安徽省合肥市第八中学2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试题

绝密★启用前 高三数学 满分:150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.(2-i)(3+2i)的虚部为 A. 1 B. - 1 C. 8 D. - 8 2.已知集合A={0,1,2,3,4,5},B={0,2,4,6,8},则图中阴影部分所示集合的元素个数为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 3.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为,若 则 cos(A+B)= D. 4.将边长为4的正方形ABCD 沿对角线BD 进行翻折，使得二面角A-BD-C的大小为120°，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为 5.某面包店一天下班后要将所剩6个不同款式的面包分给小明、小红、小强三个员工，要求每个员工都有拿到面包，则小明最终拿到偶数个面包的情况有 A. 180种 B. 210种 C. 240种 D. 360种 6.已知函数 的部分图象如下所示，其中 M(x₁，0)，P(x₂,2),N(x₃,0),其中 则 A. B. 1 D. 7.已知抛物线C 的焦点为 F，第一象限的点 在抛物线上，且|PF|=|QF|+3,|PQ|=3 .若 则抛物线C的准线方程为 B. y=-3 C. y=-1 8.若曲线与圆. 无交点，则实数m的取值范围为 A. (e,+∞) C. (2,+∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知m>0且m≠1,则函数 的图象一定经过 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10.已知双曲线C 的渐近线方程为，左、右焦点分别为. 过点F₂的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，则 A.双曲线C 的离心率为 B. 若PQ⊥F₁F₂,则 C. 若|PQ|=|PF₁|,则 D. 若 直线l的倾斜角为60°，则 11.若数列{an}满足：对其任意项 an，总存在唯一，使得 则称数列{an}具有“前k项封闭性质”.下列说法正确的是 A. 数列1,2,3,4具有“前k 项封闭性质” B. 数列1,2,-3,3具有“前k 项封闭性质” C.若数列{an}的前n项和为 则数列{an}具有“前k项封闭性质” D.已知具有“前k 项封闭性质”的数列{aₙ}满足 数列 为等差数列，则 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(2,0),b=(-3,λ),若 则λ= . 13.某超市举办了一场抽奖活动，回馈消费者，规则如下：在抽奖盒子中装有6、8两个数字的卡牌(除数字外不可区分)各两张，消费者从盒子中依次摸出4张卡牌，并按摸取的顺序排成一列.若4张牌上相邻的数字均不相同，则可获得50元奖励；若4张牌上只有一对相邻的数字相同，则可获得80元奖励；若4张牌上有两对相邻的数字相同，则可获得100元奖励.按上述规则，任意1名消费者最终可获得奖励的数学期望为 元. 14.在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,BD=2AB=2.若 点M在长 则平面ADM 截长方体. 的截面面积为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 近年来，“社区咖啡”的理念在全国各地深入人心，“社区咖啡”主要采用手冲咖啡的模式.已知某款手冲咖啡的二段萃取时间在100s到110s之间，现将某咖啡师一个月内完成的1000次咖啡二段萃取时间进行统计，结果如图所示. (1)求a 的值及这1000次二段萃取时间在[102,104)的次数; (2)求这1000次咖啡二段萃取时间的中位数以及平均数； (3)以频率估计概率，若从该咖啡师无数次的咖啡二段萃取时间中随机抽取3次，至少有2次萃取时间超过108s的概率. 16.(15分) 已知函数 (1)若m=2,求曲线在x=1处的切线方程; (2)若关于x的不等式 恒成立，求m 的取值构成的集合. 17.(15分) 已知等差数列{an}的前n项和为 Sn，其中 数列{bₙ}的前n项积为 且 Tn (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)设 Qn为数列{bₙ}的前n项和，若不等式 对任意的 恒成立，求实数λ的取值范围. 18.(17分) 如图,四棱锥S-ABCD中,底面ABCD 是菱形,其中 且S到B，D 两点的距离相等,SD⊥AB. (1)求证: (2)已知 点 R 在平面ABQ 内, (i)若 求 DR 的最小值； (ii)当二面角A-BQ-C的正弦值最小时，求m的值. 19.(17分) 在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB 的两个端点分别在x轴，y轴上滑动， 点M 是线段AB上一点，且 ，点M 随线段AB 的滑动而运动. (1)求动点 M 的轨迹Γ的方程； (2)直线l 与Γ交于C，D 两点，若直线OC，OD 的斜率之积为 求k的值； (3)若点P,Q,R,S在Γ上,动点N在Γ内,点O,N,P,R 四点共线,且 求四边形PQRS 面积的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$高三数学参考答案 选择题：1-8题，每题5分；9一11题，每题6分，共58分。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A B C D C B A D AB ACD ACD 填空题：每题5分，共15分。 12.士4 a鳄 14.6,E(写成后十2也给分) 2 15.【答案】(1)a=0.050:100(5分) (2)106s:106.1s(3分) 355分) 32 【解析】(1)依题意，(0.025十4十0.175十0.125×2)X2=1,……(1分) 解得a=0.050:……………(3分） 这一个月内咖啡萃取时间在[102,104)的次数为1000×0.05×2=100：… (5分) (2)前两组的频率之和为(0.025十0.05)×2=0.15， 前三组的频率之和为(0.025十0.05+0.175)×2=0.5， 所以中位数在[104,106)内， 中位数为104计0.70，X2=1065…………… (6分) 所求平均数为101×0.05+103×0.1+105×0.35+(107+109)×0.25=106.1s:…(8分) (3)萃取时间超过108s的频率为0.125×2=0.25， 设抽取3次中萃取时间超过108s的次数为X,X~B(3,), …(10分) 所以P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3). 故Px2)-c×()×)+(日)-品 …(13分) 16.【答案】(1)y=x(5分) (2)1}(10分) 【解析】)依题意，f)=21+,则f）=1,所以切点为，）.………… (2分) f'(x)=1-21nr 7,…(2分） 故f/(1）=1,……………(3分)》 故所求切线方程为y一1=工一1，即y=x:……(5分) (2)依题意.f(x)定义域为r>0.:.mlr+1_ 一≤0恒成立，等价于mln.x十1一e一1≤0恒成立： ………(6分） 令F(x)=mlnr+1-e,F'(x)=m-e- ,……………(7分） 注意到F(1)=mln1+1一e-1=0, 所以x=1是F(x)的最大值点，则F(们)=0.…………(9分) F(1)=m一c-1=m一1=0，解得m=1.… (10分) 当m=1时，F'(x)=上-e 工 再令G(x)=二-e-1. 则G'(x)=-1 0,……(12分 高三数学参考答案第1页（共8页） 所以G(.x)在(0，十0)上单调递减.………(13分) 当0<x<1时，G(x)>G(1)=0,即F'(x)>0,F(x)单调递增： 当x>1时，G(x)<G(1)=0,即F'(x)<0,F(x)单调递减. 所以F(x)≤F(1)=0,满足条件，m=1 综上所述，m的取值构成的集合为{1}，一 …(15分) 17.【答案】(1)a.=2n(3分)：h.=2(5分) (2) 【解折】（1)设数列a.}的公差为d,则=a+3d=8: 44+4444444444t4444+”44044+0…+0… (1分) S6=6a1+15d=42. 以1=d=2,……… (2分) 则am=41十(n一1)d=2n,… …(3分) S=阳，+n(0一1）d=n2+:4 2 依题意，T。=(2)+“, 当n=1时，T1=(W2)=2: (5分) 当n≥2时，T.=(2)+“,T-1=(2)", 故b.=T. 8=2n。……4044…4…… ……(7分)》 综上所述，d。=2n,bn=2“；… (8分) (2)Q.=20-g21=21-2>0. 1-2 故[（一）·A-Q.]·Q.≤14（一1）”·≤Q.+Q.对任意n∈N恒成立：…(9分) 当n为偶数时，原式化为入<Q,+君，即入<Q.+君) 6>/可放入<… 当n为奇数时原式化为-以≤Q+日即-<Q+) 因为Q.=2<<Q,=14,所以=1时Q.十若取值最小.放-A<0,放2≥-9：…14分) 综上可知，一9<空即实数1的取值范阴为 …(15分） 18.【答案】(1)见解析(3分) （2)32(7分) (ii)m= 2(7分) 【解析】(1)记BD交AC于点O,连接OS, 由于SB=SD,O是BD的中点，故BD⊥OS,…(1分) 又BD⊥AC,AC∩OS=(O,ACC平面SAC,OSC平面SAC,…(2分) 故BD平面SAC:…(3分) (2)过S作SH⊥AC于点H, 由(1)可知，平面SAC⊥平面ABCD,且两平面的交线为AC, SHC平面SAC,故SH⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,故SH⊥AB,…(5分) 又SD⊥AB,SD∩SH=S,SD,SHC平面SDH, 故AB⊥平面SDH.DHC平面SDH,故AB⊥DH, 结合BD⊥AH可知H为△ABD的垂心， 而△ABD为等边三角形，因此H为△ABD的重心， 高三数学参考答案第2页（共8页）】 A02AB=3,AH=2A0=20H=1,0C=3,0B=0D=3,……(6分 分别以OB,OC建立x,y轴，过O平面ABCD的垂线作为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由于∠SCA-,则SH=CH=4, 则A(0,-30),C(0,3,0)B(5,0,0)D(-3,0,0) S(0,一1,4).……(7分) (i)由题意可得Q(0.1,2), 则AB=(63,3,0),B0=(-3,1.2), ……(8分) 设平面ABQ的法向量为m=(xy,z), AB·m=3x+3y=0, 则 BQ,m=-3x+y+2x=0, 取y=-1,.x=5,g=2,则m=(5,-1.2),…(9分) 商D成=，5,0.0)，放d=Di:ml-3-号2， m √2 2 即DR的最小值为3 2￥ (10分) (iD设C=mC=m(0,-4,4)=(0,-4m,4m), 故Q(0,3-4m,4m),(0<m<1), 设平面ABQ的法向量为m=(xy,z), AB=(63,3,0),A0=(0,6-4m,4m) 则·m=x+3y=0. “Ad·m=(6-4m)y+4m之=0 取y=-2mx=23m之=3-2m,则m=(23m,-2m,3-2m）,…(12分） 设平面BCQ的法向量为n=(cn·y,eo), Ci=(3,-3.0).C0=(0.-4m.4m) 则n=。-3y.=0, 取y。=1,则n=(5,1,1) …(13分) “Cd·n=(-4m)ya+4mzn=0 设二面角A一BQ一C的平面角为0， 则cos0=cos(m1=m:n 3+2m ……(14分） mn√5/20m2-12m+9 令3+2m=t,则2m=1-3,c0s8|= √10 5/5(t-3)-6(t-3)+ 5 52-)+ 当且仅当1=4，即m= 2时取等号. ……(16分) 因此sin0的最小值为 1 10 15 …(17分) 5 19.【答案】1)片+y2=14分) (2)士2(6分) (3)3(7分) 【解析】(1)设A(a,0),B(0,b),因为AB=3,所以a+b=9①， 设Mxy.由1AM=1,且Ai=号AB.Ai=(x-a).A店=(-a,b 高三数学参考答案第3页（共8页）】 即 2 ② (2分) -6 b=3y, 将@代入①，可得 十y2=1, 故动点M的轨迹r的方程为十y=1: (4分) (2)设C(红1y),D红y),所以kx=兰，km=兰 则官w=. 所以(1十4k2)x十8kmx十4(m2一1)=0，… …(5分) 8km 所以x十x三1十01=4m二】 1十4k2 ……(6分） △=64k“m2-16(1+4k)(m2-1)>0,即4k-m2+1>0, 故ckw-+任t)十m-.博气+m=0.《9分) x1r生 iT2 因为m≠0，m≠士1，放3=k=土2………（10分） (3)设点Q到直线PR的距离为d,因为QN=2N5, 所以点Q到直线PR的距离是点S到直线PR的距离的2倍： 故四边形PQRS的面积S=Sa+Sa=号·PR·d+号·PR·号-是PR·d: 当直线PR⊥x轴时，PR=2, 故点Q到直线PR的距离d的最大值为2， 此时S-X2X2=3:………… …(12分) 当直线PR不与x轴垂直时，设直线PR:y=1x, 代入椭圆方程可得于+y-1.则x=士 2 1+4 所以PR=V1+?.4=41+ …(1分) 1+4√1+4 设过点Q与直线PR平行的直线I的方程为y-x十b, 代入椭圆的方程整理得，(1+4)x”十8b.x十4b一4=0， 则△=(8b)2-4(1+4t2)(4b-4)≥0，b≤(1+42) 放d=6-0l4+司 2+1√+1 放s限需·需 3,…(16分) 当1=0且b=1时，上述等号成立： 综上所述，四边形PQRS面积的最大值为3.……………(17分) 高三数学参考答案第4页（共8页】 【选择题详解】 1.【答案】A 【解析】(2-i)(3+2i)=6十4i-3i十2=8+i,故所求虚部为1，故选A. 2.【答案】B 【解析】图中阴影部分表示的集合为CAuB,则CAuB=1,3,5},故选B. 3.【答案】C a2+b2-c2 【解析】 依题意，cos(A+B)=-cosC= 9+37-49_V√37 2ab 2X3×√37 74,故选C 4.【答案】D 【解析】翻折后所得图形如下图所示，易知BD的中点O为球心， 故该四面体的外接球体积V-言R=青·亿，2)-642， 4 3π， B 四面体ABCD的体积V=号×（侵×4X小×22× 86 31 故所求体阳之比为8，放适D D 5.【答案】C 【解析】若小明拿到2个而包，则有C·(CA十C)=15×14=210: 若小明拿到4个面包，则有C·A号=30种： 故小明最终拿到偶数个面包的情况有210+30=240种，故选C. 6.【答案】B 【解析】依题意，△MNP为等腰直角三角形，则MN=4,故T=8,故w 2π 841 则fe)=2co(任+g小：而M=4Md.故f0)=2os任+9=2.解得g=-开+2kx(e 又-<g<0g=-故fe)=2co(行：-)则/（号）=os)-1,故选B 7.【答案】A 【解析】 依圈意十号=y:+号+3，即=y:+3,则=+6p①， |PQ=√(x1-x:)+(y1-y:)下=3w2,则(x1-x)2=9②， x1十x:=6③， 联立@，解得-号-，代入①中，解得=3，故所求准线方程为y一 2放选A 8.【答案】D 【解析】圆的标准方程为(x一m)十y=2,将曲线和圆同时向左平移m个单位后， 问题转化为曲线y=e+与圆x2十y”=2无交点， 即方程x”十e+m=2无解，则e2r+2w=2-x2, 故2.x+2m=ln(2-x),则2m=ln(2-x2)-2x在(-√2,2)上无解， 令f(x)=ln(2一x)-2.xx∈(-2,2)： 则f'(x)= 2红。-2=-2x+2x+4=-2(c+1)(x-2) x-2 x2-2 x2-2 高三数学参考答案第5页（共8页） 故当x∈(-√2，-1)时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 当x∈(-1w2)时，f(x)<0,f(x)单调递减， 故[f(x)]m=f(-1)=2,且当x2时，f(z)-0,当x-√2时，f(x)→-o, 作出f(x)在（一√2，反）上的大致图像如图所示：观察可知，2m>2,则m>1,故D正确. 9.【答案】AB 【解析】 f(r)=2log-(+ +3,易知曲线y=f(x)过点(0,1)： 当m>1时，曲线y=f(x)过第一，二，三象限 当0<m<1时，曲线y=f(x)过第一、二、四象限，故选AB. 10.【答案】ACD 【解析】依题意可知a=b,则e=S 1+ a =2,故A正确； 26 若P01F,则PQ-2公，放-云-号放B情误： PQ 不妨设a=1,因为|PQ|=PF=|PF:|十FQ, 则|PF1-|PF:=F:Q=2,则QF,=4,而|FF2=22, 则在△QF,R中，由余弦定理，eo∠F,QF,=1QF)十QFF,FiL_3=o∠PQF, 2QFQF: 则cos∠QPF,=eosa-2∠PQF)=1-2cos∠PQF,=-8,则tan∠QPF,=-37,故C正确： 1x2-y2=2, 联立 则x-6.x+7=0,所以xP十xo=6,xp·xo=7,xP一xo|=22, y=V3(x-2), 则|PQ|=√1+k|xp一xa|=42,故D正确. 11.【答案】ACD 【解析】记数列{a.}的前n项和为S., S1=1,S:=3,S3=6,S,=10,则S1≤a1a2<S2,S2≤aa,a,<S1,故A正确： S:=1,S:=3,Sg=0,S,=3,可知S1≤a1<S,S4≤41<S,故B错误： 由S。=2+,得当n=1时，a1=S,=4: 当n≥2时，a.=S。一Sw-1=2"+1一2”=2"，而a,=4不满足a.=2", 因此an=》 ,w22令Su.<S即2<.<2 4,n=1 侧当n=1时，有21≤4<2+，解得k=1: 高三数学参考答案第6页（共8页） 当n≥2时，2+1≤2<2+，则k十1≤n<k十2，而k,n∈N·,于是k+1=n, 因此对每一个n∈N(n≥2)，有且仅有一个k∈N且k=n一1，使得a1十a:十…十a6≤a.<a,十ag 十…十+1，即对任意的正整数n,都仅存在一个正整数k,满足条件，故C正确： 因为an>0,得{S.}单调递增，则S,≤a1<S:, 记a1十ag+…十a+1一aw=Se+1一aw=b.,则b1=S:一a1=ag, 由a<Sz,且{an}具有“前k项封闭性质”，得a1=S,≤a,<S: 由bn=Sg+1一an(n∈N),得b:=S:-a:=a1,其公差d=b:一b:=a1一a2≤0， 由S4≤am<S+1,得bn=Sg+1一a.>0, 若d<0.则当n>1-时6，=a:十(m-1d<a:+1-号-10d=0.与6，>0矛盾，故d=0. 即b.=a:=a1,所以S+1=an十a1, 又a.>0, 于是k+1≤n一1，又{S,}单调递增，所以S6+=a。十a,=S。一S,-1十a≤S。-1, 即S.-41≤2(5.-4-41)0n≥3，从而5a1<S41<…<5-4=4=4 28 2-1 4 44 即S.≤(1+2"-2)a1, 又S1-a:≤(1十2)a1,S,-2a1≤(1十2)a,也符合， 故S.≤(1+2"-2)a1n∈N,且a1=1,所以ag十…十a.≤2-”，故D正确. 12.【答案】±4 依题意，cos(a,b)=a·b2·√+9 a·b -6 【解析】 、3 ,解得入=士4. 13.【答案】 230 3 【解析】解法一： 当相邻卡片上的数字都不同时，如6868，有2A·A,则P(X=50)= 2A号·A号1 A 3 当相邻卡片的数字只有一对相同时，如6886，有2A·A,则P(X=80)= 2A·A号1 A 3 当相邻卡片的数字只有两对相同时，如6688，有2A·A号，则P(X=100)= 2Af·A A 3 故所求期望E0X)-50×号+60X号+10×写-2罗 解法二：两个6和两个8四张卡片，共有6种排法，其中相邻卡片上的数字都不相同的排法有2种，相 邻卡片上数字只有一对相同的排法有2种，相邻卡片上数字有两对相同的排法有2种， 1 于是p(X=50)=p(X=80)=p(X=100)= 3 故所求期望E(X)=50×号+80×号+10X号 1 ,1230 14.【答案】 +巨（写成3+2也给分） 2 【解析】已知BD=2AB=2,则AD=√BD一AB=√3. 设AA=x,CE=ytan∠ABA-x,n∠A,CA-2an∠A,DA=- 高三数学参考答案第7页（共8页） 因为∠A,BA+∠ACA+∠A:DA=, ∴∠A,BA+∠ACA=-∠ADA, tan(∠A:BA+∠A,CA)=an(-∠A,DA tan∠A,BA+tan∠A,CA 六1=1 an/A.BA·anZA,CAan∠A,DA + 所以十三-5化简得2=1-号得=-1 1一2 即AA号-3-1. 2 又y-=CM1 M-- xMA,=万3y==3-1 3 3· DE=y+1=5+2 3.DE= 23+4_3+1 6 6 S=AD·DE=3×5+1-3+16+2 6 见 2 高三数学参考答案第8页（共8页）