专题01：集合、常用逻辑与不等式（九大热点题型训练）——2025届高三数学满分冲刺【基础提升练+易错题型练+综合热点练】 上海专用

2025年上海高考数学满分冲刺热点题型专项训练（一） 集合 常用逻辑与不等式 【热题归纳】 题型一：集合的基本概念与运算 1．（2025·上海松江·二模）已知集合，则 . 2．（2024·浙江·模拟预测）已知集合，，若中有2个元素，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津河东区·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·上海虹口·二模）已知集合，则 . 5．（2024·浙江·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·天津市·一测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型二：集合的新定义 7．（24-25高三上·上海·期中）已知集合，若对于任意实数对，存在，使成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合： ①； ②； ③ ④； 其中是“垂直对点集”的序号的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（24-25高三上·上海·阶段练习）若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则记.下列命题中正确的是（    ） A．已知，且，则 B．已知，若，则对任意，都有 C．已知，，则存在实数，使得 D．已知，，则对任意的实数，总存在实数，使得 9．（2022·上海徐汇·模拟预测）已知集合 ， 设 整除 或 整除 ， 令 表示集合 所含元素的个数， 则 . 10．（2025·上海崇明·二模）已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数且时，称M为“间断整数集”．集合的所有子集中，是“间断整数集”的个数为 ． 题型三：集合与其他知识综合 11．（2025·上海普陀·二模）设为正整数，集合，若集合满足，且对中任意的两个元素，皆有成立，记满足条件的集合的个数为，则 . 12．（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为，则对任意的实数，皆有成立的一个充分条件是 . 13．（2024·上海嘉定·二模）若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ． 14．（2024·上海·模拟预测）考虑的非空子集，满足中的元素个数等于中的最小元素，例如，就满足此条件. 则这样的子集共有 个. 题型四：常用逻辑 15．（2024·浙江·模拟预测）常言道：“不经历风雨，怎么见彩虹”．就此话而言，“经历风雨”是“见彩虹”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．（2025·上海宝山·二模）“”的一个必要非充分条件是（    ） A． B． C． D． 17．（2025·上海杨浦·二模）中，“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 18.（2025·上海静安·二模）“”是“一元二次不等式的解集为”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 19．（2025·天津宝坻区·一模）若，是两个不同的平面，直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．（2025·天津市·一测）若数列是等比数列，则“首项，且公比”是“数列单调递增”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．非充分非必要条件 题型五：不等式的性质 21．（2025·上海长宁·二模）已知非零实数，则下列命题中成立的是（   ）． A． B． C． D． 22．（2025·上海崇明·二模）若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 23．（2025·上海宝山·二模）“”的一个必要非充分条件是（    ） A． B． C． D． 24．（2025·天津武清区·一模）是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型六：不等式的解法 25.（2025·上海静安·二模）不等式的解集为　　． 26．（2024·上海·三模）已知集合，，则 ． 27．（2024·上海嘉定·一模）函数的定义域为 . 题型七：基本不等式 28.（2025·上海静安·二模）已知，则的最小值为　　． 29．（2025·天津河东区·一模）已知，则的最小值为 . 30．（2024·浙江嘉兴·二模）若正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 31．（2024·上海奉贤·二模）某商品的成本与产量之间满足关系式，定义平均成本，其中，假设，当产量等于 时，平均成本最少. 32．（2025·上海松江·二模）如图在三棱锥中，两两垂直，且，设是底面ABC内一点，定义，其中分别表示三棱锥，三棱锥，三棱锥的体积.若，且恒成立，则正实数的最小值为 . 33．（2025·上海青浦·二模）道路通行能力指单位时间（1小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某城市道路通行能力，现给出如下假设： 假设1：车身长度均为4.8米； 假设2：所有车辆以相同的速度（单位：千米／小时）匀速行驶； 假设3：安全距离（单位：米）与车辆速度近似满足. 该城市道路通行能力的最大值约为 .（结果保留整数） 题型七：不等式与其他知识综合 34．（2025·上海黄浦·二模）设，随机变量取值、、、的概率均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25．若记、分别为、的方差，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系与、、、的取值有关 35．（2024·上海闵行·三模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最小值为 . 36．（2024·上海金山·二模）已知平面向量、、满足：，，则的最小值为 ． 题型九：综合题 37．（2025·上海徐汇·二模）已知函数，其中. (1)解关于的不等式； (2)若存在唯一的实数，使得依次成等差数列，求实数的取值范围. 38．（2025·上海杨浦·二模）已知函数是定义在上的偶函数. (1)当时，，求时，的表达式； (2)当时，，若实数满足，求的取值范围. 39．（2025·上海宝山·二模）已知函数，（且） (1)若，求方程的解； (2)已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海高考数学满分冲刺热点题型专项训练（一） 集合 常用逻辑与不等式 【热题归纳】 题型一：集合的基本概念与运算 1．（2025·上海松江·二模）已知集合，则 . 【答案】 【分析】化简集合，根据交集运算求解. 【详解】集合是函数的定义域，对数函数中真数大于0，所以， 又，所以. 故答案为：. 2．（2024·浙江·模拟预测）已知集合，，若中有2个元素，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据即可求解. 【详解】， 因为中只有2个元素，则，所以. 故选：B 3．（2025·天津河东区·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】且 所以， 故选：C 4．（2024·上海虹口·二模）已知集合，则 . 【答案】 【知识点】分式不等式、解正切不等式、交集的概念及运算 【分析】先求出集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】， ， 所以. 故答案为：. 5．（2024·浙江·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求指对数函数的值域确定集合，再应用交运算求集合. 【详解】由题设，，， 所以. 故选：B 6．（2025·天津市·一测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，∴. 故选：D 题型二：集合的新定义 7．（24-25高三上·上海·期中）已知集合，若对于任意实数对，存在，使成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合： ①； ②； ③ ④； 其中是“垂直对点集”的序号的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】集合新定义 【分析】根据“垂直对点集”的定义可判断①；举出反例判断②；数形结合并结合“垂直对点集”的定义可判断③④,即可得答案. 【详解】对于①，，为偶函数，定义域为， 对于任意实数对， 则存在，满足，集合M是“垂直对点集”； 对于②，，取实数对, 假设存在，使成立，则，与矛盾， 即不是“垂直对点集”； 对于③，,作出函数的图象如图， 图象过点，向右向上无线延伸，向左向下无限靠近直线， 在的图象上任取一点，连接OA，作， 则OB总与函数图象相交，设交函数图象于， 即对于任意实数对，总存在，使得成立，故集合M是“垂直对点集”； 对于④，作出函数的图象如图， 图象向左向右无线延伸， 在的图象上任取一点，连接OA，作， 则OB总与函数图象相交，设交函数图象于， 即对于任意实数对，总存在，使得成立，故集合M是“垂直对点集”； 故集合M是“垂直对点集”的有3个， 故选：D 8．（24-25高三上·上海·阶段练习）若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则记.下列命题中正确的是（    ） A．已知，且，则 B．已知，若，则对任意，都有 C．已知，，则存在实数，使得 D．已知，，则对任意的实数，总存在实数，使得 【答案】D 【知识点】函数新定义、集合新定义 【分析】由，得到，可判断A；由，时可判断B；分情况讨论的范围可判断C，由时，求得可判断D. 【详解】A选项，由，可得，， 因为，所以，，故A错误； B选项，由知，且， 则且， 但是不一定成立，例如：，，故B错误； C选项，由，， 当，即时，； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得， 所以不存在实数，使得，故C错误； D选项，由，，取， 可得，对任意实数，总存在使之成立，故D正确. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题主要考查函数新定义的运用，需要准确把握定义要求，根据信息利用具体函数排除法，反证法，分类讨论法以及数形结合法一一判断即可. 9．（2022·上海徐汇·模拟预测）已知集合 ， 设 整除 或 整除 ， 令 表示集合 所含元素的个数， 则 . 【答案】 【知识点】集合新定义 【分析】根据的定义进行分析，从而确定正确答案. 【详解】表示集合所含元素的个数， 其中，， 整除的有共个. 整除的： （1）整除的有个； （2）整除的有个； （3）整除的有个. 重复的有共个. 所以. 故答案为： 10．（2025·上海崇明·二模）已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数且时，称M为“间断整数集”．集合的所有子集中，是“间断整数集”的个数为 ． 【答案】968 【分析】根据子集中元素的个数分类，每一类都利用组合数计数，再剔除不满足定义的子集，最后根据分类加法计数原理求值即可. 【详解】由题意，满足“间断整数集”定义的子集至少有2个元素，至多有9个元素， 按子集中元素的个数分类， ①当元素个数为2时，不满足定义的子集有： ，共9个； 此时满足定义的子集有个， ②当元素个数为3时，不满足定义的子集有： ，共8个； 此时满足定义的子集有个， ③当元素个数为4时，不满足定义的子集有： ，共7个； 此时满足定义的子集有个， ④当元素个数为5时，不满足定义的子集有： ，共6个； 此时满足定义的子集有个， ⑤当元素个数为6时，不满足定义的子集有： ，共5个； 此时满足定义的子集有个， ⑥当元素个数为7时，不满足定义的子集有： ，共4个； 此时满足定义的子集有个， ⑦当元素个数为8时，不满足定义的子集有： ，共3个； 此时满足定义的子集有个， ⑧当元素个数为9时，不满足定义的子集有： ，共2个； 此时满足定义的子集有个， 综上所述，满足题意的子集共有个. 故答案为：968. 题型三：集合与其他知识综合 11．（2025·上海普陀·二模）设为正整数，集合，若集合满足，且对中任意的两个元素，皆有成立，记满足条件的集合的个数为，则 . 【答案】19 【分析】利用分类思想，列举思想即可得到答案. 【详解】当时， 若为二元集：如，共有15种， 若为三元集：如共有4种， 所以总共有：种； 故答案为：19. 12．（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为，则对任意的实数，皆有成立的一个充分条件是 . 【答案】 【分析】由题意分析出区间至少包含一个完整的周期，才能保证能取到时的所有函数值，再利用周期的公式求出的取值范围，结合充分条件的定义即可得到结果. 【详解】因为函数，要使， 则周期，即， 因为，所以一个充分条件是， 故答案为： 13．（2024·上海嘉定·二模）若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ． 【答案】 【知识点】集合新定义、求集合的子集（真子集） 【分析】正确理解的含义，时，即要先求出满足的，即的第211个子集应含有的元素，计算出，再要求满足的，即的第211个子集应含有的元素，如此类推即得. 【详解】因，则的第211个子集必包含7，此时； 又因则的第211个子集必包含6，此时； 又则的第211个子集必包含4，此时； 又则的第211个子集必包含1；而. 综上所述，的第211个子集是. 故答案为：. 14．（2024·上海·模拟预测）考虑的非空子集，满足中的元素个数等于中的最小元素，例如，就满足此条件. 则这样的子集共有 个. 【答案】 【知识点】集合新定义、组合数的计算 【分析】由题意，，且集合中的最小元素不能大于，再根据集合中的最小元素进行讨论，即可得解. 【详解】由题意，，且集合中的最小元素不能大于， 当集合中的最小元素时，这个的集合只有这个， 当集合中的最小元素时，这个的集合有个， 当集合中的最小元素时，这个的集合有个， 当集合中的最小元素时，这个的集合有个， 当集合中的最小元素时，这个的集合有个， 当集合中的最小元素时，这个的集合有个， 所以满足题意的子集共有个. 故答案为：. 题型四：常用逻辑 15．（2024·浙江·模拟预测）常言道：“不经历风雨，怎么见彩虹”．就此话而言，“经历风雨”是“见彩虹”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件的定义求解 【详解】由题意，经历风雨不一定会见彩虹，但见彩虹一定是经历风雨， 所以“经历风雨”是“见彩虹”的必要不充分条件． 故选：B． 16．（2025·上海宝山·二模）“”的一个必要非充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用充分条件与必要条件的判断方法，结合指数、对数函数的单调性，对选项A、B和C逐一分析判断，即可求解；对于D，利用不等式的性，即可求解. 【详解】对于选项A，由，得到，即，所以可得，故选项A错误， 对于选项B，由，得到，所以可得，故选项B错误， 对于选项C，由，得到，即，所以推不出， 但可以得出，故选项C正确， 对于选项D，由，得到， 又，当且仅当时取等号，显然不满足题意， 则，即， 又当，有，所以是的充要条件，故选项D错误， 故选：C. 17．（2025·上海杨浦·二模）中，“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及充要条件的定义判断即可. 【详解】在中，令内角所对的边分别为， 由正弦定理得， 所以”是“”的充要条件. 故选：C 18.（2025·上海静安·二模）“”是“一元二次不等式的解集为”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【解析】若一元二次不等式的解集为，则， 所以，故为必要非充分条件，故选． 19．（2025·天津宝坻区·一模）若，是两个不同的平面，直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】，，由面面垂直的判定定理可知，，充分性成立， ，，则或，必要性不成立， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 20．（2025·天津市·一测）若数列是等比数列，则“首项，且公比”是“数列单调递增”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．非充分非必要条件 【答案】B 【解析】数列是等比数列，首项，且公比， 所以数列，且， 所以得到数列单调递增； 因为数列单调递增， 可以得到首项，且公比， 也可以得到，且公比. 所以“首项，且公比”是“数列单调递增”的充分不必要条件. 故选：B. 题型五：不等式的性质 21．（2025·上海长宁·二模）已知非零实数，则下列命题中成立的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用赋值法即可判断，，，根据函数的单调性即可判断. 【详解】由已知当，，所以，故错误； 因为，当时，所以，故错误； 当非零实数，一正一负时，无意义，故错误； 因为在上单调递增，且， 所以，故正确. 故选：. 22．（2025·上海崇明·二模）若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的基本性质可判断AD选项，利用特殊值法可判断BC选项. 【详解】因为，， 对于A选项，，A错； 对于B选项，不妨取，，，，则，B错； 对于C选项，取，则，C错； 对于D选项，由题意可知，，由不等式的基本性质可得，D对. 故选：D. 23．（2025·上海宝山·二模）“”的一个必要非充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用充分条件与必要条件的判断方法，结合指数、对数函数的单调性，对选项A、B和C逐一分析判断，即可求解；对于D，利用不等式的性，即可求解. 【详解】对于选项A，由，得到，即，所以可得，故选项A错误， 对于选项B，由，得到，所以可得，故选项B错误， 对于选项C，由，得到，即，所以推不出， 但可以得出，故选项C正确， 对于选项D，由，得到， 又，当且仅当时取等号，显然不满足题意， 则，即， 又当，有，所以是的充要条件，故选项D错误， 故选：C. 24．（2025·天津武清区·一模）是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】充分性：当时，可得. 但是对数函数中，的取值范围是，当时，和无意义，所以由“”不能推出“”，充分性不成立. 必要性：因为对数函数的定义域为，若，根据对数函数的性质，对数相等则真数相等，所以可得. 对，可得，所以由“”可以推出“”，必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 题型六：不等式的解法 25.（2025·上海静安·二模）不等式的解集为　　． 【答案】 26．（2024·上海·三模）已知集合，，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】几何意义解绝对值不等式、分式不等式、交集的概念及运算 【分析】首先解绝对值不等式与分式不等式求出集合、，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 由，即，等价于，解得或， 所以， 所以. 故答案为： 27．（2024·上海嘉定·一模）函数的定义域为 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求对数型复合函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】利用对数函数的定义，列出不等式求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得或， 所以函数的定义域为. 故答案为： 题型七：基本不等式 28.（2025·上海静安·二模）已知，则的最小值为　　． 【解析】，最小值为． 29．（2025·天津河东区·一模）已知，则的最小值为 . 【答案】/1.6 【解析】因为，所以. 所以 , 当且仅当时等号成立. 故的最小值为. 故答案为:. 30．（2024·浙江嘉兴·二模）若正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据题意可得，利用基本不等式求解. 【详解】由可得， ， 当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意. 所以的最小值为. 故选：A. 31．（2024·上海奉贤·二模）某商品的成本与产量之间满足关系式，定义平均成本，其中，假设，当产量等于 时，平均成本最少. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】根据条件得到，再利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】由题知， 当且仅当，即时取等号， 故答案为：. 32．（2025·上海松江·二模）如图在三棱锥中，两两垂直，且，设是底面ABC内一点，定义，其中分别表示三棱锥，三棱锥，三棱锥的体积.若，且恒成立，则正实数的最小值为 . 【答案】1 【分析】根据给定的信息求出三棱锥的体积，进而求出，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值，并建立不等式求解. 【详解】在三棱锥中，两两垂直，且， 则，解得 ，又， 因此， 当且仅当时取等号，由恒成立，得， 于是，解得，所以正实数的最小值为1. 故答案为：1 33．（2025·上海青浦·二模）道路通行能力指单位时间（1小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某城市道路通行能力，现给出如下假设： 假设1：车身长度均为4.8米； 假设2：所有车辆以相同的速度（单位：千米／小时）匀速行驶； 假设3：安全距离（单位：米）与车辆速度近似满足. 该城市道路通行能力的最大值约为 .（结果保留整数） 【答案】821 【分析】由题意，先进行单位换算统一单位，整理函数解析式，利用基本不等式，可得答案., 【详解】1小时秒，车辆速度（千米／小时）换算为米／秒是米／秒. 1小时内通过的车辆数 . 根据基本不等式（），， 当且仅当时等号成立.所以， 即该城市道路通行能力的最大值约为821. 故答案为：821. 题型七：不等式与其他知识综合 34．（2025·上海黄浦·二模）设，随机变量取值、、、的概率均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25．若记、分别为、的方差，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系与、、、的取值有关 【答案】A 【分析】根据随机变量的取值情况，计算出它们的期望和方差，再借助均值不等式即可判断作答. 【详解】由随机变量的取值情况，它们的期望分别为：， ，即， ， 则 同理， 则 则 ， 因为 所以， 因为，不能取等号，所以，所以 所以. 故选：A. 35．（2024·上海闵行·三模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、指数幂的运算 【分析】令，，结合基本不等式可得，可化为，求二次函数在区间上的最小值即可. 【详解】不妨设，，则，， 所以，当且仅当时取等号， 即，当且仅当时取等号， 所以 ，（） 所以当时，取得最小值. 故答案为： 36．（2024·上海金山·二模）已知平面向量、、满足：，，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、用定义求向量的数量积、平面向量数量积的几何意义 【分析】根据条件推理得到在方向上的投影数量等于在方向上的投影数量，且等于，，故可以作出图形，设出，将所求转化成关于的函数形式，利用基本不等式即可求得. 【详解】因，由可得， 即在方向上的投影数量等于在方向上的投影数量，且等于， 又由可得，不妨设， 则，，于是， 因，则，因，当且仅当时，等号成立， 即当时，取得最小值. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于运用向量数量积的定义和投影向量的数量理解的相互关系,设出夹角，将所求化成关于的函数形式. 题型九：综合题 37．（2025·上海徐汇·二模）已知函数，其中. (1)解关于的不等式； (2)若存在唯一的实数，使得依次成等差数列，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由在单调递增，得即可求解； （2）原问题等价于关于的方程恰有一个实数解，即在上恰有一个实数解，令，则在上恰有一个实数解，利用数形结合即可求解. 【详解】（1）由函数在单调递增， 所以 （2）原问题等价于关于的方程恰有一个实数解，求实数的取值范围. 即在上恰有一个实数解. 等价于在上恰有一个实数解. 在上恰有一个实数解. 令，则在上恰有一个实数解. 画出关于的二次函数在上的图像可知，时只有一个交点； . 38．（2025·上海杨浦·二模）已知函数是定义在上的偶函数. (1)当时，，求时，的表达式； (2)当时，，若实数满足，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用偶函数的性质直接求解即可； （2）先判断函数的单调性，再结合偶函数的性质解一元二次不等式即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数，即 当时，， 所以， 所以. （2）当时，， 由幂函数和指数函数的单调性可得为递增函数. 又函数为偶函数， 所以， 两边平方后展开可得，即， 解得. 39．（2025·上海宝山·二模）已知函数，（且） (1)若，求方程的解； (2)已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由求出幂函数解析式，再利用换元法，结合一元二次方程和指数与对数函数的关系求解即可； （2）由幂函数的单调性得到关于的不等式再分离参数，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）即解得，于是 ， 方程即为， 令，则有即， 求得（舍负） ， 所以方程的解为 . （2）由已知得， 整理得 ， 因为，所以 ， 从而对任意恒成立， 因为（当且仅当取等号）， 所以， 即实数的最大值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$