专题04： 函数 （八大热点题型训练）——2025届高三数学满分冲刺【基础提升练+易错题型练+综合热点练】 上海专用

2025年上海高考数学满分冲刺热点题型专项训练（四） 函数 【热题归纳】 题型1：指数幂与对数式的化简求值 1．（2024•奉贤区三模）若，则lg98＝　 　．（结果用a，b的代数式表示） 2．（2024•长宁区二模）若3a＝2b＝6，则　　． 3．（2024•宝山区校级四模）已知正实数a、b满足，aa＝bb，则a+b＝　　． 题型2：函数的概念与性质 4．（2022•上海）下列函数定义域为的是　　 A． B． C． D． 5．（2024•金山区二模）函数的定义域是 　 　． 6．（2024·上海虹口·一模）函数的定义域是 ． 7．（2024•松江区校级模拟）函数在，上的值域为，则的值为 　 　． 题型3：幂指对函数的定义 8．（2024•崇明区二模）已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，4），则f（3）＝　　． 9．（2025·上海徐汇·二模）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 10．（2025·上海宝山·二模）已知函数则= . 11．（2025·上海闵行·二模）已知函数的值域为R，则m的取值范围是 ． 题型4：幂指对函数的图像与性质 12．（2024·上海长宁·一模）已知函数的大致图像如图所示，则 ． 13．（2024·上海闵行·一模）下列函数中，在区间上是严格减函数的为（    ） A． B． C． D． 14．（2024•浦东新区校级四模）设m＞0，n＞0，若直线过曲线y＝ax﹣1+1（a＞0，且a≠1）的定点，则的最小值为 　　． 15．（2024·上海嘉定·模拟预测）已知函数，若，且，则的取值范围是 . 16．（2025·上海宝山·二模）“”的一个必要非充分条件是（    ） A． B． C． D． 17．（2025·上海青浦·模拟预测）若正数均不为1，则下列不等式中与“”等价的是（   ） A． B． C． D． 18．（2025·上海嘉定·二模）已知实数a，b满足，则下列不等式中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 19．（2024·上海徐汇·二模）已知函数，其中. (1)求证：是奇函数； (2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. 20．（2025·上海崇明·二模）已知． (1)是否存在实数a，使得函数是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由； (2)若且，解关于x的不等式． 21．（2025·上海宝山·二模）已知函数，（且） (1)若，求方程的解； (2)已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的最大值. 题型5：函数的基本性质 22．（2025·上海松江·二模）下列函数中，在区间上为严格增函数的奇函数的是（   ） A． B． C． D． 23．（2025·天津宁河区·一模）下列四个函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 24．（2025·天津宝坻区·一模）下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是（    ） A． B． C． D． 25．（2025·天津宁河区·一模）已知函数，若，则实数a的取值范围是 . 26．（2025·上海金山·二模）已知定义在上的函数，满足以下两个条件：（1）对任意恒成立，且；（2）对任意都有，则下列关于函数的表述中正确的个数为（    ） ①；②；③函数有最小值. A．0 B．1 C．2 D．3 27．（2025·上海松江·二模）定义在上的函数满足，当时，，有以下两个命题： ①当为正整数时，； ②若函数在区间内有3个极大值点，则的取值范围是. 则以下选项正确的是（   ） A．①是真命题，②是假命题 B．两个都是真命题 C．①是假命题，②是真命题 D．两个都是假命题 28．（2025·天津武清区·一模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 29．（2024·上海黄浦·二模）设，函数. (1)求的值，使得为奇函数； (2)若，求满足的实数的取值范围. 题型6：函数的零点问题 30．（2025·上海松江·二模）设，若函数在区间内恰好有6个零点，则的取值范围是 . 31．（2025·上海黄浦·二模）设、为常数，，若对任意的，函数在区间上恰有4个零点，则的取值范围是 ． 32．（2025·上海长宁·二模）已知向量． (1)求函数的单调递减区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围． 33．（2025·天津武清区·一模）函数  关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 . 题型7：函数的新定义问题 34．（2025·上海奉贤·二模）函数的导函数为，若存在实数，使得成立，则称函数具有性质，下列函数具有性质的函数是（    ） A． B． C． D． 35．（2025·上海嘉定·二模）已知函数，其中，定义集合．对于点，定义集合．若对任意，均有，则称点P为平衡点． (1)当时，判断点是否为平衡点； (2)当时，求实数b的取值范围，使得点是平衡点； (3)求所有实数a和b，使得点是平衡点． 36．（2025·上海·模拟预测）已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 题型8：解答题 37．（2025·上海金山·二模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)若，求函数的值域. 38．（2025·上海浦东新·二模）已知函数的表达式． (1)若函数是奇函数，求实数的值； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 39．（2025·上海青浦·模拟预测）对于函数，其中. (1)若函数的图像过点，求的解集； (2)求证：当时，存在使得成等差数列. 40．（2025·上海杨浦·二模）已知函数是定义在上的偶函数. (1)当时，，求时，的表达式； (2)当时，，若实数满足，求的取值范围. 41．（2025·上海徐汇·二模）已知函数，其中. (1)解关于的不等式； (2)若存在唯一的实数，使得依次成等差数列，求实数的取值范围. 42．（2025·上海黄浦·二模）已知． (1)若，求的值； (2)是否存在实数，使函数是奇函数？请说明理由． 43．（2025·上海奉贤·二模）函数，其中． (1)若函数是偶函数，当时，求的值； (2)求函数的值域并证明对任意的正实数和实数，不等式恒成立． 44．（2025·天津宁河区·一模）已知函数． (1)若曲线在处的切线的方程为，求实数，的值； (2)当时，，且，求证． (3)若，对任意， ，不等式恒成立，求的取值范围； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海高考数学满分冲刺热点题型专项训练（四） 函数 【热题归纳】 题型1：指数幂与对数式的化简求值 1．（2024•奉贤区三模）若，则lg98＝　 　．（结果用a，b的代数式表示） 【分析】由已知结合对数的运算性质即可求解． 【解答】解：若， 则lg7＝﹣b， 则lg98＝lg2+2lg7＝a﹣2b． 故答案为：a﹣2b． 【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题． 2．（2024•长宁区二模）若3a＝2b＝6，则　　． 【分析】由已知结合指数与对数的转化公式及对数的运算性质即可求解． 【解答】解：若3a＝2b＝6，则a＝log36，b＝log26， log63+log62＝log66＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了指数与对数的转化及对数的换底公式及运算性质的应用，属于基础题． 3．（2024•宝山区校级四模）已知正实数a、b满足，aa＝bb，则a+b＝　　． 【分析】由已知结合对数的运算性质可得a，b的关系，然后结合指数幂的运算性质即可求解． 【解答】解：因为正实数a、b满足logab， 解得，logab＝2或logab， 所以b＝a2或a＝b2， 当b＝a2时，aa＝bb， 所以2a2＝a，即a，b，a+b， 当a＝b2时，aa＝bb，即b，a，a+b， 则a+b． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了指数及对数的运算性质，属于基础题． 题型2：函数的概念与性质 4．（2022•上海）下列函数定义域为的是　　 A． B． C． D． 【分析】化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案． 【解答】解：，定义域为， ，定义域为， ，定义域为， ，定义域为． 定义域为的是． 故选：． 【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题． 5．（2024•金山区二模）函数的定义域是 　 　． 【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可． 【解答】解：， 则，解得﹣2＜x＜1， 故函数y的定义域为（﹣2，1）． 故答案为：（﹣2，1）． 【点评】本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题目． 6．（2024·上海虹口·一模）函数的定义域是 ． 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【分析】由对数函数的定义可得，解不等式即可得出答案. 【详解】函数的定义域是， 所以，解得：或. 所以函数的定义域为：. 故答案为：. 7．（2024•松江区校级模拟）函数在，上的值域为，则的值为 　 　． 【分析】先由绝对值、余弦函数的有界性以及求出，分类讨论求出，即可求解． 【解答】解：因为，， 所以当且仅当且时， 所以，， 又，所以， 所以，易知在上单调递减，在单调递增， 所以当时，，不满足题意； 当时，因为，所以， 注意到，且在单调递增， 所以， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题． 题型3：幂指对函数的定义 8．（2024•崇明区二模）已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，4），则f（3）＝　　． 【分析】设出幂函数y＝f（x）的解析式，根据其图象经过点（2，4），求函数的解析式，再计算f（3）的值． 【解答】解：设幂函数y＝f（x）＝xα（α∈R）， 其图象经过点（2，4）， ∴2α＝4， 解得α＝2， ∴f（x）＝x2； ∴f（3）＝32＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了求幂函数的解析式以及利用函数的解析式求函数值的应用问题，是基础题目． 9．（2025·上海徐汇·二模）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 【答案】 【分析】根据幂函数定义代入点可得，即可得函数值域. 【详解】设幂函数， 代入点可得，即， 可得， 因为，可得，所以该幂函数的值域是. 故答案为：. 10．（2025·上海宝山·二模）已知函数则= . 【答案】 【分析】由分段函数的解析式，代入已知值，可得答案. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 11．（2025·上海闵行·二模）已知函数的值域为R，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】要使得函数的值域为R，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由于的值域为R，当时，， 所以，解得． 故m的范围是. 故答案为：. 题型4：幂指对函数的图像与性质 12．（2024·上海长宁·一模）已知函数的大致图像如图所示，则 ． 【答案】 【知识点】幂函数图象的判断及应用 【分析】根据图像的对称性，可得到函数的奇偶性；再由图像与坐标轴的关系，即可判断的取值. 【详解】因为图像关于轴对称，所以函数是偶函数； 又因为图像与坐标轴无交点，所以指数为负数.综上所述，. 故答案为：. 13．（2024·上海闵行·一模）下列函数中，在区间上是严格减函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断指数函数的单调性、研究对数函数的单调性、判断一般幂函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】利用解析式直接判断各选项中函数在上的单调性即可. 【详解】对于A，函数在上是严格增函数，A不是； 对于B，函数在上是严格减函数，B是； 对于C，函数在上是严格增函数，C不是； 对于D，当时，在上是严格增函数，D不是. 故选：B. 14．（2024•浦东新区校级四模）设m＞0，n＞0，若直线过曲线y＝ax﹣1+1（a＞0，且a≠1）的定点，则的最小值为 　　． 【分析】根据指数的运算性质，结合基本不等式进行求解即可． 【解答】解：因为曲线y＝ax﹣1+1过定点（1，2）， 所以m+n＝2，即， 则， 当且仅当，即m＝n＝1时取“＝”， 所以的最小值为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了指数的运算性质和基本不等式应用问题，是基础题． 15．（2024·上海嘉定·模拟预测）已知函数，若，且，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】对数的运算、对数函数图象的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】画出的图象，数形结合可得，，故，然后利用对勾函数的单调性即可求出答案. 【详解】的图象如下： 因为且，所以且， 所以，所以，故， 由对勾函数在上单调递减，所以， 所以的取值范围是. 故答案为： 16．（2025·上海宝山·二模）“”的一个必要非充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用充分条件与必要条件的判断方法，结合指数、对数函数的单调性，对选项A、B和C逐一分析判断，即可求解；对于D，利用不等式的性，即可求解. 【详解】对于选项A，由，得到，即，所以可得，故选项A错误， 对于选项B，由，得到，所以可得，故选项B错误， 对于选项C，由，得到，即，所以推不出， 但可以得出，故选项C正确， 对于选项D，由，得到， 又，当且仅当时取等号，显然不满足题意， 则，即， 又当，有，所以是的充要条件，故选项D错误， 故选：C. 17．（2025·上海青浦·模拟预测）若正数均不为1，则下列不等式中与“”等价的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性可逐一排除A，B项，通过举反例排除D项，利用幂函数的单调性可推理C项正确. 【详解】对于A，当时，函数单调递减，由可得，故A错误； 对于B，当时，函数在单调递减，由可得，故B错误； 对于C，因，，函数在上单调递增，由，可得，由，也可得，故C正确； 对于D，若取，显然满足正数均不为1，且， 但，即与不等价，故D错误. 故选：C. 18．（2025·上海嘉定·二模）已知实数a，b满足，则下列不等式中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性、特殊值、基本不等式、指数函数的单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，幂函数在上单调递增， 由于，所以，A选项不等式恒成立. B选项，当时，，但，B选项不等式不恒成立. C选项，，根据基本不等式可知，B选项不等式恒成立. D选项，指数函数在上单调递增， 由于，所以，D选项不等式恒成立. 故选：B 19．（2024·上海徐汇·二模）已知函数，其中. (1)求证：是奇函数； (2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求对数型复合函数的定义域、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）结合奇偶性的定义以及对数函数运算法则即可得证； （2）分离参数，将原问题等价转换为在上有解，由此转换为求函数值域问题. 【详解】（1）函数的定义域为 ， 在中任取一个实数，都有，并且. 因此，是奇函数. （2）等价于即在上有解. 记，因为在上为严格减函数， 所以，，， 故的值域为，因此，实数的取值范围为. 20．（2025·上海崇明·二模）已知． (1)是否存在实数a，使得函数是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由； (2)若且，解关于x的不等式． 【答案】(1)存在实数，使得函数是偶函数 (2)答案见解析 【分析】（1）根据偶函数的定义可求解. （2）先根据对数函数的单调性和定义域列出不等式组；再结合且，分类讨论即可求解. 【详解】（1）存在实数，使得函数是偶函数. 要使函数有意义，须满足，即， 显然，即，函数的定义域. 当时，函数定义域不关于原点对称，此时必然存在且，此时函数不是偶函数. 当时，， 函数的定义域为，对于任意的，都有， 并且 因此函数是一个偶函数 综上所述，存在实数，使得函数是偶函数 （2）由，得 所以且①． 由①得，. 因为且， 所以当时，， 当时，. 综上可得：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 21．（2025·上海宝山·二模）已知函数，（且） (1)若，求方程的解； (2)已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由求出幂函数解析式，再利用换元法，结合一元二次方程和指数与对数函数的关系求解即可； （2）由幂函数的单调性得到关于的不等式再分离参数，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）即解得，于是 ， 方程即为， 令，则有即， 求得（舍负） ， 所以方程的解为 . （2）由已知得， 整理得 ， 因为，所以 ， 从而对任意恒成立， 因为（当且仅当取等号）， 所以， 即实数的最大值为. 题型5：函数的基本性质 22．（2025·上海松江·二模）下列函数中，在区间上为严格增函数的奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性和单调性逐项验证. 【详解】对于A，是偶函数，不符合奇函数要求，故A错误； 对于B，既不是奇函数也不是偶函数，故B错误； 对于C，是非奇非偶函数，故C错误； 对于D，，其定义域为关于原点对称，且，是奇函数， 同时在上是严格增函数，故D正确. 故选：D. 23．（2025·天津宁河区·一模）下列四个函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，由，， 所以为偶函数， 又，又，所以， 所以在上为增函数，故A正确； 对于B，，所以， 所以为奇函数，故B错误； 对于C，，， 所以为奇函数，故C错误； 对于D，，， 所以为偶函数，又，所以， 所以在上为减函数，，故D错误. 故选：A. 24．（2025·天津宝坻区·一模）下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A选项：函数定义为，，是偶函数，A选项不正确； B选项：函数定义为，，是奇函数， 函数在上单调递增，在上单调递减，B选项不正确； C选项：函数定义为，，是奇函数， 因为，所以函数在定义域内单调递增，C选项正确； D选项：函数定义为，，是奇函数， 因为在上单调递减， 所以函数在上单调递减，D选项不正确. 故选：C. 25．（2025·天津宁河区·一模）已知函数，若，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为当时，是单调递增函数，此时， 当时，是单调递增函数，此时， 所以是定义在上的单调递增函数， 所以若即， 则，解得. 故答案为： 26．（2025·上海金山·二模）已知定义在上的函数，满足以下两个条件：（1）对任意恒成立，且；（2）对任意都有，则下列关于函数的表述中正确的个数为（    ） ①；②；③函数有最小值. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】通过赋值法判断①②，举反例判断③. 【详解】由任意，都有， 令，可得，因为，解得，故①正确； 令，，可得， 整理得，又，得，故②正确； 对于③举反例，如， 满足条件（1），又，， 则，满足条件（2）， 而没有最小值，故③错误. 所以正确的有2个. 故选：C. 27．（2025·上海松江·二模）定义在上的函数满足，当时，，有以下两个命题： ①当为正整数时，； ②若函数在区间内有3个极大值点，则的取值范围是. 则以下选项正确的是（   ） A．①是真命题，②是假命题 B．两个都是真命题 C．①是假命题，②是真命题 D．两个都是假命题 【答案】A 【分析】对①，根据题意，可得，利用累加法求求答案；对②，分别求出，，的解析式，利用导数判断极大值情况，得解. 【详解】对于①，当为正整数时，已知， 则，， 将这些式子累加可得， 由等差数列求和公式， 所以，故①正确， 对于②，当时，，令， ， 即， 同理，可得， ， 由，，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是极大值点， 当时，则， 同上易得是极大值点， 当时，则， 可得为极大值点， 当时，则， 易得为极大值点， 因为函数在区间内有3个极大值点，所以，故②错误. 故选：A. 28．（2025·天津武清区·一模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图可知的图象关于原点对称，则为奇函数， 对于A ：定义域为， 当时，，所以，不符合题意，故A错误； 对于B：定义域为， 且， 所以为非奇非偶函数，不符合题意，故B错误； 对于D：定义域为， 且， 所以为非奇非偶函数，不符合题意，故D错误； 对于C：定义域为，， 所以为奇函数， 且当时，，所以，符合题意，故C正确； 故选：C 29．（2024·上海黄浦·二模）设，函数. (1)求的值，使得为奇函数； (2)若，求满足的实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数 【分析】（1）由奇函数的性质可得，代入解方程即可得出答案； （2）由，可得，则，由指数函数的单调性解不等式即可得出答案. 【详解】（1）由为奇函数，可知， 即，解得， 当时，对一切非零实数恒成立， 故时，为奇函数. （2）由，可得，解得， 所以 解得：，所以满足的实数的取值范围是. 题型6：函数的零点问题 30．（2025·上海松江·二模）设，若函数在区间内恰好有6个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由最多有两个零点，可得至少四个根，分别讨论当和时两个函数零点的个数情况，再结合考虑求解即可. 【详解】当时，令，则， 解得.因为，所以， 当时，，其对称轴为，二次函数最多两个零点. 当二次函数有两个零点时： 结合二次函数图象性质， 解得，即； 解得，即，， 所以当二次函数有两个零点时，的取值范围是. 此时应有四个解，即有四个解. 当时，；所以，即 当时，；所以，即 当时，；所以，即 当时，；所以，即 所以当有四个解时 所以当在区间内恰好有6个零点时的取值范围是. 当二次函数有一个零点时：或，即或， 此时应有五个解，即有五个解，即， 所以； 当二次函数有零个零点时：，即， 此时应有六个解，即有六个解，即， 所以此时无符合条件的的值. 终上所述：的取值范围是. 故答案为： 31．（2025·上海黄浦·二模）设、为常数，，若对任意的，函数在区间上恰有4个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知讨论、、，结合对应的解析式求值域，及零点个数求参数范围. 【详解】由，则，又， 当，，此时无零点， 当，，此时无零点， 当，如下图，此时，而， 要使在区间上恰有4个根，则，则.    故答案为： 32．（2025·上海长宁·二模）已知向量． (1)求函数的单调递减区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）由数量积的坐标形式结合三角变换公式可得，由整体法可求函数的单调减区间； （2）函数在给定区间上的零点问题可转化为与的图象在上有两个不同的交点，利用正弦函数的性质可求参数的取值范围. 【详解】（1）， 令，则，其中， 故函数的单调递减区间为，. （2）由题设有在有两个不同的零点， 而，故在有两个不同的解， 故与的图象在上有两个不同的交点， 而在为增函数，在为减函数， 且，故， 故. 33．（2025·天津武清区·一模）函数  关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】如图画出函数的图象， 直线表示过点的直线，表示直线的斜率， ，，，， 所以在点处的切线方程为，此时斜率为1， 如图，若与，有一个交点，则， ，，， 所以在点处的切线方程为，此时斜率为， 如图，若与，有一个交点，则， 如图，当时，与有两个交点， 综上可知，的取值范围是. 故答案为： 题型7：函数的新定义问题 34．（2025·上海奉贤·二模）函数的导函数为，若存在实数，使得成立，则称函数具有性质，下列函数具有性质的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的导函数，然后逐个选项验证是否成立即可得出结果.根据指数的运算法则计算可判断选项A；根据二倍角正弦公式和三角函数的有界性可判断选项B；解出方程的根可判断选项C；根据题意令，整理得 ，分正负分析，并结合放缩法可知此方程无解，从而否定D. 【详解】对于选项A：因为函数的导函数为，所以，故选项A错误； 对于选项B：因为函数的导函数为， 所以， 而， 所以，，故选项B错误； 对于选项C：因为函数的导函数为， 所以. 令，解得：，， 即存在实数，使得成立， 所以函数具有性质，故选项C正确； 对于选项D：因为函数的导函数为， 所以. 令，显然，化简得：. 下面证明方程（*）无解. 当时，，方程（*）无解 当时，，而： 令，， 则，所以单调递减. 又因为，所以，即，所以. 综上，方程(*)无解. 所以不存在实数，使得成立，故选项D错误. 故选：C. 35．（2025·上海嘉定·二模）已知函数，其中，定义集合．对于点，定义集合．若对任意，均有，则称点P为平衡点． (1)当时，判断点是否为平衡点； (2)当时，求实数b的取值范围，使得点是平衡点； (3)求所有实数a和b，使得点是平衡点． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据平衡点的定义判断即可； （2）根据平衡点定义有、，即可得参数范围； （3）由题设，都有，结合二次函数的性质，讨论对称轴与区间位置研究最值，列不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设，而， 当，则，即，故， 所以点是平衡点； （2）由题设，若是平衡点，则，即， 此时恒成立，则； （3）由题意，对于，都有， 当，即时，在上单调递增，则， 所以，易知，显然不满足前提； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，故，则， 所以时，； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，故，则， 所以时，； 当，即时，在上单调递减，则， 所以，易知，显然不满足前提； 综上，时，；时，. 36．（2025·上海·模拟预测）已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3) 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由函数在区间上的单调性求参数、由对数函数的单调性解不等式、集合新定义 【分析】（1）根据对数函数的单调性即可求解； （2）根据偶函数的定义和对称集的定义即可证明必要性和充分性； （3）根据定义判断出函数单调不减，得到导函数大于等于0恒成立即可求解. 【详解】（1）由定义得，. （2）证明： 必要性：因为函数是偶函数，所以对任意，， 对任意，若，即，则， 所以，所以对任意，是对称集. 充分性：若对任意，是对称集， 因为对任意，，所以，即①， 又，所以，即②. 由①②得，对任意，， 所以函数是偶函数. 综上，“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”，得证. （3）因为对于任意，都有， 所以若，则，即若，则， 所以，所以在上单调不减， 所以对任意，恒成立. 当时，显然成立，； 当时，恒成立，令，， 所以在单调递减，单调递增，所以； 当时，恒成立，此时 因为在上单调递减，当时，， 时，， 所以； 综上，. 【点睛】关键点点睛：函数在区间上单调不减等价于导函数在区间上大于等于0恒成立. 题型8：解答题 37．（2025·上海金山·二模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)若，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性求解即可； （2）计算表达式，利用换元法把问题转化为二次函数在区间上的值域问题即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 所以； （2）， 令，问题等价于求的值域， 函数图象开口向上，对称轴为直线， ， 函数的值域为． 38．（2025·上海浦东新·二模）已知函数的表达式． (1)若函数是奇函数，求实数的值； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义，即可求解答案； （2）根据分离参数转化为利用单调性求函数的最值，即可求解答案. 【详解】（1）因为函数是奇函数， 的定义域关于原点对称， 由，则， 所以. （2）对任意实数，不等式恒成立，即恒成立， 设， 对任意实数且， ， 因为，所以，所以 所以函数在上单调递减； ，所以 . 39．（2025·上海青浦·模拟预测）对于函数，其中. (1)若函数的图像过点，求的解集； (2)求证：当时，存在使得成等差数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数解析式，利用单调性解不等式即可； （2）利用等差中项的性质可得，根据对数运算化简可得，所以，即，由判别式可知方程有解，即可得证. 【详解】（1）已知函数的图像过点， 所以，即，因为，所以， 则. 函数的定义域为，且在定义域上单调递增. 由可得， 解得，所以不等式的解集为. （2）当时，， . 若成等差数列，则， 即. 所以， 即， 即，则，移项可得. 对于一元二次方程，， 所以方程有实数解，即存在使得成等差数列. 40．（2025·上海杨浦·二模）已知函数是定义在上的偶函数. (1)当时，，求时，的表达式； (2)当时，，若实数满足，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用偶函数的性质直接求解即可； （2）先判断函数的单调性，再结合偶函数的性质解一元二次不等式即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数，即 当时，， 所以， 所以. （2）当时，， 由幂函数和指数函数的单调性可得为递增函数. 又函数为偶函数， 所以， 两边平方后展开可得，即， 解得. 41．（2025·上海徐汇·二模）已知函数，其中. (1)解关于的不等式； (2)若存在唯一的实数，使得依次成等差数列，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由在单调递增，得即可求解； （2）原问题等价于关于的方程恰有一个实数解，即在上恰有一个实数解，令，则在上恰有一个实数解，利用数形结合即可求解. 【详解】（1）由函数在单调递增， 所以 （2）原问题等价于关于的方程恰有一个实数解，求实数的取值范围. 即在上恰有一个实数解. 等价于在上恰有一个实数解. 在上恰有一个实数解. 令，则在上恰有一个实数解. 画出关于的二次函数在上的图像可知，时只有一个交点； . 42．（2025·上海黄浦·二模）已知． (1)若，求的值； (2)是否存在实数，使函数是奇函数？请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在实数，使函数是奇函数. 【分析】（1）利用换元法将含有指数的方程转化为一元二次方程，再根据指数函数的性质求解. （2）利用奇函数在处的特殊性质求出的可能值，再将的值代回函数，根据奇函数的定义证明即可. 【详解】（1）由题意，， 令，则有，即，得，解得或（舍去）， 所以，则. （2）假设存在实数，使函数是奇函数， 则时，，解得. 时，函数，定义域为. 设函数. 对任意，，故函数为奇函数. 综上，存在实数，使函数是奇函数. 43．（2025·上海奉贤·二模）函数，其中． (1)若函数是偶函数，当时，求的值； (2)求函数的值域并证明对任意的正实数和实数，不等式恒成立． 【答案】(1) (2)值域为，证明见解析 【分析】（1）由偶函数的定义可求得，进而利用指数函数的单调性可求得； （2）由题意可得，由基本不等式可得，可证结论. 【详解】（1）由已知，函数的定义域为 函数是偶函数，对任意的，都有， ， ， ，，， 是上的严格增函数，， ，； （2）  又是上的严格增函数，， ，当且仅当时等号成立，的最小值为2， ，对任意的正实数和实数，恒成立. 44．（2025·天津宁河区·一模）已知函数． (1)若曲线在处的切线的方程为，求实数，的值； (2)当时，，且，求证． (3)若，对任意， ，不等式恒成立，求的取值范围； 【解析】（1） , ∵曲线在处的切线的方程为， 所以 ， ∴ ； （2）当时，，则， 当时，，递减，当时，，递增， 由于，且，故不妨设， 则要证明，即证，而， 当时，递增，故即证， 由于，即只需证明， 令， 则， 当时， ， 即单调递减，故， 即时，，即有， 故原命题成立，即； （3）因为，， 所以，故函数在上单调递增， 不妨设，则 可化为，设，则， 所以为上的增函数，即在上恒成立， 等价于在上恒成立，即在上恒成立， 又，所以 ，所以， 对于函数，，当时，， 故在上是增函数，所以， 所以 ，即m的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$