精品解析： 2025年福建省厦门市九年级数学5月模拟试题

2025年厦门市初中毕业年级模拟考试 数学 本试卷共6页．满分150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 如图，点表示的数是，下列点中，表示的相反数的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 2. 如图所示的零件的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，在四边形中，，射线与交于点，连接．下列角中，与相等的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列多边形中，知道一条边的长度就能确定其形状和大小的是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 等腰三角形 5. 某校有七、八、九三个年级，为了解全校学生的课外阅读情况，老师进行了抽样调查，下列选取调查对象的方式中，较为合理的是（ ） A. 从七年级随机选取90名学生 B. 从三个年级随机选取两个班的学生 C. 从三个年级各随机选取30名男生 D. 从三个年级各随机选取30名学生 6. 为监测某水库雨季期间的水位高度，表一记录了该水库连续三天的水位变化情况（记水位上涨为正，单位：），这三天水位上涨的高度可表示为（ ） A. B. C. D. 7. 若一个函数的自变量每变化一个单位，函数值随之变化两个单位，其解析式可以是（ ） A. B. C. D. 8. 现有甲、乙、丙、丁四个甜玉米试验品种，农科院计划为某地选出一个品种在该地不同区域推广种植．工作人员在该地不同区域选取了4块土壤条件具有代表性的试验田进行试验，得到各试验田中这四种甜玉米的产量（单位：公顷），统计结果如图所示．根据统计结果，最适合在该地不同区域推广种植的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. |-3|=_________ 10. 因式分解：=_____． 11. 六边形的外角和是______度． 12. 如图，在正方形中，，点在边上，．若，分别是，的中点，则的长为________． 13. 点在双曲线上，点也在该双曲线上（不与点重合），写出一个符合条件的点的坐标________． 14. 某镇为发展农业经济，对的农产品运输通道进行扩建和重修，某货车在该运输通道上行驶，平均速度从原来的提升到．计算该货车在该运输通道上行驶可节约的时间，结果为________．（用含的代数式表示） 15. 《九章算术》“方田章”中记载了关于图形面积的经验公式，其与实际的较小误差令人由衷感叹我国古代劳动人民的智慧．其中的弧田术：“以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．”即：弓形面积=（弦长×矢长+矢长×矢长）÷2．如图，一块弓形田的弦长为，矢长为，用弧田术计算其面积，与实际的误差为________．（，取古圆周率3） 16. 已知函数，当取不同值时，函数会有不同的图象，它们组成的“图象集”记为．若存在的某个范围，对该范围内的任意，当时，相应的函数图象与（不含的部分）都不相交，则的该范围是________． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算：． 18. 如图，点，，在同一直线上，，，．证明：． 19. 已知整式． （1）化简该整式； （2）若该整式的值为正数，判断关于的方程的根的情况，并说明理由． 20. 如图所示，三边的长分别为，，，是的中线，过点作且，连接．求证：四边形是菱形． 21. 今年学校灯谜节期间，除了全员活动外，初一年级照例要开展“一锤定音”传统挑战赛：各班推选6名同学组成代表队，分为字谜组和物谜组各3名，为增强趣味性，由评委分别在两组中随机抽一名同学进行3分钟猜谜，猜对的字谜和物谜数都超过往届挑战赛的最高成绩（字谜和物谜组的最高成绩分别为13，17，单位：个），才算挑战成功．1班组织了赛前练习并推选了6名成绩相对稳定的同学组成代表队，其中小梧在字谜组，他在赛前的20次练习情况如表二所示． 表二 3分钟猜对的字谜数（个） 次数 1 1 2 9 7 （1）若小梧被抽中，请根据表中数据，预估他此次比赛猜对的字谜数，并说明理由； （2）1班的同学同样根据赛前练习的情况预估了本班代表队此次比赛的成绩：字谜组另两位同学分别为12，13；物谜组三位同学分别为15，18，19．小桐说1班此次挑战成功的机会很大，你同意吗？请根据以上预估说明理由． 22. 某地举办中学生科技创新夏令营，小梧的团队要用轻型材料搭建几何艺术小展区，他们参考了各种屋顶桁架结构设计了含有“自相似形”的展区顶棚．顶棚由2个等腰三角形（顶角为钝角）桁架组成，他们要在每个桁架（如图的）的左右两侧斜梁，和横梁之间对称安装若干连接杆，其中在左侧的操作步骤如下： ①在横梁上确定点，使与相似，且与点对应，得到连接杆； ②在斜梁上确定点，使与相似，且与点对应，得到连接杆； ③在横梁上确定点，使与相似，且与点对应，得到连接杆；……依此类推． （1）如图是桁架的平面设计图，请在该图中作出点；（作图要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若他们设计的桁架斜梁长度为，且与横梁夹角为．根据测算，为确保安全性和稳定性，每个桁架的左右两侧至少要各安装2个连接杆，每个桁架配的连接杆材料是否够用？请说明理由； （3）从数学的角度，上述操作可不断进行．设为，为，直接写出表示左侧连接杆的线段的长度变化规律的代数式． 23. 一个矩形可不重叠且不留空隙地分割为个正方形，称该矩形为“阶容正矩形”： （1）图1是一个3阶容正矩形．请再画出一个形状不同的3阶容正矩形，若该矩形的周长为，求它的边长； （2）若要求4阶容正矩形的四个顶点分别为所分割的4个正方形的一个顶点，判断4阶容正矩形按此方式是否可分割为4个大小不等的正方形，并证明； （3）若一个矩形可按图2所示的方式分割为9个大小不等的正方形，请探究该9阶容正矩形的一个性质定理．（说明：“大小不等”指两两不全等） 24. 如图所示，已知半径为，是直径，过点作于，交弦于点，连接，若， （1）证明； （2）设是射线上的动点，将绕着点顺时针旋转得到． ①当时，探究直线与的位置关系； ②在旋转过程中，是否存在点落在线段上且的情形？若存在，求出相应的的度数；若不存在，请说明理由． 25. 某公园有一个地面喷泉景观区，如图，在景观区内的点处竖直装有水管，地面上、下的长度分别为，，点处连接水泵，点处装有喷头，使其向右喷出抛物线形水柱（简称喷泉）．该抛物线上与点离地高度相同的点记为，喷泉的最大高度（即最高点的离地高度）记为，通常当时喷泉达到最佳观赏比例．小梧用无人机拍摄喷泉景观区．无风时，观测到与射线的夹角为，且此时该喷泉正好达到最佳观赏比例． （1）通常来说，在不考虑水管对水的摩擦和阻力的情况下，水泵能把水从水泵竖直压上去的最大高度近似为该水泵的压水扬程．但实际上，考虑到水管对水的摩擦和阻力，以及若要保持水柱特定形状（如抛物线形），都需要水泵有更大的压水扬程．小桐推断：这个喷泉的水泵的压水扬程为．你同意吗？请说明理由； （2）根据测算，当有风且风力不超过3级时，该喷泉仍保持抛物线形，但受风力影响，喷泉的最大高度是无风时的至，的长度也会改变，表三是测算所得的数据． 表三 3.20 3.25 3.30 3.35 3.41 3.50 的长度 8.80 9.00 9.20 9.40 9.60 10.00 当有风且风力不超过3级时， ①判断喷泉是否还可能达到最佳观赏比例，并说明理由； ②记喷泉落地点为．无人机从射线正上方且与点水平距离处出发，水平向左飞行，是否会穿进喷泉？请说明理由．（参考数据：，，，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年厦门市初中毕业年级模拟考试 数学 本试卷共6页．满分150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 如图，点表示的数是，下列点中，表示的相反数的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数与数轴，熟练掌握相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：由相反数的定义可知，和的相反数与原点的距离相等， 即表示的相反数的是点， 故选：A． 2. 如图所示的零件的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上往下看求解即可． 【详解】解：根据俯视图是从上往下看可得出零件的俯视图是， 故选：B 3. 如图所示，在四边形中，，射线与交于点，连接．下列角中，与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角相等，平行线的性质，由平行线的性质得出，由对顶角相等可得出，等量代换可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4. 下列多边形中，知道一条边的长度就能确定其形状和大小的是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了矩形、菱形、正方形、等腰三角形的性质，根据四个图形的特征即可解答． 【详解】解：∵正方形的四个角都是直角，四个边相等， 故知道一条边的长度就能确定其形状和大小的是正方形， 故选：C． 5. 某校有七、八、九三个年级，为了解全校学生的课外阅读情况，老师进行了抽样调查，下列选取调查对象的方式中，较为合理的是（ ） A. 从七年级随机选取90名学生 B. 从三个年级随机选取两个班的学生 C. 从三个年级各随机选取30名男生 D. 从三个年级各随机选取30名学生 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查的可靠性，因为某校有七、八、九三个年级，为了解全校学生的课外阅读情况，故从三个年级各随机选取30名学生，即可作答． 【详解】解：A、因为了解全校学生的课外阅读情况，所以从七年级随机选取90名学生是不合理的，故该选项不符合题意； B、因为了解全校学生的课外阅读情况，所以从三个年级随机选取两个班的学生是不合理的，故该选项不符合题意； C、因为了解全校学生的课外阅读情况，所以从三个年级各随机选取30名男生是不合理的，故该选项不符合题意； D、因为了解全校学生的课外阅读情况，所以从三个年级各随机选取30名学生是较为合理的，故该选项符合题意； 故选：D 6. 为监测某水库雨季期间的水位高度，表一记录了该水库连续三天的水位变化情况（记水位上涨为正，单位：），这三天水位上涨的高度可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加法的应用，把水库连续三天的水位变化情况相加即可． 【详解】解：这三天水位上涨的高度可表示为， 故选：C 7. 若一个函数的自变量每变化一个单位，函数值随之变化两个单位，其解析式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求函数值 ．（1） 当已知函数解析式时， 求函数值就是求代数式的值；（2） 函数值是唯一的， 而对应的自变量可以是多个 ．自变量每变化一个单位， 将代入函数，即可求得变化了多少． 【详解】解：自变量每变化一个单位，即将代入函数得：； 所以，函数值随之变化两个单位， 故选：B． 8. 现有甲、乙、丙、丁四个甜玉米试验品种，农科院计划为某地选出一个品种在该地不同区域推广种植．工作人员在该地不同区域选取了4块土壤条件具有代表性的试验田进行试验，得到各试验田中这四种甜玉米的产量（单位：公顷），统计结果如图所示．根据统计结果，最适合在该地不同区域推广种植的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了数据的稳定性判断和平均数作决策，从统计结果可以看出甲和丁在不同的试验田产量不稳定，丙的平均产量高于乙，即可作出判断． 【详解】解：从统计结果可以看出甲和丁稳定性不好，丙的平均产量高于乙，故丙的稳定性和产量是最好的， 故选∶C 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. |-3|=_________ 【答案】3 【解析】 【详解】分析：根据负数的绝对值等于这个数的相反数，即可得出答案． 解答：解：|-3|=3． 故答案为3． 10. 因式分解：=_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式=(a+2b)(a-2b) ． 故答案为：（a+2b）（a-2b） 11. 六边形的外角和是______度． 【答案】 360 【解析】 【详解】解：根据多边形外角和定理可知，任意多边形的外角和都为， ∴六边形的外角和是度． 12. 如图，在正方形中，，点在边上，．若，分别是，的中点，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，在中，利用勾股定理求出的长，三角形的中位线定理，求出的长即可． 【详解】解：∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴在中，， ∵，分别是，的中点， ∴； 故答案为：． 13. 点在双曲线上，点也在该双曲线上（不与点重合），写出一个符合条件的点的坐标________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】题目主要考查反比例函数上点的特点，根据题意得出解析式是解题关键．根据题意，先确定函数解析式，然后即可得出点的坐标． 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴点的坐标为， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 某镇为发展农业经济，对的农产品运输通道进行扩建和重修，某货车在该运输通道上行驶，平均速度从原来的提升到．计算该货车在该运输通道上行驶可节约的时间，结果为________．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式减法的应用，用未扩建和重修前行驶的时间减去扩建和重修后的行驶时间即可． 【详解】解：根据题意可知：， 则该货车在该运输通道上行驶可节约的时间为：， 故答案为：． 15. 《九章算术》“方田章”中记载了关于图形面积的经验公式，其与实际的较小误差令人由衷感叹我国古代劳动人民的智慧．其中的弧田术：“以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．”即：弓形面积=（弦长×矢长+矢长×矢长）÷2．如图，一块弓形田的弦长为，矢长为，用弧田术计算其面积，与实际的误差为________．（，取古圆周率3） 【答案】1.2 【解析】 【分析】本题主要考查扇形面积公式，勾股定理的应用和解直角三角形，根据已知求得弧田术弓形面积，再结合题意得到，和，利用勾股定理求得r，根据求得，利用扇形面积和三角形面积公式即可求得实际面积，作差即可． 【详解】解：根据已知弧田术得， 弓形面积=（弦长×矢长+矢长×矢长）÷2 ； 如图， ∵弦长为，矢长为， ∴，，， 则，即，解得， ∵， ∴， 那么，弓形面积 ， 则与实际的误差为， 故答案为：1.2． 16. 已知函数，当取不同值时，函数会有不同的图象，它们组成的“图象集”记为．若存在的某个范围，对该范围内的任意，当时，相应的函数图象与（不含的部分）都不相交，则的该范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质．把函数解析式变形可得，即在抛物线上运动，从而得到函数图象与的交点为，再根据题可得，即可求解． 【详解】解：， 顶点为， 又∵ ∴在抛物线上运动， ∴函数图象与的交点为， ∵当时，相应的函数图象与（不含的部分）都不相交， ∴ 故答案为：． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，乘方等内容，先计算乘法、算术平方根，乘方，再运算加减法，即可作答． 【详解】解：原式． 18. 如图，点，，在同一直线上，，，．证明：． 【答案】 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法是关键． 根据平行线的性质得到， 运用角角边可判定，由此即可求解． 【详解】略 19. 已知整式． （1）化简该整式； （2）若该整式的值为正数，判断关于的方程的根的情况，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：由题可得， 解得：． 对于关于的方程， ． 因为， 所以． 所以该方程有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】该题考查了一元二次方程根判别式和整式混合运算，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据多项式乘多项式乘法法则和单项式乘多项式乘法法则去括号，再运算加减法即可； （2）根据该整式的值为正数，得出，求出，再根据一元二次方程根判别式解答即可． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 略 20. 如图所示，三边的长分别为，，，是的中线，过点作且，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵，，， ∴，． ∴． ∴． ∵在中，是中线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定及性质、勾股定理逆定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 先根据勾股定理逆定理得出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，然后根据一组对边平行且相等可得出四边形是平行四边形，最后根据邻边相等的平行四边形为菱形即可得证． 【详解】略 21. 今年学校灯谜节期间，除了全员活动外，初一年级照例要开展“一锤定音”传统挑战赛：各班推选6名同学组成代表队，分为字谜组和物谜组各3名，为增强趣味性，由评委分别在两组中随机抽一名同学进行3分钟猜谜，猜对的字谜和物谜数都超过往届挑战赛的最高成绩（字谜和物谜组的最高成绩分别为13，17，单位：个），才算挑战成功．1班组织了赛前练习并推选了6名成绩相对稳定的同学组成代表队，其中小梧在字谜组，他在赛前的20次练习情况如表二所示． 表二 3分钟猜对的字谜数（个） 次数 1 1 2 9 7 （1）若小梧被抽中，请根据表中数据，预估他此次比赛猜对的字谜数，并说明理由； （2）1班的同学同样根据赛前练习的情况预估了本班代表队此次比赛的成绩：字谜组另两位同学分别为12，13；物谜组三位同学分别为15，18，19．小桐说1班此次挑战成功的机会很大，你同意吗？请根据以上预估说明理由． 【答案】（1）15个； 解法一：根据表中数据，小梧赛前20次练习平均每次猜对的字谜数近似为： （个）． 所以预估小梧此次比赛猜对的字谜数为15个； 解法二：用小梧赛前20次练习成绩的各组的组中值代表各组实际数据，小梧赛前20次练习中，猜对每个字谜平均用时近似为： （分钟）． 所以预估此次比赛小梧猜对的字谜数为：（个）． （2）不同意； 理由如下： 假设字谜组3名同学为，，，物谜组3名同学为，，， 分别从两组中随机抽一名同学，一共用九种等可能得结果，如下图所示：     根据练习情况，对字谜组3名同学，，的比赛成绩预估为15，12，13，对物谜组3名同学，，的比赛成绩预估为15，18，19， 根据以上预估，1班挑战成功有，两种可能的结果， 所以预估1班此次挑战成功的机会为， 故不同意小桐的说法． 【解析】 【分析】本题主要考查树状图求等可能的结果情况和求可能值， （1）根据已知的数据利用平均数求的可能值； （2）通过树状图求得可能的总数与已知的值比较，求得满足题意的情况，即可利用公式求得成功与否． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 某地举办中学生科技创新夏令营，小梧的团队要用轻型材料搭建几何艺术小展区，他们参考了各种屋顶桁架结构设计了含有“自相似形”的展区顶棚．顶棚由2个等腰三角形（顶角为钝角）桁架组成，他们要在每个桁架（如图的）的左右两侧斜梁，和横梁之间对称安装若干连接杆，其中在左侧的操作步骤如下： ①在横梁上确定点，使与相似，且与点对应，得到连接杆； ②在斜梁上确定点，使与相似，且与点对应，得到连接杆； ③在横梁上确定点，使与相似，且与点对应，得到连接杆；……依此类推． （1）如图是桁架的平面设计图，请在该图中作出点；（作图要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若他们设计的桁架斜梁长度为，且与横梁夹角为．根据测算，为确保安全性和稳定性，每个桁架的左右两侧至少要各安装2个连接杆，每个桁架配的连接杆材料是否够用？请说明理由； （3）从数学的角度，上述操作可不断进行．设为，为，直接写出表示左侧连接杆的线段的长度变化规律的代数式． 【答案】（1） 点如图所示； ； （2）不够用；理由： 如图，作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 根据题意需要连接杆的长度为， ∵， ∴每个桁架配的连接杆材料不够用； （3） 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线，交于点即可； （2）作于点，求得，推出，证明和，求得，，进一步计算即可求解； （3）同（2）求得，利用和，求得，，得到规律，利用规律求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，，如图，作于点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用．第三问，推出规律是解题的关键． 23. 一个矩形可不重叠且不留空隙地分割为个正方形，称该矩形为“阶容正矩形”： （1）图1是一个3阶容正矩形．请再画出一个形状不同的3阶容正矩形，若该矩形的周长为，求它的边长； （2）若要求4阶容正矩形的四个顶点分别为所分割的4个正方形的一个顶点，判断4阶容正矩形按此方式是否可分割为4个大小不等的正方形，并证明； （3）若一个矩形可按图2所示的方式分割为9个大小不等的正方形，请探究该9阶容正矩形的一个性质定理．（说明：“大小不等”指两两不全等） 【答案】（1）画图见解析；2，3，2，3 （2）不可分割； 理由如下： 根据（1）中的线段和差关系推理， 若设4个正方形边长分别为，，，， ∵矩形的四个顶点分别为所分割的4个正方形的一个顶点， ∴矩形的一组对边的长为与，另一组对边的长为与． ∵矩形对边相等， ∴①且②． ①②得． 可得． ∴4阶容正矩形按此方式不可分割为4个大小不等的正方形； （3）该9阶容正矩形的一组邻边长的比值为 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）设，然后得到，再根据四边形为正方形，可得，然后即可求解； （2）设4个正方形边长分别为，，，，然后根据正方形性质可得，然后即可求解； （3）先作图，并将9个正方形的边长依次表示为，然后可求得，，，，，，，进而得到，然后可求得该矩形的一组邻边长分别为：，，然后即可求解； 【小问1详解】 解：如图，矩形即为所求． 设， ∵四边形与四边形均为正方形， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． ∴该3阶容正矩形边长为2，3，2，3； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，按图中标号顺序（正方形标号为①），将9个正方形的边长依次表示为， 设，， ∵， ∴， 同理可得： ，，，， ，， ∵矩形对边相等， ∴，即， ∴， ∴该矩形的一组邻边长分别为：，， ∴该9阶容正矩形的一个性质定理为：该9阶容正矩形的一组邻边长的比值为． 24. 如图所示，已知半径为，是直径，过点作于，交弦于点，连接，若， （1）证明； （2）设是射线上的动点，将绕着点顺时针旋转得到． ①当时，探究直线与的位置关系； ②在旋转过程中，是否存在点落在线段上且的情形？若存在，求出相应的的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴． ∵， ∴． ∴在中，． ∴． ∴． ∴； （2）①当时， 与相切;当时，直线与相交； ②存在； 【解析】 【分析】本题考查了圆的综合问题，涉及直线与圆的位置关系，解直角三角形，旋转的性质，等边三角形判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，难度大． （1）由得到，求出，再由三角形外角求出，再由等角对等边即可求证； （2）①连接交直线于，可得．则，即，解，求出，设，则．故当时，，，此时点与点重合，由可得与相切；当时，，，此时点与点不重合，故直线与不相切，则直线与相交． ②当，时，点落在上且连接，，，，，，先确定点在上．当，时，可得．解得到，故，即存在点落在上且的情形，然后证明 ，可得是等边三角形，则，，即点和点都在上．故． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①解：连接交直线于， ∵绕着点顺时针旋转得到， ∴． 由（1）知：，， ∴． ∴，即． ∵在中，， 设， ∴在中，． 当时，，，此时点与点重合，由可得与相切． 当时，，，此时点与点不重合，故直线与不相切，则直线与相交． ②解：存在，当，时，点落在上且． 理由如下： 连接，，，，，． ∵绕着点顺时针旋转得到， ∴，，． ∴． ∵点在射线上， ∴． ∴． ∴点在上． 当，时， ∵，， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴，即存在点落在上且的情形． 此时，，， ∴在和中，，，， ∴． ∴，． ∴． ∴是等边三角形． ∴，，即点和点都在上． ∴． 25. 某公园有一个地面喷泉景观区，如图，在景观区内的点处竖直装有水管，地面上、下的长度分别为，，点处连接水泵，点处装有喷头，使其向右喷出抛物线形水柱（简称喷泉）．该抛物线上与点离地高度相同的点记为，喷泉的最大高度（即最高点的离地高度）记为，通常当时喷泉达到最佳观赏比例．小梧用无人机拍摄喷泉景观区．无风时，观测到与射线的夹角为，且此时该喷泉正好达到最佳观赏比例． （1）通常来说，在不考虑水管对水的摩擦和阻力的情况下，水泵能把水从水泵竖直压上去的最大高度近似为该水泵的压水扬程．但实际上，考虑到水管对水的摩擦和阻力，以及若要保持水柱特定形状（如抛物线形），都需要水泵有更大的压水扬程．小桐推断：这个喷泉的水泵的压水扬程为．你同意吗？请说明理由； （2）根据测算，当有风且风力不超过3级时，该喷泉仍保持抛物线形，但受风力影响，喷泉的最大高度是无风时的至，的长度也会改变，表三是测算所得的数据． 表三 3.20 3.25 3.30 3.35 3.41 3.50 的长度 8.80 9.00 9.20 9.40 9.60 10.00 当有风且风力不超过3级时， ①判断喷泉是否还可能达到最佳观赏比例，并说明理由； ②记喷泉落地点为．无人机从射线正上方且与点水平距离处出发，水平向左飞行，是否会穿进喷泉？请说明理由．（参考数据：，，，） 【答案】（1）不同意；理由如下： 由题可知，． 过点作于，交地面水平线于点，则，． 所以． 所以． 因为喷泉为抛物线形状， 所以点，关于直线成轴对称． 所以． 过点作，交的延长线于点， 则． 因为， 所以． 在中，， 所以，即． 因为此时该喷泉正好达到最佳观赏比例， 所以，即． 所以． 解得． 所以． 考虑到水管对水的摩擦和阻力，以及要保持水柱为抛物线形， 所以该喷泉的水泵的压水扬程应大于，故不同意小桐的推断． （2） ①不可能达到；理由如下： 根据表三，当有风且风力不超过3级时，长度随着喷泉的最大高度的增大大致呈现出均匀增大的规律． 设． 把，代入可得， 解得 所以． 由（1）可知，无风时． 由题可知，当有风且风力不超过3级时，，即． 若喷泉达到最佳观赏比例，则，即． 又因为，可得． 解得，不符合的条件． 所以，有风且风力不超过3级时，喷泉不可能达到最佳观赏比例； ②不会穿进；理由如下： 以地面水平线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则点的坐标为． 过点作于，交轴于点，则，顶点的坐标为． 设该抛物线的解析式为：， 因为，， 所以． 所以． 把代入，得． 可得，即． 若设该抛物线的解析式为，则，可得． 又因为抛物线经过，可得． 即抛物线形喷泉的解析式为． 由①可知，，而， 所以． 对于， 因为，在每个象限内，随的增大而增大． 所以． 因为当时，， 可得，即无论取何值，无人机飞行终点的位置（射线正上方且与点水平距离处）都在抛物线外． 对于该抛物线，因为，当时，随的增大而减小． 所以当时，都有． 也即，无人机从射线正上方且与点水平距离处出发，水平向左飞行，不会穿进喷泉． 【解析】 【分析】（1）首先求出，然后得到，，由求出，然后在中，解直角三角形求出，然后得到，求出，得到，进而求解即可； （2）①首先求出，然后求出当有风且风力不超过3级时，，然后由，求出，进而判断求解即可； ②以地面水平线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出抛物线形喷泉的解析式为，然后得出，，当时，，然后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】本题考查了二次函数喷泉的应用，二次函数解析式，解直角三角形．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象建立二次函数模型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $