专题10 分式方程中的增根与无解问题突破（压轴题专项训练）数学新教材沪科版七年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题10分式方程中的增根与无解问题突破 目录 典例详解 类型一、分式方程的增根识别与检验 类型二、分式方程无解的条件 压轴专练 典例详解 类型一、分式方程的增根识别与检验 1. 增根的来源 ①去分母时，两边同乘含未知数的整式（最简公分母）： ②若乘的整式可能为0，则产生增根： ③增根必使最简公分母为0，但不是原方程的根。 2. 检验方法 ①解出方程后，代入最简公分母： ②若分母为0，则为增根，舍去； ③若分母不为0，再代入原方程验证。 例1.(2025九年级上重庆专题练习)若关于x的分式方程2+，口=3 x x2-x x-1 有增根，则a的值是() A.0 B.2 C.2或3 D.0或2 变式1山.2526八年级下全国误后作着关守的分式方程2十，”2有增限，求该分式方程一 的增根， 3=0+4 变式12.(25-.26八年级下全国课后作业)若关于的分式方程。一2十x-2有增根，则该分式方程 的增根为】 变式13.(206八年级下全国专题练习)已知解关于的方程一+1=%时不会产生塔根，求m的取 =1-x 值范围。 类型二、分式方程无解的条件 1/3 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1. 无解的两种情况 ①无解的两种情况； ②整式方程有解，但所有解都是增根。 2. 解题思路 ①先按常规方法解分式方程； ②若整式方程无解，则原分式方程无解： ③若整式方程有解，代入最简公分母，若所有解均使分母为0，则无解。 【重要性质】 ①无解问题常与参数结合，需分类讨论： ②注意“无解”与“有增根”的区别：有增根不一定无解，可能还有别的根： ③若题目说“方程无解”，则需考虑上述两种可能。 -3-9x+3无解，则a的值 例2.(24-25七年级上上海假期作业)若关于x的分式方程3，+a“。4 为 变式21.(23-24七年级下安徽蚌埠期末)关于x的分式方程3-，7=m 1-xx-11 (1)若这个方程的解为x=2,则n的值为一； (2)若这个方程无解，则m的值为· x-2.2一有解，则a的值不能尼」 变式22.(25-26九年级上广东月考)若关于x的方程0。=、1 变式23。《25,26八年级上河商期未)玉林准备完成题日：解分式方程，产=2二3发现数字◆印 x-3 刷不清楚， (①)他把“◆”猜成5，请你解方程：x=2-5 x-3 -3 (②)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解.”通过计算说明原题中“◆”是几？ 压轴专练 一、填空题 1.(25-26八年级上河南许昌期末)若关于x的分式方程2。++0=1有塔增根，则Q=_ x-33-x 2.（25.26七年级上上海期末)若关于X的方程3，+m=2+m有增根，则m的值为 x-4'x+4x2-16 3.(25-26八年级上黑龙江大兴安岭期末)若关于x的分式方程1。 X-2+24无解。则满足条 k=3 件的k值为一 625-26七年级上上海宝山期末)如果关于x的方程十3-：无解，那么m的值为一了 x-1 2/3 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 二、解答题 mx+2=1 5.(2026八年级下全国专愿练习)若关于x的分式方程x-1x+2十x一x+2有增根，求m的值. 1-kx 6.(24-25七年级下安徽六安期末)关于x的方程1。+2= x-2 2-x (1)当k=3时，求该方程的解； (②)若该方程无解，求k的值. mx 1 了.（2324七年级下安微合肥期末)已知关于X的分式方程，行-+2中2一 ()若方程有增根，求n的值； (2)若方程无解，求m的值. 8.(23.24八年级下安徽宿州月考)已知关于x的分式方程-3-2m+m x-1 x-1 (1)若分式方程有增根，求m的值； (2)若分式方程无解，求m的值. 9.(25-26八年级下全国课后作业)已知关于x的分式方程-_3=1. x-1 x (1)若方程的增根为x=1,求a的值； (2)若方程有增根，求a的值； (3)若方程无解，求a的值. 10.(25-26八年级上内蒙古乌兰察布期末)已知关于x的分式方程1，=，+-3 x-22-x (1)若k=2时，求分式方程的解。 (②)若分式方程无解，求k的值. 3/3 专题10 分式方程中的增根与无解问题突破 目录 典例详解 类型一、分式方程的增根识别与检验 类型二、分式方程无解的条件 压轴专练 类型一、分式方程的增根识别与检验 1． 增根的来源 ① 去分母时，两边同乘含未知数的整式（最简公分母）； ② 若乘的整式可能为0，则产生增根； ③ 增根必使最简公分母为0，但不是原方程的根。 2． 检验方法 ① 解出方程后，代入最简公分母； ② 若分母为0，则为增根，舍去； ③ 若分母不为0，再代入原方程验证。 例1．（2025九年级上·重庆·专题练习）若关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A．0 B．2 C．2或3 D．0或2 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法及增根是解题的关键．有增根，即化为整式方程后解出的根会造成原方程分母为零．先解分式方程，再确定分母为零的值，再代入整式方程即可求出． 【详解】解：原方程：， 两边乘得：， 解得：， 原方程分母为零时， 或 ． 当增根 时，代入 得：，解得， 当增根 时，代入 得：，解得， 故选C． 变式1-1．（25-26八年级下·全国·课后作业）若关于的分式方程有增根，求该分式方程的增根． 【答案】该分式方程的增根为 【分析】本题考查了分式方程增根的定义与求解，掌握增根是使分母为零且满足去分母后整式方程的根这一核心，以及先找可能增根，再代入检验的步骤是解题的关键． 先确定原分式方程分母为零的可能增根，再去分母化为整式方程，代入可能的增根检验是否成立，从而确定真正的增根． 【详解】解：方程两边同乘，得． 该分式方程有增根， ， 或2． 当时，； 当时，不成立， ，增根不为2， 该分式方程的增根为． 变式1-2．（25-26八年级下·全国·课后作业）若关于的分式方程有增根，则该分式方程的增根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，掌握分式方程的增根是使分母为零的根，且能使去分母后的整式方程成立是解题的关键． 分式方程的增根是使公分母为零的根，公分母为 ，因此可能增根为 或 ，代入整式方程检验， 时方程不成立， 时方程成立当 ，因此增根为 ． 【详解】解：原方程为 公分母为 ，两边乘公分母得整式方程 增根为使公分母为零的 值，即 或 当 时，代入整式方程得 ，即 ，不成立； 当 时，代入整式方程得 ，即 ，解得 ， 此时整式方程有解 ，但 使原方程分母为零，故为增根 因此该分式方程的增根为 ． 故答案为： ． 变式1-3．（2026八年级下·全国·专题练习）已知解关于的方程时不会产生增根，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，掌握分式方程的增根是使分母为零的根，且满足整式方程是解题的关键． 先确定分式方程的最简公分母，找到可能的增根，将增根代入整式方程求出对应的值，从而确定的取值范围． 【详解】解：解分式方程， 变形右边： ​两边同乘 去分母： 解得． 当，即时，分式方程有增根． 把代入，得． 分式方程不会产生增根， ． 类型二、分式方程无解的条件 1． 无解的两种情况 ① 无解的两种情况； ② 整式方程有解，但所有解都是增根。 2． 解题思路 ① 先按常规方法解分式方程； ② 若整式方程无解，则原分式方程无解； ③ 若整式方程有解，代入最简公分母，若所有解均使分母为0，则无解。 【重要性质】 ① 无解问题常与参数结合，需分类讨论； ② 注意“无解”与“有增根”的区别：有增根不一定无解，可能还有别的根； ③ 若题目说“方程无解”，则需考虑上述两种可能。 例2．（24-25七年级上·上海·假期作业）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了分式方程的解及解分式方程．根据分式的性质化简，再根据解分式方程的方法求解，由分式方程无解（分式的分母为零，或解是分式，其分母为零）即可判定的值，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 【详解】解： ， ， 等式两边同时乘以得， ， 去括号得，， 移项得， ， 合并同类项得，， 系数化为得，， ∵分式方程无解，即或或， 即或或， ∴，解得，， ，解得，， 综上所述，的值为或或， 故答案为： 或或． 变式2-1．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）关于的分式方程． （1）若这个方程的解为，则的值为 ； （2）若这个方程无解，则的值为 ． 【答案】 5 3或7 【分析】（1）先把原分式方程化简为整式方程，整理得，把代入原方程，即可作答． （2）无解分分式方程有增根和去分母后的整式方程无解两种情况，进行列式代入数值，进行计算即可． 本题考查了解分式方程以及分式方程无解问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， 解得． 故答案为：5； （2），且该方程无解， 或者原分式方程的分母为0，即， ， 把代入，得， ， 综上：或，方程无解． 故答案为：3或7． 变式2-2．（25-26九年级上·广东·月考）若关于x的方程有解，则a的值不能是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查分式方程有解的条件，将分式方程化为整式方程，当时，即时，此方程变为，无解，当时，，当或，即或时，方程有增根，此时也无解，由此即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：去分母可得：， 整理可得：， 当时，即时，此方程变为，无解， 当时，， 当或，即或时，方程有增根，此时也无解， ∴或， 解得：或， ∴若关于x的方程有解，则a的值不能是或或， 故答案为：或或． 变式2-3．（25-26八年级上·河南·期末）王林准备完成题目：解分式方程： ，发现数字印刷不清楚． (1)他把“”猜成5，请你解方程： (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“”是几？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程、方程无解等知识点，掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键． （1）分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，然后再检验即可解答； （2）设原题中“”是a，分式方程变形后去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到，代入整式方程计算求出a的值即可． 【详解】（1）解：方程整理得：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， 分式方程的解为． （2）解：设原题中“”是， 方程变形得：， 去分母得：， 由分式方程无解，得到， 把代入整式方程得：． 答：原题中“”是． 一、填空题 1．（25-26八年级上·河南许昌·期末） 若关于x的分式方程有增根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，把原方程去分母化为整式方程，再解方程得到，分式方程有增根的条件是分母为零，则可得到关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 解得， ∵原方程有增根， ∴，即 ∴， ∴， 故答案为：． 2．（25-26七年级上·上海·期末）若关于的方程有增根，则的值为 ． 【答案】或22 【分析】本题考查了分式方程的增根．首先把分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到或，据此求出或，分别代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：方程两边都乘以，得 ， ∵方程有增根， ∴或， 解得或， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 故答案为：或22． 3．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）若关于x的分式方程无解，则满足条件的k值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程无解，理解分式方程无解的含义是解题的关键． 分式方程无解的情况有两种：一是化简后的整式方程无解；二是整式方程的解是增根（使原方程分母为零），分别求解即可． 【详解】解：方程两边同时乘以最简公分母 ，得： 整理得： 移项得： 当 即 时， 方程左边为 ，右边为 ，即 ，矛盾，整式方程无解，故原分式方程无解， 当 时，， 若解为增根，则 或 ， 当 时，，解得 ，即 ，得 ，不成立，无解， 当 时，，解得 ，即 ，整理得 ，所以 ，此时解为增根，故原方程无解， 综上，满足条件的 值为 或 ． 故答案为： 或 ． 4．（25-26七年级上·上海宝山·期末）如果关于的方程无解，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程（三）——去分母，根据分式方程解的情况求值，分式方程无解问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先去分母，化为关于x的一元一次方程求解，再根据原分式方程无解得出，求得的值． 【详解】解：去分母，得， 解得：， 因为原分式方程无解， 所以， 所以， 解得：， 故答案为：． 二、解答题 5．（2026八年级下·全国·专题练习）若关于x的分式方程有增根，求m的值． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程增根的概念及分式方程的解法，解题的关键是先确定增根的可能值，再将分式方程化为整式方程，最后代入增根求解参数． 先确定分式方程的分母为零的点，即增根可能为或；再将原分式方程两边同乘最简公分母化为整式方程；最后分别将增根代入整式方程，求解的值，并检验解的合理性． 【详解】解：原方程为， 方程两边同乘，得， 整理，得， 由分式方程有增根，得，解得或． 当时，代入，得， 解得． 当时，代入，得， 解得． 经检验，或均符合题意． 故的值为或． 6．（24-25七年级下·安徽六安·期末）关于的方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程无解，求的值． 【答案】(1) (2)2或1 【分析】本题考查解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数： （1）先将分式方程化为整式方程，求出解后代入检验即可； （2）先解方程，用含k的式子表示出x，，若该方程无解，则或，分别求解即可． 【详解】（1）解：时，关于的方程为， 化为整式方程，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 解得， 当时，， 因此该方程的解为； （2）解：， 等号两边同时乘以，得：， 解得， 若该方程无解，有两种情况： ，解得； ，即，解得，经检验符合， 综上可知，的值为2或1． 7．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知关于的分式方程． (1)若方程有增根，求的值； (2)若方程无解，求的值． 【答案】(1)m的值为或1．5 (2)m的值为或或1．5 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，正确的将分式方程转化为整式方程，明确方程产生无解的原因，能正确地根据产生的原因进行解答是关键． （1）方程两边同时乘以最简公分母，化为整式方程；若方程有增根，则最简公分母为0，从而求得x的值，然后代入整式方程即可得解； （2）方程无解，有两种情况，一种是原方程有增根，一种是所得整式方程无解，分别求解即可得． 【详解】（1）解：方程两边同时乘以，得 ， 整理得， ∵原分式方程有增根， ∴， 解得：或， 当时，； 当时，； 综上，m的值为或1．5． （2）解：当时，该整式方程无解，则原分式方程也无解，此时； 当时，要使原方程无解，由（2）得：或， 综上，m的值为或或1．5． 8．（23-24八年级下·安徽宿州·月考）已知关于的分式方程． (1)若分式方程有增根，求的值； (2)若分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把分式方程化为整式方程，再结合增根，得出，然后代入，进行计算，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再结合无解，进行分类讨论，即增根和都满足条件，即可作答． 【详解】（1）解：去分母，得． 由分式方程有增根，得． ． 把代入，得． 解得． 的值为． （2）解：去分母，得． ①当分式方程有增根时，此分式方程无解，即时分式方程无解． ②将上式整理，得． 当，即时，分式方程无解． 综上，若分式方程无解，的值为或． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值； (2)若方程有增根，求的值； (3)若方程无解，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是分式方程的无解问题． （1）原方程化为整式方程，然后代入增根求解即可； （2）由增根求出x的值，然后代入化简后的整式方程即可； （3）方程无解，可分为有增根和化简后的整式方程无解两种情况求解即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 方程整理，得． ∵是原分式方程的增根， ∴， 解得． （2）解：， 方程整理，得． 因为原分式方程有增根，所以或， 解得或． ∵不可能是整式方程的根， ∴原分式方程的增根为，所以， 解得． （3）解：， 方程整理，得． ①当时，整式方程无解， 此时； ②当时，要使原方程无解，则或． 由（2），得． 综上所述，或． 10．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）已知关于x的分式方程 (1)若时，求分式方程的解． (2)若分式方程无解，求k的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）将代入，分式方程去分母转化为整式方程，即可求出x的值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求解得到，由分式方程无解，得到或，即可求出的值． 【详解】（1）解：当时， 检验：当时，分母 ； （2） ， 当整式方程无解时，，， 当时，则， ， ， 综上，或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $