9.3.1 分式方程的定义及解法 学案2024-2025学年沪科版七年级数学下册

第9章 分式 9.3.1 分式方程的定义及解法 ► 学习目标与重难点 学习目标： 1.理解分式方程的定义，能识别分母含未知数的方程。 2.掌握去分母法解分式方程的步骤，包括找最简公分母、去分母化整式方程、求解并检验根的合理性。 3.通过对比整式方程，体会分式方程的特殊性与转化思想。 学习重点： 分式方程的定义及去分母法解分式方程的步骤。 学习难点： 增根的产生原因及检验方法。 ►教学过程 一、情境导入 问题：为了满足经济高速发展的需要，我国铁路部门不断进行技术革新，提高列车运行速度.兰(甘肃兰州)新(新疆乌鲁木齐)高铁里程全长约1776 km.若某直快列车改为高铁列车后，速度提高 48%运行时间缩短约6 h求直快列车的速度. 思考：题目中的等量关系是什么？你会设什么为未知数？你能列出方程吗？ 二、新知探究 探究一：分式方程 教材第115页 想一想：你列出的方程是整式方程吗？结合它们的特征，想一想，它们是什么方程? 【归纳】 分母中含有未知数的方程叫作__________。 主要特征：1.只含分式，或分式和整式 2.分母中含有未知数 探究二：分式方程的解法 教材第115页 思考：如何解分式方程 6? 探究三：增根 教材第116页 解方程2，把解得的根代入原方程中检验，你发现了什么？ 【归纳】 增根：如果原方程两边同乘以最简公分母变形后，得到的整式方程的根不是原方程的根，称为原方程的增根.解分式方程时可能会产生增根，所以解分式方程必须验根. 探究四：解分式方程的一般步骤 合作交流：由以上解方程的过程，你能总结出解分式方程的步骤吗？把你的结论与同学交流。 三、例题探究 例1解方程： 分式方程根的检验方法： 解分式方程时，通常在方程两边同乘以最简公分母，验根时，只要把求得的根代入最简公分母，看它的值是否为零，使它不为零的根才是原方程的根，使它为零的根即为增根，应舍去. 四、课堂练习 【知识技能类作业】 必做题 1.下列关于的方程中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2.分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 3.若关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A． B． C． D． 选做题 4.若关于的分式方程无解，则 ． 5.关于的分式方程有非负数解，则的取值范围为 ． 6.下列有四个结论： ①把分式中的，都扩大倍，分式的值不变； ②在实数范围内，不存在，，的值，使式子的值为； ③若，则； ④若关于的方程无解，则的值为或 其中正确的结论是 （填写序号） 【综合拓展类作业】 7.已知关于的分式方程． (1)当时，求方程的解． (2)若该分式方程无解，求的值． 五、课堂小结 这节课你收获了什么，在计算过程中须注意什么? 六、作业布置 1.已知关于的分式方程的解为正数，则非负整数的所有个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2.若分式方程无解，则的值为（　　） A．2 B． C．1 D． 3.已知分式（为常数）满足表格中的信息，则的积是（    ） 的取值 4 6 分式的值 无意义 0 A． B．6 C．4 D．2 4.若关于x的方程恒成立，若x的值非负，则m的取值范围是？ 答案解析 课堂练习： 1.【答案】D 【解析】A、是整式方程，不符合题意； B、是整式方程，不符合题意； C、是关于的整式方程，不符合题意； D、是分式方程，符合题意； 故选：D． 2.【答案】B 【解析】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 系数化为1得：， 经检验：是分式方程的解， 故选：B． 3.【答案】A 【解析】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 关于的分式方程有增根， ， 解得：． 故选：A ． 4.【答案】1 【解析】解：去分母得：， 解得：， ∵关于的分式方程无解， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5.【答案】且 【解析】解：解，得：， ∵方程有非负数解， ∴且， ∴且， ∴且； 故答案为：且． 6.【答案】①②③ 【解析】解：①把分式中的，都扩大倍得：，分式的值不变，故结论①正确； ②若， 则，即， ∴， 此时分式的分母为零，无意义， ∴在实数范围内，不存在，，的值，使式子的值为，故结论②正确； ③若，则， ∴，即， ∴，故结论③正确； ④方程两边同乘以，得： ， 整理得：， 当时，一元一次方程无解，此时； 当时，则， 解得：或， 综上所述，或或时，关于的方程无解，故结论④错误； ∴正确的结论有①②③． 故答案为：①②③． 7.【答案】【解析】 （1）解：当时，分式方程为， 去分母，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解； （2）解：， 去分母，得， 整理，得， ∵原分式方程无解， ∴分式方程产生增根，增根为， ∴， ∴． 作业布置： 1.【答案】A 【解析】解： 去分母，得：， 移项、合并，得：， 分式方程的解为正数， ，， 解得：，且， 非负整数解的有共3个， 故答案为：A． 2.【答案】B 【解析】解：， 化为整式方程：， ∵分式方程无解，则， ， 解得：， 故选：B． 3.【答案】D 【解析】解：∵当时分式无意义， ∴， ∴； ∵当时，分式的值为， ∴， ∴； ∴分式为， ∴根据表格可知：，， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， ∴， 故选：D． 4．【答案】解： 去分母得：， 解得：， ∵x的值非负， ∴， ∴且． 学科网（北京）股份有限公司 $$