精品解析：2025年江西省九江市修水县中考二模数学试题

修水县2025年初中学考模拟考试 数学试题卷 说明： 1．本试题卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 在实数0，， ，中，最大的数是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 2025年1月18日，根据地区生产总值统一核算结果，2024年江西省地区生产总值为34202.5亿元，按不变价格计算，同比增长．34202.5亿可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 观察如图所示的几何体，下列关于其三视图的说法正确的是（　　） A. 主视图既是中心对称图形，又是轴对称图形 B. 左视图既是中心对称图形，又是轴对称图形 C. 俯视图既是中心对称图形，又是轴对称图形 D. 主视图、左视图、俯视图都是中心对称图形 5. 某种化合物的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法中正确的是（） A. 该化合物的溶解度随着温度的升高而增大 B. 当化合物的溶解度为时，温度为 C. 当温度为时，该化合物的溶解度最大，是 D. 当温度为时，该化合物的溶解度为 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：a3－a=______． 8. 不等式组的解集是_____． 9. 已知m，n是一元二次方程x2+4x﹣2＝0的两根，则代数式m2+n2的值等于 _____． 10. 小亮利用杠杆原理（动力动力臂=阻力阻力臂）制作了如图所示的天平（杠杆、托盘质量忽略不计），然后用它来称取物品质量．如图1，当天平左盘放置质量为的物品，右盘中放置砝码时，天平平衡．如图2，将某物品放在右盘后，左盘放置砝码，才可使天平再次平衡，则该物品的质量是_____g． 11. 某景点的夜景灯图案是按一定规律连线组成的，如图，第①个图案一共有4个夜景灯，第②个图案一共有7个夜景灯，第③个图案一共有10个夜景灯…按此规律排列下去，第ⓝ个图案中夜景灯的个数为_____． 12. 在中，，，，点 在 上，，点 在 上，连接，是的中点．若是等腰三角形，则的长为_____． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）如图，在 中，，是 边上一点，过点作交 于点 ，在 边上取点，使．求证：四边形是平行四边形． 14. 下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解答问题． 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 ．第五步 （1）以上化简过程是从第_____步开始出现错误的，这一步出错的原因是_____； （2）请写出正确的化简过程． 15. 数学老师为了帮助班上的后进生进行“日日清”训练，每天为作业中有多处错误的同学设计A，B，C，D四份基础题，并将基础题写在背面完全相同且大小一样的四张卡片上，然后让这部分同学随机抽取卡片进行过关训练． （1）小明同学从A，B，C，D四份基础题中任选一份，选中A的概率是_____； （2）小明和小红分别从A，B，C，D四份基础题中随机抽取一份，求这两名同学恰好抽到同一份基础题的概率． 16. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度， 的三个顶点的位置如图所示．请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作出 边上的高； （2）在图2中作出线段 的三等分点 ，． 17. 图1所示是某地红色广场标牌，将其红色主体部分抽象为图2，，，，，． （1）求的度数； （2）求 的长．（结果精确到．参考数据：，，） 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分、共24分） 18. 在某中学团支部爱心义卖活动中，准备了无人机模型和玩具车模型共100台，若售出3台无人机模型和2台玩具车模型收入130元，售出4台无人机模型和3台玩具车模型收入180元． （1）问两种模型的售价各是多少元？ （2）已知无人机模型的数量不超过66，在可以全部售出的情况下，准备两种模型各多少台时总收入最多？并求出总收入的最大值． 19. 《义务教育数学课程标准（2022年版）》颁布后，数学新版教材陆续修订与试用中，甲、乙两所中学对新版八年级数学教材进行了试用．为了了解试用情况，对这两所学校的八年级学生进行了问卷评分调查，将整体评分记为．现从中各随机抽取100名学生的问卷，并将整体评分数据分为5组（很满意—，满意—，比较满意—，不太满意—，不满意—），得到如下信息： 整理描述 a．被抽取的甲中学学生整体评分频数分布直方图 b．被抽取的乙中学学生整体评分扇形统计图 c．被抽取的甲、乙两所学校学生整体评分的平均数、中位数、众数如下： 学校 平均数 中位数 众数 甲 85 83 乙 84 79 80 d．甲中学“满意”的分数从高到低排列，排在最后的10个数是83，83，83，83，82，81，81，81，80，80． （1）填空：_____，_____． 分析处理： （2）根据以上数据，你认为哪所中学的整体评分较高？请说明理由；（一条即可） （3）教材评估组指出，整体评分在80分及以上的试用教材才算合格教材．已知甲中学有1200名学生参加了问卷调查，乙中学有1000名学生参加了问卷调查，请你估计两所中学中认为试用教材合格的学生总人数． 20. 已知正方形 的三个顶点，恰好落在反比例函数的图象上，如图所示． （1）求反比例函数的解析式； （2）求直线 的解析式； （3）连接，求的面积． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在 中，，点， 分别在边 ， 上，以 为半径作 ，交 于点． （1）判断与 的位置关系，并证明； （2）当是 的中点时， 若，求的长． 当 满足什么条件时，四边形是正方形？请直接写出来． 22. 已知二次函数． （1）求证：该二次函数的图象与轴始终有两个交点； （2）若该二次函数图象的顶点坐标为． ①当取不同值时，发现点均在一个函数图象上，求这个函数图象的解析式； ②若①中函数图象上的点在直线的上方，写出点的横坐标的取值范围，并求点到直线的最大距离． 六、解答题（本大题共12分） 23. （1）【问题探索】如图1， 和都是等边三角形，连接 ，．求证：． （2）【类比发现】如图2， 和都是等腰直角三角形，．连接 ，．请你判断 与的数量关系，并证明你结论． （3）【拓展提升】如图3， 和都是直角三角形，，且．连接 ，． ①求的值； ②延长交 于点，交 于点 ．求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 修水县2025年初中学考模拟考试 数学试题卷 说明： 1．本试题卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 在实数0，，，中，最大的数是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，根据负数小于零，正数大于零，比较即可． 【详解】解：， 则最大的数为：， 故选：D 2. 2025年1月18日，根据地区生产总值统一核算结果，2024年江西省地区生产总值为34202.5亿元，按不变价格计算，同比增长．34202.5亿可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：34202.5亿， 故选：B． 3. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的除法运算，幂的运算，同底数幂的除法运算，掌握各知识点是解题的关键． 由完全平方公式判断A；由二次根式的除法法则即可判断B；利用幂的、积的乘方计算公式判断C；利用同底数幂的除法计算公式判断D． 【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，写法正确，符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、，原写法错误，不符合题意； 故选：B． 4. 观察如图所示的几何体，下列关于其三视图的说法正确的是（　　） A. 主视图既是中心对称图形，又是轴对称图形 B. 左视图既是中心对称图形，又是轴对称图形 C. 俯视图既是中心对称图形，又是轴对称图形 D. 主视图、左视图、俯视图都是中心对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】先判断该几何体的三视图，再根据轴对称和中心对称图形定义逐项判断三视图，即可求出答案. 【详解】解：A选项：主视图是上下两个等腰三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； B选项：左视图是上下两个等腰三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； C选项：俯视图是圆（带圆心），既是中心对称图形，又是轴对称图形，故符合题意； D选项：由A和B选项可知，主视图和左视图都不是中心对称图形，故不符合题意. 故选：C. 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图、轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于掌握轴对称和中心对称的定义. 如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称. 5. 某种化合物的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法中正确的是（） A. 该化合物的溶解度随着温度的升高而增大 B. 当化合物的溶解度为时，温度为 C. 当温度为时，该化合物的溶解度最大，是 D. 当温度为时，该化合物的溶解度为 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，明确题意，准确从图象获取信息是解题的关键．直接观察图象，逐项判断即可求解． 【详解】解：A．观察图象得：当温度在时，该化合物的溶解度随着温度的升高先增大，然后逐渐减小，最后不变，原说法错误，不符合题意； B．当化合物的溶解度为时，温度不低于，原说法错误，不符合题意； C．当温度为时，该化合物的溶解度最大，是，原说法正确，符合题意； D．当温度为时，该化合物的溶解度为至之间某个数值，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断，熟练掌握以上函数图象的性质是解题的关键．根据一次函数图象可得，根据反比例函数可得，据此即可求解． 【详解】 一次函数的图象经过第一、二、四象限， ， ∴． 反比例函数的图象位于第二、四象限， ． 抛物线的开口向下，对称轴在 轴的右侧，与 轴交于负半轴，故B符合题意． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：a3－a=______． 【答案】a（a－1）（a + 1） 【解析】 【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解：a3-a =a（a2-1） =a（a+1）（a-1） 故答案为：a（a－1）（a + 1）． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握公式是解题的关键． 8. 不等式组的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 9. 已知m，n是一元二次方程x2+4x﹣2＝0的两根，则代数式m2+n2的值等于 _____． 【答案】20 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系与完全平方公式即可求解． 【详解】∵m，n是一元二次方程的两根， ∴，． ∴． 故答案为：20． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系和利用完全平方公式变形求解．掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 10. 小亮利用杠杆原理（动力动力臂=阻力阻力臂）制作了如图所示的天平（杠杆、托盘质量忽略不计），然后用它来称取物品质量．如图1，当天平左盘放置质量为的物品，右盘中放置砝码时，天平平衡．如图2，将某物品放在右盘后，左盘放置砝码，才可使天平再次平衡，则该物品的质量是_____g． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 设该药品质量为x克，根据“动力×动力臂=阻力×阻力臂”得，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设该药品质量为x克， 由题意可得： 解得． 故答案为：． 11. 某景点的夜景灯图案是按一定规律连线组成的，如图，第①个图案一共有4个夜景灯，第②个图案一共有7个夜景灯，第③个图案一共有10个夜景灯…按此规律排列下去，第ⓝ个图案中夜景灯的个数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】第①个图案中夜景灯的个数为；第②个图案中夜景灯的个数为；第③个图案中夜景灯的个数为所以第n个图案中夜景灯的个数为． 本题考查了整式的规律探解，掌握发现规律并表示规律是解题的关键 【详解】解： 第①个图案中夜景灯的个数为；第②个图案中夜景灯的个数为；第③个图案中夜景灯的个数为 所以第n个图案中夜景灯的个数为． 故答案为：． 12. 在中，，，，点 在上，，点在上，连接， 是的中点．若是等腰三角形，则的长为_____． 【答案】6，或 【解析】 【分析】需分三种情况讨论：①当时，连接，过点C作于点F，根据已知得结合平行四边形的性质求得，，进一步得，，，即可求得； ②当时，过点F作于点N，交于点M，过点C作于点H，则，有，同理可得，，，再证明得，进一步求得，，利用勾股定理求得和，则； ③当时，过点F作于点N，交于点M，过点C作于点H，同理可得，，，求得，利用即可． 【详解】解：若是等腰三角形，需分三种情况讨论． ①当时，连接，过点C作于点H，如答图1， ∵ 是的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∵在中，， ∴， ∵，，， ∴，，， 则； ②当时，过点F作于点N，交于点M，过点C作于点H，如答图2， 则， ∴， 同理可得，，， ∵ 是的中点， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， 在中，，则， ， 则； ③当时，过点F作于点N，交于点M，过点C作于点H，如答图3， 同理可得，，，，解得， ． 故答案为：6，或． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及含30度角的直角三角形的性质等知识点，解题的关键是熟悉平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，以及分类讨论思想的应用． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）如图，在 中，， 是边上一点，过点 作交 于点 ，在 边上取点 ，使．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）5； （2）证明：， ． ， ． ． ． 又， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据计算即可； （2）利用平行四边形的定义证明即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，等腰三角形的判定和性质，算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握判定和公式是解题的关键． 14. 下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解答问题． 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 ．第五步 （1）以上化简过程是从第_____步开始出现错误的，这一步出错的原因是_____； （2）请写出正确的化简过程． 【答案】（1）三，括号前面是“”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号； （2） 解： ． 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据分式的混合运算法则逐步分析即可； （2）根据分式的混合运算法则计算即可得出答案； 【小问1详解】 解：以上化简过程是从第三步开始出现错误的．这一步出错的原因是括号前面是“”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号， 故答案为：三，括号前面是“”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号； 【小问2详解】 略 15. 数学老师为了帮助班上的后进生进行“日日清”训练，每天为作业中有多处错误的同学设计A，B，C，D四份基础题，并将基础题写在背面完全相同且大小一样的四张卡片上，然后让这部分同学随机抽取卡片进行过关训练． （1）小明同学从A，B，C，D四份基础题中任选一份，选中A的概率是_____； （2）小明和小红分别从A，B，C，D四份基础题中随机抽取一份，求这两名同学恰好抽到同一份基础题的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，掌握通过列举法求概率的方法是解题关键． （1）直接由概率公式求解即可； （2）通过列表，共有16个等可能的结果，两位同学恰好抽到同一份基础题的结果有4个，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 小明同学从A，B，C，D四份基础题中任选一份，选中A的概率是 【小问2详解】 列表如下： A B C D A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D） 由上表知，一共有16种等可能的结果，其中这两名同学恰好抽到同一份基础题的结果有4种． P（这两名同学恰好抽到同一份基础题）． 16. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度， 的三个顶点的位置如图所示．请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作出 边上的高； （2）在图2中作出线段 的三等分点 ， ． 【答案】（1） 如图，即为所求， AI （2） 如图，点E、F即为所求， AI 【解析】 【分析】本题考查了格点作图，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例等知识，解题的关键是： （1）取格点M、N，连接、相交于O，连接并延长交 于H即可； （2）取格点M、N、P、Q，连接 、交 于E、F即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 理由：如图， 由网格可知：，，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴； 【小问2详解】 解：如图，点E、F即为所求， 理由： 由网格知，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴E、F为 的三等分点． 17. 图1所示是某地红色广场标牌，将其红色主体部分抽象为图2，，，，，． （1）求的度数； （2）求 的长．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查四边形内角和、含度角直角三角形的性质、矩形的判定和性质和解直角三角形的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． （1）根据四边形内角和为即可求解； （2）过点作，，垂足分别为 ， ，得到四边形为矩形，再根据矩形的性质和度角直角三角形的性质可得，然后根据解直角三角形的知识即可求解； 【小问1详解】 解：∵在四边形 中，，，， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点作，，垂足分别为 ， ． ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即 的长约为； 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分、共24分） 18. 在某中学团支部爱心义卖活动中，准备了无人机模型和玩具车模型共100台，若售出3台无人机模型和2台玩具车模型收入130元，售出4台无人机模型和3台玩具车模型收入180元． （1）问两种模型的售价各是多少元？ （2）已知无人机模型的数量不超过66，在可以全部售出的情况下，准备两种模型各多少台时总收入最多？并求出总收入的最大值． 【答案】（1）无人机模型的售价是30元，玩具车模型的售价是20元 （2）准备无人机模型66台，玩具车模型34台时总收入最多，总收入的最大值为2660元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）设无人机模型的售价是 元，玩具车模型的售价是 元，根据售出3台无人机模型和2台玩具车模型收入130元，售出4台无人机模型和3台玩具车模型收人180元，可以列出相应的方程组，然后求解即可； （2）设准备无人机模型 台，总收入为元，列出一次函数关系式，再根据一次函数的性质求得结果． 【小问1详解】 设无人机模型的售价是 元，玩具车模型的售价是 元． 根据题意得，解得 答：无人机模型的售价是30元，玩具车模型的售价是20元． 【小问2详解】 设准备无人机模型 台，总收入为元， 则根据题意得． ∵，， ∴的值随 值的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为． 此时，， 所以准备无人机模型66台，玩具车模型34台时总收入最多，总收入的最大值为2660元． 19. 《义务教育数学课程标准（2022年版）》颁布后，数学新版教材陆续修订与试用中，甲、乙两所中学对新版八年级数学教材进行了试用．为了了解试用情况，对这两所学校的八年级学生进行了问卷评分调查，将整体评分记为 ．现从中各随机抽取100名学生的问卷，并将整体评分数据分为5组（很满意—，满意—，比较满意—，不太满意—，不满意—），得到如下信息： 整理描述 a．被抽取的甲中学学生整体评分频数分布直方图 b．被抽取的乙中学学生整体评分扇形统计图 c．被抽取的甲、乙两所学校学生整体评分的平均数、中位数、众数如下： 学校 平均数 中位数 众数 甲 85 83 乙 84 79 80 d．甲中学“满意”的分数从高到低排列，排在最后的10个数是83，83，83，83，82，81，81，81，80，80． （1）填空：_____，_____． 分析处理： （2）根据以上数据，你认为哪所中学的整体评分较高？请说明理由；（一条即可） （3）教材评估组指出，整体评分在80分及以上的试用教材才算合格教材．已知甲中学有1200名学生参加了问卷调查，乙中学有1000名学生参加了问卷调查，请你估计两所中学中认为试用教材合格的学生总人数． 【答案】（1）25，81.5 （2）解：甲中学的整体评分较高． 理由：甲中学整体评分的平均数、中位数和众数均比乙中学的高． （3）两所中学中认为试用教材合格的学生总人数约为1160 【解析】 【分析】（1）将即可求出m，将甲中学的评分从高到低排列后，处在中间位置的两个数为82，81，即可求解中位数． （2）比较平均数、中位数和众数即可求解． （3）将两所中心的总体数据分别乘以样本数据中合格人数的占比，相加即可． 【小问1详解】 解：（1） ，； 乙中学“比较满意”所占的百分比为，即 ． “满意”的分数从高到低排列，排在最后的10个数是83，83，83，83，82，81，81，81，80，80， 将甲中学的评分从高到低排列后，处在中间位置的两个数为82，81， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：． 两所中学中认为试用教材合格的学生总人数约为1160． 【点睛】本题考查了中位数、众数、平均数以及用样本数据估计总体，解题关键是理解它们的概念，并进行正确的计算． 20. 已知正方形 的三个顶点，恰好落在反比例函数的图象上，如图所示． （1）求反比例函数的解析式； （2）求直线 的解析式； （3）连接，求的面积． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题涉及正方形的性质、反比例函数和一次函数的解析式求解以及三角形面积的计算，解题的关键是正确的求得反比例函数的解析式． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得； （2），过点作 轴的平行线，过点分别作，交平行线于G、F． 证明，可得点C坐标，根据点的坐标求出直线解析式， （3）如图．连接，，由（2）可知，计算三角形面积． 【小问1详解】 解： 点恰好落在双曲线上， ．解得． A、B坐标为，． 将代入，得． 反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）可知．如图，过点作 轴的平行线， 过点分别作，交平行线于G、F． ； 可得，． 四边形 是正方形， ，． ． ， ． ， ． 点C坐标为，即． 设直线 的解析式为， 则解得 直线 的解析式为． 【小问3详解】 解：如图．连接，，由（2）可知 ． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在 中，，点 ， 分别在边， 上，以 为半径作，交 于点． （1）判断 与的位置关系，并证明； （2）当 是的中点时， 若，求 的长． 当 满足什么条件时，四边形是正方形？请直接写出来． 【答案】（1） 解： 与相切， 证明：如下图所示，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 又是的半径， 与相切； （2）；． 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、正方形的性质、切线的判定和性质． 连接，根据等边对等角可得：、，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：，从而可得，所以可知与相切； 当 是的中点时，可知 是的直径，所以，根据，可得，从而可知，根据直角三角形斜边上的中线等于线段的一半可知； 根据正方形的性质可知，，又因为，所以可知，所以可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如下图所示， 由题意得是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 四边形是正方形， ，， 又， ， ， ， 当 满足时，四边形是正方形． 22. 已知二次函数． （1）求证：该二次函数的图象与 轴始终有两个交点； （2）若该二次函数图象的顶点坐标为 ． ①当取不同值时，发现点 均在一个函数图象上，求这个函数图象的解析式； ②若①中函数图象上的点在直线的上方，写出点的横坐标 的取值范围，并求点到直线的最大距离． 【答案】（1） 证明：∵二次函数， ∴ 该二次函数的图象与 轴始终有两个交点； （2）①；②， 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出判别式，得出即可作答． （2）①先整理原式，得次函数图象的顶点坐标为．再设故，则，即这个函数图象的解析式为．②先运算出函数的图象与直线的交点的横坐标为0，2．再证明是等腰直角三角形，过点作轴，交直线于点 ，过点作，整理得，结合，当时， 的值最大为1，满足，最后在中，则，代入数值计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵二次函数， ∴对称轴为， 把代入， 得 ∴二次函数图象的顶点坐标为． 设 ． ． 这个函数图象的解析式为． ②∵①中函数图象上的点在直线的上方， ∴令， 整理得 解得． 函数的图象与直线的交点的横坐标为0，2． 记直线与 轴， 轴的交点坐标分别为点， 令时，则， ∴， 即， 令时，则， 即， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ 抛物线的开口向下， 点的横坐标 的取值范围为． 过点作轴，交直线于点 ，过点作， 设， 则 ∵ 当时， 的值最大为1，满足， ∵轴， ∴， ∵， ∴在中，则， ∴ 当 最大时，就有最大值， ∵当时， 的值最大为1， ∴． 点到该直线的最大距离为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数与坐标轴的交点问题，解直角三角形的相关性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. （1）【问题探索】如图1， 和都是等边三角形，连接 ， ．求证：． （2）【类比发现】如图2， 和都是等腰直角三角形，．连接 ， ．请你判断 与 的数量关系，并证明你结论． （3）【拓展提升】如图3， 和都是直角三角形，，且．连接 ， ． ①求的值； ②延长 交 于点 ，交于点．求的值． 【答案】（1）证明：和都是等边三角形， ，，，， ， ∴， ； （2）； 证明：和都是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ； （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据“”证明，即可得出； （2）证明，根据相似三角形的性质得出即可； （3）①先证明，得出，，再证明，得出即可； ②根据，得出，根据，得出，得出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）①∵，， ， ，， ， ， ； ②由①得：， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，求角的正弦值，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $