精品解析：四川省泸化中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

2025年四川省泸化中学高2023级高二半期测试 数 学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项: 1．答卷前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．考试结束后，只将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “α”是“cosα”成立的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】“α”能推出“cosα”，“cosα”不能推出“α”，即可得出关系. 【详解】由题若“α”，则“cosα”； 若“cosα”，则，不能推出“α”， 所以“α”是“cosα”成立的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】此题考查充分条件和必要条件的辨析，关键在于准确判断角与三角函数值之间的关系. 2. 已知某质点的位移函数为，则当时，该质点的瞬时速度是（ ） A. B. C. D. . 【答案】D 【解析】 【分析】求导之后代入可解. 【详解】由题意可得， 所以，即该质点的瞬时速度是. 故选：D 3. 抛物线在点处的切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】求出导函数，令求出即为切线的斜率. 【详解】令，得，得 故选：D 4. 数列的第2024项为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察数列特点，发现有个，个，个，，个，根据等差数列的前项和得，再根据得第项为. 【详解】观察可知数列的构成规律为个，个，个，，个， 因为，而， 所以数列的第项为， 故选：B. 5. 已知数列满足是数列的前项和，则（ ） A. 64 B. 75 C. 128 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】由递推公式求得前4项，即可求解. 【详解】由， 可得：，得， ，得 ，得 所以， 故选：B 6. 若双曲线的焦距为，过右顶点的直线与双曲线的一条渐近线平行.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（ ） A. 2或 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意不妨设直线的方程为，得，原点到直线的距离为得，利用即可求解. 【详解】由对称性可知，不妨设直线的方程为， 即， 于是有，又，故， 即， 两边平方得，所以， 即，即， 解得或， 因为，所以，， 故，所以. 故选：C 7. 设，则的大小关系是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，判断单调性，利用单调性比较大小. 【详解】令， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； ，， ， 因为，所以， 故选：A 8. 已知函数有两个零点，且，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 有极小值点 【答案】C 【解析】 【分析】求得函数的导数，得到函数的单调区间，利用函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，函数，则， 当时，在上恒成立，所以函数单调递增，不符合题意； 当时，令，解得，令，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为函数有两个零点且， 对A，则，且，所以，解得，所以A项正确； 对B，，且，，故，，所以，所以B正确； 对C，由，则，但不能确定，所以C不正确； 对D，由函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极小值点为，且，所以D正确； 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A. 函数在处有极小值； B. 函数在处有极小值； C. 函数在区间内有4个极值点； D. 函数在上为增函数. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导函数的图象、极值点、极值的知识与用导数判断单调性可求得正确答案. 【详解】对于A选项，在左右两侧的，所以不是的极值点，故A选项错误. 对于B选项，在左右两侧，左侧，右侧，且，所以函数在处有极小值，故B选项正确. 对于C选项，根据图象可知，有3个极值点，左右两侧的，所以不是的极值点，故C选项错误. 对于D选项，的图象在上，当且仅当时，，所以在上单调递增，故D选项正确. 故选：BD. 10. 函数满足，且，，下列说法正确的有（ ） A. 为的一个周期 B. 为奇函数 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由，通过代入，可求得周期为4，进而判定A；再结合，可判断B；再通过特值代入，可判断C；联想到正切函数的两角和公式和正切函数的性质，可以想到举例从而否定D. 【详解】对于A，当有意义，且，时， 则， 则， . 当时，(无意义)， 可得, 所以, 所以. 当时，, 可得, 综上，总有. 故为的一个周期，故A正确； 对于B，，即，函数关于点对称. 又由为的一个周期，所以， 所以，故为奇函数，故B正确； 对于C，为奇函数，但无法直接判定有意义. 但已知，可得有意义，故有意义，, 所以分母不为零，有意义，从而,即, 所以，故C正确； 对于D，. 因为， ，， 满足题设所有条件，但是不存在（），故D错误. 故选：ABC. 11. 伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，已知点是的双纽线上一点，下列说法正确的是（ ） A. 若直线交双纽线于，，三点（为坐标原点），则 B. 双纽线上满足的点有2个 C. 的面积的最大值为 D. 的周长的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知，代入坐标整理即可得出方程，即可判断A，令，求出，即可判断B，根据面积公式判断C，首先根据余弦定理，以及基本不等式判断D. 【详解】由双纽线的定义可得：， 即，化简得：， 当时，点的轨迹方程为， 令，解得或，所以，故A正确； 因为，，若满足，则点在轴上， 在方程中令，解得， 所以满足的点为，只有一个，故B错误； ， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 因为， 设，则, 当且仅当时等号成立， 当时，，所以， 所以 所以，所以 所以， 又点P不能在x轴上，所以的周长的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 是等比数列的前项和，若（），则______． 【答案】 【解析】 【分析】由求出，结合等比数列求得a值． 【详解】由题意时， ， 当时，， 又是等比数列，所以，解得． 故答案为：． 【点睛】易错点睛：由前n项和求时，要注意中有，不包括，而，解题时要注意，否则易出错，考查学生的运算能力，属于常考题. 13. 设椭圆的左、右焦点分别为，，是上的点，轴，，则椭圆的离心率等于 __． 【答案】## 【解析】 【分析】由已知可得点坐标，在中，由，可得，结合椭圆的性质即可求解． 【详解】如图所示，， 把代入椭圆方程可得：，解得， 不妨取， 在中，， ，得， 整理得，， 解得． 故答案为：． 14. 已知函数，若，则的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，等价于，再构造函数，利用函数单调性求出最小值，即可求出的值. 【详解】等价于，令，则． 当时，,单调递增；当时，,单调递减． 所以. 故转化为，即恒成立. 令，，则，则，因为恒成立，所以. 故的取值范围为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设数列是等差数列，已知，． （1）求数列的通项公式． （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）运用等差数列通项公式基本量计算即可. （2）运用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则，即：，解得：， 所以，即：. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以. 16. 某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求，的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的第65百分位数（分位数精确到0.1）； （3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自同一组的概率. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率的性质即各组频率为相应矩形面积，列式计算，即可求得答案； （2）确定面试成绩的65%分位数的范围，计算各矩形面积和的65%处对应的数值即为所求； （3）确定两组各抽取的人数，采用列举法列出选出2人的所有可能情况，再列出这2人来自同一组的情况，根据古典概型的概率公式即可求得答案. 【小问1详解】 因为第三、四、五组的频率之和为0.7，所以，解得， 所以前两组的频率之和为，即，所以； 【小问2详解】 前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，所以第65百分位数在65和75之间， 即为； 【小问3详解】 第四、第五两组志愿者分别有20人，5人， 故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，，，，第五组志愿者人数为1，设为， 这5人中选出2人，所有情况有，，，，，，，，，共有10种情况， 其中选出的两人来自同一组的有，，，，，，共6种情况， 故选出的两人来自同一组的概率为. 17. 已知直线与抛物线交于A，B两点，F为E的焦点，直线FA，FB的斜率之和为0． （1）求E的方程； （2）直线分别交直线于两点，若，求k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，将直线FA，FB的斜率之和坐标化，利用韦达定理代入整理求解系数； （2）由直线方程，令，用表示坐标， 代入利用志达定理将条件转化为的不等关系，求解不等式即得. 【小问1详解】 由，得，设直线与抛物线线交点， 的斜率，的斜率， 由已知直线FA，FB的斜率之和为0， 则 ①， 联立方程组，消得， 由，且，得，则. 由韦达定理得，代入①化简得 ， 由，解得， 故抛物线E的方程为； 【小问2详解】 由（1）知，焦点，则，， 令，得， 故，解得， 又， 由（1）知，，代入②式得， ，且， 解得，则，或， 故的取值范围为. 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）法一：取中点，连接. 在△中，分别为的中点，所以， 又，所以，四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. 法二：因为底面，底面，所以， 又因为平面， 所以平面，即为平面的一个法向量， 如图， 以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则 ，，，，， 由为棱的中点，得， 向量，，故， 又平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）法一：取中点，连接，利用线面平行的判定定理证明；法二：以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行证明； （2）求出两个平面的法向量，利用向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，设平面的法向量为， 则，取， 又平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 在人工智能领域，神经网络是让机器学会思考的核心技术，当AI处理图象，语言等复杂数据时，需要通过一种激活函数：双曲正切函数，对信息进行筛选和转换．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数． （1）若，求在上的单调区间； （2）证明：； （3）无穷数列，满足，问：是否存在实数，使得，若存在，求出，若不存在，说明理由． 【答案】（1）在上单增； （2）证明如下： ， ， ，， 所以， 故． （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由单调性与导数的关系即可求解； （2）由新定义代入化简计算即可； （3）法一：由定义，归纳得到，进而可求解；法二：由数学归纳法求证得到．再由双曲正切函数定义得到，进而求解即可. 【小问1详解】 由题易知：， 故， 而，当且仅当时取等， 恒成立 故在上单增． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 法一：由（2）知当时，，设 由，知， ， ……， 依此下去可得： 由双曲正切函数定义知，由知，， 记，则，解得，记，解得． ，故存在实数，使得． 法二：由（2）知当时，，设， 由，知， 猜想．下面用数学归纳法证明 ①当时，命题显然成立； ②假设当时，命题成立，即， 则时，由知，， 即当时，命题也成立． 由数学归纳法知，所以对任意的正整数均有． 由双曲正切函数定义知，由知，， 记，则，解得，记，解得． ，故存在实数，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年四川省泸化中学高2023级高二半期测试 数 学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项: 1．答卷前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．考试结束后，只将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “α”是“cosα”成立的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知某质点的位移函数为，则当时，该质点的瞬时速度是（ ） A. B. C. D. . 3. 抛物线在点处的切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 1 4. 数列的第2024项为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列满足是数列的前项和，则（ ） A. 64 B. 75 C. 128 D. 32 6. 若双曲线的焦距为，过右顶点的直线与双曲线的一条渐近线平行.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（ ） A. 2或 B. C. 2 D. 7. 设，则的大小关系是（   ） A. B. C. D. 8. 已知函数有两个零点，且，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 有极小值点 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A. 函数在处有极小值； B. 函数在处有极小值； C. 函数在区间内有4个极值点； D. 函数在上为增函数. 10. 函数满足，且，，下列说法正确的有（ ） A. 为的一个周期 B. 为奇函数 C. D. 11. 伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，已知点是的双纽线上一点，下列说法正确的是（ ） A. 若直线交双纽线于，，三点（为坐标原点），则 B. 双纽线上满足的点有2个 C. 的面积的最大值为 D. 的周长的取值范围为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 是等比数列的前项和，若（），则______． 13. 设椭圆的左、右焦点分别为，，是上的点，轴，，则椭圆的离心率等于 __． 14. 已知函数，若，则的取值范围为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设数列是等差数列，已知，． （1）求数列的通项公式． （2）设，求数列的前项和． 16. 某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求，的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的第65百分位数（分位数精确到0.1）； （3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自同一组的概率. 17. 已知直线与抛物线交于A，B两点，F为E的焦点，直线FA，FB的斜率之和为0． （1）求E的方程； （2）直线分别交直线于两点，若，求k的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 在人工智能领域，神经网络是让机器学会思考的核心技术，当AI处理图象，语言等复杂数据时，需要通过一种激活函数：双曲正切函数，对信息进行筛选和转换．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数． （1）若，求在上的单调区间； （2）证明：； （3）无穷数列，满足，问：是否存在实数，使得，若存在，求出，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $