精品解析：辽宁省葫芦岛市2024—2025学年下学期八年级期中考试数学试卷　

2024—2025学年度下学期第二次限时性作业 八年级数学学科 考试时间：100分钟试卷满分：120分 ※考生注意： 请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本题10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义进行求解即可，被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数不含分母的二次根式叫做最简二次根式． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、被开方数是小数，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 9，40，41 B. 5，12，15 C. 1.5，2，2.5 D. 13，14，15 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是勾股数，满足的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数的概念判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴9，40，41是勾股数，故本选项符合题意； B、∵， ∴， ∴5，12，15不是勾股数，故本选项不符合题意； C、∵1.5与2.5不是正整数， ∴1.5，2，2.5不是勾股数，故本选项不符合题意； D、∵， ∴， ∴13，14，15不是勾股数，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 已知一个直角三角形，两直角边的平方和为400，则斜边长为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．直接根据勾股定理得到，根据题意计算，得到答案． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c， 由勾股定理得：， 由题意得：， ∴， ∴，即斜边长为． 故选：B． 4. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别是，则顶点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的基本性质和坐标轴，数形结合是解题的关键． 根据可得点纵坐标与点相同为，由，顶点的坐标，结合图形可得点横坐标为，继而得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴点纵坐标与点相同为， ∵顶点的坐标分别是， ∴， ∴点横坐标为， ∴点的坐标是， 故选：B． 5. 若，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质，解答的关键是对二次根式的化简的法则的掌握．根据二次根式的化简的方法进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 得． 故选：D． 6. 下列性质中，菱形具有而平行四边形不一定具有的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 邻角相等 C. 对角线垂直 D. 对角线相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及菱形的性质，根据菱形具有对角线互相平分且垂直，平行四边形具有对角线互相平分，进行作答即可． 【详解】解：依题意，菱形具有对角线互相平分且垂直，平行四边形具有对角线互相平分， ∴菱形具有而平行四边形不一定具有的是对角线垂直， 故选：C 7. 如图，矩形中，为的中点，连接，过作交于点，连接，如果，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定和性质以及线段垂直平分线的性质，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题延长，交的延长线于点，证明，进而进行角度的等量代换即可得出答案． 【详解】解：延长，交的延长线于点，如图所示： 在矩形中，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：A． 8. 如图，正方形的对角线，交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点．若四边形的面积是1，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，，，结合题意推得，根据全等三角形的判定可得，然后即可发现四边形的面积等于的面积，从而可以求得正方形的面积，从而可以求得的长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∵四边形的面积是1，四边形的面积的面积的面积， ∴四边形的面积的面积的面积的面积， ∵的面积是1， ∴正方形的面积是4， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是推得四边形的面积等于的面积． 9. 一束光线从点发出，经过轴上的点C反射后到达轴上点，则光线从A点到B点经过的路线长是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的轴对称及勾股定理的应用，构造直角三角形是解决本题关键，属于中等难度题目．作关于轴的对称点，连接，交轴于点，作，，先证明点三点在同一直线上，在中，利用勾股定理即可求出，也就求出了从点到点经过的路线长． 【详解】解：如图，作关于轴的对称点，连接，交轴于点， 作，交轴于点， 则关于轴的对称点坐标是，，， 由光线反射的性质可得：， ， 点三点在同一直线上， ， ， 故光线从点到点所经过的路程． 故选：C 10. 如图，在四边形中，，，交于，平分，，，下面结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，含30度角的直角三角形，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定和性质是解题关键．先证明四边形是菱形，进而得出，即可判断①结论；利用30度角所对的直角边等于斜边一半，以及勾股定理，可判断②结论；连接，令与的交点为，证明，可判断③结论；证明，可判断④结论． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 平分， ， ， ， ， ，①结论正确； 在中，，， ， ，②结论正确；如图， 如图，连接，令与的交点为， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ，③结论正确； 在和中， ， ， ， ， ，即，④结论正确； 故选：D． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 在中，，如果满足，则的形状是_______． 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．由，推出，根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【详解】解：， ， 即， 是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 12. 如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件______，使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解． 【详解】解：添加条件：， 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一） 13. 如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为______． 【答案】1.5 【解析】 【详解】解：∵∠AFB=90°，D为AB的中点， ∴DF=AB=2.5． ∵DE为△ABC的中位线， ∴DE=BC=4． ∴EF=DE-DF=15． 故答案为1.5． 【点睛】直角三角形斜边上的中线性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，和三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 14. 如图，在矩形中，，点为射线上一个动点，将沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为_______． 【答案】2.5或10 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，垂直平分线性质，勾股定理，解题的关键在于构造直角三角形利用勾股定理求解． 根据题意分两种情况①点的对应点落在矩形的内部，②点的对应点落在矩形的外面，过点作于点，延长交于点，构造直角三角形，结合矩形的性质和判定，折叠的性质，垂直平分线性质，勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：①点的对应点落在矩形的内部， 过点作于点，延长交于点， 四边形为矩形， ， ， 四边形为矩形， ， ， 点刚好落在线段的垂直平分线上， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ， 解得； ②点的对应点落在矩形的外面， 过点作于点，延长交于点， 由①同理可得，四边形为矩形， ，， ， ， ， 解得， 综上所述的长为2.5或10， 故答案为：2.5或10． 15. 如图，正方形的边长为，点在边上运动，点在边上运动，运动过程中的长度保持不变，且．若是的中点，是边上的动点，则的最小值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】作点关于的对称点，连接交于，连接，，．解直角三角形求出，，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于，连接，，．则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，关于对称， ∴， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称最短问题，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称添加辅助线，求出，的值，属于中考常考题型． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）．（结果保留小数点后两位，，） 【答案】（1） （2）12.27 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，涉及的知识有：二次根式的化简，二次根式的乘法、除法运算，去括号法则，以及合并同类二次根式法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用二次根式的乘除法则进行计算即可得到结果； （2）先去括号，将每一项化为最简二次根式，合并同类二次根式后，再取近似值，最后进行加减即可得到结果； 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解： 17. 如果，试求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，将已知转化为，根据平方的非负性质得，，继而得到，，，再将化为，然后整体代入进行化简即可．掌握平方的非负性，完全平方公式，分式的运算法则，二次根式运算法则是解题的关键． 【详解】由得到， ∴， ∴，， 解得：，， ∴，，， ∴ ． 18. 如图，，，点、在上，且． （1）求证：； （2）试证明：以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及平行四边形的判定，解答此题的关键是要掌握判定方法． （1）由全等三角形的判定定理SAS证得； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等证得，则，所以根据平行线的判定可以证得．由全等三角形的对应边相等证得，则易证得结论． 【小问1详解】 解：， ， 又， ， ， 在与中， ， ； 【小问2详解】 连接、． 由(1)知，， ，， ， ， 又， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 19. 如图，在中，，点是边上的动点（不与点，点重合），作于点于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）计算的最小值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形性质与判定，勾股定理的逆定理，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明，得到，再由，即可证明结论； （2）如图所示，连接，则，故当时，有最小值，即此时最小，据此利用等面积法求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 证明∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵四边形为矩形， ∴， ∴当时，有最小值，即此时最小， ∵， ∴， ∴的最小值为． 20. 如图，在正方形中，为延长线上一点，平分并交于． （1）试说明：； （2）直接写出与的数量关系． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）延长到，使，根据已知及正方形的性质利用判定，从而得到． （2）先证明是等腰直角三角形，可得，再由，可得，可得出答案． 【小问1详解】 证明：如图，延长到，使， 四边形是正方形， ， ， 平分， ， ， ． ， ， ． ， ， 即． ， ． 在与中， ， ， ． 【小问2详解】 解：，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 21. 我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形． （1）若三边长分别是2，和4，则此三角形______常态三角形（填“是"或“不是”）； （2）在中，，，若是常态三角形，则______． （3）如图，在中，，，点D在线段上，连接且，若是常态三角形，求的面积． 【答案】（1）是 （2） （3）的面积为或 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，考查了勾股定理，三角形的面积，新定义，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据常态三角形的定义判定即可； （2）根据常态三角形的定义以及勾股定理即可求解； （3）根据常态三角形的定义得出等式求出的长，再由勾股定理即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵， ∴三边长分别是2，和4，则此三角形是常态三角形． 故答案为：是； 【小问2详解】 ∵是常态三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：当时， ∵， ∴， 在中，， 此时， 当时， ∵， ∴， 在Rt△ABC中，， 此时， 故的面积为或． 22. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，已知，，点是的中点，动点以2个单位长度／秒的速度由点出发，沿运动至点，设动点的运动时间为秒． （1）则_______，四边形为平行四边形； （2）若四边形为平行四边形，请判断四边形的形状，并说明理由； （3）在线段上是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）矩形，见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质可得，根据平行四边形的性质得，构建一元一次方程，解方程，即可求解； （2）利用平行四边形的性质证得四边形为平行四边形，结合即可求证； （3）分点在点的左边，点在点的右边两种情况，利用菱形的性质结合勾股定理分别求解即可． 【小问1详解】 解：四边形为矩形，，， ，， 点是的中点， ， 根据题意，可得：， ， 四边形为平行四边形， ， ，解得：． 故答案为：． 【小问2详解】 解：四边形为矩形，理由如下： 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形， ， 四边形为矩形． 小问3详解】 解：存在，分两种情况： ①如图，当点在点的右侧时， 四边形为菱形， ， 在中，， ，解得：； ②如图，当点N在点P左侧时， 四边形为菱形， ， 在中，， ， ，解得：． 综上所述，当的值为或时，以、、、为顶点的四边形为菱形． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，解一元一次方程，根据题意、注意分类讨论是解题关键． 23. 【问题提出】 如图，四边形和均为菱形，且，连接和． 【探究猜想】 （1）如图（1），当时， ①线段和之间的数量关系为_______； ②直线和直线相交所成的较小角的度数为_______； 【深入思考】 （2）如图（2），当，且点在线段上时，过点作于点，探究线段之间的数量关系，并求的度数； 【拓展延伸】 （3）当，且点在线段的延长线上时，过点作于点，请你补全图形，并直接写出线段之间的数量关系及的度数． 【答案】（1）①；②；（2）；的度数为（3）； 【解析】 【分析】（1）①先证明，然后根据证明可得； ②由得，然后利用三角形内角和可得结论； （2）证明四边形和均为正方形得，，证明，可得，同（1）可证，得出，，进而可求出结论； （3）同（2）的过程整理即可． 【详解】解：（1）①∵四边形和均为菱形，且，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； ②如图， ∵， ∴， ∵， ∴，较小角的度数为． 故答案为：； （2）∵， ∴四边形和均为正方形， ∴，． ∵， ∴ ∴． ∵． 同（1）可证， ∴，， ∴，， ∴； （3）如图，连接， ∵， ∴四边形和均为正方形， ∴，． ∵， ∴ ∴． ∵． 同（1）可证， ∴，， ∴，， 【点睛】本题考查了菱形性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度下学期第二次限时性作业 八年级数学学科 考试时间：100分钟试卷满分：120分 ※考生注意： 请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本题10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 9，40，41 B. 5，12，15 C. 1.5，2，2.5 D. 13，14，15 3. 已知一个直角三角形，两直角边的平方和为400，则斜边长为（ ） A 10 B. 20 C. 30 D. 40 4. 如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别是，则顶点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 下列性质中，菱形具有而平行四边形不一定具有的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 邻角相等 C. 对角线垂直 D. 对角线相等 7. 如图，矩形中，为的中点，连接，过作交于点，连接，如果，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的对角线，交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点．若四边形的面积是1，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 一束光线从点发出，经过轴上点C反射后到达轴上点，则光线从A点到B点经过的路线长是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 10. 如图，在四边形中，，，交于，平分，，，下面结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 在中，，如果满足，则的形状是_______． 12. 如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件______，使四边形是平行四边形． 13. 如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为______． 14. 如图，在矩形中，，点为射线上一个动点，将沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为_______． 15. 如图，正方形边长为，点在边上运动，点在边上运动，运动过程中的长度保持不变，且．若是的中点，是边上的动点，则的最小值为_______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）．（结果保留小数点后两位，，） 17. 如果，试求的值． 18. 如图，，，点、在上，且． （1）求证：； （2）试证明：以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 19. 如图，在中，，点是边上的动点（不与点，点重合），作于点于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）计算的最小值． 20. 如图，在正方形中，为延长线上一点，平分并交于． （1）试说明：； （2）直接写出与的数量关系． 21. 我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形． （1）若三边长分别是2，和4，则此三角形______常态三角形（填“是"或“不是”）； （2）在中，，，若是常态三角形，则______． （3）如图，在中，，，点D在线段上，连接且，若是常态三角形，求的面积． 22. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，已知，，点是的中点，动点以2个单位长度／秒的速度由点出发，沿运动至点，设动点的运动时间为秒． （1）则_______，四边形为平行四边形； （2）若四边形为平行四边形，请判断四边形的形状，并说明理由； （3）在线段上是否存在一点，使得以、、、为顶点四边形为菱形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 23. 【问题提出】 如图，四边形和均为菱形，且，连接和． 【探究猜想】 （1）如图（1），当时， ①线段和之间的数量关系为_______； ②直线和直线相交所成的较小角的度数为_______； 【深入思考】 （2）如图（2），当，且点在线段上时，过点作于点，探究线段之间的数量关系，并求的度数； 【拓展延伸】 （3）当，且点在线段的延长线上时，过点作于点，请你补全图形，并直接写出线段之间的数量关系及的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$