精品解析：甘肃省天水市第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

天水一中高一级2024-2025学年度第二学期期中考试 数学试题 命题：马芳审核：毕文静 （满分：150分时间：120分钟） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数相等直接求解即可. 【详解】因为，所以，所以． 故选：C 2. 已知向量，满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用得出，再利用向量夹角公式即可. 【详解】， ， ， ， 又， 与的夹角为 故选： 3. 是平面内不共线的两向量，已知，若三点共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求得，进而由，可得，求解即可. 【详解】由得，由三点共线，得， 又不共线，则，所以. 故选：A. 4. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用投影向量的定义，即可求解. 【详解】因为，， 所以在上的投影向量为, 故选：C. 5. 在中，已知，则△ABC的形状是（ ）. A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，求得，得到，即可得到答案. 【详解】在中，因为， 由正弦定理，可得 又因为，所以， 即，所以， 因为，可得，所以， 又因为，所以，所以为直角三角形. 故选：B. 6. 某市居民小区内的重兴塔，在2013年被列为国家级重点保护单位.塔身为八角形楼阁式建筑，九层十檐，最下层为双檐木回廊，檐下系砖雕斗拱.上八层为单檐，砖雕仰莲承托，层层紧缩，造型浑厚拙朴，气势雄伟、如图，某校高一学生进行实践活动，选取与塔基B在同一水平面内的两个测量基点C与D，在C点测得重兴塔在北偏东75°的点B处，塔顶A的仰角为45°，在D点测得重兴塔在北偏西60°的B处，通过测量两个测量基点C与D之间的距离约为米，则塔高约为（ ）米. A. 54 B. 30 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求出各个角，再用正弦定理求解即可. 【详解】根据题意，，， 所以， 在中由正弦定理可知， 所以， 在中， 所以. 故选：B． 7. 在中，角所对的边分别为.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由正弦定理得到，求得，再由余弦定理，求得，结合余弦定理，即可求得的值，得到答案. 【详解】解：因为， 由正弦定理，可得，即，可得， 又由余弦定理，可得，所以， 则. 故选：A. 8. 已知函数，，用表示，中的较大者，即，，若函数的图象与有3个不同的交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦型函数与对数函数的图象，结合函数新定义作出的图象，从而数形结合即可得解. 【详解】因为，， 在同一坐标系中作出的图象， 因为， 所以的图象如图中实线部分， 因为的图象与有3个不同的交点， 所以，即. 故选：D. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多选项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分．） 9. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由两角差的正切公式化简即可判断；对于B，由诱导公式结合二倍角正弦公式化简即可判断；对于C，通分结合两角差正弦公式和二倍角正弦公式化简即可判断；对于D，由两角和余弦公式化简即可判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC 10. 已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的图像关于直线对称 B. 的图像关于点对称 C. 将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先根据题意得到， 对选项A，根据即可判断A正确，对选项B，根据，即可判断B错误，对选项C，将向右平移，得到，即可判断C正确，对选项D，根据的图象即可判断D正确. 【详解】由图可知：的最小正周期， 当时，，所以； 对于A，，正确； 对于B，，错误； 对于C，将向右平移，得到，正确； 对于D，的大致图像如下： 欲使得在内方程有2个不相等的实数根， 则，正确； 故选：ACD. 11. 设点O是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则O为的重心； B. 若，则O为的垂心； C. 若，则为等边三角形； D. 若，则△BOC与△ABC的面积之比为． 【答案】ACD 【解析】 【分析】A由向量关系可以判断出为中线的三等分点，可知为重心；B由向量关系可以判断出为边与边垂直平分线的交点，可知不是垂心；C由判断出三角形为等腰三角形，由判断出，可知为等边三角形；D令，，则为的重心，由此求出面积比即可. 【详解】对于A，如图，取边中点，连接边上的中线，则， 又∵，∴，∴， ∴为的重心，故选项A正确； 对于B，如图，取边中点，边中点，连接，， 则，， ∵，∴， ∴，∴，，∴，， ∴，分别是，边上的垂直平分线， ∴，为的外心，故选项B错误； 对于C，作角的内角平分线与边交于点， ∵为方向的单位向量，为方向的单位向量， ∴（），∴（）， ∴，∴，∴，为等腰三角形， 又∵，且，∴， ∴为等边三角形，故选项C正确； 对于D，设，，由得， 则由选项A可知，为的重心，设的面积， ∴， 又∵，， ∴，，， ∴， ∴，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数满足，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的模的性质求解 【详解】， 故答案为： 13. 若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题设条件，可得且 ，解之即得. 【详解】设为与的夹角，则， 因为为锐角，所以，解得，且， 所以的取值范围是． 故答案为：. 14. 已知，且，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据角的变换，再根据两角和差的余弦公式，即可求解. 【详解】由条件可知，， 即， 得，且 所以. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知． （1）求； （2）求． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】 （1）由角的范围和同角三角函数的关系求得，再由正弦的二倍角公式求得答案； （2）由（1）求得．．再由正切的和角公式求得答案. 【详解】解：（1）因为，所以， 则． （2）由（1）可知． 因为，所以． 故． 【点睛】本题考查同角三角函数的关系，正弦、余弦的二倍角公式，正切的和角公式，属于中档题. 16. 锐角三角形中，角的对边分别为且. （1）求； （2）求三角形周长的取值范围； （3）求三角形面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边换角并利用两角和的正弦公式展开化简即可得到答案； （2）利用正弦定理得，再将周长转化为三角函数值域问题即可； （3）利用余弦定理和基本不等式即可得到的最大值，再利用三角形面积公式即可得到答案. 【小问1详解】 由正弦定理：， 则， 所以，根据得：. 【小问2详解】 由正弦定理：，所以， ， 注意到，所以， 所以， 所以， 所以周长的取值范围是. 【小问3详解】 余弦定理：， 所以三角形面积为， 当且仅当时，即为等边三角形时，三角形面积取最大值. 17. 在平面直角坐标系中，向量，其中. （1）若，求角的值； （2）记，若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标关系列出等式，通过三角函数公式化简求解的值；（2）先求出的表达式，再根据已知条件求出的值，最后通过换元法求出的值. 【小问1详解】 因为，则 化简得：，即 又，即， 所以，即. 【小问2详解】 由 由，即， 令，则，即 则 18. 已知函数． （1）求函数在上的单调递增区间； （2）在中，角，，的对边分别为，，，且，，，求的值． 【答案】（1）单调递增区间为， （2） 【解析】 【分析】（1）先化简，再令，令和与取交即可得出答案； （2）由求出，再由余弦定理求解即可. 【小问1详解】 已知函数， 则， 令， 则， 因为，令，则；令，则， 即函数的单调递增区间为，. 【小问2详解】 已知，即，即， 又，则，即， 又， 由余弦定理可得， 又，则，则，. 19. 如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线、交于、两点． （1）请用、表示和； （2）设，，求的值； （3）如果是边长为的等边三角形，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的线性运算可得出、关于的表达式； （2）由、、三点共线可设，根据向量线性运算求出、，即可求解； （3）由余弦定理可求出、，计算，利用基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 因为是中点，， 因为，则. 【小问2详解】 因为、、三点共线，故存在实数，使得， 即，整理得， 由（1）知， 根据平面向量基本定理，则. 【小问3详解】 因为是边长为的等边三角形，故，， 在中，由余弦定理，， 在中，同法可得， 故， 由（2）知，得， 故， 由基本不等式，，， 当且仅当，即时，取最小值， 故的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天水一中高一级2024-2025学年度第二学期期中考试 数学试题 命题：马芳审核：毕文静 （满分：150分时间：120分钟） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 是平面内不共线的两向量，已知，若三点共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 4. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，已知，则△ABC的形状是（ ）. A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰或直角三角形 6. 某市居民小区内的重兴塔，在2013年被列为国家级重点保护单位.塔身为八角形楼阁式建筑，九层十檐，最下层为双檐木回廊，檐下系砖雕斗拱.上八层为单檐，砖雕仰莲承托，层层紧缩，造型浑厚拙朴，气势雄伟、如图，某校高一学生进行实践活动，选取与塔基B在同一水平面内的两个测量基点C与D，在C点测得重兴塔在北偏东75°的点B处，塔顶A的仰角为45°，在D点测得重兴塔在北偏西60°的B处，通过测量两个测量基点C与D之间的距离约为米，则塔高约为（ ）米. A. 54 B. 30 C. D. 7. 在中，角所对的边分别为.若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，用表示，中的较大者，即，，若函数的图象与有3个不同的交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多选项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分．） 9. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的图像关于直线对称 B. 的图像关于点对称 C. 将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 11. 设点O是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则O为的重心； B. 若，则O为的垂心； C. 若，则为等边三角形； D. 若，则△BOC与△ABC的面积之比为． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数满足，则_____. 13. 若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是______. 14. 已知，且，则_________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知． （1）求； （2）求． 16. 锐角三角形中，角的对边分别为且. （1）求； （2）求三角形周长的取值范围； （3）求三角形面积的最大值. 17. 在平面直角坐标系中，向量，其中. （1）若，求角的值； （2）记，若，求的值. 18. 已知函数． （1）求函数在上的单调递增区间； （2）在中，角，，的对边分别为，，，且，，，求的值． 19. 如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线、交于、两点． （1）请用、表示和； （2）设，，求的值； （3）如果是边长为的等边三角形，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $