精品解析：2025年云南省保山市腾冲市腾冲市实验学校中考二模数学试题

腾冲市实验学校2025届中考第二次模拟测试 数学试卷 （全卷三个大题，共27个小题，满分100分，考试时间120分钟） 一．选择题（共15小题，满分30分，每小题2分） 1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向东运动50米记作米，则向西运动50米可记作（ ） A. 50米 B. 米 C. 100米 D. 米 2. 下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 3. “天问一号”探测器由长征五号运载火箭直接送入地火转移轨道，飞行期间已成功完成地月合影获取、两次轨道中途修正、载荷自检等工作，截至2020年10月1日凌晨，探测器已飞行约188000000千米，飞行状态良好，把188000000用科学记数法表示，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 三棱锥 6. 如图，把一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，正十边形与正方形共边，分别延长、交于点F，设，则x的值为（ ） A. 15 B. 18 C. 21 D. 24 8. 随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截至2021年底某市汽车拥有量为19.6万辆．已知2019年底该市汽车拥有量为10万辆，如果设2019年底至2021年底该市汽车拥有量的年均增长率为，那么根据题意列出的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 关于x的一元二次方程的两根为a，b，且，则m的值为（ ） A. B. 3 C. 3或 D. 或1 10. 在一次考试中，某小组6名同学的成绩(单位：分)分别是：7、9、9、8、7、7，则这组数据的众数和中位数是(　　) A. 7、7.5 B. 7、7 C. 7、8 D. 7、8.5 11. 按一定规律排列的单项式：，，，，，…其中第个单项式是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离为5m，为1.5m，（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ） A （）m B. （）m C. m D. 4m 13. 如图，在半径为5的中，弦所对的圆心角分别是．若，则弦的长等于（ ） A. 8 B. 9 C. 9.6 D. 10 14. 如图，已知圆锥的母线AB长为4cm，底面半径OB长为2cm，则将其侧面展开得到的扇形的圆心角为（ ）度． A. 30 B. 45 C. 60 D. 180 15. 在反比例函数的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（）. A. B. C. D. 二．填空题（共4小题，满分8分，每小题2分） 16. 若，则______． 17. 分解因式：______． 18. 某中学七年级甲、乙、丙三个班中，每班的学生人数都为40名．某次数学考试的成绩统计如下：（如图，每组分数含最小值，不含最大值）根据图、表提供的信息，则分这一组人数最多的班是_____班． 丙班数学成绩频数统计表 分数 人数 1 4 15 11 9 19. 如图，，与相交于点，，，的面积为，则的面积为 ___________． 三．解答题（共8小题，满分62分） 20. 计算：． 21. 如图，中，，，是边上的中线，过点C作，垂足为点F，过点B作交的延长线于点D，． （1） 与全等吗？为什么？ （2）求的面积． 22. 2021年2月1日后，南海区将用1年时间实现“双百目标”，即全区生活垃圾分类示范100%达标创建、生活垃圾八大产生源100%达标创建，我区的生活垃圾分类工作正式进入“提速”模式．某小区准备购买A、B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元，且用8000元购买A种垃圾桶的组数量与用11000元购买B种垃圾桶的组数量相等． （1）求A、B两种垃圾桶每组的单价． （2）该小区物业计划用不超过18000元的资金购买A、B两种垃圾桶共40组．则最多可以购买B种垃圾桶多少组？ 23. 从﹣1，﹣3，2，4四个数字中任取一个，作为点的横坐标，不放回，再从中取一个数作为点的纵坐标，组成一个点的坐标．请用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，并求该点在第二象限的概率． 24. 小聪到某超市购买、、三种商品，其中、两种商品的单价之和恰好等于商品的单价，小聪前两次购买商品的数量和总费用如下表： 商品的数量 商品的数量 商品的数量 总费用元 第一次 第二次 （1）求、、三种商品的单价． （2）若小聪第三次需要购买、、三种商品共个（每种商品至少购买个），其中商品的数量是商品的数量的倍，恰好花了元钱． 求的最大值． 若小聪在第三次购买、、三种商品时正好遇上“买一送一”促销活动，即购买一个商品即可赠送一个商品或一个商品（优先赠送商品），求的值． 25. 如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，，点E在边AD上，，连接BE交AC于点M． （1）求AM的长． （2）BM的长为______． 26. 如图，中，． （1）如图1，将绕点逆时针旋转至，点在上，过作交于点．求证：是E的中点； （2）如图2，将绕点逆时针旋转至，连接，延长交于，连接，若，求证：； （3）如图3，将绕点逆时针旋转至，连接交与，延长交于，若，平分，直接写出的值 27. 如图1所示，抛物线与轴交于点两点，与轴交于点，直线经过点，与抛物线另一个交点为，点是抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点 （1）求抛物线的解析式 （2）当点在直线上方，且是以为腰的等腰三角形时，求的坐标 （3）如图2所示，若点为对称轴右侧抛物线上一点，连接，以为直角顶点，线段为较长直角边，构造两直角边比为，是否存在点，使点恰好落在直线上？若存在，请直接写出相应点的横坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 腾冲市实验学校2025届中考第二次模拟测试 数学试卷 （全卷三个大题，共27个小题，满分100分，考试时间120分钟） 一．选择题（共15小题，满分30分，每小题2分） 1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向东运动50米记作米，则向西运动50米可记作（ ） A. 50米 B. 米 C. 100米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若向东运动用“”表示，那么向西运动就用“”表示，据此可得答案． 【详解】解：若向东运动50米记作米，则向西运动50米可记作米， 故选：B． 2. 下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，涉及轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论，熟练掌握轴对称图形的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故选项不符合题意； B、是轴对称图形，故选项符合题意； C、不是轴对称图形，故选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：B． 3. “天问一号”探测器由长征五号运载火箭直接送入地火转移轨道，飞行期间已成功完成地月合影获取、两次轨道中途修正、载荷自检等工作，截至2020年10月1日凌晨，探测器已飞行约188000000千米，飞行状态良好，把188000000用科学记数法表示，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数． 【详解】解：188000000这个科学记数法表示，结果正确的是1.88×， 故选：C． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方的运算，掌握相关运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘除法法则，合并同类项法则，幂的乘方的运算法则对每项判断即可得到正确选项． 【详解】解：A、和不是同类项不能合并，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项错误，不符合题意； C、，故此选项正确，符合题意； D、，故此选项错误，不符合题意； 故选：C． 5. 如图所示的图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 三棱锥 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键． 根据题中所给几何体的三视图进行求解即可． 【详解】∵主视图和俯视图为三角形，左视图为圆形， ∴这个几何体是圆锥． 故选：B． 6. 如图，把一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用平行线的性质结合等腰直角三角板的锐角等于的性质得出答案． 【详解】解：由直尺对边平行可得， ∴， 又∵，， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了两直线平行，同错角相等的性质，需要注意隐含条件，直尺的对边平行，等腰直角三角板的锐角是45度的利用． 7. 如图，正十边形与正方形共边，分别延长、交于点F，设，则x的值为（ ） A. 15 B. 18 C. 21 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角、三角形的外角性质、直角三角形的性质，熟知正多边形的外角计算公式是解答的关键．延长交于，根据正多边形的外角为，结合三角形的外角性质可求得，再根据直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【详解】解：如图，延长交于，则， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：B． 8. 随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截至2021年底某市汽车拥有量为19.6万辆．已知2019年底该市汽车拥有量为10万辆，如果设2019年底至2021年底该市汽车拥有量的年均增长率为，那么根据题意列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】已知2019年底该市汽车拥有量为10万辆，则2020年底该市汽车拥有量为万辆；同理，表示出2021年底汽车拥有量为万辆．结合2021年底某市汽车拥有量为19.6万辆，列出关于的方程即可． 【详解】解：根据题意，可得． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为． 9. 关于x的一元二次方程的两根为a，b，且，则m的值为（ ） A. B. 3 C. 3或 D. 或1 【答案】A 【解析】 【分析】先利用一元二次方程根的判别式与根的关系得到，再根据根与系数的关系得到，然后解关于m的方程即可得到满足条件的m的值． 【详解】解：根据题意得，解得， ∵关于x的一元二次方程的两根为a，b， ∴， ∴， 整理得， 解得，（舍去）， ∴m的值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，易错点是忽视这一隐含条件． 10. 在一次考试中，某小组6名同学的成绩(单位：分)分别是：7、9、9、8、7、7，则这组数据的众数和中位数是(　　) A. 7、7.5 B. 7、7 C. 7、8 D. 7、8.5 【答案】A 【解析】 【分析】众数是数据中出现次数最多的数，把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的两个数的平均数为中位数. 【详解】解：从小到大排序：7、7、7、8、9、9， ∴众数是7，中位数是=7.5， 故选：A. 【点睛】本题考查了确定一组数据中位数和众数的能力，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 11. 按一定规律排列的单项式：，，，，，…其中第个单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了单项式的数字类规律探索，对单项式正确进行等价变形是解题关键． 对所给的单项式进行整理后即可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∴第n个单项式为． 故选：B． 12. 如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离为5m，为1.5m，（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ） A. （）m B. （）m C m D. 4m 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查学生对坡度坡角的理解及解直角三角形的综合运用能力．应先根据相应的三角函数值算出长，再加上AB长即为树高． 【详解】解：过点A作，则四边形是矩形， ∴． 在中，∵， ∴， 从而树的高度为， 故选：A 13. 如图，在半径为5的中，弦所对的圆心角分别是．若，则弦的长等于（ ） A. 8 B. 9 C. 9.6 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，弧与圆心角之间的关系，作出直径是解题的关键．作直径，连接，则， 导角得到，则，则，再对运用勾股定理求解． 详解】解：如解图，作直径，连接，则， ∵，而， ∴. ∴. ∴， ∵的半径为5， ∴， ∴. 故选：A． 14. 如图，已知圆锥的母线AB长为4cm，底面半径OB长为2cm，则将其侧面展开得到的扇形的圆心角为（ ）度． A. 30 B. 45 C. 60 D. 180 【答案】D 【解析】 【分析】先由半径求得圆锥底面周长，再由扇形的圆心角的度数圆锥底面周长计算． 【详解】解∶圆锥底面周长， ∴扇形的圆心角的度数圆锥底面周长． 故选D． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是根据圆锥的底面周长得到扇形圆心角的表达式． 15. 在反比例函数的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数中k的几何意义，过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|解答即可． 【详解】解：A、图形面积为|k|=4； B、阴影是梯形，面积为6； C、D面积均为两个三角形面积之和，为2×（|k|）=4． 故选B． 【点睛】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|． 二．填空题（共4小题，满分8分，每小题2分） 16. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据有意义，得出，进而化简已知等式得出，即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴即 ∴ 故答案为：． 17. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 18. 某中学七年级甲、乙、丙三个班中，每班的学生人数都为40名．某次数学考试的成绩统计如下：（如图，每组分数含最小值，不含最大值）根据图、表提供的信息，则分这一组人数最多的班是_____班． 丙班数学成绩频数统计表 分数 人数 1 4 15 11 9 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、频数分布表，解答本题关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意和统计图表中的信息，可以得到甲、乙、丙三个班中分这一组人数，然后比较大小，即可解答本题． 【详解】解：甲班分这一组有（人）， 乙班分这一组有（人）， 丙班分这一组有11人， ∵， ∴分这一组人数最多的是甲班， 故答案为：甲． 19. 如图，，与相交于点，，，的面积为，则的面积为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质根据平行线的性质得，，则，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：， ，， ， ，即， 的面积为， ． 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分62分） 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式，计算零指数幂和负整数指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． 21. 如图，中，，，是边上的中线，过点C作，垂足为点F，过点B作交的延长线于点D，． （1） 与全等吗？为什么？ （2）求的面积． 【答案】（1），详见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）根据已知条件证明三角形全等即可； （2）由，推出，推出，，根据计算即可. 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. 22. 2021年2月1日后，南海区将用1年时间实现“双百目标”，即全区生活垃圾分类示范100%达标创建、生活垃圾八大产生源100%达标创建，我区的生活垃圾分类工作正式进入“提速”模式．某小区准备购买A、B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元，且用8000元购买A种垃圾桶的组数量与用11000元购买B种垃圾桶的组数量相等． （1）求A、B两种垃圾桶每组的单价． （2）该小区物业计划用不超过18000元的资金购买A、B两种垃圾桶共40组．则最多可以购买B种垃圾桶多少组？ 【答案】（1）A种垃圾桶每组的单价为400元，B种垃圾桶每组的单价为550元；（2）最多可以购买B种垃圾桶13组． 【解析】 分析】（1）设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为（x+150）元，利用数量＝总价÷单价，结合用8000元购买A种垃圾桶的组数量与用11000元购买B种垃圾桶的组数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶（40﹣y）组，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过18000元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之即可得出y的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论． 【详解】解：（1）设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为（x+150）元， 依题意得：， 解得：x＝400， 经检验，x＝400是原方程的解，且符合题意， ∴x+150＝400+150＝550（元）． 答：A种垃圾桶每组的单价为400元，B种垃圾桶每组的单价为550元． （2）设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶（40﹣y）组， 依题意得：， 解得：， 又∵y为正整数， ∴y的最大值为13． 答：最多可以购买B种垃圾桶13组． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，涉及了一元一次不等式的求解，理解题意找到等量关系列出方程和不等式是解题的关键． 23. 从﹣1，﹣3，2，4四个数字中任取一个，作为点的横坐标，不放回，再从中取一个数作为点的纵坐标，组成一个点的坐标．请用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，并求该点在第二象限的概率． 【答案】表见解析， 【解析】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解可得． 【详解】解：列表如下： ﹣3 ﹣1 2 4 ﹣3 ﹣﹣﹣ （﹣1，﹣3） （2，﹣3） （4，﹣3） ﹣1 （﹣3，﹣1） ﹣﹣﹣ （2，﹣1） （4，﹣1） 2 （﹣3，2） （﹣1，2） ﹣﹣﹣ （4，2） 4 （﹣3，4） （﹣1，4） （2，4） ﹣﹣﹣ 所有等可能的情况有12种，其中点（x，y）落在第二象限内的情况有4种， ∴该点在第二象限的概率为＝． 【点睛】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，熟练的用列表法或树状图法列出所有的情况数是解题的关键. 24. 小聪到某超市购买、、三种商品，其中、两种商品的单价之和恰好等于商品的单价，小聪前两次购买商品的数量和总费用如下表： 商品的数量 商品的数量 商品的数量 总费用元 第一次 第二次 （1）求、、三种商品的单价． （2）若小聪第三次需要购买、、三种商品共个（每种商品至少购买个），其中商品的数量是商品的数量的倍，恰好花了元钱． 求的最大值． 若小聪在第三次购买、、三种商品时正好遇上“买一送一”促销活动，即购买一个商品即可赠送一个商品或一个商品（优先赠送商品），求的值． 【答案】（1）商品的单价是元，商品的单价是元，商品的单价是元； （2）的最大值为；的值为． 【解析】 【分析】（1）设商品的单价是元，商品的单价是元，则商品的单价是元，利用总价单价数量，结合小聪前两次购买商品的数量和总费用，可得出关于，的二元一次方程组，解之可得出、两种商品的单价，再将其代入中，即可求出商品的单价； （2）设购买个商品，个商品，则购买个商品． 利用总价单价数量，可得出关于，的二元一次方程，解之可得出，结合，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题； 利用总价单价数量，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，且为非负整数，可求出，的值，再将其代入中，即可求出的值． 【小问1详解】 设商品的单价是元，商品的单价是元，则商品的单价是元， 根据题意得：， 解得：， ． 答：商品的单价是元，商品的单价是元，商品的单价是元； 【小问2详解】 设购买个商品，个商品，则购买个商品． 根据题意得：， ， ， ， 随的增大而减小， 又为正整数， 当时，取得最大值，最大值， 的最大值为； 根据题意得：， ， 又，均为正整数，且为非负整数， ， ， 的值为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；找准等量关系，正确列出二元一次方程． 25. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，，点E在边AD上，，连接BE交AC于点M． （1）求AM的长． （2）BM的长为______． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可证，然后根据相似三角形的性质结合已知条件列式求出AM即可； （2）先算出OM、OB的长，然后运用勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴AC⊥BD，OA=2， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键． 26. 如图，中，． （1）如图1，将绕点逆时针旋转至，点在上，过作交于点．求证：是E的中点； （2）如图2，将绕点逆时针旋转至，连接，延长交于，连接，若，求证：； （3）如图3，将绕点逆时针旋转至，连接交与，延长交于，若，平分，直接写出的值 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得出，根据等腰三角形的性质与判定，以及直角三角形的性质得出，进而得出，等量代换即可得证； （2）过点作交的延长线于点，，，即可得证； （3）延长交于点，过点作于点，证明，得出，证明得出，等面积法求得，勾股定理求得，进而得出，即可求解． 【小问1详解】 证明：由旋转可知，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即是E的中点； 【小问2详解】 过点作交的延长线于点， ， ， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 延长交于点，过点作于点， 由，设，则， ∴， ∵旋转， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴, ∵平分，则， 又， ∴， ， ∴， ∵， ∴ 勾股定理可得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 27. 如图1所示，抛物线与轴交于点两点，与轴交于点，直线经过点，与抛物线另一个交点为，点是抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点 （1）求抛物线的解析式 （2）当点在直线上方，且是以为腰的等腰三角形时，求的坐标 （3）如图2所示，若点为对称轴右侧抛物线上一点，连接，以为直角顶点，线段为较长直角边，构造两直角边比为的，是否存在点，使点恰好落在直线上？若存在，请直接写出相应点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）P 或；（3）存在，2或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）先把C点代入直线CD中求出m的值，表示P(m，-m2+2m+3)、E(m，m+3)，当△CPE是以CE为腰的等腰三角形时，然后分分两种情况：①当CE=CP时，②当CE=PE时； （3）先根据点P在抛物线上，G在直线y=x上设P(m，-m2+2m+3)，G(a，a)， 如图3，作辅助线，构建两个相似三角形，证明△PHG∽△BNP，则，由两直角边比为1：2列方程组解出横坐标m；如图4，同理列方程组解出m的值． 【详解】解：（1）把点的坐标代入抛物线中， 得：， 解得， 所以抛物线的解析式为； （2）把代入，得， 所以直线的解析式为：， 设， ①当时，作，如图2， ， ， ． ， ， 当时，； ②当时， ，， 勾股定理得， ， 解得(舍去)，， 当时， 综上所述当三角形是以为腰的等腰三角形时，点P的坐标为或； （3）点P的横坐标为2或． 设P(m，-m2+2m+3)，G(a，a)， 如图3， 过B作BN∥y轴，过P作PH∥x轴，交于N，过G作GH⊥PN，垂足为H，则∠PHG=∠BNP=90°， ∴∠NBP+∠BPN=90°， ∵∠BPG=90°， ∴∠BPN+∠NPG=90°， ∴∠NBP=∠NPG， ∴△PHG∽△BNP， ∴， ∵=2， ∴=2， ∴=2， 则， 解得：m1=-3（舍去），m2=2； 如图4， 过P作NH∥x轴，过G作GN⊥NH，过B作BH⊥NH，垂足分别为N、H， 同理得：△PNG∽△BHP， ∴， ∴， ∴， 解得：m1=（舍去），m2=， 综上所述，相应点P的横坐标为2或． 【点睛】本题是二次函数的综合应用，考查了利用待定系数法求解析式，二次函数的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，以及分类讨论的数学思想，注意根据解析式表示点的坐标，再由点的坐标表示线段的长，利用等量关系列方程或方程组求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$