精品解析：吉林省第二实验（高新、远洋）学校2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷

吉林省第二实验（高新、远洋）学校 2024-2025学年度下学期八（1）年级期中考试 数学试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．此题考查最简二次根式问题，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，被开方数不能含有分母；（2）在二次根式的被开方数中不能含有开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意 B、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D、是最简二次根式，故该选项符合题意； 故选D 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算，根据二次根式的加减乘除运算法则进行计算，逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 与被开方数不相同，不能进行相加，故原选项计算错误，不合题意； B. ，不能与进行加减运算，故原选项计算错误，不合题意； C. ，故原选项计算错误，不合题意； D. ，故原选项计算正确，符合题意． 故选：D 3. 将一元二次方程化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 3，5， B. ，5，1 C. 3，， D. 3，，0 【答案】D 【解析】 【分析】先将一元二次方程化为一般形式，然后即可得出答案． 【详解】解：∵将一元二次方程化为一般形式为， ∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，，0，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，根据一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，a叫做二次项系数；叫做一次项；c叫做常数项． 4. 如图，直线，直线 和 被，，所截，，，，则 的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可． 【详解】解：∵直线l1∥l2∥l3， ∴. ∵AB=5，BC=6，EF=4， ∴. ∴DE=. 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 5. 如图，在四边形 中， 是对角线的中点，点 、 分别是 、 的中点，，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，解题关键是灵活运用相关知识．利用三角形中位线定理得到，推出，即可求出的度数． 【详解】解：是的中点，点 、 分别是 、 的中点， 、分别是、 的中位线， ，， ， ， ， ， ． 故选：B． 6. 若是一元二次方程的其中一个解，则 的值为（ ） A. 3 B. -3 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得，然后解关于m的一元二 次方程即可． 【详解】解：将是代入方程 得 m2=9 m=±3 ∵m+3≠0 ∴m≠-3 ∴m=3 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 7. 如图，能使成立的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定求解即可． 【详解】解：由题意得，， 若添加，利用两边及其夹角法可判断，故该选项符合题意； 、 、 均不能判定，故不符合题意． 故选：C． 8. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作 的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 10. 比较大小：________. 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴ 故答案为： 11. 若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的基本性质，将拆分为，再结合已知条件求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 12. 某店4月份利润为16万元，要使6月份利润达到25万元，则平均月增长率是 ___________. 【答案】25% 【解析】 【分析】设平均月增长率为x，根据4月份的利润为16万元，要使6月份的利润达到25万元，列出一元二次方程，解方程即可. 【详解】解：设平均月增长率为x， 由题意得：， 解得：或（不符合题意舍去）. 即平均月增长率是25%. 故答案为：25%. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键. 13. 如图，与位似，点O为位似中心，位似比为．若的周长为4，则的周长是___________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据周长之比等于位似比计算即可． 【详解】设的周长是x， ∵ 与位似，相似比为，的周长为4， ∴， 解得：， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键． 14. 如图，点O是的对角线的交点，，的平分线 交 于点E， 与 交于点F，，连接 ．下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的有_______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，三角形中位线定理等，解题的关键是平行四边形性质的应用．本题综合运用这些性质定理逐项进行判断即可． 【详解】解：在中， ∵，， 平分， ∴， ∴ 是等边三角形， ∴， ∴ 是 的中点， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴， 故平分，故②正确； 依据中，， 即可得到，故③错误； ∵ 是中点， 为 中点， ∴ 是的中位线， ∴，， 在中，， ∴， ∴，故④正确； 综上，①②④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题（共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）； 解方程： （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3），；（4）， 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，二次根式的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握二次根式的相关运算法则和解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先化简二次根式，再进行二次根式的加减； （2）利用二次根式的混合运算法则计算即可， （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3）， ， 或， 解得：，； （4）， 其中，，，， ∴， ∴，． 16. 阅读材料，并回答问题： 佳佳解一元二次方程的过程如下： 解： ① ② ③ ，④ （1）上述解答过程中，从第 步开始出现了错误（填序号）； （2）在下面的空白处，写出正确的解答过程． 【答案】（1）② （2） 移项得：， 配方得：，即， ， 或， ，． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程配方法，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤． （1）观察解答过程可得答案； （2）用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：从②开始出现了错误，发生错误的原因是：等号右边没有加9； 故答案为：②； 【小问2详解】 略 17. 已知，，．求： （1）和的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先分母有理化，得，，再进行计算即可； （2）先化简，再整体代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，已知 ，且，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据两角相等的两个三角形相似证明，然后利用相似三角形的性质即可证明． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵ ， ∴， ∴， ∴． 19. 为测量一棵大树的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度，人的眼睛 、标杆的顶端 和大树顶端 在一条直线上，标杆与大树的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆 的水平距离， 、 、 三点共线，，求大树的高度． 【答案】大树的高度为 【解析】 【分析】过点 作于点 ，交 于点 ，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据进行计算即可求解． 【详解】解：如图所示，过点 作于点 ，交 于点 ， 依题意， 、 、 三点共线， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴大树的高度为． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 20. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）当k取最大整数时，求方程的实数根． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． （1）根据题意得出，进行计算即可得到答案； （2）根据（1）中的的范围得出可取的最大整数值为，再运用因式分解法来解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵关于 的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴可取的最大整数值为， ∴此时原方程为， 解得，． 21. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点， 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． （1）在图1中，作 的中线； （2）在图2中，在 上找一点E，使： （3）在图3中，将点C向右平移2个单位，得到点P，连接，并在线段 上找到一点Q，连接，使． 【答案】（1） 即为所求， ， （2） 点 即为所求， ， （3） 点 即为所求， ， 【解析】 【分析】本题考查了网格复杂作图，相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质是解题的关键． （1）根据矩形对角线互相平分即可解答； （2）如图，取点，连接交 于点 ，则点 即为所求，利用相似三角形的性质即可解答； （3）取点 ，连接交 于点 ，则点 即为所求，利用相似三角形的性质即可解答． 【小问1详解】 解：在网格上去点 ，连接 交 于点 ， ， 四边形为矩形， ， 为 的中线； 【小问2详解】 解：取点，连接交 于点 ， ， ， ， ， ，即； 【小问3详解】 解：取点 ，连接交 于点 ， ， ， ， ， ． 故点 即为所求． 22. 如图 中，厘米，厘米， 是 的中点，点 从 出发，以 厘米/秒的速度沿匀速向点 运动，点 同时以1厘米/秒的速度从 出发，沿匀速向点 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为秒． （1）若，，求的值； （2）设点 在 上，四边形为平行四边形，若，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由 中，厘米，厘米， 是 的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，即可求得与 的长，又由，，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得的值； （2）过点 作 于 ，由四边形为平行四边形，易证得，又由平行线分线段成比例定理，即可得方程，解此方程即可求得答案； 【小问1详解】 在 中，，， 是 的中点， ， ， ，， ， ， ， 即， 解得：； 【小问2详解】 过点 作 于 ， 四边形为平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ； 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质以及等腰三角形的性质等知识．注意数形结合思想与方程思想的应用是解题的关键． 23. 水果店张阿姨以每千克4元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克6元的价格出售，每天售出100千克．通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克，为了保证每天至少售出240千克，张阿姨决定降价销售． （1）若售价降低0.8元，则每天的销售量为　 　千克、销售利润为　 　元； （2）若将这种水果每千克降价x元，则每天的销售量是　 　千克（用含x的代数式表示）； （3）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨应将每千克的销售价降至多少元？ 【答案】（1）销售量：260，利润：312，（2）100+200x（千克）；（3）张阿姨应将每千克的销售价降至5元． 【解析】 【分析】（1）销售量=原来销售量+下降销售量，销售量×每千克利润=总利润，据此列式即可； （2）销售量=原来销售量+下降销售量，据此列式即可； （2）根据销售量×每千克利润=总利润列出方程求解即可． 【详解】（1）销售量：100+20×=100+160=260，利润：（100+160）（6﹣4﹣0.8）=312，则每天的销售量为260千克，销售利润为312元． 故答案为260，312； （2）将这种水果每千克降低x元，则每天的销售量是100+×20=100+200x（千克）． 故答案为（100+200x）； （3）设这种水果每千克降价x元，根据题意得：（6﹣4﹣x）（100+200x）=300，2x2﹣3x=1=0，解得：x=0.5或x=1． 当x=0.5时，销售量是100+200×0.5=200＜240； 当x=1时，销售量是100+200=300＞240． ∵每天至少售出240千克，∴x=1． 　6﹣1=5． 答：张阿姨应将每千克的销售价降至5元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而利润．第二问，根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解． 24. 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在 中， ，点D是 上的一个动点，过点D作于点E，延长交延长线于点F．易证是等腰三角形． 证明： ， ， ， ， ，且， ， ； 是等腰三角形． 【探究发现】数学兴趣小组在交流时发现：与之间存在一定的数量关系． 例如：当时，；当时，． 根据以上发现完成下列问题： ①当时，_______． ②求证：当时，． 证明：作于点G，如图②， 请完成剩余的证明过程 ……… 【拓展应用】在图①中，过点F作于点P，连接，得到图③，当平分．时，若，则_______． 【答案】［探究发现］①；②见详解；［拓展应用］ 【解析】 【分析】［探究发现］①根据，得； ②根据等腰三角形性质得，可得，得，得，即得； ［拓展应用］设，则，得，得，由角平分线定义得，证明，得，得，根据，得，即得． 【详解】解：［探究发现］①∵当时，；当时，， ， 当时，， 故答案为：； ②证明：作于点 ， ​ ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ． ［拓展应用］， ∴设，则， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形综合问题，熟练掌握等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线有关计算，勾股定理，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省第二实验（高新、远洋）学校 2024-2025学年度下学期八（1）年级期中考试 数学试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将一元二次方程化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 3，5， B. ，5，1 C. 3，， D. 3，，0 4. 如图，直线，直线 和 被，，所截，，，，则 的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5. 如图，在四边形 中， 是对角线的中点，点 、 分别是 、 的中点，，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 若是一元二次方程的其中一个解，则 的值为（ ） A. 3 B. -3 C. D. 2 7. 如图，能使成立的条件是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作 的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 10. 比较大小：________. 11. 若，则的值为___________． 12. 某店4月份利润为16万元，要使6月份利润达到25万元，则平均月增长率是 ___________. 13. 如图，与位似，点O为位似中心，位似比为．若的周长为4，则的周长是___________． 14. 如图，点O是的对角线的交点，，的平分线 交 于点E， 与 交于点F，，连接 ．下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的有_______． 三、解答题（共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）； 解方程： （3）； （4）． 16. 阅读材料，并回答问题： 佳佳解一元二次方程的过程如下： 解： ① ② ③ ，④ （1）上述解答过程中，从第 步开始出现了错误（填序号）； （2）在下面的空白处，写出正确的解答过程． 17. 已知，，．求： （1）和的值； （2）求的值． 18. 如图，已知 ，且，求证：． 19. 为测量一棵大树的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度，人的眼睛 、标杆的顶端 和大树顶端 在一条直线上，标杆与大树的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆 的水平距离， 、 、 三点共线，，求大树的高度． 20. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）当k取最大整数时，求方程的实数根． 21. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点， 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． （1）在图1中，作 的中线； （2）在图2中，在 上找一点E，使： （3）在图3中，将点C向右平移2个单位，得到点P，连接，并在线段 上找到一点Q，连接，使． 22. 如图 中，厘米，厘米， 是 的中点，点 从 出发，以 厘米/秒的速度沿匀速向点 运动，点 同时以1厘米/秒的速度从 出发，沿匀速向点 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为秒． （1）若，，求的值； （2）设点 在 上，四边形为平行四边形，若，求的长． 23. 水果店张阿姨以每千克4元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克6元的价格出售，每天售出100千克．通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克，为了保证每天至少售出240千克，张阿姨决定降价销售． （1）若售价降低0.8元，则每天的销售量为　 　千克、销售利润为　 　元； （2）若将这种水果每千克降价x元，则每天的销售量是　 　千克（用含x的代数式表示）； （3）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨应将每千克的销售价降至多少元？ 24. 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在 中， ，点D是 上的一个动点，过点D作于点E，延长交延长线于点F．易证是等腰三角形． 证明： ， ， ， ， ，且， ， ； 是等腰三角形． 【探究发现】数学兴趣小组在交流时发现：与之间存在一定的数量关系． 例如：当时，；当时，． 根据以上发现完成下列问题： ①当时，_______． ②求证：当时，． 证明：作于点G，如图②， 请完成剩余的证明过程 ……… 【拓展应用】在图①中，过点F作于点P，连接，得到图③，当平分．时，若，则_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $