专题10：概率与统计（十二大热点题型训练）——2025届高三数学满分冲刺【基础提升练+易错题型练+综合热点练】 上海专用

2025年上海高考数学满分冲刺热点题型专项训练（十） 概率与统计 【热题归纳】 题型1：互斥事件、对立事件、独立事件的概念辨析 1．（2025·上海徐汇·二模）已知为两个随机事件，则“为互斥事件”是“为对立事件”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】B 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念直接判断即可. 【详解】根据互斥事件和对立事件的概念可知，互斥不一定对立，对立一定互斥，所以“ A､B 为互斥事件”是“ A､B 为对立事件”的必要非充分条件. 故选：B 2．（2024·上海奉贤·三模）如果分别是的对立事件，下列选项中不能判断件与事件相互独立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相互独立事件的乘法公式和条件概率公式结合相互独立事件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以相互独立，故A正确； 对于B，因为， 所以， 所以相互独立，所以相互独立，故B正确； 对于C，， 所以，所以无法判断相互独立，故C错误； 对于D，， 因为，所以相互独立，故D正确. 故选：C. 3．（2025·上海崇明·二模）抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数），设事件A表示“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B表示“n次中至多有一次正面朝上”，若事件A与事件B是独立的，则n的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】先分别求出事件、事件以及事件发生的概率，再根据事件与事件独立的性质来求解的值. 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币次，所有可能的结果有种. 事件表示“次中既有正面朝上又有反面朝上”，其对立事件为“次都是正面朝上或次都是反面朝上”，包含的情况有种，所以. 根据对立事件概率之和为，可得. 事件表示“次中至多有一次正面朝上”，即“次中没有正面朝上（全是反面朝上）”或“次中有一次正面朝上”. “次中没有正面朝上”的情况有种；“次中有一次正面朝上”，从次中选次为正面朝上，有种情况. 所以事件包含的情况共有种，则. 事件表示“次中既有正面朝上又有反面朝上且至多有一次正面朝上”，即“次中有一次正面朝上”，有种情况，所以. 因为事件与事件是独立的，所以，即. 可得：.展开得：.即. 当时，，，等式不成立； 当时，，，等式成立； 当时，，，等式不成立. 所以. 故选：C. 题型2：古典概率、条件概率、全概率公式的计算与应用 4．（2025·上海普陀·二模）已知事件与事件相互独立，若，则 . 【答案】/ 【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式来求解即可. 【详解】由独立事件性质， ， , 故答案为： 5．（2025·上海徐汇·二模）已知两个随机事件，若，，，则 . 【答案】 【分析】根据全概率公式有，由乘法公式有求出，最后利用条件概率公式即可求解. 【详解】由题意， 所以， 所以. 故答案为：. 6．（2024·上海·三模）在一个有限样本空间中，假设，且A与B相互独立，A与C互斥，以下说法中，正确的个数是（    ） ①  ②   ③若，则B与C互斥 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由与相互独立，则，计算即可判断①；由条件概率公式计算即可判断②；由，可得，若互斥，则， 满足，可判断③. 【详解】对于①，， 且与相互独立， 则 ，故①错误； 对于②，， ， 故， 故②正确； 对于③，， 则，， 故， 即， 若互斥，则， 满足上式， 故， 即与互斥， 故③正确． 故选：C． 7．（2025·上海金山·二模）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 ． 【答案】 【详解】该同学通过测试的概率为，故答案为. 8．（2025·上海黄浦·二模）若从2025的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为 ． 【答案】/0.4 【分析】利用质因数可得的所有正约数，从而可求概率. 【详解】因为，所以的正约数为共15个数， 其中完全平方数有共6个数， 所以从2025的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为. 故答案为：. 9．（2025·上海普陀·二模）在一个不透明的盒中装着标有数字1，2，3，4的大小与质地都相同的小球各2个，现从该盒中一次取出2个球，设事件为“取出2个球的数字之和大于5”，事件为“取出的2个球中最小数字是2”，则 . 【答案】/ 【分析】首先求出事件、事件的基本事件数，再由条件概率公式计算可得. 【详解】事件（数字之和大于5）的基本事件数（数字组合）， 共有种； 而事件（最小数字是2且和大于5，即）的基本事件数有种， 由条件概率公式. 故答案为： 10．（2025·上海长宁·二模）某水果店的苹果，来自A基地，来自B基地，A基地苹果的新鲜率为，B基地苹果的新鲜率为，从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是 ． 【答案】/ 【分析】由已知结合全概率公式求解即可. 【详解】设选取的苹果来自A基地为事件，选取的苹果来自B基地为事件， 选到新鲜苹果为事件， 所以，，，， 所以 ， 所以从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是. 故答案为：. 11．（2025·上海奉贤·二模）假设生产某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是、、，而它们的良品率分别是、、，则该部件的总体良品率是 ． 【答案】 【分析】由全概率公式即可求解. 【详解】由题意可知该部件的总体良品率是： ， 故答案为： 12．（2025·上海奉贤·二模）盒子中有大小与质地均相同的个红球和个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球个（大小与质地均相同），再从中随机取1个球，计算此次取到白球的概率是 ． 【答案】 【分析】由题意，根据古典概型求得概率，结合全概率公式，可得答案. 【详解】由题意可设{第一次取得红球}，{第一次取得白球}， {第二次取得红球}，{第二次取得白球}， 易知，，，， 所以. 故答案为：. 13．（2025·天津河西·一模）某体育器材商店经营三种型号的组合器械，三种型号组合器械的优质率分别为0.9，0.8，0.7，市场占有比例为，某健身中心从该商店任意购买一种型号的组合器械，则买到的组合器械是优质产品的概率为 ；若该健身中心从三种型号的组合器械各买一件，则恰好买到两件优质产品的概率为 ． 【答案】 0.82 0.398 【解析】第一空：由全概率公式可得：； 第二空：恰好买到两件优质产品是“AB优C不优，AC优B不优，BC优A不优”这三个互斥事件的和，故所求概率为：， 故答案为：0.82；0.398. 14．（2025·天津武清·一模）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中大约有的学生，每天玩手机超过1小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是 . 【答案】/ 【解析】设事件“学生玩手机超过小时”，事件“学生近视”，事件为的对立事件， 由题意可得，，，则， 所以. 故答案为：. 题型3：离散型随机变量的分布列、期望与方差 15．（2025·上海长宁·二模）已知随机变量的分布是，则其方差 ． 【答案】/ 【分析】利用方差公式可求方差. 【详解】的期望为， 故， 故答案为： 16.（2025·上海静安·二模）已知随机变量服从二项分布，若，则的值为　　． 【解析】，则． 17．（2025·上海黄浦·二模）设，随机变量取值、、、的概率均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25．若记、分别为、的方差，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系与、、、的取值有关 【答案】A 【分析】根据随机变量的取值情况，计算出它们的期望和方差，再借助均值不等式即可判断作答. 【详解】由随机变量的取值情况，它们的期望分别为：， ，即， ， 则 同理， 则 则 ， 因为 所以， 因为，不能取等号，所以，所以 所以. 故选：A. 18．（2025·上海徐汇·二模）在桌面上有一个质地均匀的正四面体D—ABC．从该正四面体与桌面贴合的面上的三条棱中等可能地选取一条棱，沿其翻转正四面体至正四面体的另一个面与桌面贴合，如此翻转称为一次操作．如图，开始时，正四面体与桌面贴合的面为，操作次后，正四面体与桌面贴合的面是的概率记为. 现有下列两个结论：①；②. 则下列说法正确的是（    ）    A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②都正确 D．①、②都错误 【答案】C 【分析】首先通过分析正四面体的翻转操作，找出操作n次后正四面体与桌面贴合的面是的概率​的递推关系，再根据递推关系计算​，并分析​的性质判断​与​的大小关系. 【详解】开始时正四面体与桌面贴合的面为，进行一次操作后，正四面体与桌面贴合的面不可能再是，所以. 要得到操作2次后正四面体与桌面贴合的面是，那么第一次操作后正四面体与桌面贴合的面不是，且第二次操作能回到. 第一次操作后正四面体与桌面贴合的面不是，有3种情况（正四面体共4个面，除去ABC面），从这3个面中的任意一个面进行第二次操作回到面的概率为, 根据分步乘法计数原理，，因为，所以，故①正确, 当时，操作次后正四面体与桌面贴合的面是，则操作次后正四面体与桌面贴合的面不是，且第次操作能回到, 操作次后正四面体与桌面贴合的面不是的概率为， 从不是的面进行一次操作回到面的概率为， 所以可得递推关系 将上式变形为, 所以数列是以为首项,为公比的等比数列, ,即， ，显然，故②正确. 故选：C 题型4：二项分布、超几何分布与正态分布 19．（2025·上海闵行·二模）某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差．已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过505克的可能性约为 ．（精确到） 【答案】 【分析】根据正态分布的对称性即可得结论 【详解】设每包糖果的实际质量为，则， 又， 所以， 故质量超过505克的可能性约为. 故答案为：. 22．（2025·上海青浦·模拟预测）已知随机变量，若，则 . 【答案】0.4 【分析】由正态分布曲线的对称性求解即可. 【详解】因为随机变量，正态曲线关于对称. ，则， 根据正态曲线的对称性. 故答案为：0.4. 20．（2025·天津和平·一模）某物理量的测量结果服从正态分布，下面结论中不正确的是（    ） A．该物理量在一次测量中小于2的概率为0.5 B．该物理量在一次测量中小于1.98与大于2.02的概率相等 C．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 【答案】C 【解析】对于A，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于2的概率为，故A正确； 对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故B正确； 对于C，因为正态分布密度曲线的性质，该物理量测量结果落在的概率大于落在的概率， 所以一次测量结果落在的概率大于落在的概率，故C错误； 对于D，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故D正确； 故选：C. 21．（2025高三下·全国·专题练习）某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况，现从产品中随机抽取了80个零件进行测量，根据测量的数据作出如图所示的频率分布直方图． 注：尺寸数据在内的零件为合格品，频率作为概率． (1)从产品中随机抽取4个，记合格品的个数为，求的分布列与期望； (2)从产品中随机抽取个，全是合格品的概率不小于，求的最大值； (3)为了提高产品合格率，现提出两种不同的改进方案进行试验．若按方案进行试验后，随机抽取15个产品，不合格品个数的期望是2；若按方案进行试验后，随机抽取25个产品，不合格品个数的期望是4．你会选择哪种改进方案？ 【答案】(1)分布列见解析， (2)5 (3)应选择方案A． 【分析】（1）先由频率分布直方图，可以求出产品为合格品的概率，则，从而求出随机变量的分布列及数学期望； （2）依题意可得，结合指数函数的性质求出的范围，即可得解； （3）方案随机抽取产品与方案随机抽取产品都为相互独立事件，服从二项分布，由不合格个数的期望分别求出不合格的概率即可得出较好的方案. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，抽取的产品为合格品的频率为， 即抽取1个产品为合格品的概率为，从产品中随机抽取4个，合格品的个数的所有可能取值为，且， 则，， ，， ． 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 则的数学期望． （2）从产品中随机抽取个产品，全是合格品的概率为， 依题意得， 又在定义域上单调递减，，，， 所以，故的最大值为． （3）设按方案进行试验后，随机抽取1个产品是不合格品的概率是， 则随机抽取15个产品，不合格品个数； 设按方案进行试验后，随机抽取1个产品是不合格品的概率是，则随机抽取25个产品，不合格品个数． 依题意得，，所以． 因为，所以应选择方案． 题型5：简单随机抽样和分层抽样 22.（2023•新高考Ⅱ）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有　　 A．种 B．种 C．种 D．种 【解析】初中部和高中部分别有400和200名学生， 人数比例为， 则需要从初中部抽取40人，高中部取20人即可， 则有种． 故选：． 23.（2024·福建泉州·模拟预测）从一个含有个个体的总体中抽取一容量为的样本，当选取抽签法、随机数法和分层随机抽样三种不同方法时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，三者关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样中，每个个体被抽中的概率均为， 所以. 故选：B. 题型6：统计图表--统计图表获取信息 24．（2025·上海宝山·二模）甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示如左下图，茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图完好（右下图），则下列结论正确的是（     ） A．甲得分的极差小于乙得分的极差 B．甲得分的第25百分位数大于乙得分的第75百分位数 C．甲得分的平均数大于乙得分的平均数 D．甲得分的方差小于乙得分的方差 【答案】C 【分析】利用极差、百分位数和平均数的计算公式可以判断A、B、C三个选项，对于D选项，利用数据的分散程度判断方差的大小即可. 【详解】对于A选项，甲得分的极差为：，乙得分的极差为：， 因为，所以甲得分的极差大于乙得分的极差，故A错误； 对于B选项，因为，所以甲得分的第25百分位数为， 又，所以乙得分的第75百分位数为， 因为，所以甲得分的第25百分位数小于乙得分的第75百分位数，故B错误； 对于C选项，由折线图可知，在茎叶图中甲的得分中丢失的数据一个为，另一个设为，其中， 所以甲的平均数为， 乙的平均数为， 因为，所以，所以， 所以甲得分的平均数大于乙得分的平均数，故C正确； 对于D选项，方差是刻画数据离散程度或波动幅度的指标. 从茎叶图中可以看到，甲的得分分布比乙的得分分布分散， 所以甲得分的方差大于乙得分的方差，故D错误. 故选：C 25.四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（    ） A．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数 B．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数 C．样本中选择物理学科的人数较多 D．样本中男生人数少于女生人数 【答案】C 【解析】根据等高条形图图1可知样本中选择物理学科的人数较多，故C正确； 根据等高条形图图2可知样本中男生人数多于女生人数，故D错误； 样本中选择物理学科的人数多于选择历史意愿的人数，而选择物理意愿的男生比例高，选择历史意愿的女生比例低， 所以样本中选择物理意愿的男生人数多于选择历史意愿的女生人数，故A错误； 样本中女生选择历史意愿的人数不一定多于男生选择历史意愿的人数，故B错误. 故选：C. 题型7：统计估计 26．（2025·上海崇明·二模）某次数学考试后，随机选取14位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位数是87，则x的值为 ． 【答案】7 【分析】根据题意结合百分位数的概念运算求解. 【详解】，则该组数据从小到大排列后的第四位数是87，即， 故答案为：7. 27．（2025·上海青浦·模拟预测）如图是6株果树植株挂果个数（两位数）的茎叶图，则6株果数植株挂果个数的中位数为 . 【答案】21.5 【分析】将茎叶图中的数据按照从小到大排列后，根据中位数的定义即可求得. 【详解】将这6个数从小到大排列为16，18，21，22，22，31， 因数据有偶数个，则中位数是中间两个数的平均数，故中位数为. 故答案为：21.5. 28.（2023·上海嘉定·统考一模）两位跳水运动员甲和乙，某次比赛中的得分如下表所示，则正确的选项为（    ） 第一跳 第二跳 第三跳 第四跳 第五跳 甲 85.5 96 86.4 75.9 94.4 乙 79.5 80 95.7 94.05 86.4 A．甲和乙的中位数相等，甲的平均分小于乙 B．甲的平均分大于乙，甲的方差大于乙 C．甲的平均分大于乙，甲的方差等于乙 D．甲的平均分大于乙，甲的方差小于乙 【答案】B 【分析】计算出两者的中位数，平均分和方差，比较后得到结论. 【详解】甲的比赛得分从小到大排序为， 选择第三个数作为中位数， 甲的平均分为， 甲的方差为， 乙的比赛得分从小到大排序为， 选择第三个数作为中位数， 乙的平均分为， 乙的方差为， 甲和乙的中位数相等，因为，故甲的平均分大于乙的平均数， 因为，所以甲的方差大于乙的方差. 故选：B 29．（2024·上海奉贤·三模）有一组样本数据，，…，，其中是最小值，是最大值，则下列说法正确的是（    ） A．的中位数一定等于的中位数； B．的平均数一定等于的平均数； C．的标准差一定不小于的标准差； D．的30百分位数一定不等于的30百分位数． 【答案】A 【分析】根据中位数、百分位数、平均数及标准差的定义一一判断即可. 【详解】对于A：因为的中位数为从小到大排列的第个数，设为； 又的中位数从小到大排列的第个数恰为， 所以的中位数一定等于的中位数，故A正确； 对于B：因为与不一定相等， 故的平均数与的平均数不一定相等，故B错误； 对于C：因为的极差不大于的极差， 所以的标准差不大于的标准差，故C错误； 对于D：因为，， 则的百分位数为从小到大排列的第个数，设为； 的百分位数为从小到大排列的第个数恰为， 故的百分位数一定等于的百分位数，故D正确. 故选：A 题型9：变量间的相关关系 30．（2025·上海黄浦·二模）如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为0.8，那么表明（    ） A．两种证券的收益有反向变动的倾向 B．两种证券的收益有同向变动的倾向 C．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 D．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 【答案】B 【分析】根据正相关的定义可得出结论. 【详解】因为两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为，所以两种证券是正相关， 那么表明两种证券的收益有同向变动的倾向，B正确，ACD错误. 故选：B. 31．（2025·上海徐汇·二模）在研究线性回归模型时，若样本数据所对应的点都在直线上，则两组数据和的线性相关系数为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据回归模型性质判断即可. 【详解】若样本数据所对应的点都在直线上， 则两组数据和的线性相关系数为. 故选：A. 32．（2025·天津河西·一模）对变量，有观测数据，得散点图；对变量，有观测数据，得散点图2．由这两个散点图可以判断（   ） A．变量与正相关，与正相关 B．变量与正相关，与负相关 C．变量与负相关，与正相关 D．变量与负相关，与负相关 【答案】B 【解析】由变量，的散点图，知随增大，也增大，变量与正相关， 由变量，的散点图，知随增大，减小，与负相关. 故选：B 33．（2025·上海奉贤·二模）通过随机抽样，获得某种商品消费者年需求量与该商品每千克价格之间的一组数据调查，如下表所示: 价格（百元） 4 4 4.6 5 5.2 5.6 6 6.6 7 10 需求量（千克） 3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2 1 那么线性相关系数 ．（精确到）线性相关系数公式 【答案】 【分析】利用相关系数公式计算即可. 【详解】由题意可得， ， 所以 ， , 所以. 故答案为：. 题型10：回归分析 34．（2025·上海松江·二模）根据如表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为，则回归系数的值为 . 6 8 9 10 12 6 5 4 3 2 【答案】/ 【分析】根据线性回归方程过样本中心点进行求解即可. 【详解】首先计算. 因为回归直线过样本中心点，把代入， 可得，解得. 故答案为：. 35．（2025·上海浦东新·二模）研究变量，得到一组成对数据，先进行一次线性回归分析，接着增加一个数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．变量与变量的相关性变强 B．相关系数的绝对值变小 C．线性回归方程不变 D．拟合误差变大 【答案】C 【分析】设变量，的平均数分别为，，分析可知，.对于AB：根据相关系数的计算公式和性质分析判断；对于CD：根据回归方程和拟合误差的性质分析判断. 【详解】设变量，的平均数分别为，， 则，，即，， 可知新数据的样本中心点不变，仍为， 对于AB：可得， 同理可得， 则相关系数， 可知相关系数的值不变，变量与变量的相关性不变，故AB错误； 对于C：因为，且线性回归方程过样本中心点， 即均不变，所以线性回归方程不变，故C正确； 因为即为样本中心点，即， 可知残差平方和不变， 所以拟合误差不变，故D错误； 故选：C. 36．（2024·上海·三模）设一组成对数据的相关系数为r，线性回归方程为，则下列说法正确的为（    ）. A．越大，则r越大 B．越大，则r越小 C．若r大于零，则一定大于零 D．若r大于零，则一定小于零 【答案】C 【分析】利用与r的含义判断AB，根据r大于零时两变量正相关即可得一定大于零判断CD. 【详解】影响的是回归直线的斜率，r影响是两个变量之间的相关性， 所以与r之间数值大小没有关系，但符号有影响，故选项AB错误； 若r大于零，则说明两个变量之间成正相关，故一定大于零，故选项C正确，D错误. 故选：C 37．（2025·上海长宁·二模）某书店为了分析书籍销量与宣传投入之间的关系，对宣传投入x（千元）和书籍销量y（百本）的情况进行了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） x 3 4 5 6 y 5 6.2 7.4 m A．变量x、y之间呈正相关 B．预测当宣传投入2千元时，书籍销量约为400本 C． D．拟合误差 【答案】C 【分析】根据线性回归方程即可判断；将代入线性回归方程即可判断；由在线性回归方程上，即可求解；根据拟合误差计算公式求解即可. 【详解】因为线性回归方程为，， 所以变量x、y之间呈正相关，故正确； 当时，（百本），所以书籍销量约为400本，故正确； 由表中数据可得，， 所以，解得，故错误； 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 所以，故正确. 故选：. 38．（2025·上海杨浦·二模）植物社团的同学观察一株植物的生长情况，为了解植物高度（单位：厘米）与生长期（单位：天）之间的关系，随机统计了某4天的植物高度，并制作了如下对照表： 生长期 3 9 11 17 植物高度 2.4 3.4 3.8 5.2 由表中数据可得回归方程中，试预测生长期是30天时，植物高度约为 厘米. 【答案】 【分析】根据表中数据求出线性回归方程，再代入即可. 【详解】由题意可得，， 所以， 所以回归方程为， 所以预测生长期是30天时，植物高度约为厘米. 故答案为：. 39．（2024·上海·三模）下列命题错误的是（    ） A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 B．设，若，则 C．线性回归直线一定经过样本点的中心 D．一个袋子中有个大小相同的球，其中有个黄球、个白球，从中不放回地随机摸出个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，且 【答案】D 【分析】选项A，根据相关系数的表示意义即可求解；选项B，根据条件，利用二项分布的性质，得到，即可求解；选项C，根据最小二乘法求回归方程，即可判断选项C的正误；选项D，根据条件，利用超几何分布的定义即可判断. 【详解】对于选项A，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故选项A正确； 对于选项B，由，，得，解得， 故选项B正确； 对于选项C，线性回归直线一定经过样本点的中心，故选项C正确； 对于选项D，由于是不放回地随机摸出20个球作为样本， 由超几何分布的定义知服从的超几何分布， 且，故选项D错误. 故选：D. 题型11：列联表与独立性检验 40．（2025·上海徐汇·二模）如下是一个列联表，则 . y1 y2 总计 x1 a 35 45 x2 7 b n 总计 m 73 s 【答案】90 【分析】完善列联表即可求解. 【详解】由表格有， 故答案为：. 41．（2025·上海长宁·二模）为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量，则可推断 原假设．（填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平．） 【答案】拒绝 【分析】在独立性检验中，当计算得到的统计量大于临界值时，就拒绝原假设，即可求解. 【详解】已知显著性水平，，即临界值为， 因为，所以可推断拒绝原假设. 故答案为：拒绝. 题型12：概率综合 42．（2025·上海浦东新·二模）为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将道难度相当的数学试题从到编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下： 试题类别 软件 软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 几何试题 函数试题 (1)分别估计软件、软件能正确解答数学问题的概率； (2)小浦准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第题（假设其难度和测试的道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为，是函数题的概率为．将频率视为概率，试通过计算来说明小浦应该用哪款软件解决这道试题？ (3)小浦决定采用这两款软件解答道类似试题，其中几何、函数各道，每道试题只用其中一款软件解答一次．将频率视为概率，小浦比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型．用、分别表示这道几何试题与道函数试题被正确解答的个数，求随机变量的数学期望和方差． 【答案】(1)软件、软件能正确解答数学问题的概率分别为、 (2)应该使用软件来解决这道试题. (3)， 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求得软件、软件能正确解答数学问题的概率； （2）利用全概率公式计算出、软件分别能解答对第题的概率，比较大小后可得出结论； （3）利用二项分布的期望公式和方差公式可求出随机变量、的期望和方差，由题意可知、相互独立，可得出，，即可得出答案. 【详解】（1）记、软件能正确解答数学问题的概率为和， 结合题中数据以及古典概型的概率公式可得，. （2）记“软件能正确解答这道题”为事件，“软件能正确解答这道题”为事件， “该题为几何题”为事件. 则，，，，，， 由全概率公式可得. . 因为，所以软件能够正确解决这道试题的概率更大， 故小浦应该使用软件来解决这道试题. （3）几何试题用软件解答，函数试题用软件解答. 因为，， 由二项分布的期望公式可得，， 由二项分布的方差公式可得，， 因为、相互独立，则， . 43．（2025·上海长宁·二模）为响应国家促进消费的政策，某大型商场举办了“消费满减乐翻天”的优惠活动，顾客消费满800元（含800元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种） 方案1：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球．每摸出1次红球，立减150元，若3次都摸到红球，则额外再减200元（即总共减650元）； 方案2：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球．中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠． (1)顾客A选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率； (2)顾客B恰好消费了800元， ①若他选择抽奖方案1，求他实付金额的分布列和期望（结果精确到0.01）； ②试从实付金额的期望值分析顾客B选择何种抽奖方案更合理． 【答案】(1) (2)①分布列见解析，；②选择方案 【分析】（1）设事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“能够享受优惠”，求解在第一次摸到红球后，从7个球中不放回摸2个球的情况和摸出两球为红球和一红一蓝两种情况的种数，即可求解； （2）①设顾客B选择抽奖方案1时实付金额为元，由二项分布即可求解；②设顾客B选择抽奖方案2时实付金额为元，根据超几何分布求得均值，比较随机变量和的均值即可判断. 【详解】（1）设事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“能够享受优惠”， 在第一次摸到红球后，抽奖盒中还剩4个红球和3个蓝球，共7个球， 享受优惠包含摸出2个红球和摸出3个红球这两种情况， 从7个球中不放回摸2个球，总情况有种， 摸出两个红球的情况有种， 摸出1红1蓝的情况有种， 所以； （2）①设顾客B选择抽奖方案1时实付金额为元， 从装有5个红球，3个蓝球的抽奖盒中摸一个球，摸到红球的概率为，摸到蓝球的概率为， 当摸出0个红球时，， 当摸出1个红球时，， 当摸出2个红球时，， 当摸出3个红球时，， 所以实付金额的分布列为 800 650 500 150 实付金额的期望为 ； ②设顾客B选择抽奖方案2时实付金额为元， 当摸出0个红球或1个红球时，， 当摸出2个红球时，， 当摸出3个红球时，， 所以， 所以，所以从实付金额的期望值分析，顾客B选择抽奖方案2更合理. 44．（2024·上海普陀·一模）机器人竞技是继电子竞技之后热门的科技竞技项目.某区为了参加市机器人竞技总决赛，开展了区内选拔赛，其中、、、四人进入区内个人组决赛，按照规则每人与其他三人各进行一场比赛，且这三场比赛互相独立.下表统计的是在近期热身中分别与、、三人比赛的情况. 比赛的次数 12 10 15 获胜的次数 4 5 12 (1)根据表格中的数据，试估计在区内决赛中至少获胜一场的概率； (2)根据表格中的数据，请给、、三人设计一个出场顺序，使得在这三场比赛中连胜两场的概率最大，并说明理由. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据表格中数据可得与其他三人比赛获胜概率，利用概率的乘法公式以及正难则反的解题思路，可得答案； （2）计算各种安排下比赛获胜的概率，进行比较可得答案. 【详解】（1）由表格可估计与的比赛中获胜的概率， 与的比赛中获胜的概率，与的比赛中获胜的概率， 则估计在区内决赛中三场全输的概率， 所以估计在区内决赛中至少获胜一场的概率. （2）①当比赛安排为时，连胜两场的概率为； ②当比赛安排为时，连胜两场的概率为； ③当比赛安排为时，连胜两场的概率为； ④当比赛安排为时，连胜两场的概率为； ⑤当比赛安排为时，连胜两场的概率为； ⑥当比赛安排为时，连胜两场的概率为； 由，则当比赛安排为或时，连胜两场的概率最大. 45．（2024·上海金山·二模）有标号依次为1，2，…，(，)的个盒子，标号为1号的盒子里有3个红球和3个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入号盒子为止． (1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率； (2)设号盒子中红球个数为随机变量，求的分布及，并猜想的值（无需证明此猜想）． 【答案】(1) (2)分布列见解析，．猜想 【分析】（1）结合排列组合与概率公式计算即可得； （2）得出的所有取值及其概率，求得其概率分布，即可得其期望，列出号盒子与号盒子中的红球个数的关系，即可得， 【详解】（1）由题可知2号盒子里有2个红球的概率为； （2）由题可知可取， ， ， ， 所以3号盒子里的红球的个数的分布列为： ； 猜想，理由如下： 当时，设号盒子里有3个红球的概率为，有2个红球的概率为， 则号盒子里有1个红球的概率为， 则， ， ， 则 ， 由每个盒子中原本的红球与白球个数相等， 故号盒子中红球个数为与白球个数为的概率相等， 即，即有， 故， 当时， 有，，， ， 故可得. 46．（2024·上海奉贤·三模）在刚刚结束的杭州亚运会上，中国羽毛球队延续了传统优势项目，以4金3银2铜的成绩傲视亚洲．在旧制的羽毛球赛中，只有发球方赢得这一球才可以得分，即如果发球方在此回合的争夺中输球，则双方均不得分．但发球方输掉此回合后，下一回合改为对方发球． (1)在旧制羽毛球赛中，中国队某运动员每一回合比赛赢球的概率均为，且各回合相互独立．若第一回合该中国队运动员发球，求第二回合比赛有运动员得分的概率； (2)羽毛球比赛中，先获得第一分的队员往往会更加占据心理上的优势，给出以下假设： 假设1：各回合比赛相互独立； 假设2：比赛双方运动员甲和乙的实力相当，即每回合比赛中甲获胜的概率均为； 求第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率，并说明旧制是否合理？ 【答案】(1) (2)不合理,理由见详解 【分析】（1）由全概率公式，即可求解； （2）由已知条件，求出第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率，与比较，即可得到答案. 【详解】（1）设事件表示第一回合该中国队运动员赢球，事件表示第二回合该中国队运动员赢球， 事件表示第二回合比赛有运动员得分， 由已知，， ， 则 ， 即第二回合比赛有运动员得分的概率为. （2）设运动员甲先发球，记事件表示第i回合该运动员甲赢球， 记事件表示运动员甲先得第一分， 则， 则， 所以，即则第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率大于， 则比赛双方运动员实力相当的情况下，先发球者更大概率占据心理上的优势，所以旧制不合理. 47．（24-25高三上·云南德宏·期末）为更好的发挥高考的育才作用，部分新高考数学试卷采用了多选题这一题型．教育部考试中心通过科学测量分析，指出该题型扩大了试卷考点的覆盖面，有利于提高试卷的区分度，也有利于提高学生的得分率．多选题评分规则如下：对于多选题，每个小题给出的四个选项中，有两项或三项是正确的，满分6分．全部选对得6分，有错选或全不选得0分，正确答案为两项时，选对1个得3分；正确答案为三项时，选对1个得2分，选对2个得4分．多选题正确答案是两个选项的概率为p，正确答案是三个选项的概率为（其中）． (1)在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若，求学生甲该题得2分的概率； (2)针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案： Ⅰ：随机选一个选项；  Ⅱ：随机选两个选项；  Ⅲ：随机选三个选项． （i）若，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望； （ii）以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好? 【答案】(1) (2)（i）；（ⅱ） 【分析】（1）由全概率公式求解即可； （2）（i）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，求出的可能取值及其概率，即可求出的分布列，再由期望公式求出； （ⅱ）记分别为“从四个选项中随机选择一个选项、两个选项和三个选项的得分”，求出的数学威望，由题意可得，解不等式组即可得出答案. 【详解】（1）记事件为“正确答案选两个选项”，事件为“学生甲得分”． ， 即学生甲该题得分的概率为． （2）（i）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则可以取，，， ，  ， ， 所以的分布列为 则数学期望． （ⅱ）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”， 则， ， ， 所以 记为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”， 则， ， ， 所以 记为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”， 则， ， 所以． 要使唯独选择方案Ⅰ最好，则，解得：， 故的取值范围为． 题型13：统计综合 48．（2025·上海松江·二模）某校组织学生在周末时间利用DeepSeek等人工智能平台进行线上学习，但要求学生学习时间不超过4小时．现从该校高三学生某周末的线上学习时间统计数据中，随机抽取100个学生的学习时间进行分析，绘制成如下频率分布直方图．以抽取的100个学生该周末线上学习时间作为样本，估计该校高三年级全体学生周末线上学习时间的情况． (1)试估计该校高三学生周末线上学习时间的平均数及中位数（注：为了计算均值，可用区间的中点值给区间内的每个数据赋值）； (2)现从全部高三年级学生中随机抽取人，若其中有4人周末线上学习的时间不小于3小时的可能性最大，求的值. 【答案】(1)平均数小时，中位数小时 (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图估算平均数，中位数的公式计算得解； （2）以样本估计总体的线上学习时间不少于3小时的概率，记从全部高三年级学生中随机抽取人，线上学习时间不小于3小时的人数为，则服从二项分布，根据二项分布概率计算公式列出不等式组解出值即可. 【详解】（1）（小时）. 因为学习时间小于3小时的频率为， 所以中位数在内，由，解得小时. （2）由频率分布直方图可知，学习时间不小于3小时的频率为. 设从全部高三年级学生中随机抽取人，线上学习时间不小于3小时的人数为， 其中有4人周末线上学习时间不小于3小时的概率为， 所以.要使最大， 则， 解不等式组得，因为为正整数，所以. 所以时，最大. 题型14：统计与概率综合 49．（2024·上海崇明·一模）王老师将全班40名学生的高一数学期中考试（满分100分）成绩分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，现将记作第一组，、、、分别记作第二、三、四、五组．已知第一组、第二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)估计此次考试成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (2)王老师将测试成绩在和内的试卷进行分析，再从中选2人的试卷进行优秀答卷展示，求被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在内的概率； (3)已知第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此计算第二组和第四组所有学生成绩的方差． 【答案】(1)74.5 (2) (3) 【分析】（1）根据频率之和为1可求的值，根据组中值可求平均数； （2）根据对立事件可求2人的测试成绩至少1个在内的概率； （3）根据分层方差和总体方差的关系式可求第二组和第四组所有学生成绩的方差. 【详解】（1）由题意得，解得 所以平均数等于 （2）由题意，内有8人，内有2人， 所以被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在内的概率为. （3）设第二组、第四组的平均数与方差分别为， 由题意，第二组、第四组分别有10人和8人， 所以成绩在第二组、第四组的平均数 成绩在第二组、第四组的方差 故估计成绩在第二组、第四组的方差是. 50．（2024·上海杨浦·二模）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.完成生产任务的工作时间不超过70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图： (1)求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分数； (2)独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率； (3)根据工人完成生产任务的工作时间，两种生产方式优秀与合格的人数填入下面的2×2列联表： 第一种生产方式 第二种生产方式 总计 优秀 合格 总计 根据上面的2×2列联表，判断能否有95%的把握认为两种生产方式的工作效率有显著差异？（.其中，）. 【答案】(1)88.5 (2) (3)有95%的把握认为两种生产方式的工作效率有显著差异 【分析】（1）将这40个数据从小到大排列，取第30人和第31人时间的平均值即可. （2）利用古典概型的方法即可求得概率. （3）利用列联表代入公式即可. 【详解】（1）根据题意，将这40个数据从小到大排列，61,61,62,63,63,65,65,67,68,69,70,70,71,72,72,72,72,74,75,77,78, 81,82,82,83,84,84,84,87,87,90,90,91,91,91,92,92,93,94,94 ，故取第30人和第31人时间的平均值为； （2）设选出的工人为优秀为事件A，第一种正产方式A 的基本事件数是2个， 第二种生产方式A的基本事件数是10个， 所以独立地从两种生产方式中各选出一个人，选出的两个人均为优秀的概率为. （3） 第一种生产方式 第二种生产方式 总计 优秀 2 10 12 合格 18 10 28 总计 20 20 40 ， 故有95%的把握认为两种生产方式的工作效率有显著差异. 51．（2024·上海杨浦·一模）为加强学生睡眠监测督导，学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间进行调查.根据分层随机抽样法，学校在高一､高二和高三年级中共抽取了100名学生的日均睡眠时间作为样本，其中高一35人，高二33人.已知该校高三年级一共512人. (1)学校高中三个年级一共有多少个学生？ (2)若抽取100名学生的样本极差为2，数据如下表所示（其中是正整数） 日均睡眠时间（小时） 8.5 9 9.5 10 学生数量 32 13 11 4 求该样本的第40百分位数. (3)从这100名学生的样本中随机抽取三个学生的日均睡眠时间，求其中至少有1个数据来自高三学生的概率. 【答案】(1)1600 (2) (3) 【分析】根据分层抽样，按比例抽取即可得到答案． 根据极差可得，再结合学生总数量为100，可求出，再根据求第百分位数的方法即可求得. 根据古典概型的概率计算，如果一次实验中可能出现的结果有个，而且所有结果出现的可能性都相等，如果某个事件包含的结果有个，那么事件的概率为，即可解得. 【详解】（1）设学校高中三个年级一共有个学生, 因为采用分层抽样法抽取一个容量为100的样本， 在高一年级抽取了35人，高二年级抽取了33人， 所以高三抽取的人数为：人， 又因为高三年级一共512人，所以有：，解得. 所以学校高中三个年级一共有1600个学生. （2）因为抽取100名学生的样本极差为2，所以 又因为，所以样本的第40百分位数为： （3）因为100名学生的样本中随机抽取三个学生的总情况数为： 其中至少有1个数据来自高三学生的情况为： 所以至少有1个数据来自高三学生的概率为： 52．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）2024年初，冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资源，成为2024年第一个“火出圈”的网红城市，冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动，成功提升了吸引力和知名度，为其他旅游城市提供了宝贵经验，从2024年1月1日至5日，哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下： （日） 1 2 3 4 5 （万人） 45 50 60 65 80 (1)计算的相关系数（计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； (3)为了吸引游客，在冰雪大世界售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动，具体抽奖规则为：从该旅游团中随机同时抽取两名游客，两名游客性别不同则为中奖．已知某个旅游团中有5个男游客和个女游客，设重复进行三次抽奖中恰有一次中奖的概率为，当取多少时，最大？ 参考公式：，，， 参考数据：． 【答案】(1)，可以认为两者的相关性很强 (2) (3)当时，恰有一次中奖的概率最大 【分析】（1）根据相关系数的公式计算并判断； （2）根据公式求出，得解； （3）根据题意可得，判断的单调性可得，即，由二项分布得，利用导数求出最大值. 【详解】（1）因为， 所以 ， ， ， 所以 ， 由此可以认为两者的相关性很强． （2）由（1）知，． 所以=． 因为，所以回归方程为． （3）记， ， ，即． ，令， 则，得，，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值．由，解得或（舍去）， 当时，恰有一次中奖的概率最大． 【点睛】关键点睛：本题第三问，解题的关键是根据题意列出的表达式，并判断单调性求出的范围，利用二项分布求出，借助导数求出最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海高考数学满分冲刺热点题型专项训练（十） 概率与统计 【热题归纳】 题型1：互斥事件与对立事件的有关概念辨析 1．（2025·上海徐汇·二模）已知为两个随机事件，则“为互斥事件”是“为对立事件”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 2．（2024·上海奉贤·三模）如果分别是的对立事件，下列选项中不能判断件与事件相互独立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·上海崇明·二模）抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数），设事件A表示“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B表示“n次中至多有一次正面朝上”，若事件A与事件B是独立的，则n的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型2：古典概率、条件概率、全概率公式的计算与应用 4．（2025·上海普陀·二模）已知事件与事件相互独立，若，则 . 5．（2025·上海徐汇·二模）已知两个随机事件，若，，，则 . 6．（2024·上海·三模）在一个有限样本空间中，假设，且A与B相互独立，A与C互斥，以下说法中，正确的个数是（    ） ①  ②   ③若，则B与C互斥 A．0 B．1 C．2 D．3 7．（2025·上海金山·二模）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 ． 8．（2025·上海黄浦·二模）若从2025的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为 ． 9．（2025·上海普陀·二模）在一个不透明的盒中装着标有数字1，2，3，4的大小与质地都相同的小球各2个，现从该盒中一次取出2个球，设事件为“取出2个球的数字之和大于5”，事件为“取出的2个球中最小数字是2”，则 . 10．（2025·上海长宁·二模）某水果店的苹果，来自A基地，来自B基地，A基地苹果的新鲜率为，B基地苹果的新鲜率为，从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是 ． 11．（2025·上海奉贤·二模）假设生产某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是、、，而它们的良品率分别是、、，则该部件的总体良品率是 ． 12．（2025·上海奉贤·二模）盒子中有大小与质地均相同的个红球和个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球个（大小与质地均相同），再从中随机取1个球，计算此次取到白球的概率是 ． 13．（2025·天津河西·一模）某体育器材商店经营三种型号的组合器械，三种型号组合器械的优质率分别为0.9，0.8，0.7，市场占有比例为，某健身中心从该商店任意购买一种型号的组合器械，则买到的组合器械是优质产品的概率为 ；若该健身中心从三种型号的组合器械各买一件，则恰好买到两件优质产品的概率为 ． 14．（2025·天津武清·一模）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中大约有的学生，每天玩手机超过1小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是 . 题型3：离散型随机变量的分布列、期望与方差 15．（2025·上海长宁·二模）已知随机变量的分布是，则其方差 ． 16.（2025·上海静安·二模）已知随机变量服从二项分布，若，则的值为　　． 17．（2025·上海黄浦·二模）设，随机变量取值、、、的概率均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25．若记、分别为、的方差，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系与、、、的取值有关 18．（2025·上海徐汇·二模）在桌面上有一个质地均匀的正四面体D—ABC．从该正四面体与桌面贴合的面上的三条棱中等可能地选取一条棱，沿其翻转正四面体至正四面体的另一个面与桌面贴合，如此翻转称为一次操作．如图，开始时，正四面体与桌面贴合的面为，操作次后，正四面体与桌面贴合的面是的概率记为. 现有下列两个结论：①；②. 则下列说法正确的是（    ）    A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②都正确 D．①、②都错误 题型4：二项分布、超几何分布与正态分布 19．（2025·上海闵行·二模）某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差．已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过505克的可能性约为 ．（精确到） 22．（2025·上海青浦·模拟预测）已知随机变量，若，则 . 20．（2025·天津和平·一模）某物理量的测量结果服从正态分布，下面结论中不正确的是（    ） A．该物理量在一次测量中小于2的概率为0.5 B．该物理量在一次测量中小于1.98与大于2.02的概率相等 C．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 21．（2025高三下·全国·专题练习）某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况，现从产品中随机抽取了80个零件进行测量，根据测量的数据作出如图所示的频率分布直方图． 注：尺寸数据在内的零件为合格品，频率作为概率． (1)从产品中随机抽取4个，记合格品的个数为，求的分布列与期望； (2)从产品中随机抽取个，全是合格品的概率不小于，求的最大值； (3)为了提高产品合格率，现提出两种不同的改进方案进行试验．若按方案进行试验后，随机抽取15个产品，不合格品个数的期望是2；若按方案进行试验后，随机抽取25个产品，不合格品个数的期望是4．你会选择哪种改进方案？ 题型5：简单随机抽样和分层抽样 22.（2023•新高考Ⅱ）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有　　 A．种 B．种 C．种 D．种 23.（2024·福建泉州·模拟预测）从一个含有个个体的总体中抽取一容量为的样本，当选取抽签法、随机数法和分层随机抽样三种不同方法时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，三者关系可能是（    ） A． B． C． D． 题型6：统计图表--统计图表获取信息 24．（2025·上海宝山·二模）甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示如左下图，茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图完好（右下图），则下列结论正确的是（     ） A．甲得分的极差小于乙得分的极差 B．甲得分的第25百分位数大于乙得分的第75百分位数 C．甲得分的平均数大于乙得分的平均数 D．甲得分的方差小于乙得分的方差 25.四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（    ） A．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数 B．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数 C．样本中选择物理学科的人数较多 D．样本中男生人数少于女生人数 题型7：统计估计 26．（2025·上海崇明·二模）某次数学考试后，随机选取14位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位数是87，则x的值为 ． 27．（2025·上海青浦·模拟预测）如图是6株果树植株挂果个数（两位数）的茎叶图，则6株果数植株挂果个数的中位数为 . 28．（2025上海嘉定·统考一模）两位跳水运动员甲和乙，某次比赛中的得分如下表所示，则正确的选项为（    ） 第一跳 第二跳 第三跳 第四跳 第五跳 甲 85.5 96 86.4 75.9 94.4 乙 79.5 80 95.7 94.05 86.4 A．甲和乙的中位数相等，甲的平均分小于乙 B．甲的平均分大于乙，甲的方差大于乙 C．甲的平均分大于乙，甲的方差等于乙 D．甲的平均分大于乙，甲的方差小于乙 29．（2024·上海奉贤·三模）有一组样本数据，，…，，其中是最小值，是最大值，则下列说法正确的是（    ） A．的中位数一定等于的中位数； B．的平均数一定等于的平均数； C．的标准差一定不小于的标准差； D．的30百分位数一定不等于的30百分位数． 题型8：变量间的相关关系 30．（2025·上海黄浦·二模）如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为0.8，那么表明（    ） A．两种证券的收益有反向变动的倾向 B．两种证券的收益有同向变动的倾向 C．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 D．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 31．（2025·上海徐汇·二模）在研究线性回归模型时，若样本数据所对应的点都在直线上，则两组数据和的线性相关系数为（    ） A． B．1 C． D．2 32．（2025·天津河西·一模）对变量，有观测数据，得散点图；对变量，有观测数据，得散点图2．由这两个散点图可以判断（   ） A．变量与正相关，与正相关 B．变量与正相关，与负相关 C．变量与负相关，与正相关 D．变量与负相关，与负相关 33．（2025·上海奉贤·二模）通过随机抽样，获得某种商品消费者年需求量与该商品每千克价格之间的一组数据调查，如下表所示: 价格（百元） 4 4 4.6 5 5.2 5.6 6 6.6 7 10 需求量（千克） 3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2 1 那么线性相关系数 ．（精确到）线性相关系数公式 题型9：回归分析 34．（2025·上海松江·二模）根据如表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为，则回归系数的值为 . 6 8 9 10 12 6 5 4 3 2 35．（2025·上海浦东新·二模）研究变量，得到一组成对数据，先进行一次线性回归分析，接着增加一个数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．变量与变量的相关性变强 B．相关系数的绝对值变小 C．线性回归方程不变 D．拟合误差变大 36．（2024·上海·三模）设一组成对数据的相关系数为r，线性回归方程为，则下列说法正确的为（    ）. A．越大，则r越大 B．越大，则r越小 C．若r大于零，则一定大于零 D．若r大于零，则一定小于零 37．（2025·上海长宁·二模）某书店为了分析书籍销量与宣传投入之间的关系，对宣传投入x（千元）和书籍销量y（百本）的情况进行了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） x 3 4 5 6 y 5 6.2 7.4 m A．变量x、y之间呈正相关 B．预测当宣传投入2千元时，书籍销量约为400本 C． D．拟合误差 38．（2025·上海杨浦·二模）植物社团的同学观察一株植物的生长情况，为了解植物高度（单位：厘米）与生长期（单位：天）之间的关系，随机统计了某4天的植物高度，并制作了如下对照表： 生长期 3 9 11 17 植物高度 2.4 3.4 3.8 5.2 由表中数据可得回归方程中，试预测生长期是30天时，植物高度约为 厘米. 39．（2024·上海·三模）下列命题错误的是（    ） A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 B．设，若，则 C．线性回归直线一定经过样本点的中心 D．一个袋子中有个大小相同的球，其中有个黄球、个白球，从中不放回地随机摸出个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，且 题型10：列联表与独立性检验 40．（2025·上海徐汇·二模）如下是一个列联表，则 . y1 y2 总计 x1 a 35 45 x2 7 b n 总计 m 73 s 41．（2025·上海长宁·二模）为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量，则可推断 原假设．（填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平．） 题型11：概率综合 42．（2025·上海浦东新·二模）为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将道难度相当的数学试题从到编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下： 试题类别 软件 软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 几何试题 函数试题 (1)分别估计软件、软件能正确解答数学问题的概率； (2)小浦准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第题（假设其难度和测试的道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为，是函数题的概率为．将频率视为概率，试通过计算来说明小浦应该用哪款软件解决这道试题？ (3)小浦决定采用这两款软件解答道类似试题，其中几何、函数各道，每道试题只用其中一款软件解答一次．将频率视为概率，小浦比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型．用、分别表示这道几何试题与道函数试题被正确解答的个数，求随机变量的数学期望和方差． 43．（2025·上海长宁·二模）为响应国家促进消费的政策，某大型商场举办了“消费满减乐翻天”的优惠活动，顾客消费满800元（含800元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种） 方案1：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球．每摸出1次红球，立减150元，若3次都摸到红球，则额外再减200元（即总共减650元）； 方案2：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球．中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠． (1)顾客A选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率； (2)顾客B恰好消费了800元， ①若他选择抽奖方案1，求他实付金额的分布列和期望（结果精确到0.01）； ②试从实付金额的期望值分析顾客B选择何种抽奖方案更合理． 44．（2024·上海普陀·一模）机器人竞技是继电子竞技之后热门的科技竞技项目.某区为了参加市机器人竞技总决赛，开展了区内选拔赛，其中、、、四人进入区内个人组决赛，按照规则每人与其他三人各进行一场比赛，且这三场比赛互相独立.下表统计的是在近期热身中分别与、、三人比赛的情况. 比赛的次数 12 10 15 获胜的次数 4 5 12 (1)根据表格中的数据，试估计在区内决赛中至少获胜一场的概率； (2)根据表格中的数据，请给、、三人设计一个出场顺序，使得在这三场比赛中连胜两场的概率最大，并说明理由. 45．（2024·上海金山·二模）有标号依次为1，2，…，(，)的个盒子，标号为1号的盒子里有3个红球和3个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入号盒子为止． (1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率； (2)设号盒子中红球个数为随机变量，求的分布及，并猜想的值（无需证明此猜想）． 46．（2024·上海奉贤·三模）在刚刚结束的杭州亚运会上，中国羽毛球队延续了传统优势项目，以4金3银2铜的成绩傲视亚洲．在旧制的羽毛球赛中，只有发球方赢得这一球才可以得分，即如果发球方在此回合的争夺中输球，则双方均不得分．但发球方输掉此回合后，下一回合改为对方发球． (1)在旧制羽毛球赛中，中国队某运动员每一回合比赛赢球的概率均为，且各回合相互独立．若第一回合该中国队运动员发球，求第二回合比赛有运动员得分的概率； (2)羽毛球比赛中，先获得第一分的队员往往会更加占据心理上的优势，给出以下假设： 假设1：各回合比赛相互独立； 假设2：比赛双方运动员甲和乙的实力相当，即每回合比赛中甲获胜的概率均为； 求第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率，并说明旧制是否合理？ 47．（24-25高三上·云南德宏·期末）为更好的发挥高考的育才作用，部分新高考数学试卷采用了多选题这一题型．教育部考试中心通过科学测量分析，指出该题型扩大了试卷考点的覆盖面，有利于提高试卷的区分度，也有利于提高学生的得分率．多选题评分规则如下：对于多选题，每个小题给出的四个选项中，有两项或三项是正确的，满分6分．全部选对得6分，有错选或全不选得0分，正确答案为两项时，选对1个得3分；正确答案为三项时，选对1个得2分，选对2个得4分．多选题正确答案是两个选项的概率为p，正确答案是三个选项的概率为（其中）． (1)在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若，求学生甲该题得2分的概率； (2)针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案： Ⅰ：随机选一个选项；  Ⅱ：随机选两个选项；  Ⅲ：随机选三个选项． （i）若，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望； （ii）以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好? 题型12：统计与概率综合 48．（2025·上海松江·二模）某校组织学生在周末时间利用DeepSeek等人工智能平台进行线上学习，但要求学生学习时间不超过4小时．现从该校高三学生某周末的线上学习时间统计数据中，随机抽取100个学生的学习时间进行分析，绘制成如下频率分布直方图．以抽取的100个学生该周末线上学习时间作为样本，估计该校高三年级全体学生周末线上学习时间的情况． (1)试估计该校高三学生周末线上学习时间的平均数及中位数（注：为了计算均值，可用区间的中点值给区间内的每个数据赋值）； (2)现从全部高三年级学生中随机抽取人，若其中有4人周末线上学习的时间不小于3小时的可能性最大，求的值. 49．（2024·上海崇明·一模）王老师将全班40名学生的高一数学期中考试（满分100分）成绩分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，现将记作第一组，、、、分别记作第二、三、四、五组．已知第一组、第二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)估计此次考试成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (2)王老师将测试成绩在和内的试卷进行分析，再从中选2人的试卷进行优秀答卷展示，求被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在内的概率； (3)已知第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此计算第二组和第四组所有学生成绩的方差． 50．（2024·上海杨浦·二模）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.完成生产任务的工作时间不超过70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图： (1)求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分数； (2)独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率； (3)根据工人完成生产任务的工作时间，两种生产方式优秀与合格的人数填入下面的2×2列联表： 第一种生产方式 第二种生产方式 总计 优秀 合格 总计 根据上面的2×2列联表，判断能否有95%的把握认为两种生产方式的工作效率有显著差异？（.其中，）. 51．（2024·上海杨浦·一模）为加强学生睡眠监测督导，学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间进行调查.根据分层随机抽样法，学校在高一､高二和高三年级中共抽取了100名学生的日均睡眠时间作为样本，其中高一35人，高二33人.已知该校高三年级一共512人. (1)学校高中三个年级一共有多少个学生？ (2)若抽取100名学生的样本极差为2，数据如下表所示（其中是正整数） 日均睡眠时间（小时） 8.5 9 9.5 10 学生数量 32 13 11 4 求该样本的第40百分位数. (3)从这100名学生的样本中随机抽取三个学生的日均睡眠时间，求其中至少有1个数据来自高三学生的概率. 52．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）2024年初，冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资源，成为2024年第一个“火出圈”的网红城市，冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动，成功提升了吸引力和知名度，为其他旅游城市提供了宝贵经验，从2024年1月1日至5日，哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下： （日） 1 2 3 4 5 （万人） 45 50 60 65 80 (1)计算的相关系数（计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； (3)为了吸引游客，在冰雪大世界售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动，具体抽奖规则为：从该旅游团中随机同时抽取两名游客，两名游客性别不同则为中奖．已知某个旅游团中有5个男游客和个女游客，设重复进行三次抽奖中恰有一次中奖的概率为，当取多少时，最大？ 参考公式：，，， 参考数据：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$