精品解析：　北京市海淀区北京理工大学附属中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024-2025学年度第二学期初二年级 数学期中练习 注 意 事 项 1．本试卷共7页，满分100分，时间90分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级名称、姓名和学号． 3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 第一部分 选择题 一、选择题（每题3分，共24分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式定义求解即可； 【详解】解：A、，所以该选项不是最简二次根式； B、，所以该选项不是最简二次根式； C、被开方数含有分母，所以该选项不是最简二次根式； D、是最简二次根式； 故选：D 2. 分别以下列线段a，b，c的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（ ） A. B. ， C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，当三角形中三边满足关系时，则三角形为直角三角形． 根据直角三角形的判定，符合即可；反之不符合的不能构成直角三角形． 【详解】解：A．由，设，因为，故不能构成直角三角形； B．因为，故不能构成直角三角形； C．因为，故能构成直角三角形； D．因为，故不能构成直角三角形； 故选：C． 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减法，二次根式的乘除法．根据二次根式的加减乘除计算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、2与不是同类二次根式，不能计算，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 4. 如图所示，校园内有一块等边三角形的空地，已知M，N分别是边的中点，量得米，若想把四边形用围栏围成一个花园，则需要围栏的长是（ ） A. 12米 B. 16米 C. 20米 D. 24米 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是三角形中位线定理、等边三角形的性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形的中位线等于第三边的一半求出BC的长，也就是等边三角形的边长，据此求解即可． 【详解】解：∵M，N分别是边的中点，米， ∴是的中位线， ∴米， ∵是等边三角形， ∴米， ∴米， ∴篱笆的长（米）． 故选：C． 5. 如图，在平行四边形中，连接，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟记平行四边形的对边平行是解题的关键． 根据平行线的性质可求得，然后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 6. 如图，在中，平分交于点E，若，，则的周长是（　　） A. 28 B. 30 C. 32 D. 34 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等角对等边，角平分线的定义，掌握它们是解题的关键． 先根据平行四边形的性质和角平分线的定义得，再求出平行四边形的一组邻边长，最后求周长即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，，， ， 平分， ， ， ， ， ， 平行四边形的周长为． 故选：C． 7. 下列情景中，可以表示y是x的函数的是（ ） ①某天的气温与时间x（时）的关系． ②正方形的面积与边长的关系． ③数轴上一个点的坐标y与这个点到原点的距离x的关系． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查函数的概念，掌握函数和自变量的一一对应关系是解题的关键． ①某天的气温随时间的变化而变化，且每一时刻对应唯一的温度，符合函数的定义；②正方形的面积随边长的变化而变化，且对于边长的每一个值，其面积都有唯一的值与之对应，符合函数的定义；③，即当一个点不与原点重合时，对于x的每一个值，y均有两个值与之对应，且互为相反数，不符合函数的定义． 【详解】解：根据函数的定义，某天的气温与时间x（时）的关系可以表示y是x的函数，故①符合题意； 正方形的面积与边长的关系可以表示y是x的函数，故②符合题意； 数轴上一个点的坐标y与这个点到原点的距离x的关系不能表示y是x的函数，故③不符合题意． 综上，表示y是x的函数的是①②． 故选：A． 8. 如图，已知等腰直角，，．射线在内部（），，．设，，，下列结论正确的是（ ） ① ② ③ ④ A. ①②③ B. ②③④ C. ②④ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、完全平方公式、算术平方根的相关概念，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． 根据题意易证，故，由全等三角形性质得，在中，，同理可得，，即，故结论①错误；由可得，故，即，由算术平方根定义可得，故结论②正确；因为，所以，，从而有，故即结论③，④正确． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴由勾股定理得，， ∵， ∴，故结论①错误， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，故结论②正确； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，故结论③，④正确． 综上，②③④正确． 故选：B． 第二部分 非选择题 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 10. 在直角三角形中，，，，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理解直角三角形成为解题的关键． 直接根据勾股定理解直角三角形即可． 【详解】解：∵在直角三角形中，，，， ∴． 故答案为：3． 11. 如图，在直角三角形中，，于点D，点E为边中点，若，则________． 【答案】38 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等边对等角、直角三角形两锐角互余等知识点，熟记直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求出，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，点E为边中点， ∴， ∴． 故答案为：38． 12. 我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有户不知高广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽，有竿不知其长短．横放，竿比门宽出4尺，竖放，竿比门长出2尺，斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线的长各是多少？设竿长为x尺，依据题意可列方程________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，设未知数建立关于未知数的方程是解题的关键． 利用勾股定理建立方程，解方程得出门高即可． 【详解】解：设竿长为x尺，则门宽为尺，门高尺，门对角线是x尺， 根据勾股定理可得：． 故答案为：． 13. 在菱形中，，，菱形的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形性质与判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 根据题意画出草图，利用菱形的性质结合可知为等边三角形，得到对角线的长，再根据勾股定理可求得对角线的长，即可求得菱形的面积． 【详解】解：由题可作图：， ∵四边形是菱形， ∴，是的角平分线，，，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴在直角通过勾股定理可得，， ∴， ∴， ∴； 14. 植物的光合作用受多种因素的影响，王同学在研究某绿色植物光合作用的氧气释放速度v（单位：毫克/小时）与光照强度L（单位：千勒克斯）之间的关系时，设计了如图1的实验装置．根据实验结果，绘制了和时氧气释放速度ν与光照强度L之间的关系图象（如图2），则下列说法正确的是________（填序号）． ①光照强度越大，该绿色植物释放氧气的速度越慢． ②当时，环境下的该绿色植物氧气释放速度比环境下的要快． ③当时，环境下的该绿色植物比环境下2小时后多释放约10毫克的氧气． ④当时，与环境下的该绿色植物氧气释放的速度基本一样． 【答案】②④ 【解析】 【分析】本题主要考查根据函数图象获取相关信息，理解题意、结合函数图象求解是解题关键． 根据函数图象的获取信息判定即可． 【详解】解：根据函数图象得： ①光照强度越大，该绿色植物释放氧气的速度越快，故原说法错误； ②当时，环境下的该绿色植物氧气释放速度比环境下的要快，说法正确； ③当时，环境下的该绿色植物得氧气释放速度为毫克/小时， 16℃环境下的该绿色植物得氧气释放速度为毫克/小时， 2小时后多释放毫克氧气，近似毫克氧气，故原说法不正确； ④当时，与环境下的该绿色植物氧气释放的速度基本一样说法正确； 故答案为：②④． 15. 如图，在平行四边形中，过对角线上一点P作，，且，，则四边形的面积是________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 利用平行四边形的性质得到，利用平行四边形的判定与性质得到，，利用相似三角形的判定与性质求得，的面积，再利用四边形解答即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形，四边形，四边形，四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴． ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴． 故答案为：8． 16. 如图，在边长为2的正方形中，点M、N分别是边、上的动点，且，连接，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质和勾股定理的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题延长到点，使，连接、、，根据正方形的性质可得，，然后得到，，进而得到，再根据两点之间线段最短，然后通过勾股定理即可求解； 【详解】解：延长到点，使，连接、、，如图： ， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴由图可得的最小值为， 在中，勾股定理可得， ∵，， 解得：， ∴的最小值为：， 故答案为：； 三、解答题（第17题8分，第18题4分，第20、22题每题5分，第19、21、23、24题每题6分，第25、26题每题7分，共60分）解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式的化简，混合运算的顺序和法则，是解答本题的关键； （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先去括号并进行二次根式的化简，然后按照混合运算的顺序进行计算，即可求解； 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 18. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式．熟练掌握二次根式的化简求值，完全平方公式是解题的关键． 把代入代数式，根据完全平方公式和二次根式的知识进行计算，即可求解； 【详解】解：把代入代数式， 即 ； 故代数式的值为； 19. 已知：如图1，线段，尺规作图找到线段的中点M． 小明同学设计了如下作法． 作法：①在线段的下方任取点C，连接，分别以点A、B为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D（点C与点D位于两侧）； ②连接，则与的交点M即为所求． （1）根据题意，在图2中补全图形（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． ∵，， ∴四边形为平行四边形．（________________）（填推理的依据） ∴M是的中点．（________________）（填推理的依据） 【答案】（1）见解析 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对角线互相平分． 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-复杂作图、平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据作法直接画图即可． （2）根据平行四边形的判定与性质进行推理分析即可解答． 【小问1详解】 解：如图2所示． 【小问2详解】 证明：连接． ∵， ∴四边形为平行四边形．（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） ∴M是的中点．（平行四边形的对角线互相平分） 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对角线互相平分． 20. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据证明即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵的平分线交于点E，的平分线交于点F， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题注意考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． 21. 如图，四边形中，，，，． （1）求的度数； （2）直接写出四边形的面积为________． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股逆定理、等腰直角三角形、四边形的面积等知识点，掌握勾股逆定理，等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）先说明是等腰直角三角形得出；再运用勾股定理求得，在中，，得出，然后根据角的和差即可解答； （2）根据以及三角形的面积公式即可解答． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：． 故答案为4． 22. 如图，中，点D，E，F分别是各边中点，连接、、、，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，含角的直角三角形的性质，中点性质和勾股定理的知识，掌握以上的知识是解答本题的关键； （1）本题需要通过中点得到， ，然后证得四边形是平行四边形，再求得，然后即可求解； （2）本题根据含角的直角三角形的性质和中点的性质，求得，，然后根据勾股定理求得，然后在直角中，根据勾股定理的知识计算即可求解； 【小问1详解】 证明：∵点D，E，F分别是各边中点， ∴， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵点D，E，F分别是各边中点，， ∴，， ∴， ∴， 在直角中，根据勾股定理可得：，即， 解得：， 在直角中，根据勾股定理可得：，即， 解得：； 23. 小明家汽车油箱可容纳的汽油，如果不再加油，那么油箱中的剩余油量y（单位：）随行驶路程x（单位）的增加而减少．为了计算自家汽车的耗油量（平均每千米消耗的油量），小明记录了这辆车在不同行驶路程时所对应的剩余油量． 行驶路程 0 100 200 300 400 500 剩余油量 45 37 29 21 13 5 假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的．尝试根据上述背景信息解决下列问题： （1）在平面直角坐标系中，描出上表中以各对对应值为坐标的点，并画出函数图象； （2）该车的耗油量为________，写出一个符合条件的油箱中的剩余油量y关于行驶路程x的函数解析式________，其中自变量x的取值范围是________； （3）已知该汽车在油箱中剩余油量低于时，将自动报警．周末，小明的父母把车加满了油，带着小明去往外的姥姥家探望老人，如果往返途中不加油，请判断：他们能否在汽车报警前回到家？________．（填“能”或“不能”） 【答案】（1）见解析 （2），， （3）能 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，掌握描点作图的方法及一元一次方程的解法是解题的关键． （1）运用描点、连线的步骤作图即可； （2）根据每千米的耗油量、耗油量、行驶里程即可计算该车的耗油量，由“出发时油箱的油量消耗的油量”写出y关于行驶路程x的函数解析式，令列关于x的方程并求解，即x的最大值，从而得到x的取值范围即可解答； （3）求出一个往返后油箱剩余油量并与3L比较大小即可得出结论即可． 【小问1详解】 解：描点、连线可得如图所示： 【小问2详解】 解：该车的耗油量为， y关于行驶路程x的函数解析式为， 当时，解得， ∴自变量x的取值范围是． 故答案为：，，． 【小问3详解】 解：， ∵， ∴他们能在汽车报警前回到家． 故答案为：能． 24. 小君想到了一种证明等式成立的方法． 证明过程如下： 设，，则，． 等号左边，等号右边； ∵，， ∴， ∴等号右边， ∴等号左边等号右边， ∴等式成立． （1）小艳利用同样的方法求出方程的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程． 解：设，，则________，________．将原无理方程转化为用m、n表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下： （2）请直接写出方程的解为________． 【答案】（1）9；1；． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了无理方程、二次根式的性质与化简、二次根式的乘除法、二元一次方程组的解等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）依据题意，由、，则，，又，则可求出m，n，进而完成解答； （2）解法一：依据题意，由，从而， 则，故，然后整理后求解即可． 解法二：设，由题意得，，计算可得，进而可得，据此求解即可． 【小问1详解】 解：设，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 联立，解得： ∴． ∴． 故答案为：9；1． 【小问2详解】 解法一：∵， ∴， ∴， ∴． ∴，解得：． 经检验：是原方程的解． 解法二：设， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 解得：． 经检验：是原方程的解． 故答案为：． 25. 如图，菱形中，，点E为边上一点（不与点A、B重合），连接，点F在线段上满足，连接． （1）求证：； （2）连接，点N是线段中点，连接．依题意补全图形，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明见解答过程 （2）补全图形见解答过程；，理由见解答过程 【解析】 【分析】（1）先证明和都是等边三角形得，则，再根据及三角形外角性质得，由此即可得出结论； （2）依题意补全图形即可；延长到，使，连接，并在延长线上取一点，使，连接，则，证明和全等得，进而得，再证明和全等得，进而可证明是等边三角形，则，进而得，由此可证明和全等，则，据此即可得出线段之间的数量关系． 【小问1详解】 证明：如图1所示： ∵四边形是菱形，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴， ∵，且是的外角， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：依题意补全图形，如图2所示： 线段之间的数量关系是：，理由如下： 延长到，使，连接，并在的延长线上取一点，使，连接，如图3所示： ∴， ∵点是线段中点， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ∵， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 又 ∵， ∴是等边三角形， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，理解菱形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的难点． 26. 在平面直角坐标系中，定义：对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得，那么称点P为点Q关于图形W“双倍对称点"．已知点，，，． （1）若． ①设点O与线段上一点的距离为d，则d的最大值是________； ②在，，这三个点中，为点O关于线段的“双倍对称点”的是________； ③若点，，点P为点Q关于四边形“双倍对称点”，求b的取值范围． （2）已知Q点为原点，点，．若线段上存在点P，点P为点Q关于四边形的“双倍对称点”，则k的取值范围是________． 【答案】（1）①；②、；③ （2） 【解析】 【分析】本题考查的是坐标与图形，矩形的性质、两点间的距离公式等知识点，理解“双倍对称点”以及分类讨论思想成为解题的关键． （1）当时，，，，可作出矩形；①根据图形以及两点间的距离公式即可解答；②设线段上一点为，，然后根据“双倍对称点”的定义以及两点间的距离公式逐项判断即可；③设四边形上有一点，，，，，，由两点间距离公式可得：，，如图：连接，然后根据图形分别求得、的取值范围，再根据“双倍对称点”的定义列不等式组求解即可． （2）设四边形上有一点，，，，，，设，，如图：连接，由两点间距离公式可得：，，然后根据图形分别求得、的取值范围，再根据“双倍对称点”的定义列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：当时，，，，，作图如下： ①如图：连接：， ∵点O与线段AB上一点的距离为d， ∴当该点与点A或点B重合时，距离为d最大，即； ②设线段上一点为，，， 如图：连接：，则， ∴ 对于，设，则， ∵， ∴， ∴，即 ∵和有公共解， ∴为点O关于线段的“双倍对称点”时； 对于，设，则， ∵， ∴， ∴，即 ∵和有公共解， ∴为点O关于线段的“双倍对称点”时； 对于，设，则， ∵， ∴， ∴，即 ∵和没有公共解， ∴为点O关于线段的“双倍对称点”时． 故答案为：、． ③当时，，，，，，， 设四边形上有一点，，，，，， 由两点间距离公式可得：，， 如图：连接 ， 当时，有最小值；当时，有最大值； ∴ ∴， 设点P在y轴及其左侧，即，连接， 由图可得当和点D重合时，有最小值； 由图可得当和点B重合时，有最小值； ∴， ∵点P为点Q关于四边形的“双倍对称点”， ∴，即， ∴或或， 解得：或或； 所以 同理：点P在y轴的右侧时可得：． 综上，点P的取值范围为． 【小问2详解】 解：设四边形上有一点，，，，，， 设，，如图：连接， 由两点间距离公式可得：，， 由图可知：当和Q重合时，有最小值；当与点B重合时，有最大值； ∴ ∴， 不防设点P在y轴及其左侧，即，连接， 当时，最小值为，当M和点C重合、P和E重合时，有最大值， ∴，即 ∵点P为点Q关于四边形的“双倍对称点”， ∴，即， ∴或， 解得：或或， ∴ 所以k的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期初二年级 数学期中练习 注 意 事 项 1．本试卷共7页，满分100分，时间90分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级名称、姓名和学号． 3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 第一部分 选择题 一、选择题（每题3分，共24分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 分别以下列线段a，b，c的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（ ） A. B. ， C. D. 3. 下列计算中，正确是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，校园内有一块等边三角形的空地，已知M，N分别是边的中点，量得米，若想把四边形用围栏围成一个花园，则需要围栏的长是（ ） A. 12米 B. 16米 C. 20米 D. 24米 5. 如图，在平行四边形中，连接，已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，平分交于点E，若，，则的周长是（　　） A. 28 B. 30 C. 32 D. 34 7. 下列情景中，可以表示y是x的函数的是（ ） ①某天的气温与时间x（时）的关系． ②正方形的面积与边长的关系． ③数轴上一个点的坐标y与这个点到原点的距离x的关系． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 8. 如图，已知等腰直角，，．射线在内部（），，．设，，，下列结论正确的是（ ） ① ② ③ ④ A. ①②③ B. ②③④ C. ②④ D. ③④ 第二部分 非选择题 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 函数中，自变量取值范围是_____． 10. 在直角三角形中，，，，则________． 11. 如图，在直角三角形中，，于点D，点E为边中点，若，则________． 12. 我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有户不知高广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽，有竿不知其长短．横放，竿比门宽出4尺，竖放，竿比门长出2尺，斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线的长各是多少？设竿长为x尺，依据题意可列方程________________． 13. 在菱形中，，，菱形的面积是________． 14. 植物的光合作用受多种因素的影响，王同学在研究某绿色植物光合作用的氧气释放速度v（单位：毫克/小时）与光照强度L（单位：千勒克斯）之间的关系时，设计了如图1的实验装置．根据实验结果，绘制了和时氧气释放速度ν与光照强度L之间的关系图象（如图2），则下列说法正确的是________（填序号）． ①光照强度越大，该绿色植物释放氧气的速度越慢． ②当时，环境下的该绿色植物氧气释放速度比环境下的要快． ③当时，环境下的该绿色植物比环境下2小时后多释放约10毫克的氧气． ④当时，与环境下的该绿色植物氧气释放的速度基本一样． 15. 如图，在平行四边形中，过对角线上一点P作，，且，，则四边形的面积是________． 16. 如图，在边长为2的正方形中，点M、N分别是边、上的动点，且，连接，，则的最小值为________． 三、解答题（第17题8分，第18题4分，第20、22题每题5分，第19、21、23、24题每题6分，第25、26题每题7分，共60分）解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知，求代数式的值． 19. 已知：如图1，线段，尺规作图找到线段的中点M． 小明同学设计了如下作法． 作法：①在线段的下方任取点C，连接，分别以点A、B为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D（点C与点D位于两侧）； ②连接，则与的交点M即为所求． （1）根据题意，在图2中补全图形（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． ∵，， ∴四边形为平行四边形．（________________）（填推理的依据） ∴M是的中点．（________________）（填推理的依据） 20. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F．求证：． 21. 如图，四边形中，，，，． （1）求的度数； （2）直接写出四边形的面积为________． 22. 如图，中，点D，E，F分别是各边中点，连接、、、，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求长． 23. 小明家汽车油箱可容纳的汽油，如果不再加油，那么油箱中的剩余油量y（单位：）随行驶路程x（单位）的增加而减少．为了计算自家汽车的耗油量（平均每千米消耗的油量），小明记录了这辆车在不同行驶路程时所对应的剩余油量． 行驶路程 0 100 200 300 400 500 剩余油量 45 37 29 21 13 5 假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的．尝试根据上述背景信息解决下列问题： （1）在平面直角坐标系中，描出上表中以各对对应值为坐标的点，并画出函数图象； （2）该车的耗油量为________，写出一个符合条件的油箱中的剩余油量y关于行驶路程x的函数解析式________，其中自变量x的取值范围是________； （3）已知该汽车在油箱中剩余油量低于时，将自动报警．周末，小明的父母把车加满了油，带着小明去往外的姥姥家探望老人，如果往返途中不加油，请判断：他们能否在汽车报警前回到家？________．（填“能”或“不能”） 24. 小君想到了一种证明等式成立的方法． 证明过程如下： 设，，则，． 等号左边，等号右边； ∵，， ∴， ∴等号右边， ∴等号左边等号右边， ∴等式成立． （1）小艳利用同样的方法求出方程的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程． 解：设，，则________，________．将原无理方程转化为用m、n表示整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下： （2）请直接写出方程的解为________． 25. 如图，菱形中，，点E为边上一点（不与点A、B重合），连接，点F在线段上满足，连接． （1）求证：； （2）连接，点N是线段中点，连接．依题意补全图形，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 26. 在平面直角坐标系中，定义：对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得，那么称点P为点Q关于图形W的“双倍对称点"．已知点，，，． （1）若． ①设点O与线段上一点的距离为d，则d的最大值是________； ②在，，这三个点中，为点O关于线段“双倍对称点”的是________； ③若点，，点P为点Q关于四边形的“双倍对称点”，求b的取值范围． （2）已知Q点为原点，点，．若线段上存在点P，点P为点Q关于四边形的“双倍对称点”，则k的取值范围是________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $