精品解析：甘肃省张掖市第一中学2024-2025学年九年级下学期5月期中考试数学试题

2025年春学期期中考试试卷九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. -2的相反数是（　　） A. 2 B. -2 C. D. ±2 2. 《中庸》名句：“致中和，天地位焉，万物育焉．”由此可见，对称美自古以来就是华夏民族和谐平衡思想的体现．下列选项分别是甘肃省博物馆、白银市博物馆、天水市博物馆、平凉市博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 环境监测中是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如果1微米米，那么微米用科学记数法可以表示为（ ）米． A. B. C. D. 5. 如图，直线，将一个含角三角尺按如图所示的位置放置，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据2，3，3，4，5，6的众数和中位数都是3 B. “打开电视机，正在播放足球赛”是必然事件 C. 了解贵州省中学生观看电影《哪吒2》的情况适合采用普查（全面调查） D. 甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定 7. 反比例函数y= (k>0)在第一象限内的图象如图，点M是图象上一点，MP垂直x轴于点P，如果△MOP的面积为1，那么k的值是（） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8. 如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 9. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？其人意是：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行．问：人与车各多少？设有x人，y辆车，则符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，在矩形中，动点从点出发，沿的路线运动，当点到达点时停止运动．若，交于点，设点运动的路程为，，已知关于的函数图象如图②所示，当时，的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 因式分解：________． 12. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是____． 13. 的三边长a，b，c满足，则的周长为___________． 14. 如图，，是的平分线， 若， 则四边形的周长是______． 15. 如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，则小球从飞出到落地要用______ 16. 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C在弧AB上，使得弧BC＝2弧AC，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当CF＝2时，阴影部分的面积为______． 三、解答题（本大题6小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图1是东罗马鎏金银盘，这只鎏金银盘是舶来品，专家鉴定为东罗马帝国的产品．不过，它大约是一千五六百年前舶来的，现今落脚于甘肃省博物馆，成为众多馆藏文物中的“异类”——正是这个“异类”见证了千年前丝绸之路东西方贸易的繁荣．如图2，把它看作一个圆，点为圆心，点为上一点． （1）请用不带刻度的直尺和圆规，在图2中作出的内接正方形；（保留作图痕迹，不写作法） （2）根据（1）中画出图形，过圆心作边的垂线，分别交和于点，，若的半径为，则的长为______________． 21. 近日，国产AI大模型DeepSeek的爆火引发了全球科技界的广泛关注．人工智能（AI）是一种模拟人类智能行为的科学和技术．它通过计算机系统模拟、延伸和扩展人类的感知、推理、学习和决策等智能能力，使机器能够像人一样进行思考和处理问题．现有四场网络直播，这四场直播分别以A．机器人技术，B．计算机视觉，C．自然语言处理，D．专家系统为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．晓玲和梅梅准备各自听一场网络直播然后两人互相分享，晓玲先从这四类中随机选择一类进直播间听讲解，然后梅梅从剩下的三类中随机选择一类进直播间听讲解． （1）晓玲选择机器人技术的概率是______； （2）请用画树状图或列表法，求晓玲和梅梅中有一人选择自然语言处理的概率． 22. 图①是甘肃省博物馆的镇馆之宝——铜奔马，又称“马踏飞燕”，于1969年10月出土于武威市的雷台汉墓，1983年10月被国家旅游局确定为中国旅游标志，在很多旅游城市的广场上都有“马踏飞燕”雕塑，某学习小组把测量本城市广场的“马踏飞燕”雕塑（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表： 课题 测量“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度 测量示意图 如图，雕塑的最高点到地面的高度为，在测点用仪器测得点的仰角为，前进一段距离到达测点，再用该仪器测得点的仰角为，且点，，，，，均在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上． 测量数据 度数 度数 的长度 仪器（）的高度 5米 米 请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留一位小数）．（参考数据：，，，，，） 四、解答题（本大题5小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 张掖一中为了了解“双减”工作实行情况和学生周一至周五课外作业时间的情况，对本校部分学生进行了抽样调查（问卷调查的内容如下）：现根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图： 调查问卷 1.周一到周五你每晚完成作业的时间是______小时． 如果你平均每天作业时间不少于15小时，请回答第2个问题． 2.作业时间不少于1.5小时的主要原因是______（单选）． A.课后延时服务时间短 B.老师布置的作业负担仍然重 C.父母期望值过高，增加课外作业 D.学习效率低 类型 频数（人数） 频率 作业时间 A 16 0.16 B m 0.4 C 20 n D 24 0.24 请根据以上图表信息解答下列问题： （1）统计表中的______，______； （2）在扇形统计图中，C所对应的扇形圆心角的度数为______； （3）若该校共有3000名学生，估计有多少名学生作业时间不少于1.5小时． 24. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求的面积． 25. 如图，是的直径，C，D是上两点，连接，，平分，，交延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，，求的长． 26. 【模型建立】 （1）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上的一点，且．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，若点E，G分别在边，上，且，连接，求证：． 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，，，E是上一点，且，，求的长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，且直线过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称．点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线于点N． （1）求抛物线的函数解析式； （2）当的面积最大时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春学期期中考试试卷九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. -2的相反数是（　　） A. 2 B. -2 C. D. ±2 【答案】A 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【详解】-2的相反数是： 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数，关键是在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 2. 《中庸》名句：“致中和，天地位焉，万物育焉．”由此可见，对称美自古以来就是华夏民族和谐平衡思想的体现．下列选项分别是甘肃省博物馆、白银市博物馆、天水市博物馆、平凉市博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B． 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C． 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； D． 是轴对称图形，故该选项符合题意； 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，幂的运算以及单项式乘以单项式的运算，掌握运算法则和计算公式是解题的关键． 分别利用合并同类项法则，同底数幂的除法、幂的乘方运算法则以及单项式乘以单项式的运算法则判断即可． 【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原写法错误，不符合题意； 故选：C． 4. 环境监测中是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如果1微米米，那么微米用科学记数法可以表示为（ ）米． A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将用科学记数法表示，即可解答． 【详解】解：∵用科学记数法表示为 ∴1微米米， ∴微米米， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数． 5. 如图，直线，将一个含角的三角尺按如图所示的位置放置，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作，先根据平行线的性质求出，再证明，然后根据两直线平行，同旁内角相等即可求解． 【详解】解：如图，作， ∵三角尺是含角的三角尺， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是利用两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等求解． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据2，3，3，4，5，6的众数和中位数都是3 B. “打开电视机，正在播放足球赛”是必然事件 C. 了解贵州省中学生观看电影《哪吒2》的情况适合采用普查（全面调查） D. 甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了众数、中位数的定义、随机事件的概念、调查方式的选择、方差的意义等知识点，掌握它们的概念和特点是解题的关键． 利用众数、中位数的定义、随机事件的概念、调查方式的选择、方差的意义逐项判定即可． 【详解】解：A．一组数据2，3，3，4，5，6的众数是3，中位数是，故该选项错误，不符合题意； B．“打开电视机，正在播放足球赛”是随机事件，故该选项错误，不符合题意； C．了解贵州省中学生观看电影《哪吒2》的情况适合采用抽样调查，故该选项错误，不符合题意； D．由，所以乙组数据比甲组数据稳定，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 7. 反比例函数y= (k>0)在第一象限内的图象如图，点M是图象上一点，MP垂直x轴于点P，如果△MOP的面积为1，那么k的值是（） A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得：S△MOP=|k|=1， ∴k=±2， 又∵k>0， ∴k=2． 故选：B. 8. 如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理及勾股定理，根据同弧所对圆周角相等及直径所对圆周角是直角得到，，根据得到，最后根据勾股定理求解即可得到答案 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 9. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？其人意是：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行．问：人与车各多少？设有x人，y辆车，则符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设共有x人，y辆车，根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】设有x人，y辆车， 依题意得 ， 故选：A 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 10. 如图①，在矩形中，动点从点出发，沿的路线运动，当点到达点时停止运动．若，交于点，设点运动的路程为，，已知关于的函数图象如图②所示，当时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点与函数图像问题．根据图②中特殊点的坐标确定的数值，然后根据相似三角形列出比例式即可求得． 【详解】解：当点在点时，即时，此时点与点重合，，由图象可知：， ， 当点在点和点时，此时点与点重合，， 根据图象可知：， 当时，点在中点， ， 如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 详解】 ． 故答案为：． 12. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是____． 【答案】且 【解析】 【分析】题目主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题关键，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 根据一元二次方程的定义及根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且，即， 解得：且． 故答案为：且． 13. 的三边长a，b，c满足，则的周长为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，利用绝对值、偶次方的非负性求出，c的值，即可求解． 【详解】解：， ，， 解得：，， 的周长为：． 故答案为：6． 14. 如图，，是的平分线， 若， 则四边形的周长是______． 【答案】##厘米 【解析】 【分析】先证是等边三角形，得到，再利用角平分线与平行线性质、余角性质证，得到，，然后证，得到，，即可由四边形周长公式求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，本题属三角形综合题意，熟练掌握等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质是解题的关键． 15. 如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，则小球从飞出到落地要用______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，令，求即可． 【详解】解：令， 解得（舍去），， 小球从飞出到落地要用． 故答案为：4． 16. 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C在弧AB上，使得弧BC＝2弧AC，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当CF＝2时，阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系定理求出∠COD＝60°，根据正弦的定义求出OC，根据正切的定义求出OD，根据扇形面积公式计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形CDEF是正方形， ∴∴CD＝CF＝ ， ∵弧BC＝2弧AC，∠AOB＝90°， ∴∠AOC＝30°，∠COD＝60°， ∴，， ∴阴影部分的面积＝， 故答案为： 【点睛】本题考查的是扇形面积计算、正方形的性质，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 三、解答题（本大题6小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先根据实数的性质，零指数幂和负整数指数幂的意义，以及特殊角的三角函数值化简，再根据实数的运算数序计算即可． 【详解】解：原式． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数的性质，零指数幂和负整数指数幂的意义，以及特殊角的三角函数值是解答本题的关键． 18. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点． 分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后在数轴上表示不等式组的解集即可． 【详解】解： 由①得，； 由②得，， ∴原不等式组的解集为：， 数轴表示为： 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先对分式进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 当时，原式． 20. 如图1是东罗马鎏金银盘，这只鎏金银盘是舶来品，专家鉴定为东罗马帝国的产品．不过，它大约是一千五六百年前舶来的，现今落脚于甘肃省博物馆，成为众多馆藏文物中的“异类”——正是这个“异类”见证了千年前丝绸之路东西方贸易的繁荣．如图2，把它看作一个圆，点为圆心，点为上一点． （1）请用不带刻度的直尺和圆规，在图2中作出的内接正方形；（保留作图痕迹，不写作法） （2）根据（1）中画出的图形，过圆心作边的垂线，分别交和于点，，若的半径为，则的长为______________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，垂径定理，勾股定理，熟知垂径定理和正方形的性质和判定定理是解题的关键． （1）连接并延长，交于C，过点O作的垂线，分别交于B、D，则四边形即为所求； （2）由正方形的性质和勾股定理求出的长，由垂径定理得到的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解；如图所示，连接并延长，交于C，过点O作的垂线，分别交于B、D，则四边形即为所求； 分别为的直径，则相等且互相垂直平分，则四边形是正方形； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 近日，国产AI大模型DeepSeek的爆火引发了全球科技界的广泛关注．人工智能（AI）是一种模拟人类智能行为的科学和技术．它通过计算机系统模拟、延伸和扩展人类的感知、推理、学习和决策等智能能力，使机器能够像人一样进行思考和处理问题．现有四场网络直播，这四场直播分别以A．机器人技术，B．计算机视觉，C．自然语言处理，D．专家系统为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．晓玲和梅梅准备各自听一场网络直播然后两人互相分享，晓玲先从这四类中随机选择一类进直播间听讲解，然后梅梅从剩下的三类中随机选择一类进直播间听讲解． （1）晓玲选择机器人技术的概率是______； （2）请用画树状图或列表法，求晓玲和梅梅中有一人选择自然语言处理的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式计算，画树状图法计算，正确选择方法是解题的关键． （1）利用概率公式计算即可． （2）不放回型的概率计算，利用画树状图法计算即可． 【小问1详解】 解：共4种等可能结果，其中1种符合题意， ∴晓玲选择机器人技术的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由图可得，共有12种等可能的结果，其中晓玲和梅梅中有一人选择自然语言处理的结果有6种， （晓玲和梅梅中有一人选择自然语言处理）． 22. 图①是甘肃省博物馆的镇馆之宝——铜奔马，又称“马踏飞燕”，于1969年10月出土于武威市的雷台汉墓，1983年10月被国家旅游局确定为中国旅游标志，在很多旅游城市的广场上都有“马踏飞燕”雕塑，某学习小组把测量本城市广场的“马踏飞燕”雕塑（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表： 课题 测量“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度 测量示意图 如图，雕塑的最高点到地面的高度为，在测点用仪器测得点的仰角为，前进一段距离到达测点，再用该仪器测得点的仰角为，且点，，，，，均在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上． 测量数据 的度数 的度数 的长度 仪器（）的高度 5米 米 请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留一位小数）．（参考数据：，，，，，） 【答案】 【解析】 分析】如图，延长交于，设 利用锐角三角函数表示，再表示，再利用锐角三角函数列方程求解，从而可得答案． 【详解】解：如图，延长交于， 由题意得： 设 由 由 经检验：符合题意， “马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度为 【点睛】本题考查的是解直角三角形所的应用，掌握锐角三角函数的应用是解题的关键． 四、解答题（本大题5小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 张掖一中为了了解“双减”工作实行情况和学生周一至周五课外作业时间的情况，对本校部分学生进行了抽样调查（问卷调查的内容如下）：现根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图： 调查问卷 1.周一到周五你每晚完成作业的时间是______小时． 如果你平均每天作业时间不少于1.5小时，请回答第2个问题． 2.作业时间不少于1.5小时的主要原因是______（单选）． A.课后延时服务时间短 B.老师布置的作业负担仍然重 C.父母期望值过高，增加课外作业 D.学习效率低 类型 频数（人数） 频率 作业时间 A 16 0.16 B m 0.4 C 20 n D 24 0.24 请根据以上图表信息解答下列问题： （1）统计表中的______，______； （2）在扇形统计图中，C所对应的扇形圆心角的度数为______； （3）若该校共有3000名学生，估计有多少名学生作业时间不少于1.5小时． 【答案】（1）40；0.2 （2） （3）名 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表与扇形统计图综合问题，利用样本占比估算整体情况，求频数、频率，解题的关键是根据扇形统计图与频数分布表共同量求出样本容量． （1）根据A的数量及占比即可得到样本数量，然后利用样本数量计算得到m，n的值； （2）根据乘以C的占比即可得到答案； （3）用总人数乘以不少于1.5小时的学生的占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意，， 总人数（名）， ∴（名）， 故答案为40；0.2； 【小问2详解】 解：C所对应的扇形圆心角的度数为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：若该校共有3000名学生，估计作业时间不少于1.5小时的学生人数为（名）． 24. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反例函数的综合问题，待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式．一次函数与反比例函数的交点问题，两点之间的距离公式等知识，掌握反比例函数的性质以及一次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出反比例函数以及一次函数的解析式． （2）由已知条件求出点C，点B，点D的坐标，过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，利用两点之间的距离公式分别求出，，的值，最后根据即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵轴于点C，交一次函数的图象于点D， ∴点B的横坐标为4．点D的横坐标为4． ∴， ∴， ∴ 过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F， ∴，点E的纵坐标为， ∴， 把代入，得， ∴， ∴点， ∴， ∴ 25. 如图，是的直径，C，D是上两点，连接，，平分，，交延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据圆周角定理得出，证明，根据平行线的性质得出，得出，即可证明结论； （2）根据，得出，解直角三角形得出，证明，解直角三角形得出，根据勾股定理得出，解直角三角形得出，根据勾股定理得出，最后求出结果即可． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵的半径为5， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形的相关计算，勾股定理，等腰三角形的性质，余角的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 26. 【模型建立】 （1）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上的一点，且．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，若点E，G分别在边，上，且，连接，求证：． 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，，，E是上一点，且，，求的长． 【答案】（1）见详解（2）见详解（3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，可直接证明，从而得出； （2）延长至F，使．连接，根据（1）知，即可证明，根据，得，利用全等三角形的判定方法得出，即，即可得出答案； （3）过作，交延长线于D，则四边形 为正方形，设，根据（1）（2）可知，，在中，利用勾股定理即可求解，即可作答． 本题主要考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴； （2）如图2， 延长至F，使．连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴，即， 又∵，则， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，过作，交延长线于D， ∵在直角梯形中，， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 根据（1）（2）可知，， 在中，∵， 即， 得：， ∴． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，且直线过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称．点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线于点N． （1）求抛物线的函数解析式； （2）当面积最大时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）（2，0）；（3）存在，（0，12）或（0，-4）或（0，）或（0，）. 【解析】 【分析】（1）根据直线求出点B和点D坐标，再根据C和D之间的关系求出点C坐标，最后运用待定系数法求出抛物线表达式； （2）设点P坐标为（m，0），表示出M和N的坐标，再利用三角形面积求法得出S△BMD=，再求最值即可； （3）分当∠QMN=90°时，当∠QNM=90°时，当∠MQN=90°时，三种情况，结合相似三角形的判定和性质，分别求解即可. 【详解】解：（1）∵直线过点B，点B在x轴上， 令y=0，解得x=6，令x=0，解得y=-6， ∴B（6，0），D（0，-6）， ∵点C和点D关于x轴对称， ∴C（0，6）， ∵抛物线经过点B和点C，代入， ，解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）设点P坐标为（m，0）， 则点M坐标为（m，），点N坐标为（m，m-6）， ∴MN=-m+6=， ∴S△BMD=S△MNB+S△MND = = =-3（m-2）2+48 当m=2时，S△BMD最大=48， 此时点P的坐标为（2，0）； （3）存在， 由（2）可得：M（2，12），N（2，-4）， 设点Q的坐标为（0，n）， 当∠QMN=90°时，即QM⊥MN，如图， 可得，此时点Q和点M的纵坐标相等， 即Q（0，12）； 当∠QNM=90°时，即QN⊥MN，如图， 可得，此时点Q和点N的纵坐标相等， 即Q（0，-4）； 当∠MQN=90°时，MQ⊥NQ，如图， 分别过点M和N作y轴的垂线，垂足为E和F， ∵∠MQN=90°， ∴∠MQE+∠NQF=90°，又∠MQE+∠QME=90°， ∴∠NQF=∠QME， ∴△MEQ∽△QFN， ∴，即， 解得：n=或， ∴点Q（0，）或（0，）， 综上：点Q的坐标为（0，12）或（0，-4）或（0，）或（0，）. 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的表达式，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，二次函数的最值，解一元二次方程，解题时要注意数形结合，分类讨论思想的运用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$