第9章 项目学习4生活中的密铺 真题练习 2024--2025学年华东师大版七年级数学下册

2025学年华东师大版七年级数学下册 〔项目学习4〕生活中的密铺真题练习 一、选择题 1．（2024七下·资中期末）用形状、大小完全相同的图形不能镶嵌成平面图案的是（　　） A．等腰三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 2．（2024七上·长春期末）小飞家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地砖，建材店老板告诉她，只用一种八边形地砖是不能铺满地面的，但可以与另外一种形状的地砖混合使用，你认为要使地面铺满，小飞应选择另一种（　　）形状的地砖 A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 3．（2024七下·榆树月考）如图，是工人师傅用边长均为a的正六边形和正方形地砖围绕着点B进行的铺设．若将另一块边长为a的正多边形地砖恰好能镶嵌在处，则这块正多边形地砖的边数是（　　） A．6 B．9 C． D． 4．（2024七下·市中区期末）如图是某小区花园内用正边形铺设的小路的局部示意图，若用块正边形围成的中间区域是一个小正三角形，则(　　) A． B． C． D． 5．（2024七下·兴文期末）一个正多边形每个外角都等于，若用这种多边形拼接地板，需与下列哪种正多边形组合（　　） A．正四边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正三角形 6．（2024七下·德化期末）用下列一种正多边形能铺满地面的是（　　） A．正五角形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 7．（2024七下·长春净月高新技术产业开发期末）某人到瓷砖店去买一种多边形形状的瓷砖，用来密铺地板，则他购买的瓷砖形状不可能是(　　) A．等边三角形 B．正方形 C．正八边形 D．正六边形 8．（2024七下·长春期末）长春市图书馆决定对某些楼层地面进行维修，选用同一种大小相等、形状相同的瓷砖密铺地面，下列图形不能做到无缝隙，不重叠要求的是（　　） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 9．（2024七下·新安期末）用正三角形和正方形组合能够铺满地面，每个顶点周围有m个正三角形和n个正方形（m、n为正整数），则的值为（　　） A．5 B．4 C．6 D．3 10．（2024七下·长春汽车经济技术开发期末）如图，是工人师傅用边长均为的正六边形和正方形地砖围绕着点进行的铺设．若将另一块边长为的正多边形地砖恰好能镶嵌在处，则这块正多边形地砖的边数是（　　） 如图所示，是工人师傅用边长均为a的一块正六边形和一块正方形地砖绕着点B进行的铺设，若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在∠ABC处，则这块正多边形地砖的边 A．6 B．9 C．10 D．12 二、填空题 11．（2024七下·宽城期末）“动感数学”社团教室重新装修，如图是用边长相等的正方形和正n边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则n的值为　 　． 12．（2024七下·惠安期末）写出仅用一种正多边形能把地面铺满的是　 　．（写出一种即可） 13．（2024七下·长春期中）给出下列正多边形：①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正八边形．用上述正多边形中的一种能够辅满地面的是　 　．（将所有答案的序号都填上） 14．（2024七下·秀英月考）用正多边形镶嵌，设在一个顶点周围有m个正方形，n个正八边形，则m+n＝　 　． 15．（2023七下·射洪月考）某装修店里出售下列形状的地砖：（1）正三角形；（2）正方形；（3）正六边形；（4）正八边形，若选购一种或两种地砖来铺满地面，则购买方案共有　 　种． 16．（2023七下·农安期末）与正三角形组合在一起能铺满地面的另一种正多边形是　 　.（只要求写出一种即可） 三、作图题 17．（2023七下·秦安期末）已知个正多边形和个正多边形可绕一点周围镶嵌（密铺），的一个内角的度数是的一个内角的度数的． （1）试分别确定，是什么正多边形？ （2）画出这个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形（画一种即可）． 四、解答题 18．（2024七下·万州期末）两个多边形，一个多边形记为A，另一个多边形记为B，多边形A的边数是多边形B的边数的2倍． （1）若多边形A的内角和是多边形B的内角和的3倍，求多边形A和多边形B的边数； （2）利用边长相等的正多边形A型瓷砖和正多边形B型瓷砖能够镶嵌（不重叠、无缝隙地密铺）地面，在一个顶点的周围有a块正多边形A型和b块正多边形B型瓷砖，求的值． 19．（2024七下·鼓楼期末）小颖家买了新楼，她想在边长相同的①正三角形、②正方形、③正五边形、④正六边形四种瓷砖中，选择一些瓷砖进行地面的镶嵌（彼此之间不留空隙、不重叠）． （1）她想选用两种瓷砖，若已选用正三角形瓷砖，则可以再选择的是______瓷砖（填写序号）； （2）她发现仅用正五边形瓷砖不能镶嵌地面，若将三块相同的正五边形瓷砖按如图所示放置，求的度数． 20．（2024七下·射阳期末）大到市民广场，小到家居装修，常常用形状各异的瓷砖来铺设． 正多边形是指各边相等、各角相等的多边形． 用一种或几种正多边形在公共顶点处进行拼接，彼此之间既无空隙又不重叠，这就是正多边形的共顶点密铺．共顶点密铺其实就是围绕一点的几个正多边形的内角的和为360°． 共顶点单一密铺：仅用同一种正多边形密铺． 如右图可知，正五边形不能共顶点单一密铺，可用下面的方法说明． 解：设有x 个正五边形． 因为正五边形的每一个内角为， 若想用x 个围成，则， 解得 （不符合题意）． 所以正五边形不可以共顶点单一密铺． （1）问题1：探索正三角形能不能共顶点单一密铺?请用上述方法说明． （2）问题2：符合共顶点单一密铺的正多边形不止一种，请尝试再找出一种，并说明理由． 共顶点组合密铺：用两种或两种以上正多边形密铺． （3）问题3：某中学图书馆拟用正多边形地砖铺设地面.已有正三角形形状的地砖，现打算购买另外一种形状不同，但边长相等的正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺.请设计两种不同的共顶点组合密铺方案，并说明理由． （4）问题4：创意设计：选取三种形状不同，但边长相等的正多边形进行共顶点组合密铺，请写出设计方案． 五、综合题 21．（2023七下·乌鲁木齐期末） （1）一幅图案，在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是　 　 ． （2）从下列图中选择四个拼图板，可拼成一个矩形，正确的选择方案为　 　 ．（填写拼图板的代码即可）． （3）已知：如图，，，．求证：． 22．（2022七下·朝阳期末）一个正多边形的一个内角减去与它相邻的一个外角的结果为． （1）求这个正多边形的边数． （2）如果该正多边形与另外一个与其边长相等的正多边形能铺满地面，直接写出这个正多边形的边数． 23．（2019七下·南召期末）我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形铺满地面，如果我们要同时用两种不同的正多边形铺满地面，可以设计出几种不同的组合方案？ （1）问题解决： 猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合铺满地面？ 验证1并完成填空：在铺地面时，设围绕某一个点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角.根据题意：可得方程①：　 　， 整理得②：　 　， 我们可以找到方程的正整数解为③：　 　. （2）结论1：铺满地面时，在一个顶点周围围绕着④▲ 个正方形和⑤ ▲ 个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以铺满地面. 猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合铺满地面？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由. 答案解析部分 1．【答案】C 【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺） 2．【答案】B 【知识点】平面镶嵌（密铺） 【解析】【解答】正八边形的每个内角为 135゜， A、正八边形、正三角形的内角分别为135゜、60゜，显然不能构成360゜的周角，故不能铺满； B、正八边形、正方形的内角分别为135゜、90゜，由于2×135゜+90゜=360゜，故能铺满； C、正八边形、正五边形的内角分别为135゜、108゜，显然不能构成360゜的周角，故不能铺满； D、正八边形、正六边形的内角分别为135゜、120゜，显然不能构成360゜的周角，故不能铺满； 故答案为：B. 【分析】分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形每个内角的度数，然后根据周角为360°进行解答. 3．【答案】D 【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺） 4．【答案】A 【知识点】平面镶嵌（密铺）；多边形的内角和公式 【解析】【解答】解：正n边形的内角为x°，根据题意，得：2x=360-60， ∴x=150°， ∴150n=(n-2)×180，解得：n=12. 故答案为：A。 【分析】首先根据密铺得出正n边形一个内角的度数，然后根据多边形内角和定理得出等式150n=(n-2)×180，解方程即可得出答案。 5．【答案】D 【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺） 6．【答案】B 【知识点】平面镶嵌（密铺） 7．【答案】C 【知识点】平面镶嵌（密铺） 8．【答案】C 【知识点】平面镶嵌（密铺） 9．【答案】A 【知识点】平面镶嵌（密铺）；二元一次方程组的应用-几何问题 10．【答案】D 【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺） 11．【答案】8 【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺） 12．【答案】等边三角形（正三边形或正方形或正六边形，写出一种即可） 【知识点】平面镶嵌（密铺） 13．【答案】①③ 【知识点】平面镶嵌（密铺） 【解析】【解答】解：∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正方形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案， ∴正多边形：①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正八边形中的一种能够辅满地面的是①③． 故答案为①③． 【分析】本题考查了平面镶嵌，根据围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，结合题意，逐个分析判断，即可得到答案． 14．【答案】3 【知识点】平面镶嵌（密铺） 【解析】【解答】解：由题意，有135n+90m＝360， m＝4﹣ ， 因为m、n为整数， ∴n＝2，m＝1， m+n═3， 故答案为3． 【分析】用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌． 15．【答案】6 【知识点】平面镶嵌（密铺） 16．【答案】正方形 【知识点】平面镶嵌（密铺） 【解析】【解答】解：∵正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°， ∴3×60°+2×90°=360°， ∴2个正方形和3个正三角形能铺满地面， 故答案为：正方形. 【分析】利用密铺的计算方法求解即可. 17．【答案】（1）解：设B的内角为x，则A的内角为x， ∵2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺）， ∴3x+2×x=360°， 解得：x=60°， ∴x=90° ∴可确定A为正四边形，B为正三边形． （2）解：所画图形如下： 【知识点】平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质 【解析】【分析】（1）设B的内角为x，则A的内角为x，根据题意列出方程3x+2×x=360°，再求解即可； （2）根据题意作出图形即可. 18．【答案】（1）解：设多边形B的边数为n，多边形A的边数为， 依题意得：， 解得：，则． ∴多边形A的边数是8，多边形B的边数是4； （2）解：多边形A的边数是多边形B的边数的2倍， 能够镶嵌的正多边形A和正多边形B只能是正六边形和正三角形组合，或正八边形和正方形组合 当是正六边形和正三角形组合时，则，或，，则或5； 当是正八边形和正方形组合时，则，，则． ∴的值为3或4或5． 【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺） 【解析】【分析】（1）设多边形B的边数为n，多边形A的边数为，根据多边形内角和公式可知多边形B的内角和为，多边形A的内角和为，再根据 多边形A的内角和是多边形B的内角和的3倍即可列方程求解； （2） 首先明确正多边形能够镶嵌地面的条件：几个多边形在一个顶点处的内角和，那么正多边形A的一个内角是，正多边形A的一个内角是，那么则有+=360°即可解答． 19．【答案】（1）②或④， （2）． 【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺） 20．【答案】（1）能，6个正三角形可以共顶点单一密铺 （2）正方形（答案不唯一） （3）2个正三角形，2个正六边形；4个正三角形，1个正六边形（答案不唯一） （4）1个正三角形，2个正方形，1个正六边形（答案不唯一） 【知识点】二元一次方程的解；多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺） 21．【答案】（1）12 （2）①②③④ （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【知识点】平行线的判定与性质；多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺） 【解析】【解答】解：（1） ∵一幅图案，在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成， ∴这三个角之和为360°， ∵正方形和正六边形的内角分别是90°，120°， ∴第三个角=360°-90°-120°=150°， ∴第三个正多边形的外角为30°， ∴第三个正多边形的边数=360°÷30°=12. 故答案为：12. （2）∵矩形的四个为直角， ∴由①②③④刚好能组成一个四个角都是直角的四边形. 故答案为：①②③④. 【分析】（1）由多边形镶嵌图案一个顶点处的所有角之和为360°，由此得第三个角为150°，其外角为30°，根据正多边形的外角和为360°即可求解； （2）根据矩形的判定即可求解； （3）由∠3=∠4得CF∥BD，由平行的性质证明∠6=∠FAB，则有AB∥CD，再利用平行的性质证明∠1=∠EGA，从而得出ED∥FB . 22．【答案】（1）解：设一个内角为，则外角为， ∴， 解得：， 则其外角为：， 这个正多边形的边数为． 答：这个正多边形的边数为． （2）解：∵， 又∵正方形的每个内角是， ∴这个正多边形的边数是． 【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺） 【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再求解即可； （2）先求出 ， 再根据 正方形的每个内角是， 求解即可。 23．【答案】（1）；2x+3y=8； （2）1；2 猜想2：能. 设围绕某一个点有x个正三角形和y个正六边形的内角可以拼成一个周角.根据题意可得方程60x+ y＝360， 整理得x+2y=6 所以 ， 即2个正三角形和2个正六边形，或4个正三角形和1个正六边形. 【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）；二元一次方程组的应用-几何问题 【解析】【解答】（1）猜想1：①： y＝360， 整理，得 ②2x+3y=8， 整数解为③： 故答案为： ； 【分析】在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以拼成一个周角，根据平面镶嵌的体积可得方程：60a+120b=360.整理得：a+2b=6，求出正整数解即可. 试题分析部分 1、试卷总体分布分析 总分：32分 分值分布 客观题（占比） 22.0(68.8%) 主观题（占比） 10.0(31.3%) 题量分布 客观题（占比） 11(47.8%) 主观题（占比） 12(52.2%) 2、试卷题量分布分析 大题题型 题目量（占比） 分值（占比） 选择题 10(43.5%) 20.0(62.5%) 填空题 6(26.1%) 12.0(37.5%) 解答题 3(13.0%) 0.0(0.0%) 作图题 1(4.3%) 0.0(0.0%) 综合题 3(13.0%) 0.0(0.0%) 3、试卷难度结构分析 序号 难易度 占比 1 普通 (65.2%) 2 容易 (34.8%) 4、试卷知识点分析 序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号 1 二元一次方程组的应用-几何问题 2.0(6.3%) 9,23 2 多边形内角与外角 10.0(31.3%) 1,3,5,10,11,18,19,20,21,22,23 3 二元一次方程的解 0.0(0.0%) 20 4 平面镶嵌（密铺） 32.0(100.0%) 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23 5 正多边形的性质 0.0(0.0%) 17 6 平行线的判定与性质 0.0(0.0%) 21 7 多边形的内角和公式 2.0(6.3%) 4 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$