专题03 数列考前冲刺训练-2025年上海高考数学考前重点专题分题型冲刺训练

专题03 数列 新教材改革以来，数列在上海高考中的地位发生了变化，23年以前，数列是高考的重点，每年都会以压轴题出现，从这两年看，数列主要涉及等差、等比数列的通项公式、求和公式及基础性质的考查。 类型一：考查等差数列的通项公式 👉知识点梳理： 1. 等差数列：设为正整数，若数列满足，则为等差数列； 2. （1）等差数列的通项公式：； （2）等差数列的广义通项公式：； 1．等差数列首项为1，公差是3，则第5项等于 ． 2．若是首项为2，公差为3的等差数列，则 . 3．数列满足（n为正整数），且与的等比中项是2，则 . 4．若等差数列满足，，则 ． 类型二：考查等差数列的求和公式及性质 👉知识点梳理： （1）等差数列的前顶和公式：或. （2）等差中项：若是等差数列，则. （3）已知数列是等差数列，若，则（等和性质）. 5．已知数列是等差数列，且，则其前7项和 ． 6．已知为等差数列，为其前项和.若，，则 . 7．等差数列的前7项的和为，则 . 8．已知是等差数列的前项和，若，则的值为 . 9．设数列为等差数列，其前项和为，已知，则 ． 10．设，，、，等差数列的首项，公差，若，则的值为 . 11．数列中，，，若，则 . 类型三：考查等比数列的通项公式、求和公式 👉知识点梳理： 1.等比数列：设为正整数，若数列满足，则为等比数列； 2.（1）等比数列的通项公式：; （2）等比数列的广义通项公式：; 3. 等差中项：若为非零实数，且是等比数列，则; 4. 等比数列的前顶和公式：或. 12．设是等比数列，且，，则 . 13．在等比数列中，，，则的前5项和为 . 14．已知为等比数列，其前项和为，若，则其公比 . 15．已知等比数列为严格增数列，其前项和为若，，则该数列的公比为 ． 16．已知数列 的前n项和 满足 (其中常数q满足 若数列是等比数列，则实数p的值为 . 类型四：考查无穷等比数列所有项的和 👉知识点梳理： 无穷等比数列所有项的和： 17．设等比数列的前项和为，若，，则 ． 18．若无穷等比数列满足，则数列的公比为 . 19．等比数列满足，，则 . 20．设无穷等比数列的公比，，，则 21．已知数列的通项公式为，则= 类型五：考查等差数列、等比数列与不等式、函数、三角等综合知识 22．已知是等差数列，若分别是函数的两个零点，则 . 23．已知等比数列的首项为1，公比为q，其前n项和为．若，则q的取值范围为 ． 24．已知数列的通项公式为为数列的前项和，若，则实数的取值范围为 . 25．已知数列的通项公式为（其中是常数），若数列为严格增数列，则的取值范围为 ． 26．已知数列的通项公式为，其中为常数，设数列的前项和为，若且，则的取值范围为 . 27．设为等差数列，其前项和为，若，则满足的正整数 ． 28．已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，若，则实数的取值范围为 ． 29．已知，“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的 条件． 30．锐角三角形的三个内角的度数成等差数列，则其最大边长与最小边长比值的取值范围是 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 数列 新教材改革以来，数列在上海高考中的地位发生了变化，23年以前，数列是高考的重点，每年都会以压轴题出现，从这两年看，数列主要涉及等差、等比数列的通项公式、求和公式及基础性质的考查。 类型一：考查等差数列的通项公式 👉知识点梳理： 1. 等差数列：设为正整数，若数列满足，则为等差数列； 2. （1）等差数列的通项公式：； （2）等差数列的广义通项公式：； 1．等差数列首项为1，公差是3，则第5项等于 ． 【答案】 【分析】利用等差数列的通项公式求解即可. 【详解】设首项为1，公差是3的等差数列为， 则， 故. 故答案为： 2．若是首项为2，公差为3的等差数列，则 . 【答案】11 【分析】根据等差数列的通项公式求值即可. 【详解】由题意：， 所以. 故答案为：11 3．数列满足（n为正整数），且与的等比中项是2，则 . 【答案】1或 【分析】先判断是等差数列，然后根据等比中项的知识列方程求得. 【详解】由题意可得数列是公差为3的等差数列， ，， 与的等比中项是2，， 即，解得或， 或. 故答案为：1或 4．若等差数列满足，，则 ． 【答案】 【分析】根据等差数列性质可得，，再结合等差数列通项公式运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列， 则，即， 且，可得， 即，解得 故答案为：. 类型二：考查等差数列的求和公式及性质 👉知识点梳理： （1）等差数列的前顶和公式：或. （2）等差中项：若是等差数列，则. （3）已知数列是等差数列，若，则（等和性质）. 5．已知数列是等差数列，且，则其前7项和 ． 【答案】 【分析】利用公式法可求. 【详解】设等差数列的公差为，则， 故， 故， 故答案为： 6．已知为等差数列，为其前项和.若，，则 . 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意列出关于和的方程组，求出这两个量的值，然后利用等差数列的求和公式可求出的值. 【详解】设等差数列的公差为，由题意得，解得， 所以. 故答案为：. 7．等差数列的前7项的和为，则 . 【答案】 【分析】由等差数列的前项公式有，再由解得答案． 【详解】设为等差数列的前项和， 因为等差数列的前7项的和为28， 所以由等差数列的前项公式有， 即，又因为，所以. 故答案为：4. 8．已知是等差数列的前项和，若，则的值为 . 【答案】52 【分析】由可得，后由等差数列性质结合前n项和公式可得答案. 【详解】设公差为d ，由， 则. 则. 故答案为：52 9．设数列为等差数列，其前项和为，已知，则 ． 【答案】 【分析】根据下标和性质及等差数列求和公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故答案为： 10．设，，、，等差数列的首项，公差，若，则的值为 . 【答案】56 【分析】由等差数列通项公式及求和公式列出等式即可求解. 【详解】由，， 可得，又， 解得：. 故答案为：56. 11．数列中，，，若，则 . 【答案】9 【分析】先求等差数列求出通项，再求和得出参数. 【详解】由题知，数列为等差数列，， 则，即，故. 故答案为：9. 类型三：考查等比数列的通项公式、求和公式 👉知识点梳理： 1.等比数列：设为正整数，若数列满足，则为等比数列； 2.（1）等比数列的通项公式：; （2）等比数列的广义通项公式：; 3. 等差中项：若为非零实数，且是等比数列，则; 4. 等比数列的前顶和公式：或. 12．设是等比数列，且，，则 . 【答案】或 【分析】求出公比后，由等比数列通项公式得出结论． 【详解】因为是等比数列，且，， 解得，或，则或. 故答案为：或 13．在等比数列中，，，则的前5项和为 . 【答案】 【分析】设等比数列的公比为，根据所给条件求出，再由等比数列求和公式计算可得. 【详解】设等比数列的公比为，则，所以， 则的前5项和为. 故答案为：. 14．已知为等比数列，其前项和为，若，则其公比 . 【答案】 【分析】由等比数列求和公式代入即可求解； 【详解】由， 当时，显然不成立； 当时，可得， 即， 所以， 故答案为： 15．已知等比数列为严格增数列，其前项和为若，，则该数列的公比为 ． 【答案】 【分析】设出等比数列公比，由题意建立方程，解方程并验根，可得答案. 【详解】设等比数列的公比为，由，则，解得， 由，则，代入上式可得， 去分母可得，易知， 可得，分解因式可得， 易知，解得或， 当时，，则，单调递减，不合题意. 故答案为：. 16．已知数列 的前n项和 满足 (其中常数q满足 若数列是等比数列，则实数p的值为 . 【答案】 【分析】利用与的关系式消去，求得，根据等比数列，可得，计算即得p的值. 【详解】由① ， 当时，； 当时，② ， 由， 因数列是等比数列，故，解得. 故答案为：. 类型四：考查无穷等比数列所有项的和 👉知识点梳理： 无穷等比数列所有项的和： 17．设等比数列的前项和为，若，，则 ． 【答案】 【分析】利用等比数列的性质得，再利用等比数列的定义求得公比，进而求得，即可求解. 【详解】等比数列的前项和为，，， ，， ， ． 故答案为：． 18．若无穷等比数列满足，则数列的公比为 . 【答案】/ 【分析】由无穷等比数列的前项和求解即可. 【详解】设无穷等比数列的公比为， 因为无穷等比数列满足， 所以， 所以，所以， 解得：. 故答案为：. 19．等比数列满足，，则 . 【答案】 【分析】求出值，再由无穷递缩等比数列的求和公式计算． 【详解】，则，即，即， 因为，则， ∴． 故答案为：. 20．设无穷等比数列的公比，，，则 【答案】 【分析】根据等比数列的定义先分析出数列也为等比数列，再求出其前项和的极限即可. 【详解】由题意得，，，…， 以此类推，， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 因此. 故答案为. 21．已知数列的通项公式为，则= 【答案】 【分析】由等比数列的前项和公式求解即可； 【详解】数列的通项公式为， 则. 故答案为：. 类型五：考查等差数列、等比数列与不等式、函数、三角等综合知识 22．已知是等差数列，若分别是函数的两个零点，则 . 【答案】2 【分析】转化为是的两个根，由韦达定理和等差数列性质得到. 【详解】由题意得是的两个根， 由韦达定理得， 因为是等差数列，所以. 故答案为：2 23．已知等比数列的首项为1，公比为q，其前n项和为．若，则q的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据等比数列的知识化简已知条件，从而求得正确答案. 【详解】依题意，，即， 所以. 故答案为： 24．已知数列的通项公式为为数列的前项和，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】先证明是等差数列，再根据求和公式计算，解不等式即可. 【详解】当，， 当， 则（常数）。 则是首项为，公差为1的等差数列. 由题意知，，故， 故. 故答案为：. 25．已知数列的通项公式为（其中是常数），若数列为严格增数列，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意对任意恒成立，从而可得答案. 【详解】由数列为严格增数列，得恒成立， 因此对任意恒成立，而，当且仅当时取等号，则， 所以的取值范围为. 故答案为： 26．已知数列的通项公式为，其中为常数，设数列的前项和为，若且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，可得且，由此建立不等式组并求解即得. 【详解】数列的前项和为，由且，得且， 而，因此，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 27．设为等差数列，其前项和为，若，则满足的正整数 ． 【答案】15 【分析】由题意可得或，分类讨论可求得的值. 【详解】由，可得或， 当，可得，所以， 所以为单调递增数列，且前项为负，从第项开始为正， 又，， 所以，所以； 当，可得，所以， 所以为单调递增数列，且前项为正，从第项开始为负， 又，， 所以，所以； 综上所述：. 故答案为：. 28．已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先结合题意由等差和等比数列的基本量法求出两数列的通项进而求出，再构成函数，分析单调性和根即可. 【详解】由题意可得等差数列的公差为，所以，所以， 等比数列的公比为，则， 因为，即，即， 设， 由复合函数的单调性可得在上单调递增， 再由二分法确定当时，， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 29．已知，“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的 条件． 【答案】充要 【分析】根据给定条件，利用等差、等比数列的定义，结合正余弦定理及充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】在中，由、、成等差数列，得，而，则， 由、、成等比数列，得，由正弦定理得， 由余弦定理得，即，解得，因此是正三角形； 若是正三角形，则，， 因此、、成等差数列且、、成等比数列， 所以“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的充要条件. 故答案为：充要. 30．锐角三角形的三个内角的度数成等差数列，则其最大边长与最小边长比值的取值范围是 【答案】 【分析】求出的值，设等差数列、、的公差为，求出的取值范围，利用正弦定理、两角和与差的余弦公式、弦化切，可求得所求代数式的取值范围. 【详解】若锐角的三个内角、、的度数成等比数列， 则，解得，不妨设角为最小角， 设等差数列、、的公差为，则，， 所以，， ， 由题意可知，因为、为锐角，且， 即，解得，则， 所以， . 故答案为：. 试卷第2页，共13页 试卷第1页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $$