精品解析：广东省广州市执信中学2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷

2024-2025学年度第二学期 初一级数学科期中考试试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为120分．考试用时120分钟．注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上． 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上． 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整． 第一部分 选择题（共30分） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列各数在实数范围内不存在平方根的是（ ） A. B. 0 C. D. 0.9 2. 平面直角坐标系中若点的坐标为，则点到轴距离为（ ） A. B. 2 C. 5 D. 3. 下列各组是二元一次方程的解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果把点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，直线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 小信家有一块面积为的正方形菜地，估计这块菜地的边长在（ ） A 至之间 B. 至之间 C. 至之间 D. 至之间 7. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线垂直 B. 在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C. 如果实数，满足，那么 D. 相等的角是对顶角 8. 某服装厂用某种布料生产玩偶与玩偶组合成一批玩具礼盒，一个玩具礼盒搭配1个玩偶和2个玩偶，已知每米布料可做2个玩偶或3个玩偶，现计划用136米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知实数、、在数轴上如图，则（ ） A. 0 B. C. D. 10. 如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论： ①； ②； ③； ④平分． 其中正确结论的个数是（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 9的算术平方根是_____． 12. 如图，在一次“寻宝”游戏中，“寻宝”人找到了如图所示标志点，，则“宝藏”所在地点的坐标为___________． 13. 已知，则_________． 14. 如图，将直角梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，其中，，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积为________． 15. 关于、的方程组的解满足，则的值为________． 16. 对于两个整数和，定义一种新运算“”，若为偶数，则；若为奇数，则．若对整数和，有，且，则的值为________． 三、解答题（共9小题，共72分） 17 计算：． 18. 解二元一次方程组： 19. 已知的立方根是2，的算术平方根是3． （1）求，的值； （2）求的平方根． 20. 填空并完成推理过程： 已知：如图，，，．求证：． 证明：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）． ∴________（________）． ∵（已知）， ∴________（________）． ∴（________）． ∴（________）． 21. 如图，直线、相交于点，平分，平分． （1）、的位置关系为_______ （2）若，求度数． 22. 科技节期间，小智负责记录班级购买实验耗材和的情况（两次采购单价相同，且按整件购买），第一天购买7件和4件，小智记为189元；第二天购买5件和2件，小智记为84元． （1）学习委员检查后指出小智记录矛盾，请通过计算说明错误原因； （2）修正数据后，根据正确数据算得的价格为每件15元，的价格为每件21元．另一班级用300元以同样价格购买这两种实验耗材（要求两种实验耗材均需购买）．请求出所有满足条件的购买方案． 23. 如图，在平面直角坐标系中，是由经过平移得到的，点，，分别与，，对应．其中点的坐标为． （1）直接写出点和点坐标，并在图中画出； （2）求的面积； （3）若点在轴上，且的面积为的一半，求点的坐标． 24. 定义：在平面直角坐标系中，若点与的坐标满足，（为常数，），则称点的“系友好点”是点．例如，点的“1系友好点”是点． （1）点的“1系友好点”的坐标是________，若一个点的“2系友好点”的坐标是，则这个点的坐标是________； （2）点的坐标为，点是点的“系友好点”，点是点的“系友好点”，以此类推，点是点的“系友好点”．若为正整数，则点的横坐标与纵坐标之和为________； （3）已知点在第二象限，且满足，点是点的“系友好点”，求点的坐标； （4）点在轴正半轴上，点的“系友好点”为点，若无论为何值，的值为一个定值，求实数的值． 25. 2025年1月29日（大年初一）晚上8时广州市白鹅潭上空举行了一场盛大的无人机灯光秀，此次活动以白鹅潭大湾区艺术中心为烟火背景，融入了2025架无人机表演、灯光秀、视频投影等内容，结合珠水鹅潭一江两岸城市景观，展示广州活力繁华的城市景象，成为今年春节期间广州最令人瞩目的焦点盛事．在一次无人机表演中，两架无人机甲、乙分别悬停在平行轨道和上的、两点． 无人机甲上的探照灯发出的光束（以下简称光束甲）从方向开始绕点顺时针匀速旋转，当转到方向后立即以当前速度的倍匀速逆时针转回到，然后速度不变再次绕点顺时针匀速旋转到，光束甲每次转到方向后立即以当前速度的倍匀速逆时针转回到，依次进行直到表演结束． 无人机乙上的探照灯发出的光束（以下简称光束乙）从方向开始绕点顺时针匀速转向方向．两光束旋转的初始速度之和为/秒． （1）如图1，若甲、乙两光束旋转的初始速度为，光束乙先转动后，光束甲才开始转动，请问两光束同时旋转多少秒后首次平行？ （2）如图2，若，两光束以（1）中的速度同时旋转秒（光束甲尚未第一次到达前），两光束交于点，过作于点．探究与之间的数量关系． （3）若甲、乙两光束开始时以的初始速度同时旋转秒（光束乙尚未第一次到达前），是否存在实数使得两光束所在直线互相垂直，若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期 初一级数学科期中考试试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为120分．考试用时120分钟．注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上． 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上． 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整． 第一部分 选择题（共30分） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列各数在实数范围内不存在平方根的是（ ） A. B. 0 C. D. 0.9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平方根的含义，根据负数没有平方根作答即可． 【详解】解：由负数没有平方根可得没有平方根的是． 故选C． 2. 平面直角坐标系中若点的坐标为，则点到轴距离为（ ） A. B. 2 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标，解题关键是熟练掌握点到轴的距离等于点的纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于点的横坐标的绝对值．根据点到坐标轴的距离与点的坐标之间的关系进行解答即可． 【详解】解：点的坐标为， 点到轴距离为：， 故选：C． 3. 下列各组是二元一次方程的解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．将各选项中，的值代入原方程，取使得方程左边=方程右边的选项，即可得出结论． 【详解】解：当时，方程左边，方程右边，， 方程左边=方程右边， 是二元一次方程的解，选项符合题意； 当时，方程左边，方程右边，， 方程左边方程右边， 不是二元一次方程的解，选项不符合题意； 当时，方程左边，方程右边，， 方程左边方程右边， 不是二元一次方程的解，选项不符合题意； 当时，方程左边，方程右边， 方程左边方程右边， 不是二元一次方程的解，选项不符合题意； 故选：． 4. 如果把点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了点坐标的平移变换．上加下减，右加左减，上下平移是纵坐标变化，左右平移是横坐标变化，据此求解即可． 【详解】解：∵点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度， ∴平移后的坐标是，即， 故选：A． 5. 如图所示，直线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．过点作，则，再由可得出，故，再由即可得出结论． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 6. 小信家有一块面积为的正方形菜地，估计这块菜地的边长在（ ） A. 至之间 B. 至之间 C. 至之间 D. 至之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的估算，先求出这块菜地的边长为，再进行估算即可得解． 【详解】解：∵小信家有一块面积为的正方形菜地， ∴这块菜地的边长为， ∵， ∴，即， ∴估计这块菜地的边长在至之间． 故选：C． 7. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线垂直 B. 在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C. 如果实数，满足，那么 D. 相等的角是对顶角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据平行线的判定和性质、立方根的概念、对顶角的概念判断即可． 【详解】解：A、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、在同一平面内，两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、如果实数，满足，那么，是真命题，符合题意； D、相等的角不一定是对顶角，故本选项命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 8. 某服装厂用某种布料生产玩偶与玩偶组合成一批玩具礼盒，一个玩具礼盒搭配1个玩偶和2个玩偶，已知每米布料可做2个玩偶或3个玩偶，现计划用136米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据生产玩偶的布料的总长度及生产的玩偶的总数量是生产的玩偶总数量的2倍，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：现计划用136米这种布料生产这批盲盒，用米布料做玩偶，用米布料做玩偶， ； 每米布料可做2个玩偶或3个玩偶，一个盲盒搭配1个玩偶和2个玩偶，且生产的两种玩偶恰好配套， ． 根据题意可列出方程组． 故选：D． 9. 已知实数、、数轴上如图，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，立方根，绝对值，实数与数轴，熟练掌握相关性质是解题的关键．由数轴易得，则，，然后利用立方根的定义，绝对值的性质，二次根式的性质化简并计算即可． 【详解】解：由数轴易得， 则，， 原式 ， 故选：D． 10. 如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论： ①； ②； ③； ④平分． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的定义，平行线的性质，垂线，关键是相关性质的熟练掌握．延长，交于，根据角平分线的定义和平行线的性质即可解答． 【详解】解：延长，交于， ， ，， ， ， 平分，， ， ， ， ， ， ； ①错误；②正确； ，， ，③正确； 平分， ， ， ， ， ④平分不一定正确． 其中正确结论的是②③， 故选：B． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 9的算术平方根是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出． 【详解】∵， ∴9算术平方根为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键． 12. 如图，在一次“寻宝”游戏中，“寻宝”人找到了如图所示标志点，，则“宝藏”所在地点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．根据题意首先确定原点的位置，进而得出“宝藏”点C的位置． 【详解】解：根据两个标志点，可建立如下所示的坐标系， 由平面直角坐标系知，“宝藏”点C的位置是， 故答案为：． 13. 已知，则_________． 【答案】1.01 【解析】 【分析】根据算术平方根的移动规律，把被开方数的小数点每移动两位，结果移动一位，进行填空即可． 【详解】解：， ； 故答案为：1.01． 【点睛】本题考查了算术平方根的移动规律的应用，能根据移动规律填空是解此题的关键． 14. 如图，将直角梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，其中，，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，直角梯形的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．根据平移的性质可得，再根据列式计算即可得解． 【详解】解：， ， 梯形沿直线的方向平移到梯形的位置， ， ， ， 故答案为：． 15. 关于、的方程组的解满足，则的值为________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，得出是解题的关键．方程组中的两个方程直接相加得出，化简得，结合已知即可求出的值． 【详解】解：， ①②，得， ， ， ， ， 故答案为：0． 16. 对于两个整数和，定义一种新运算“”，若为偶数，则；若为奇数，则．若对整数和，有，且，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了列方程组及解二元一次方程组，解决本题的关键是要熟练掌握分类讨论解决问题，由题意进行讨论分别列出方程组，并进行求解，再验证即可． 【详解】解：由题意得，为奇数，为偶数，为奇数， ． 当为奇数时，为偶数， 为偶数，为偶数， 可得方程组， 解得，； 当为偶数时，为奇数， 为奇数，为奇数， 可得方程组， 解得，，不符合题意，舍去． 和为整数， ． 三、解答题（共9小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用算术平方根及立方根的定义计算后再算加减即可． 【详解】解：原式 18. 解二元一次方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． 由加减消元法即可求解． 【详解】解：， 由得，， 解得：， 将代入①得，， 解得：， ∴原方程组的解为：． 19. 已知的立方根是2，的算术平方根是3． （1）求，的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根． （1）根据立方根及算术平方根的定义即可求得，的值； （2）将，的值代入中计算后根据平方根的定义即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵的立方根是2， ∴， 解得， ∵的算术平方根是3， ∴． 解得． ∴，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴． ∴的平方根为． 20. 填空并完成推理过程： 已知：如图，，，．求证：． 证明：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）． ∴________（________）． ∵（已知）， ∴________（________）． ∴（________）． ∴（________）． 【答案】；同位角相等，两直线平行；；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质定理和判定定理，能熟记平行线的性质定理和判定定理是解此题的关键，平行线的性质定理：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．根据垂直定义得出，根据平行线的判定定理得出，，求出，再根据平行线的性质定理得出即可． 【详解】证明：，（已知）， （垂直定义）， （同位角相等，两直线平行）， （已知）， （内错角相等，两直线平行）， （平行于同一直线的两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：；同位角相等，两直线平行；；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 21. 如图，直线、相交于点，平分，平分． （1）、的位置关系为_______ （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，解答即可． （2）设，根据题意，得，解答即可． 本题考查了角的平分线，平角，角的和差，解方程，熟练掌握定义和解方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵平分，平分． ∴． ∵, ∴； 故, 、位置关系为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵， 设， ∵平分，平分． ∴． ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 22. 科技节期间，小智负责记录班级购买实验耗材和的情况（两次采购单价相同，且按整件购买），第一天购买7件和4件，小智记为189元；第二天购买5件和2件，小智记为84元． （1）学习委员检查后指出小智记录矛盾，请通过计算说明错误原因； （2）修正数据后，根据正确数据算得的价格为每件15元，的价格为每件21元．另一班级用300元以同样价格购买这两种实验耗材（要求两种实验耗材均需购买）．请求出所有满足条件的购买方案． 【答案】（1）小智的记录矛盾，理由见解答 （2）共有2种购买方案，方案1：购买了13件实验耗材，5件实验耗材；方案2：购买了6件实验耗材，10件实验耗材 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（二元一次方程）是解题的关键． （1）设实验耗材的单价为元件，实验耗材的单价为元件，根据“第一天购买7件和4件，小智记为189元；第二天购买5件和2件，小智记为84元”，可列出关于，的二元一次方程组，利用②①，可求出的值，结合实验耗材的单价不能为负，可得出小智的记录矛盾； （2）设另一班级购买了件实验耗材，件实验耗材，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各购买方案． 【小问1详解】 解：小智的记录矛盾，理由如下： 设实验耗材的单价为元件，实验耗材的单价为元件， 根据题意得：， 解得：， 实验耗材的单价不能为负， 小智的记录矛盾； 【小问2详解】 设另一班级购买了件实验耗材，件实验耗材， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 或， 共有2种购买方案， 方案1：购买了13件实验耗材，5件实验耗材； 方案2：购买了6件实验耗材，10件实验耗材． 23. 如图，在平面直角坐标系中，是由经过平移得到的，点，，分别与，，对应．其中点的坐标为． （1）直接写出点和点的坐标，并在图中画出； （2）求的面积； （3）若点在轴上，且的面积为的一半，求点的坐标． 【答案】（1），见解析 （2）8 （3）或． 【解析】 【分析】本题考查作图平移变换、三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）由题意得，是由向右平移4个单位长度，向下平移3个单位长度得到的，结合平移的性质可得B，C的坐标，再描点连线可画出． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）设点P的坐标为，根据题意可列方程为，求出m的值，进而可得答案． 【小问1详解】 解：由题意得，是由向右平移4个单位长度， ， ， 如图，即为所求． 【小问2详解】 解：的面积为； 【小问3详解】 解：设点P坐标为， ∵的面积为的一半， ∴， 解得m或， ∴点P的坐标为或． 24. 定义：在平面直角坐标系中，若点与的坐标满足，（为常数，），则称点的“系友好点”是点．例如，点的“1系友好点”是点． （1）点的“1系友好点”的坐标是________，若一个点的“2系友好点”的坐标是，则这个点的坐标是________； （2）点的坐标为，点是点的“系友好点”，点是点的“系友好点”，以此类推，点是点的“系友好点”．若为正整数，则点的横坐标与纵坐标之和为________； （3）已知点在第二象限，且满足，点是点的“系友好点”，求点的坐标； （4）点在轴正半轴上，点的“系友好点”为点，若无论为何值，的值为一个定值，求实数的值． 【答案】（1）， （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）设点“1系友好点”的坐标是，根据新定义即可求出点的“1系友好点”的坐标；设点的“系友好点”的坐标是，根据新定义得到，解得，即可得到这个点的坐标； （2）根据新定义求出，，，结合，可以发现当为奇数时，的横坐标与纵坐标之和为，当为偶数时，的横坐标与纵坐标之和为，再判断出为正偶数，即可得出结论； （3）根据点A是点的“系友好点”得到，由得到，则，由点在第二象限得到，即可得到，进而得到，即可得到点A的坐标； （4）设点的坐标是，根据“k系友好点”为点得到，则点的坐标是，由点在轴正半轴上得到，，分和两种情况进行求解即可． 【小问1详解】 解：设点的“1系友好点”的坐标是， 根据题意可得，， ∴点的“1系友好点”的坐标是； 设点的“系友好点”的坐标是， 则， 解得， ∴这个点的坐标是； 【小问2详解】 解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； ； ∵， ∴当为奇数时，的横坐标与纵坐标之和为，当为偶数时，的横坐标与纵坐标之和为， ∵为正整数，即为正偶数， ∴点的横坐标与纵坐标之和为； 【小问3详解】 解：∵点A是点的“系友好点”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∵点在第二象限， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：设点的坐标是， ∵点在轴正半轴上，“k系友好点”为点， ∴， ∴ ∴点的坐标是， ∵点在轴正半轴上， ∴，， 当时， ∵为定值， ∴，即， 此方程无解， 当时， ， ∵为定值， ∴，即， 解得或（舍去）， 综上，． 25. 2025年1月29日（大年初一）晚上8时广州市白鹅潭上空举行了一场盛大的无人机灯光秀，此次活动以白鹅潭大湾区艺术中心为烟火背景，融入了2025架无人机表演、灯光秀、视频投影等内容，结合珠水鹅潭一江两岸城市景观，展示广州活力繁华的城市景象，成为今年春节期间广州最令人瞩目的焦点盛事．在一次无人机表演中，两架无人机甲、乙分别悬停在平行轨道和上的、两点． 无人机甲上的探照灯发出的光束（以下简称光束甲）从方向开始绕点顺时针匀速旋转，当转到方向后立即以当前速度的倍匀速逆时针转回到，然后速度不变再次绕点顺时针匀速旋转到，光束甲每次转到方向后立即以当前速度的倍匀速逆时针转回到，依次进行直到表演结束． 无人机乙上的探照灯发出的光束（以下简称光束乙）从方向开始绕点顺时针匀速转向方向．两光束旋转的初始速度之和为/秒． （1）如图1，若甲、乙两光束旋转的初始速度为，光束乙先转动后，光束甲才开始转动，请问两光束同时旋转多少秒后首次平行？ （2）如图2，若，两光束以（1）中的速度同时旋转秒（光束甲尚未第一次到达前），两光束交于点，过作于点．探究与之间的数量关系． （3）若甲、乙两光束开始时以的初始速度同时旋转秒（光束乙尚未第一次到达前），是否存在实数使得两光束所在直线互相垂直，若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）秒 （2） （3）或或或或 【解析】 【分析】（1）由题意可得甲、乙两光束速度为/秒和/秒，然后根据平行线的性质列方程求解； （2）可证明交点在右侧，过点E作，由题意得，，由平角的定义可得，则；由垂线的定义可得，由平行线的性质可得，则可得，据此可得结论； （3）分解析中的六种情况，根据平行线的性质与判定和垂线的定义，结合方程思想推理计算即可． 【小问1详解】 解：∵甲、乙两光束旋转的初始速度为，两光束旋转的初始速度之和为/秒， ∴甲、乙两光束速度为/秒和/秒， 乙先转动所需的时间为：（秒）， 延长交于点 设两光束同时旋转时间为秒， 由题意可得， ∵， ∴ ∴，解得：， ∴两光束同时旋转秒后首次平行； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵， ∵， ∵甲、乙两光束的速度分别为/秒、/秒， ∴相同时间内甲光束转过的角度比乙光束转过的角度大， ∴交点在右侧， 如图2所示，过点E作， 由题意得，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； 小问3详解】 解：∵甲、乙两光束旋转的初始速度为，两光束旋转的初始速度之和为/秒， ∴甲、乙两光束速度为/秒和/秒， ∴乙光束第一次到达时的时间为秒，则， 由题意，甲第一次到达处的时间为秒，此时乙光束转动， 甲第一次从返回时的速度为/秒，甲第一次返回到的时间为秒，此时乙光束转动， 甲第二次到达处的时间为秒，此时乙光束转动， 甲第二次从返回时的速度为，第二次返回到的时间为秒， 当两束光线所在的直线有交点时，设该交点为点E， 分以下情况： ①如图3-1所示，光束甲尚未第一次到达时， 过点作， ∵ ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得； ②如图3-2所示，当光束甲从第一次返回的过程中， 过点作， ∵ ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴， 解得； ③如图3-3所示，当光束甲从第一次返回的过程中， 过点作， ∵ ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴， 解得； ④如图3-4所示，当光束甲第二次从转到的过程中， 过点作， ∵ ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴， 解得； ⑤如图3-5所示，当光束甲第二次从返回的过程中， 过点作， ∵ ∴ ∴，， ∴，， ∵， ∴ ∴， 解得； ⑥如图3-6所示，当光束甲第二次从转到的过程中， 过点作， ∵ ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得（舍去）； 综上所述，t的值为或或或或． 【点睛】本题考查平行线的性质和判定，一元一次方程的应用，掌握平行线的性质和判定，准确添加辅助线和分类讨论是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $