精品解析：四川省宜宾市第二中学校2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷

宜宾市二中2025年春期八年级半期教学质量监测数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生在答题卷上务必将自己的姓名、学校、班级、考号填写清楚，并贴好条形码，请认真核准条形码上的考号、姓名和科目． 2．解答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．解答填空题、解答题时，请在答题卷上各题的答题区域内作答． 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（注意：在试题卷上作答无效） 1. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形邻边相等 B. 平行四边形对边平行 C. 平行四边形对角互补 D. 平行四边形既是中心对称图形，也是轴对称图形 4. 石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，、相交于点，若，，，则的周长是（ ） A. 21 B. 26 C. 28 D. 34 6. 对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算．例如：，则方程的解是（ ） A. B. C. D. 无解 7. 若点、、在反比例函数图象上，且满足，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，的边落在轴的正半轴上，且点，直线以每秒1个单位的速度向下平移，当该直线将平行四边形的面积平分时向下平移的时间为（ ） A. 3秒 B. 4秒 C. 5秒 D. 6秒 10. 如图，直线交轴于点，直线交轴于点，这两条线相交于点，则不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，点的坐标为，点在直线上，当线段最短时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，、是函数上两点，为内一动点，作轴，轴，下列结论中正确的有（ ）个． ①；②；③若，则平分；④若，则． A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）．请把答案直接填写在答题卡对应题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效） 13. 若分式的值为0，则__． 14 若点与点关于轴对称，则______． 15. 在中，与的度数比为，则的度数为______． 16. 若关于x的方程的解是非负数，则m的取值范围是________． 17. 如图，在中，，，点、是线段、上的两个动点，满足，则的最小值为______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点，，点、在反比例函数的图象上，四边形为平行四边形，与轴交于点，与轴交于点，且四边形的面积是面积的3倍．则四边形的面积为______． 三、解答题：（本大题共7个小题，共78分）解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．（注意：在试题卷上作答无效） 19. （1）计算：； （2）计算：； （3）解方程：； （4）解方程：． 20. 先化简，再求值：，其中的值满足：点在第一象限且为整数． 21. 如图，在中，对角线，相交于点，过点任作一条直线分别交，于点，． （1）求证：； （2）若，四边形的周长为10，，，求的长． 22. 某学校分别用30000元和40000元购进光学和电学两种器材，电学器材购进单价是光学器材购进单价的倍，并且购进的电学器材的数量比光学器材的数量少100套． （1）求购买的两种实验器材的单价各为多少元？ （2）现学校计划再购买这两种器材共50套，其中电学器材数量不低于20套，且购买这两种器材总费用不超过3700元，怎样购买才能使总费用最少？最少总费用是多少元？ 23. 定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“亮点”，例如，求一次函数图象的“亮点”时，解方程组，得，则一次函数图象的“亮点”为． （1）求一次函数图象的“亮点”； （2）若一次函数图象的“亮点”为，求、的值； （3）若一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，且一次函数的图象上没有“亮点”，点在轴上，，求所有满足条件的点的坐标． 24. 某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薫药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： （1）求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ （3）当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，的坐标为，横坐标为的点在线段上，点是轴负半轴上一动点，以点为直角顶点在的左边作等腰直角三角形，连结、． （1）求直线的函数表达式； （2）设点的坐标为，求点的坐标；（用含的代数式表示） （3）求的周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宜宾市二中2025年春期八年级半期教学质量监测数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生在答题卷上务必将自己的姓名、学校、班级、考号填写清楚，并贴好条形码，请认真核准条形码上的考号、姓名和科目． 2．解答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．解答填空题、解答题时，请在答题卷上各题的答题区域内作答． 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（注意：在试题卷上作答无效） 1. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的自变量的取值范围、分式的分母不等于0，熟练掌握分式的分母不等于0是解题关键．根据分式的分母不等于0求解即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 即函数中自变量的取值范围是， 故选：D． 2. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂和零指数幂，根据负整数指数幂和零指数幂的运算法则进行计算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，计算正确，故选项不符合题意； B、，计算正确，故选项不符合题意； C、，计算正确，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意； 故选：D． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形邻边相等 B. 平行四边形对边平行 C. 平行四边形对角互补 D. 平行四边形既是中心对称图形，也是轴对称图形 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：A．平行四边形邻边不一定相等，故选项错误，不符合题意； B．平行四边形对边平行，故选项正确，符合题意； C．平行四边形对角相等但不一定互补，故选项错误，不符合题意； D．平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 4. 石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握科学记数法的定义是解答本题的关键．根据科学记数法的定义解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 5. 如图，在中，、相交于点，若，，，则的周长是（ ） A. 21 B. 26 C. 28 D. 34 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质得到，，，即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形平行四边形，，，， ∴，，， ∴的周长， 故选：A． 6. 对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算．例如：，则方程的解是（ ） A. B. C. D. 无解 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程以及新定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解． 【详解】解：根据题中的新定义化简得：， 去分母，得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 故选：C． 7. 若点、、在反比例函数的图象上，且满足，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据题意画出反比例函数的图象，然后根据图象确定、、的大小关系即可． 【详解】解：根据题意画出反比例函数图象： 由图象可知：， 故选：D． 8. 已知，一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数图象确定b的符号，结合已知条件求得a的符号，由a,b的符号确定一次函数图象所经过的象限． 【详解】解：若反比例函数 经过第一、三象限，则 ．所以 ．则一次函数 的图象应该经过第一、二、三象限； 若反比例函数经过第二、四象限，则a<0．所以b>0．则一次函数图象应该经过第二、三、四象限． 故选项A正确； 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 9. 如图，在平面直角坐标系中，的边落在轴的正半轴上，且点，直线以每秒1个单位的速度向下平移，当该直线将平行四边形的面积平分时向下平移的时间为（ ） A. 3秒 B. 4秒 C. 5秒 D. 6秒 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，平行四边形的性质，连接，交于点，直线交轴于点，当直线经过点时，该直线可将平行四边形的面积平分，求出直线平移后的解析式为，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，交于点，直线交轴于点， 当直线经过点时，该直线可将平行四边形的面积平分， ∵四边形是行四边形， ∴， ∵，， ∴点， ∵直线由直线平移得到， ∴设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴直线要向下平移个单位得到直线， ∴平移的时间为， 故选：B． 10. 如图，直线交轴于点，直线交轴于点，这两条线相交于点，则不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，读懂图象信息是解答本题的关键． 根据图象可得，，则，，则，即可求解． 【详解】解：根据图象可得，，则，，则， ∴不等式组的解集为：， 故选：A． 11. 如图，点的坐标为，点在直线上，当线段最短时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，垂线段最短，求两个一次函数的交点坐标及勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 如图，设直线与轴、轴分别交于、，过点作，交轴于，过点作于，为的最小值，先求出点、坐标，设，利用勾股定理可求出，利用待定系数法求出直线解析式为，根据可设直线解析式为，代入求出的值，与的解析式组成方程组，求出其交点坐标即可得答案． 【详解】解：如图，设直线与轴、轴分别交于、，过点作，交轴于，过点作于， 根据垂线段最短的性质，得当线段最短时，点与点重合，此时， ∵当时，，时，， ∴，， ∴，，， 设，则，， ∵， ∴，即， 解得：，即， 设解析式为， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴设解析式为， 将代入，得， 解得：， 直线的函数解析式为， 联立两直线解析式组成方程组得， 解得：， ， 故选：D． 12. 如图，、是函数上两点，为内一动点，作轴，轴，下列结论中正确的有（ ）个． ①；②；③若，则平分；④若，则． A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，角平分线的判定，矩形的判定和性质等知识，由为一动点得出与不一定相等，可判断①；设出点的坐标，得出，利用三角形面积公式计算即可判断②；利用角平分线的判定定理即可判断③；求出矩形的面积等于，进而得出，根据三角形的面积公式计算即可判断④，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点是动点， ∴与不一定相等， 与不一定全等，故①不符合题意； 设， 轴， ， ， ， 轴， ， ， ，故②符合题意； 如图1，作于，于， ， ， ， ，，， ∴平分，故③符合题意； 如图2，延长交轴于，延长交轴于， 轴，轴，又， ∴四边形是矩形， ∵点在双曲线上， ， ， ， ， ， ， ，， ，故④不符合题意， 综上，符合题意的有②③，共个， 故选：B． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）．请把答案直接填写在答题卡对应题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效） 13. 若分式的值为0，则__． 【答案】2 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， 解得：， 故答案为2； 【点睛】本题考查分式的值为零，解题的关键是正确理解分式的值为零的条件，本题属于基础题型． 14. 若点与点关于轴对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标特征，负整数指数幂，根据点与点关于轴对称，得到，，代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 在中，与的度数比为，则的度数为______． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，关键是由平行四边形的性质推出，，得到，而，求出，即可得到的度 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ，． ． 与的度数比为， ． ． ， 故答案为： 16. 若关于x的方程的解是非负数，则m的取值范围是________． 【答案】m≤7且m≠－2 【解析】 【分析】先解方程，再根据题意列不等式即可． 【详解】解：方程去分母得：1﹣x﹣m＝2（x﹣3）， 解得：x＝， 根据题意得：x≥0，即≥0，且≠3， 解得：m≤7且m≠﹣2． 故答案为：m≤7且m≠﹣2． 【点睛】本题考查了分式方程解的情况，解题关键是熟练的解分式方程并根据题意列出不等式，注意：分式的分母不为0． 17. 如图，在中，，，点、是线段、上的两个动点，满足，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了全等三角形的判定与性质，平行四边形性质，等腰三角形的性质，勾股定理及直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握平行四边形性质，等腰三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 连接，，交于点O，过点D作于点G，过点O作于点H，连接，证明，可得，从而得到，即的最小值为的长，再由等腰三角形的性质可得，然后根据勾股定理可得，再根据直角三角形的性质可得，结合等腰三角形的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，交于点O，过点D作于点G，过点O作于点H，连接， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 即的最小值为． 故答案为： 18. 如图，在平面直角坐标系中，点，，点、在反比例函数的图象上，四边形为平行四边形，与轴交于点，与轴交于点，且四边形的面积是面积的3倍．则四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作轴于，轴于，根据题意易得，则，即点E为中点，设E点坐标为，由，，求出，，把，代入得，求出t的值，即可得到，，；再利用待定系数法得直线的解析式为，进而求出H点坐标，然后利用进行计算即可． 【详解】解：连接，作轴于，轴于， ∵四边形的面积是面积的3倍， ∴平行四边形的面积是面积的4倍， ∴， ∴，即点E为的中点， 设E点坐标为， ∵，， ∴， ∵，且，而点先向右平移4个单位，再向上平移个单位得到点， ∴先向右平移4个单位，再向上平移个单位得到点， 把，代入得， 解得， ∴，，； 设直线的解析式为， 将、代入得， 解得， ∴直线的解析式为； 令得， ∴点坐标为， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、平移的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式和三角形面积公式进行几何计算． 三、解答题：（本大题共7个小题，共78分）解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．（注意：在试题卷上作答无效） 19. （1）计算：； （2）计算：； （3）解方程：； （4）解方程：． 【答案】（1）；（2）；（3）分式方程无解；（4）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的化简，解分式方程等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先根据有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，绝对值的意义运算，再合并即可； （2）根据完全平方公式，平方差公式运算即可； （3）根据解分式方程的方法求解即可； （4）根据解分式方程的方法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3）， ∴， ∴， 解得：， 经检验是原方程的增根， ∴分式方程无解； （4）， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴． 20. 先化简，再求值：，其中的值满足：点在第一象限且为整数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．先计算括号内的，再计算除法，然后根据点在第一象限且为整数，可得m取，再结合分式有意义的条件，可得，再代入即可求解． 【详解】解： ， ∵在第一象限， ∴，解得：， ∵为整数， ∴m取， ∵且， ∴且， ∴， 当时，原式． 21. 如图，在中，对角线，相交于点，过点任作一条直线分别交，于点，． （1）求证：； （2）若，四边形的周长为10，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由四边形是平行四边形，可得，则可证得 ，继而证得； （2）由可得，因为，由四边形的周长，可得，根据勾股定理求得的长． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 设，则， ∴四边形的周长， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ∴ ， ． 22. 某学校分别用30000元和40000元购进光学和电学两种器材，电学器材的购进单价是光学器材购进单价的倍，并且购进的电学器材的数量比光学器材的数量少100套． （1）求购买的两种实验器材的单价各为多少元？ （2）现学校计划再购买这两种器材共50套，其中电学器材数量不低于20套，且购买这两种器材的总费用不超过3700元，怎样购买才能使总费用最少？最少总费用是多少元？ 【答案】（1）光学器材购进单价为50元，电学器材的购进单价为80元； （2）购买电学器材20套，购买光学器材30套时，总费用最少，最少总费用为3100元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确列出方程，函数关系式和不等式组是解题的关键． （1）设光学器材购进单价为x元，则电学器材的购进单价为元，根据购进的电学器材的数量比光学器材的数量少100套建立方程求解即可； （2）设购买电学器材m套，则购买光学器材套，列出W关于x的函数关系式，再根据题意列出不等式组求出m的取值范围，最后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设光学器材购进单价为x元，则电学器材的购进单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：光学器材购进单价为50元，电学器材的购进单价为80元； 【小问2详解】 解：设购买电学器材m套，则购买光学器材套， 由题意得，， ∵， ∴W随m增大而增大； ∵电学器材数量不低于20套，且购买这两种器材的总费用不超过3700元， ∴， 解得， ∴当时，最小，最小值为，此时， 答：购买电学器材20套，购买光学器材30套时，总费用最少，最少总费用为3100元． 23. 定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“亮点”，例如，求一次函数图象的“亮点”时，解方程组，得，则一次函数图象的“亮点”为． （1）求一次函数图象的“亮点”； （2）若一次函数图象的“亮点”为，求、的值； （3）若一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，且一次函数的图象上没有“亮点”，点在轴上，，求所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1）； （2），； （3）点的坐标为或． 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一次函数与正比例函数的交点问题，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新定义，联立方程组，求解即可； （2）根据题意把代入，解得，得到一次函数，“亮点”为，再把代入，求出即可； （3）先求出一次函数解析式，得到点坐标，再求得，根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：由题意联立得： ， 解得：， ∴一次函数图像的“亮点”是； 【小问2详解】 解：∵一次函数图象的“亮点”为， ∴把代入，得：， 解得：， ∴一次函数，“亮点”为， 把代入，得：， 解得：； 【小问3详解】 解：∵一次函数的图象上没有“亮点”， ∴与平行， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点在轴上， ∴设点， ∴ ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或． 24. 某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薫药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： （1）求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ （3）当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【答案】（1）正比例函数的表达式为 反比例函数的表达式为， （2）至少需要经过分钟后，学生才能回到教室 （3）此次消毒有效，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答本题的关键． （1）设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，将代入，即可求出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，最后将点的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式； （2）把代入，求出的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答； （3）将分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行比较，即可解答． 【小问1详解】 解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 由图可知：反比例函数图象经过点， 将代入，得， 解得：， 反比例函数的表达式为， 把代入，得， 解得：， ， 将点代入，得， 解得：， 正比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：将代入，得， 解得：， 由图可知，当时，室内空气中每立方米的含药量随时间的增加而增加， 当时，室内空气中每立方米的含药量随时间的增加而减少， 至少需要经过分钟后，学生才能回到教室； 【小问3详解】 解：此次消毒有效，理由如下： 将代入，得， 解得：， 将代入，得， 解得：， ， 此次消毒有效． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，的坐标为，横坐标为的点在线段上，点是轴负半轴上一动点，以点为直角顶点在的左边作等腰直角三角形，连结、． （1）求直线的函数表达式； （2）设点的坐标为，求点的坐标；（用含的代数式表示） （3）求的周长的最小值． 【答案】（1）直线的函数表达式为 （2）点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，，分类讨论：如图所示，点在点右侧，过点作轴于点，作点作轴于点；如图所示，点在点左侧，过点作轴于点，作点作轴于点；结合全等三角形的判定和性质即可求解； （3）根据题意得到，，设，则，点在直线的直线上，设直线与轴、轴交于点，作点关于直线的对称点，连接，交于点，则，连接，当值最小时，的周长有最小值，此时，点三点共线，，根据对称可得，，四边形是正方形，，由两点之间距离公式计算即可得到，由此即可求解． 【小问1详解】 解：直线与轴、轴分别交于、两点，坐标为， ∴， 解得，， ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵直线的函数表达式为，横坐标为的点在线段上， ∴当时，， ∴， ∵以点为直角顶点在的左边作等腰直角三角形， ∴， 如图所示，点在点右侧，过点作轴于点，作点作轴于点， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点在第三象限， ∴； 如图所示，点在点左侧，过点作轴于点，作点作轴于点， 同理，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点在第二象限， ∴； 综上所述，点的坐标为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 设， ∴， ∴点在直线直线上，设直线与轴、轴交于点，作点关于直线的对称点，连接，交于点，则，连接， ∴， 当值最小时，的周长有最小值，此时，点三点共线，， 当时，，当时，， ∴， ∴，则是等腰直角三角形， 根据对称可得，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握代数系数求解析式，全等三角形的判定和性质，轴对称最短路径的计算，正方形的判定和性质，两点坐标之间距离的计算等知识是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$