 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 20. 某等腰三角形的一边长为3，另外两边长是关于的方程的两根，则_______； 21. 折纸能锻炼人的综合协调能力，包括手、眼和大脑． 如图，纸艺社团的小凡拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿 折叠，再将折叠后的纸片沿 折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现， 则的度数是__________． 22. 对于任意实数，m，n，定义一种运算：，请根据上述定义解决问题：若关于x的不等式的解集中只有一个整数解，则实数a的取值范围是________． 23. 如图，为正方形内一点，，连接，，分别是，的中点，若 ，则 的最小值是______________． 24. 我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．观察如图的杨辉三角，它也可以得到的展开式的各项系数，例如，，，，按照其规律，则的项的系数为______，进一步计算，为自然数，计算结果中项的系数为______（用含的代数式表示） 五、解答题（本大题共3小题，共30分） 25. 据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． （1）求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ （2）因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？ 26. 已知点C为和 的公共顶点，将 绕点C顺时针旋转 ，连接，． （1）问题发现：如图1所示，若和 均为等边三角形，则线段与线段的数量关系是________； （2）类比探究：如图2所示，若 ， ，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：如图3所示，若 ，， ，，当点B，D，E三点共线时，求的长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为直线下方抛物线上的一动点， 于点M，轴交于点N．求线段 的最大值和此时点P的坐标； （3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $