专题03：计数原理 排列组合与二项式定理 （六大热点题型训练）——2025届高三数学满分冲刺【基础提升练+易错题型练+综合热点练】 上海专用

2025年上海高考数学满分冲刺热点题型专项训练（三） 计数原理 排列组合与二项式定理 【热题归纳】 题型一：计数原理 1．（2024·上海黄浦·二模）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取40名学生，已知该校初中部和高中部分别有500和300名学生，则不同的抽样结果的种数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海·模拟预测）有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（   ）． A． B． C． D． 周六、周日的公益活动，若每天从这5人中安排2人参加，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有 种. 4．（2024·上海奉贤·一模）若五人站成一排，如果必须相邻，那么排法共 种. 5．（2024·上海·三模）2024年重庆市高考数学科目采用新试卷结构，我校高三年级将对来自三个班级的9名学生（每个班级3名学生）做一项围绕适应新试卷结构的调研，并再抽选其中的若干名学生做访谈，要求每个班级至少有一名学生被抽中，且任意两个班级被抽中的学生人数之和至多为3，则不同的抽选方法数为 . 题型二：排列数与组合数公式 6．（2024·上海·三模）已知，关于n的方程有且仅有一个解，则实数 ． 7．（2025·上海奉贤·二模）下列有关排列组合数的计算公式，错误的是（    ） A．（，是正整数，且） B．（，是正整数，且） C．（，是正整数，且） D．（，是正整数，且） 8．（24-25高三·上海·随堂练习）某小学开家长会，会场第一排有连在一起的8个座位，有4名同学和她们的妈妈共8人坐在第一排的这8个座位上，则每名同学和她们的妈妈坐一起的不同排法种数为 ． 9．（24-25高三·上海·课堂例题）、、、、五人排成一排，如果必须站在的右边，且、不相邻，则不同的排法共有 种． 10．（2024高三·全国·专题练习）现有9位同学围着圆桌坐成一圈，他们的衣服上分别标有号码1，2，3，…，9，若任意相邻两个号码之积不小于4，则不同的坐法有 种． 题型三：排列组合应用 11．（2025·上海松江·二模）有4辆车停放在5个并排车位上，客车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与客车甲相邻停放，则共有 种不同的停放方法. 12．（2024·上海闵行·三模）有3名男生与2名女生排成一队照相，则2名女生互不相邻的概率为 . 13．（2024·上海黄浦·二模）某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加.若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为 . 14．（2024·上海虹口·二模）3个男孩和3个女孩站成一排做游戏，3个女孩不相邻的站法种数为 . 15．（2024·上海松江·二模）某校高一数学兴趣小组一共有30名学生，学号分别为，，，…，，老师要随机挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有 种不同的选择方法. 16．（2024·上海宝山·一模）已知关于正整数的方程，则该方程的解为 . 17．（2024·上海崇明·一模）已知函数的定义域，值域，则函数为增函数的概率是 ． 18．（2024•上海）设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 　　． 19.（2025·上海静安·二模）从个男生和个女生（）中任选 2 个人当队长，假设事件表示选出的 2人性别相同，事件表示选出的 2 人性别不同．如果事件的概率和事件的概率相等，那么的可能值为　　． 题型四：求二项式展开式指定项 20．（2025·上海杨浦·二模）在的二项展开式中，常数项的值为 21．（2025·上海浦东·二模）在的展开式中，常数项为 . 题型五：求二项式展开式的系数问题 22．（2025·上海宝山·二模）的二项展开式中，项的系数为 . 23．（2025·上海崇明·二模）若，则 . 24．（2024·上海·三模）若，则 25．（2024·上海浦东新·三模）若，则的值为 . 26．（2024·上海普陀·一模）若，则的值为 . 27．（2024·上海奉贤·二模）已知多项式对一切实数恒成立，则 28．（2023•上海）设，则　　． 题型六：求参数的值 29．（2025·上海金山·二模）在展开式中的系数为80，则实数的值为 . 30．（2025·上海普陀·二模）设，若的展开式中项的系数为10，则 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海高考数学满分冲刺热点题型专项训练（三） 计数原理 排列组合与二项式定理 【热题归纳】 题型一：计数原理 1．（2024·上海黄浦·二模）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取40名学生，已知该校初中部和高中部分别有500和300名学生，则不同的抽样结果的种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由分层抽样先求出初中部和高中部应抽取的学生，再由组合数公式和分步计数原理即可得出答案. 【详解】该校初中部和高中部分别有500和300名学生， 所以初中部应抽取名学生， 高中部应抽取名学生， 所以不同的抽样结果的种数为. 故选：B. 2．（2025·上海·模拟预测）有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分步计数原理及古典概型的概率公式求解即可. 【详解】根据题意，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币， 共有种情况， 要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C， 若保留两条边，则可保留也可擦去， 共有种情况； 若保留两条边，则可保留也可擦去， 共有种情况（其中有一种情况与上面重复）， 则要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，共有种情况， 所以可以到达C点的概率为. 故选：B. 3．（2024·上海杨浦·二模）有5名志愿者报名参加周六、周日的公益活动，若每天从这5人中安排2人参加，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有 种. 【答案】60 【分析】从5人中选1人两天都参加，再从余下4人中选2人分派到周六、周日参加，并列式计算即得. 【详解】从5人中选1人两天都参加，有种方法，再从余下4人中选2人分派到周六、周日参加，有种方法， 所以不同安排方式共有（种）. 故答案为：60 4．（2024·上海奉贤·一模）若五人站成一排，如果必须相邻，那么排法共 种. 【答案】48 【分析】元素相邻问题运用捆绑法求解. 【详解】第一步：把捆绑当作一个元素与进行排列共有种； 第二步：之间进行排列共有种； 根据分步计数原理可知：排法的总数共有种. 故答案为： 5．（2024·上海·三模）2024年重庆市高考数学科目采用新试卷结构，我校高三年级将对来自三个班级的9名学生（每个班级3名学生）做一项围绕适应新试卷结构的调研，并再抽选其中的若干名学生做访谈，要求每个班级至少有一名学生被抽中，且任意两个班级被抽中的学生人数之和至多为3，则不同的抽选方法数为 . 【答案】108 【分析】分①每个班抽一名学生，②其中两个班抽一名学生，另外一个班抽两名学生两种情况讨论，利用组合数公式计算可得. 【详解】依题意，①若每个班抽一名学生，则有种抽法； ②若其中两个班抽一名学生，另外一个班抽两名学生，则有种抽法； 综上可得不同的抽选方法数为种. 故答案为：108 题型二：排列数与组合数公式 6．（2024·上海·三模）已知，关于n的方程有且仅有一个解，则实数 ． 【答案】252 【分析】根据给定条件，利用组合数的性质求解即得. 【详解】由组合数的性质知，，当时，使得的有两个， 当时，使得的只有一个，而关于n的方程有且仅有一个解， 所以. 故答案为：252 7．（2025·上海奉贤·二模）下列有关排列组合数的计算公式，错误的是（    ） A．（，是正整数，且） B．（，是正整数，且） C．（，是正整数，且） D．（，是正整数，且） 【答案】A 【分析】对于A：举反例说明即可；对于BCD：根据排列数、组合数公式运算求解即可. 【详解】对于选项A：例如，则， 即，故A错误； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：因为 ， 所以，故D正确； 故选：A. 8．（24-25高三·上海·随堂练习）某小学开家长会，会场第一排有连在一起的8个座位，有4名同学和她们的妈妈共8人坐在第一排的这8个座位上，则每名同学和她们的妈妈坐一起的不同排法种数为 ． 【答案】384 【分析】先将4位同学和她们的妈妈分别捆绑在一起，作为一个新元素处理，再将4个新元素全排即可得解 【详解】先将4位同学和她们的妈妈分别捆绑在一起，作为一个新元素处理. 所以不同的排法种数为： 故答案为：384 9．（24-25高三·上海·课堂例题）、、、、五人排成一排，如果必须站在的右边，且、不相邻，则不同的排法共有 种． 【答案】36 【分析】先计算站在的右边的排法，再减去、相邻且站在的右边的排法可得答案. 【详解】站在的右边的排法有， 、相邻且站在的右边的排法有， 所以必须站在的右边，且、不相邻， 则不同的排法共有种. 故答案为：36. 10．（2024高三·全国·专题练习）现有9位同学围着圆桌坐成一圈，他们的衣服上分别标有号码1，2，3，…，9，若任意相邻两个号码之积不小于4，则不同的坐法有 种． 【答案】21600 【分析】由已知条件求出所有的坐法数，再求出和相邻的坐法数，再求出相邻且相邻的坐法数，结合容斥原理可得结论. 【详解】由1，2，…，9这9个正整数构成的圆排列有（种）情况， 任意相邻两数之积不小于4，则1，2不能相邻且1，3不能相邻． 设满足1，2相邻的圆排列有种情况，满足1，3相邻的圆排列有种情况， 满足1，2相邻且1，3相邻的圆排列有种情况， 则，， 则满足要求的排列的情况有（种）． 故答案为：. 题型三：排列组合应用 11．（2025·上海松江·二模）有4辆车停放在5个并排车位上，客车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与客车甲相邻停放，则共有 种不同的停放方法. 【答案】12 【分析】利用相邻问题捆绑法求解. 【详解】因为客车甲占两个车位且乙车与客车甲相邻停放. 所以将乙车与客车甲捆绑，看成一个车有种排法，与余下的两辆车全排有种排法， 所以共有种不同的停放方法. 故答案为：12. 12．（2024·上海闵行·三模）有3名男生与2名女生排成一队照相，则2名女生互不相邻的概率为 . 【答案】/0.6 【分析】利用插空法求出女生互不相邻的排法，进而得到概率. 【详解】先排男生共有种，男生排好后共有4个空隙，再把2个女生排进去共有种排法， 所以符合条件的共有种排法， 故女生互不相邻的排法的概率为. 故答案为：. 13．（2024·上海黄浦·二模）某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加.若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为 . 【答案】/0.6 【分析】求出甲、乙两位选手上场顺序不相邻的场数和抽签总共的可能场数，即可得出甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率. 【详解】由题意， 若甲第一个上场，乙则可以第3,4,5个上场，有种， 若甲第二个上场，乙则可以第4,5个上场，有种， 若甲第三个上场，乙则可以第1,5个上场，有种， 若甲第四个上场，乙则可以第1,2个上场，有种， 若甲第五个上场，乙则可以第1,2,3个上场，有种， 共有种， 而所有的上场顺序有种， ∴甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率：, 故答案为：. 14．（2024·上海虹口·二模）3个男孩和3个女孩站成一排做游戏，3个女孩不相邻的站法种数为 . 【答案】144 【分析】利用插空法求解即可. 【详解】先将3个男孩站成一排，有种方法， 将3个女孩插入3个男孩形成的4个空位中，有种方法， 故一共有：种. 故答案为：144 15．（2024·上海松江·二模）某校高一数学兴趣小组一共有30名学生，学号分别为，，，…，，老师要随机挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有 种不同的选择方法. 【答案】 【分析】根据题意，设挑选出的三名学生的学号分别为，，，不妨设，结合题意转化为，进而转化为四个正整数的和为，结合隔板法，即可求解. 【详解】设挑选出的三名学生的学号分别为，，，不妨设， 则有恒等式， 其中，，，， 即，，，， 故式为， 上式四个正整数的和为，相当于个分成四组，运用隔板法，在个空中放块板，故有种方法． 故答案为：． 16．（2024·上海宝山·一模）已知关于正整数的方程，则该方程的解为 . 【答案】或 【分析】利用组合数的性质得到方程，解方程，结合的取值范围即可求解. 【详解】根据组合数的性质，由 可知：或， 即或，所以和均满足题意， 所以该方程的解为：或. 故答案为：或 17．（2024·上海崇明·一模）已知函数的定义域，值域，则函数为增函数的概率是 ． 【答案】 【分析】求出所有函数的个数，再求出增函数的个数，利用古典概型的概率公式可求对应的概率. 【详解】若函数的定义域为，值域为， 则不同的函数的个数为， 其中增函数共有3个： （1）； （2）； （3）； 故所求概率为， 故答案为：. 18．（2024•上海）设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 　　． 【分析】根据已知条件，结合组合数、排列数公式，并分类讨论，即可求解． 【解答】解：由题可知，集合中每个元素都互异，且元素中最多有一个奇数，剩余全是偶数， 先研究集合中无重复数字的三位偶数： （1）若个位为0，这样的偶数有种； （2）若个位不为0，这样的偶数有种； 所以集合元素个数最大值为种． 故答案为：329． 【点评】本题主要考查排列、组合及简单计数问题，属于中档题． 19.（2025·上海静安·二模）从个男生和个女生（）中任选 2 个人当队长，假设事件表示选出的 2人性别相同，事件表示选出的 2 人性别不同．如果事件的概率和事件的概率相等，那么的可能值为　　． 【解析】因为，所以，所以， 所以，所以， 则或9（舍去），所以． 题型四：求二项式展开式指定项 20．（2025·上海杨浦·二模）在的二项展开式中，常数项的值为 【答案】15 【分析】写出二项展开式通项，通过得到，从而求得常数项. 【详解】二项展开式通项为： 当时， 常数项为： 本题正确结果： 【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题. 21．（2025·上海浦东·二模）在的展开式中，常数项为 . 【答案】-252 【分析】用二项式定理即可. 【详解】根据二项式定理，第r+1项为 ，由于是常数， ，r=5， 其常数项系数为=-252.， 故答案为：-252. 题型五：求二项式展开式的系数问题 22．（2025·上海宝山·二模）的二项展开式中，项的系数为 . 【答案】 【分析】写出二项展开式通项公式，由的指数为2求得项数，从而得到系数． 【详解】由题意得二项式的展开式的通项公式为， 令，得，所以项的系数为． 故答案为：． 23．（2025·上海崇明·二模）若，则 . 【答案】/ 【分析】令求解即可. 【详解】令，则，即. 故答案为： 24．（2024·上海·三模）若，则 【答案】 【分析】直接利用二项式的展开式和赋值法的应用求出结果． 【详解】根据的展开式，，1，2，，； 当时，； 当时，， 令时，， 所以， 故． 故答案为：． 25．（2024·上海浦东新·三模）若，则的值为 . 【答案】 【分析】利用赋值法求解. 【详解】根据题意，， 令，得， 令，得， 所以. 故答案为：. 26．（2024·上海普陀·一模）若，则的值为 . 【答案】10 【分析】化简结合二项式定理求项的系数. 【详解】因为， 所以， 所以的展开式的第项的表达式，， 所以. 故答案为：. 27．（2024·上海奉贤·二模）已知多项式对一切实数恒成立，则 【答案】 【分析】赋值可得，再用通项求出，相加即可. 【详解】令可得， 又展开式的通项为， 令可得；令，可得， 所以， 所以， 故答案为：1. 28．（2023•上海）设，则　　． 【分析】根据二项式定理及组合数公式，即可求解． 【解答】解：根据题意及二项式定理可得： ． 故答案为：17． 【点评】本题考查二项式定理及组合数公式的应用，属基础题． 题型六：求参数的值 29．（2025·上海金山·二模）在展开式中的系数为80，则实数的值为 . 【答案】2 【分析】利用二项式定理求出展开式中的项，再由给定的系数求出值. 【详解】展开式中的项为， 依题意，，所以. 故答案为：2 30．（2025·上海普陀·二模）设，若的展开式中项的系数为10，则 . 【答案】2 【分析】根据二项式定理求项的系数即可. 【详解】项为， 由. 故答案为：2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$