精品解析：贵州省铜仁市石阡县石阡中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

贵州省铜仁市石阡县石阡中学2023-2024学年高二上学期期末考试 高二数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 10 2. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 若直线与单位圆交于A，B两个不同的点，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 已知直线经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线（）的两条渐近线为，，过双曲线右焦点且垂直于轴的直线交，分别于点，，为坐标原点，若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 6. 双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，右支上一点满足，直线平分，过点作直线的垂线，垂足分别为.设为坐标原点，则的面积为（ ） A. B. C. 10 D. 7. 数列满足，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 8. 设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 公差为的等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 中最大 D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递减 B. 当时，函数没有最值 C. 当时，过原点且与相切的直线有两条 D. 对任意，函数恒有两个极值点 11. 已知点F是抛物线C：的焦点，点A是抛物线C的准线与x轴的交点，过点A且斜率为k的直线l与C交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. k的取值范围为 B. C. 若，则或 D. 点M关于x轴的对称点在直线NF上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若椭圆的左焦点在抛物线（）的准线上，则的值为_____． 13. 如图，已知，是双曲线的右支上的两点（点在第一象限），点关于坐标原点对称的点为，且，若直线的斜率为，则该双曲线的离心率为__________． 14. 已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题 15. 已知数列中，，数列满足. （1）证明是等差数列，并求的通项公式； （2）令；求． 16. 已知点，圆过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点． （1）求的轨迹方程； （2）当，求的方程及的面积． 17. 已知椭圆的离心率为，且过点．圆的圆心为是椭圆上的动点，过原点作圆两条斜率存在的切线，． （1）求椭圆的标准方程； （2）记直线，的斜率分别为，，求的值． 18. 如图，在中，.将绕旋转得到，分别为线段的中点． （1）求点到平面的距离； （2）求二面角的正弦值． 19. 已知函数在点处的切线与直线垂直. （1）求实数的值； （2）求函数在区间的最大值和最小值； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省铜仁市石阡县石阡中学2023-2024学年高二上学期期末考试 高二数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面垂直列方程，从而求得. 【详解】由于，所以， 所以，所以. 故选：B 2. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的方程得出圆心坐标，再由点到直线的距离公式即可求解. 【详解】圆的圆心坐标， 所以圆心到直线的距离为. 故选:D. 3. 若直线与单位圆交于A，B两个不同的点，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系与解三角形相关知识，对两个条件进行正反推理论证，即可得结果. 【详解】若，则圆心到直线得距离， 又半径，， 则，，故，即充分性成立； 若，则是等腰直角三角形，， 则圆心到直线得距离，即， 得，则，即必要性不成立； 综上所述：是的充分不必要条件． 故选：A． 4. 已知直线经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线与两坐标轴的焦点为，.根据，可设椭圆的方程为，求出即可. 【详解】令，可得；令，可得. 则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为，. 因为，所以椭圆的焦点在轴上. 设椭圆的方程为，则，， 所以椭圆的方程为. 故选：C. 5. 已知双曲线（）的两条渐近线为，，过双曲线右焦点且垂直于轴的直线交，分别于点，，为坐标原点，若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线方程可得渐近线方程，结合轴且过右焦点，可得.再根据的面积与双曲线方程即可解得. 【详解】由双曲线方程得其渐近线方程为， 由题知轴且过右焦点，令，得，. 则的面积，解得. 双曲线（），，解得. 故选：. 6. 双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，右支上一点满足，直线平分，过点作直线的垂线，垂足分别为.设为坐标原点，则的面积为（ ） A. B. C. 10 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，结合几何图形及双曲线定义可得的面积得解.， 【详解】由双曲线的离心率为，得，解得， 令直线交的延长线交于，直线交于，则， 由平分，且，得， 则，， 显然分别为线段的中点，而是的中点，于是， ，即，， 所以的面积. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题求出面积的关键是作出点，借助几何图形的特征，结合双曲线定义求得. 7. 数列满足，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先应用等差数列的前n项和求出，再应用裂项相消计算求和即可. 【详解】因为，则， 所以数列的前项和为. 故选：B. 8. 设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据导数的概念求出函数的导数，然后根据导数的几何意义结合点P处切线倾斜角的取值范围是，列不等式可求出结果. 【详解】 又曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为， 所以其斜率， 所以，解得， 所以点P横坐标的取值范围为， 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 公差为的等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 中最大 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由得，由得，则，即可判断ABC；根据和等差数列下标和的性质可得，即可判断D. 【详解】A：由，得， 由，得，所以，所以，故A错误； B：由选项A的分析知，，故B错误； C：因为，，，所以数列是递减数列， 其前6项为正，从第7项起均为负，故最大，故C正确； D：由选项A的分析知，，，， 所以，且，即，所以，故D正确. 故选：CD 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递减 B. 当时，函数没有最值 C. 当时，过原点且与相切的直线有两条 D. 对任意，函数恒有两个极值点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，求导判断导数符号即可；对于B，求导得出函数单调性，进一步根据极限情况即可判断；对于C设出切点，从而表示出切线方程，再根据切线过原点可以得到一个关于切点横坐标的方程，判断方程解的个数即可；对于D， 求导，由导数与极值的关系即可判断. 【详解】对于A选项，当时，，则， 当时，恒有，因此在上单调递减，故A正确； 对于选项B，，令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，当时，，故无最大值， 又当时，，且，故有最小值，且最小值在处取得，故B错误； 对于选项C，设切点为，则切线方程为， 因为该切线过原点，所以，即，即， 当时，方程有2解，C正确； 对于选项D，由题可得，令， 因为，所以，， 即存在两个不同的根，所以恒有两个极值点，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知点F是抛物线C：的焦点，点A是抛物线C的准线与x轴的交点，过点A且斜率为k的直线l与C交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. k的取值范围为 B. C. 若，则或 D. 点M关于x轴的对称点在直线NF上 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点、准线方程，将直线的方程与抛物线方程联立，由判别式判断A；利用抛物线的定义结合几何图形推理判断B；利用韦达定理求出判断C；利用斜率坐标公式、结合韦达定理求解判断D. 【详解】抛物线C：的焦点，准线，点，直线， 对于A，由消去得：，依题意，， 解得且，因此k的取值范围为，A正确； 对于B，过作准线的垂线，垂足分别为，则， 因此，即，B正确； 对于C，由，得，设， 则，而，联立解得，C错误； 对于D，直线的斜率，直线的斜率， ， 令点M关于x轴的对称点为，则直线的斜率， 而直线与直线有公共点，因此点在直线上，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：作出几何图形，利用平行线分线段成比例，结合抛物线定义是判断选项B的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若椭圆的左焦点在抛物线（）的准线上，则的值为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】求出椭圆的左焦点坐标，进而求出值. 【详解】椭圆的半焦距，其左焦点为， 抛物线的准线，则， 所以. 故答案为：6 13. 如图，已知，是双曲线的右支上的两点（点在第一象限），点关于坐标原点对称的点为，且，若直线的斜率为，则该双曲线的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】作图，取的中点并连接，得到，，从而求出直线的斜率，设，，利用点差法得到的值，再根据离心率的公式计算即可得结果. 【详解】如图，设直线与轴交于点，取的中点，连接， 由双曲线的对称性可知为线段的中点，则，所以．由直线的斜率，得， 则直线的斜率． 设，，则两式相减，得，化简得，即， 所以该双曲线的离心率． 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题主要用到了点差法，即利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出两交点的中点坐标和直线斜率的关系，然后再结合题中的相应条件建立等式便可解决问题. 14. 已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】法一：依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案. 【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点 因为，所以方程的两个根为， 即方程的两个根为， 即函数与函数的图象有两个不同的交点， 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 所以当时，，即图象在上方 当时，，即图象在下方 ，图象显然不符合题意，所以． 令，则， 设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为， 则切线的斜率为，故切线方程为， 则有，解得，则切线的斜率为， 因为函数与函数的图象有两个不同的交点， 所以，解得，又，所以， 综上所述，的取值范围为． [方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导 =0的两个根为 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 设函数，则， 若，则在上单调递增，此时若， 则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数 且的极小值点和极大值点，则，不符合题意； 若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以. 【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解； 法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题 15. 已知数列中，，数列满足. （1）证明是等差数列，并求的通项公式； （2）令；求． 【答案】（1）证明：， 又数列是为首项，1为公差的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义计算即可； （2）先算出数列的前项和为，根据或分类讨论即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记的前项和为，则 由，得，即时，时，， ①时，. ②时， 所以. 16. 已知点，圆过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点． （1）求的轨迹方程； （2）当，求的方程及的面积． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由圆的方程求出圆心坐标和半径，设出坐标，由与数量积等于0列式得的轨迹方程； （2）法一：由确定点M与点P坐标满足的等式，再结合（1）中轨迹方程，可求得l的方程，进而求弦长、圆心到直线的距离，即可求面积； 法二：由确定点M与点P坐标满足的等式，求得坐标，确定直线方程，后同法一. 【小问1详解】 设点，当点不与点重合时，即当且时， 由垂径定理可知,即 又圆的圆心为， 则， ∴，即 当点与点重合时，点的坐标也满足方程 故点的轨迹方程为圆：. 【小问2详解】 当时，点与点满足圆的方程 又点与点在圆：上 ∴直线为圆和圆的交线，圆与圆的方程相减得， 直线的方程为，即 ∴的方程为： 点到直线的距离， 又圆的半径， ∴弦长， ∴的面积； 法二：设 由题意可得，解得，即点 又， ∴直线的方程为 ，则直线的方程为，且 点到直线的距离为 故的面积 17. 已知椭圆的离心率为，且过点．圆的圆心为是椭圆上的动点，过原点作圆两条斜率存在的切线，． （1）求椭圆的标准方程； （2）记直线，的斜率分别为，，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率和所过点的坐标求得，从而求得椭圆的方程； （2）设出过原点的圆的切线方程，根据圆心到切线的距离建立关于斜率的方程，再由根与系数的关系求出，利用圆心在椭圆上得到关系，代入消元即可得出的值. 【小问1详解】 依题意，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设过原点的圆的切线方程为，即， 则，两边平方并化简得， 其两根满足， 是椭圆上的点，所以. . 即的值为. 18. 如图，在中，.将绕旋转得到，分别为线段的中点． （1）求点到平面的距离； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，作，垂足为.证明平面，即点到平面的距离为的长度．求出即可. （2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出关键点和法向量坐标，用向量法可解. 【小问1详解】 取的中点，连接，作，垂足为 因为为的中点，所以. 又，所以平面. 因为平面，所以．又， 所以平面，即点到平面的距离为的长度. 易知平面，所以． 因为是边长为2的等边三角形，所以，又， 所以，所以． 【小问2详解】 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 所以， 设平面的法向量为， 可得，令，则， 所以平面的法向量为， 设平面的法向量为， 可得，令，则， 所以平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 则二面角的正弦值为. 19. 已知函数在点处的切线与直线垂直. （1）求实数的值； （2）求函数在区间的最大值和最小值； （3）证明：. 【答案】（1）； （2），； （3） 由，得在上恒成立. 令，可得， 令，可得， 当时，，所以在单调递减， 当时，在单调递增. 又， ， 所以在中存在唯一的使得， 在中存在唯一的使得， 即有. 因为在单调递减，在单调递增， 所以当时，；当时，； 当时，；当时，. 又， 所以当时，；当时，； 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 在单调递减，在单调递增， 所以时，的极小值为，① 时，的极小值为. 因为， 可得，所以， 即，所以. 将和代入①得， 同理可得，所以，所以， 所以 故成立. 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义和直线垂直的充要条件求解； （2）由（1）求得极值和端点值可解； （3）由，得在上恒成立, 令，利用导数求函数的最小值，即可得证. 【小问1详解】 由，得， 所以， 因为函数在点处的切线与直线垂直， 所以，所以. 【小问2详解】 由（1）得，所以， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以， . 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $