专题02：平面向量与复数 （十大热点题型训练）——2025届高三数学满分冲刺【基础提升练+易错题型练+综合热点练】 上海专用

2025年上海高考数学满分冲刺热点题型专项训练（二） 平面向量与复数 【热题归纳】 题型1：平面向量的的投影及投影向量 1．（2025·上海青浦·模拟预测）向量在向量方向上的数量投影是 . 【答案】118 【分析】根据题意，由数量投影的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 向量在向量方向上的数量投影公式为. 故答案为： 2．（2024·上海长宁·一模）已知向量，则向量在方向上的投影的坐标是 ． 【答案】 【分析】利用向量的数量积运算以及投影坐标的概念求解． 【详解】由题得，所以， 与向量的同向单位向量为， 所以向量在向量方向上的投影的坐标为． 故答案为：． 题型2：平面向量的线性运算 3．（2024·上海·模拟预测）如图，矩形中，为中点，与交于点，若将，作为平面向量的一个基，则向量可表示为 （用表示）.    【答案】 【分析】先利用平行线的性质求出，进而利用向量的线性运算求解即可. 【详解】由已知， 则， 所以， 所以. 故答案为：. 4．（2024·上海普陀·一模）设，在如图所示的平行六面体中，，，，点是棱的中点，，若，则的值为 . 【答案】 【分析】以为基底表示，结合题意运用数量积及向量数乘运算即可求解. 【详解】， ， ， 所以， 由，，， 可得， ，解得. 故答案为：. 5．（2023·上海普陀·模拟预测）在平行四边形中，，．若，则 ． 【答案】/ 【知识点】利用平面向量基本定理求参数 【分析】利用平面向量的线性运算求出即可. 【详解】 由题意可得 ， 所以，，所以. 故答案为： 6．（2023·上海黄浦·三模）在中，，，的平分线交BC于点D，若，则 ． 【答案】/ 【知识点】向量减法的法则、利用平面向量基本定理求参数 【分析】根据给定条件，探求出线段与的倍分关系，再结合平面向量基本定理求解作答. 【详解】在中，，，则，又平分，即有，    因此，即有，，整理得， 而，且不共线，于是， 所以. 故答案为： 题型3：平面向量的基本定理及坐标表示 7．（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（    ） A．和 B． 和 C． 和 D． 和 【答案】C 【知识点】基底的概念及辨析 【分析】根据平面向量共线定理，结合选项，进行逐一分析即可. 【详解】对A：不存在实数，使得， 故和不共线，可作基底； 对B：不存在实数，使得， 故和不共线，可作基底； 对C：对 和，因为是不共线的两个非零向量， 且存在实数，使得， 故和共线，不可作基底； 对D：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底. 故选：C. 8．（2025·上海宝山·二模）已知向量，，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由共线向量的坐标表示，建立方程，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：D. 9．（2024·上海·三模）设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基，则 . 【答案】/ 【分析】根据平面的基的概念，判断，利用向量共线的坐标公式计算即得. 【详解】由题意可知，，，， 则，解得. 故答案为：. 10．（2025·上海嘉定·二模）已知向量，若，则 ． 【答案】8 【分析】由向量垂直的坐标表示，列方程求参数值. 【详解】由题设. 故答案为：8 11．（2025·上海崇明·二模）已知，则 ． 【答案】 【分析】写出坐标，由坐标得到. 【详解】，∴. 故答案为： 题型4：平面向量的数量积 12．（2024·上海青浦·二模）已知向量，，则 ． 【答案】 【分析】由向量的数量积公式求两个向量的夹角即可. 【详解】由向量的夹角公式得，又因为， 所以. 故答案为：. 13．（2024·上海杨浦·一模）已知，若，则向量与的夹角的余弦值为 . 【答案】/ 【分析】设向量与的夹角为，根据向量垂直运算可得答案. 【详解】设向量与的夹角为， 若，则， 所以， 可得. 故答案为：. 14．（2025·上海宝山·二模）已知中，，，点在线段上，且，则的值为 . 【答案】 【分析】根据确定，从而可得，从而用向量数量积的运算律即可求解. 【详解】设等腰在边上的高为， 因为，所以， 所以， 所以， 所以 . 故答案为：. 15．（2024·上海奉贤·三模）中，，若在上的投影为．则 ． 【答案】 【分析】作，根据题意，求得，得到，结合，即可求解. 【详解】如图所示，过点作于点， 因为向量在上的投影为，可得，所以， 又因为，则. 故答案为：.    16．（2025·上海徐汇·二模）已知是正方形，点是的中点，点在对角线上，且则的大小为 . 【答案】/ 【分析】建立平面直角坐标系，求出点的坐标，利用数量积即可求解. 【详解】以点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，设， 则有，由有，所以， 所以，所以， 即，所以， 故答案为：. 题型5：平面向量的范围与最值问题 17．（2025·上海杨浦·二模）已知、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，根据数量积的运算律得到，设，， ，再由数量积的坐标表示及两角差的正弦公式计算可得. 【详解】因为、、是单位圆上的三个点，如图建立平面直角坐标系， 因为，即，所以， 所以，即， 不妨设，，设，所以，， 所以， 所以当，即时取得最大值，且. 故选：D    18．（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，，根据题意可得为圆的直径，得，将求范围问题转化为直线与圆相切的问题. 【详解】将圆化为标准方程，圆心，半径. 因为，所以为圆的直径. 设，. 由. 因为为直径，所以， 则. 令，即，且， 当直线与圆相切时，取得最值. 根据圆心到直线的距离等于半径，可得，解得或， 所以，则的取值范围是. 故答案为：. 19．（2023·上海闵行·二模）平面上有一组互不相等的单位向量，，…，，若存在单位向量满足，则称是向量组，，…，的平衡向量．已知，向量是向量组，，的平衡向量，当取得最大值时，的值为 ． 【答案】 【知识点】向量加法的法则、用定义求向量的数量积、已知数量积求模 【分析】根据题意得到当时，取得最大值，设，，得到或，根据题意得到，，根据余弦和差公式求出答案. 【详解】当时，取得最大值， 又，如图所示， ， 设，， 则， 所以，即，解得， 故，或， ， 或， 故答案为： 20．（2024·上海松江·二模）已知正三角形的边长为2，点满足，且，，，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】平面向量基本定理的应用、向量与几何最值、平面向量共线定理的推论 【分析】取的中点，由题意可得，从而推得三点共线，进而得出，即可得出答案. 【详解】取的中点，则， 又，又因为， 故三点共线，即点在中线上运动， 在正三角形中，， 又，，则， 故. 故答案为： 21．（2023·上海松江·二模）已知点是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且．若存在，使得与垂直，且，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量垂直的坐标表示 【分析】设，，根据向量线性运算可得，设，则，由向量垂直的坐标表示可构造方程，结合二次函数最值求法可求得，由可求得最小值. 【详解】设在直线上，又是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，，； 设，，则，， ， 不妨设在的左侧，，则， 与垂直，， 即有解，， ，即的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量模长最值的求解问题，解题关键是能够将问题转化为求解与变量有关的函数最值的求解问题，从而根据向量的线性运算和向量垂直的坐标表示求得的范围，结合函数最值求法可求得结果. 22．（2023·上海徐汇·三模）已知平面向量，，，满足，，且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，实数的最大值为 . 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数、平面向量基本定理的应用、向量的线性运算的几何应用 【分析】根据向量的几何表示和共线条件以及几何关系即可求解. 【详解】令， 所以 如图，    所以点A的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，取OB中点E， 则， 又因为，所以点C在直线上，故时，的值最小， 当情况下，直线与相切时最大，取最大， 此时，， 故答案为：. 23．（2025·天津市·一测）如图，在中，，，D，E分别是直线AB，AC上的点，，，且，则 ．若P是线段DE上的一个动点，则的取值范围是 ．    【答案】 【解析】∵，，∴，， ∵，又，， ∴ ， 解得，∵，∴． 设，， ∴ ，， ∴当时，有最小值，最小值为， 当时，有最大值，最大值为16， 故答案为：； 题型6：复数的概念与分类 24．（2024·上海静安·一模）已知是虚数单位，是纯虚数，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数的乘法运算和复数分类即可得到答案. 【详解】， 因为其为纯虚数，则且，解得. 故答案为：. 25．（2025·天津宝坻区·一模）已知，其中i是虚数单位，则 ． 【答案】3 【解析】由，可得：，由复数相等可知： 所以 故答案为：3 题型7：复数的运算 26．（2025·上海金山·二模）已知复数满足（为虚数单位），则 . 【答案】 【分析】利用复数的除法计算即可. 【详解】依题意，. 故答案为： 27．（2024·上海·模拟预测）复数，则 . 【答案】/ 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算 【分析】先利用复数的除法运算化简，再利用复数的乘法计算即可. 【详解】， . 故答案为：. 28．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知，则在下列表达式中表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设的表达式求出的表达式，再代入选项逐一检验即得. 【详解】因，则， 对于A，，故A项正确； 对于B， ，故B项错误； 对于C，，故C项错误； 对于D，由B项知，，故D项错误. 故选：A. 题型8：复数的几何意义 29．（2025·上海嘉定·二模）已知复数满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用复数的几何意义，把复数和平面向量建立一一对应关系，再利用向量的加减运算及平行四边形的性质即可. 【详解】设对应的复数为，对应的复数为， 则对应的复数为，对应的复数为， 因为， 由平行四边形的性质可得： 所以 故答案为： 30．（2025·上海杨浦·二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用复数模的几何意义求出最小值. 【详解】在复平面内，表示复数对应的点与复数对应点的距离为1， 因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 表示点到原点的距离，所以的最小值为. 故答案为： 31．（2025·上海黄浦·二模）为虚数单位，若复数满足且，则 ． 【答案】 【分析】设出复数的代数形式，由给定条件列式，结合复数乘法及复数相等求解. 【详解】设，则，由，得，解得， 即，由，得，所以. 故答案为： 32.（2025·上海静安·二模）若复数是虚数单位)在复平面上对应的点位于第二象限，则　　 A．且 B．且 C．且 D．且 【解析】因为在复平面上对应的点位于第二象限， 所以，所以且，故选． 33．（2024·上海奉贤·一模）在复平面内，为坐标原点，复数，对应的点分别为，其中为虚数单位，则的大小为 ． 【答案】. 【知识点】复数的向量表示、数量积的坐标表示、向量夹角的计算 【分析】由复数乘法运算求得，进而得到，，利用向量数量积运算和模长公式求得，进而得到. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 所以. 34．（2024·浙江杭州·三模）已知复数满足，则的共轭复数在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数的运算性质求出，再利用共轭复数的性质求出，最后利用复数和对应点的关系求解即可. 【详解】由题意得，故， 故，显然在复平面上对应的点是，在第四象限，故D正确. 故选：D 题型9：实系数一元二次方程 35．（2024·上海·模拟预测）已知方程的一个根是（是虚数单位），则 ． 【答案】 【知识点】复数范围内方程的根、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据一元二次方程的复数根互为共轭复数，再利用韦达定理结合复数的chengfa运算即可得解. 【详解】因为方程的一个根是， 则方程的另一个根是， 所以，所以. 故答案为：. 36．（2025·上海浦东新·二模）若关于的方程的一个虚根的模为，则实数的值为 ． 【答案】4 【分析】设关于的方程的两根虚根为，则且，即可求出的值，再代入检验. 【详解】设关于的方程的两根虚根为，则且， 所以，又，所以， 当时，，所以关于的方程有两个不相等实数根，不符合题意； 当时，，所以关于的方程有两个虚根，符合题意； 所以. 故答案为： 37．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知方程（其中为虚数单位）的两根分别为，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设方程的根为，将其代入方程中的x中，根据复数相等的条件，构造方程组，解出,.则两根知道了，再逐项代入验证即可. 【详解】设方程的根为， 代入方程，,整理得， 故，则， 不妨令，， 对于A：因为，即，故A错误； 对于B：，故B错误. 对于C:, ， 因此，,故C错误. 对于D：,故D正确. 故选:D. 题型10：综合应用 38．（2024·上海奉贤·一模）已知集合是由函数的图象上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、．若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为 ． 【答案】60 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、数量积的坐标表示、求cosx（型）函数的最值、判断元素与集合的关系 【分析】确定数列中最大值为1，最小值为，然后根据分类得出等差数列，再由等差数列的项确定点的横坐标的值，然后由中对应点的情形确定集合个数． 【详解】由已知,， 设，则，显然， 若，则，因此有， 由得或，对应， 同理对应， 集合中已经含有点， 因此产生的集合中，点可有也可没有，至少有一个， 所以的个数为， 若，则， ，或，，或， 对应点， 产生的集合中，点可有也可没有，至少有一个， 中至少有一个，中至少有一个，的个数为， 综上，集合的个数为． 故答案为：60. 【点睛】方法点睛：确定集合的个数即为确定集合中元素的可能性，本题中首先确定出最终等差数列的最大值和最小值，从而根据公差得出等差数列，由等差数列确定可能含有的点，从而得出集合个数． 39．（2024·上海·模拟预测）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断命题的充分不必要条件、空间向量的坐标运算 【分析】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案. 【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误； 对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故B错误； 对C， 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底， 则由能推出， 对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面， 则当无法推出，故D错误. 故选：C． 40．（2025·上海长宁·二模）已知向量． (1)求函数的单调递减区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）由数量积的坐标形式结合三角变换公式可得，由整体法可求函数的单调减区间； （2）函数在给定区间上的零点问题可转化为与的图象在上有两个不同的交点，利用正弦函数的性质可求参数的取值范围. 【详解】（1）， 令，则，其中， 故函数的单调递减区间为，. （2）由题设有在有两个不同的零点， 而，故在有两个不同的解， 故与的图象在上有两个不同的交点， 而在为增函数，在为减函数， 且，故， 故. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海高考数学满分冲刺热点题型专项训练（二） 平面向量与复数 【热题归纳】 题型1：平面向量的的投影及投影向量 1．（2025·上海青浦·模拟预测）向量在向量方向上的数量投影是 . 2．（2024·上海长宁·一模）已知向量，则向量在方向上的投影的坐标是 ． 题型2：平面向量的线性运算 3．（2024·上海·模拟预测）如图，矩形中，为中点，与交于点，若将，作为平面向量的一个基，则向量可表示为 （用表示）.    4．（2024·上海普陀·一模）设，在如图所示的平行六面体中，，，，点是棱的中点，，若，则的值为 . 5．（2023·上海普陀·模拟预测）在平行四边形中，，．若，则 ． 6．（2023·上海黄浦·三模）在中，，，的平分线交BC于点D，若，则 ． 题型3：平面向量的基本定理及坐标表示 7．（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（    ） A．和 B． 和 C． 和 D． 和 8．（2025·上海宝山·二模）已知向量，，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 9．（2024·上海·三模）设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基，则 . 10．（2025·上海嘉定·二模）已知向量，若，则 ． 11．（2025·上海崇明·二模）已知，则 ． 题型4：平面向量的数量积 12．（2024·上海青浦·二模）已知向量，，则 ． 13．（2024·上海杨浦·一模）已知，若，则向量与的夹角的余弦值为 . 14．（2025·上海宝山·二模）已知中，，，点在线段上，且，则的值为 . 15．（2024·上海奉贤·三模）中，，若在上的投影为．则 ． 16．（2025·上海徐汇·二模）已知是正方形，点是的中点，点在对角线上，且则的大小为 . 题型5：平面向量的范围与最值问题 17．（2025·上海杨浦·二模）已知、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为（    ）. A． B． C． D． 18．（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 . 19．（2023·上海闵行·二模）平面上有一组互不相等的单位向量，，…，，若存在单位向量满足，则称是向量组，，…，的平衡向量．已知，向量是向量组，，的平衡向量，当取得最大值时，的值为 ． 20．（2024·上海松江·二模）已知正三角形的边长为2，点满足，且，，，则的取值范围是 . 21．（2023·上海松江·二模）已知点是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且．若存在，使得与垂直，且，则的最小值为 ． 22．（2023·上海徐汇·三模）已知平面向量，，，满足，，且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，实数的最大值为 . 23．（2025·天津市·一测）如图，在中，，，D，E分别是直线AB，AC上的点，，，且，则 ．若P是线段DE上的一个动点，则的取值范围是 ．    题型6：复数的概念与分类 24．（2024·上海静安·一模）已知是虚数单位，是纯虚数，则实数的值为 . 25．（2025·天津宝坻区·一模）已知，其中i是虚数单位，则 ． 题型7：复数的运算 26．（2025·上海金山·二模）已知复数满足（为虚数单位），则 . 27．（2024·上海·模拟预测）复数，则 . 28．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知，则在下列表达式中表示的是（    ） A． B． C． D． 题型8：复数的几何意义 29．（2025·上海嘉定·二模）已知复数满足，则的值为 ． 30．（2025·上海杨浦·二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为 . 31．（2025·上海黄浦·二模）为虚数单位，若复数满足且，则 ． 32.（2025·上海静安·二模）若复数是虚数单位)在复平面上对应的点位于第二象限，则　　 A．且 B．且 C．且 D．且 33．（2024·上海奉贤·一模）在复平面内，为坐标原点，复数，对应的点分别为，其中为虚数单位，则的大小为 ． 34．（2024·浙江杭州·三模）已知复数满足，则的共轭复数在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型9：实系数一元二次方程 35．（2024·上海·模拟预测）已知方程的一个根是（是虚数单位），则 ． 36．（2025·上海浦东新·二模）若关于的方程的一个虚根的模为，则实数的值为 ． 37．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知方程（其中为虚数单位）的两根分别为，，则有（    ） A． B． C． D． 题型10：综合应用 38．（2024·上海奉贤·一模）已知集合是由函数的图象上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、．若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为 ． 39．（2024·上海·模拟预测）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 40．（2025·上海长宁·二模）已知向量． (1)求函数的单调递减区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$