第9章 二元一次方程组【单元卷·测试卷】-2024-2025学年六年级数学下册单元速记·巧练（沪教版2024）

第9章 二元一次方程组（单元卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：90分钟； 总分：100分 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1．下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．“践行垃圾分类助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设米乐收集了节废电池，琪琪收集了节废电池，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 3．已知方程，用含的式子表示为（    ） A． B． C． D． 4．春节小红去花店购买鲜花，若买支玫瑰和支百合，则她所带的钱还剩下元；若买支玫瑰和支百合，则她所带的钱还缺元，若只买支玫瑰，则她所带的钱还剩下（   ） A．30元 B．25元 C．31元 D．28元 5．若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．若一个长方形可以分割为几个大小不同的小正方形，则称这个长方形为完美长方形， 1925年数学家莫伦发现了第一个完美长方形， 它被分割成9个大小不同的正方形，已知最小正方形的周长为8，则最大正方形的面积为（    ）    A．1296 B．1444 C．2304 D．20736 第II卷（非选择题） 2、 填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．若是关于x，y的二元一次方程，则m的值为 ． 8．已知是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 9．2025年春节，随着《哪吒2》电影的爆火，某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办．已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价便宜20元，按售价购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办共需540元．若设“哪吒”“敖丙”手办的售价分别为元、元，根据题意，可列方程组为 ． 10．已知方程组，则 ． 11．若二元一次方程组的解满足，则k的值是 ． 12．已知x，y均为整数，按如下程序运算，输出结果为8．请写出满足条件的一对x，y的值 ．   13．如图，用15块形状和大小完全相同的小长方形纸片拼成一个宽是10厘米的大长方形，则大长方形的面积是 平方厘米． 14．已知关于的方程组，以下结论： ①当时，方程组的解也是方程的解； ②存在实数，使得； ③不论取什么实数，的值始终不变； 其中正确的序号是 ． 15．二元一次方程的非负整数解是 ． 16．若一个四位自然数，满足千位数字与个位数字之和为6，百位数字与十位数字之和也为6，则称它为“顺利数”，请问最小的“顺利数”为 ．将“顺利数”M的前三位数字组成的三位数记为m，它的后三位数字组成的三位数记为n，规定：，若能被7整除，则满足条件的M的最大值与最小值的差为 ． 17．已知，，，…，中每一个数值只能取、0、1中的一个，且满足，，则 ． 18．已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为 ． 3、 （本大题共7小题，共64分） 19．解下列方程组： (1) (2) 20．解三元一次方程组： 21．在课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，飞镖盘上A区域所得分值和B区域所得分值不同，每人各投4次飞镖，其落点如图所示，已知小杰和小明的4次飞镖总分分别是分和分．求小丽的4次飞镖总分． 22．2014年世界杯足球赛将于6月13日月14日在巴西举行.2014年巴西世界杯的吉祥物已经确定为一只可爱的三色犰狳（又称：铠鼠），吉祥物官方名称确定为“”（福来哥）（如图所示）．小鑫在一家销售巴西世界杯吉祥物的网站上，看到“福来哥”小毛绒玩偶每个元，大毛绒玩偶每个元．小鑫手上有元钱，想买大、小毛绒玩偶共个，如果将钱恰好用完，那么大、小毛绒玩偶各买了多少个？ 23．“五一”节前，某商店拟购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用元． (1)A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？ (2)销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为元/台，B种品牌电风扇定价为元/台，商店拟用元购进这两种品牌电风扇（两种都有，且元刚好全部用完），为能在销售完这两种品牌电风扇后获得最大利润，该商店应采用哪种进货方案？ 24．对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与 （填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为，的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出、的值；如果不具有，请说明理由． 25．我们知道： 关于的二元一次方程有无数个解，每个解记为点，称点为“中国结”，这些“中国结”在同一条直线上，称这条直线是所有“中国结”的“复兴线”，记作“复兴线”．特别的，我们把横坐标与纵坐标相等的“中国结”称为“超级中国结”，把横坐标与纵坐标均为整数的“中国结”称为“奇妙中国结”．回答下列问题： (1)已知，则是“复兴线”的“中国结”的是____； (2)“复兴线” （是常数且） 是否存在“超级中国结”？若存在，请求出“超级中国结”的坐标；若不存在，请说明理由； (3)平面直角坐标系中，，若“复兴线”与线段的交点为“奇妙中国结”，求整数a的值． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 二元一次方程组（单元卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：90分钟； 总分：100分 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1．下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的概念．二元一次方程是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程．两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程组．利用二元一次方程组的定义逐一选项判断即可． 【详解】解：A、方程组中方程不是整式方程， ∴该方程组不是二元一次方程组，不符合题意． B、∵方程组中方程是二次方程， ∴该方程组不是二元一次方程组，不符合题意； C、∵方程组含有三个未知数， ∴该方程组不是二元一次方程组，不符合题意； D、方程组是二元一次方程组，符合题意． 故选：D． 2．“践行垃圾分类助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设米乐收集了节废电池，琪琪收集了节废电池，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据米乐及琪琪收集废电池数量间的关系，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：米乐比琪琪多收集了7节废电池， ； 若米乐给琪琪8节废电池，则琪琪的废电池数量就是米乐的2倍， ． 根据题意可列方程组为． 故选：A． 3．已知方程，用含的式子表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程，移项，再把y的系数化为即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：方程移项得，， 两边同时除以得，， 故选：． 4．春节小红去花店购买鲜花，若买支玫瑰和支百合，则她所带的钱还剩下元；若买支玫瑰和支百合，则她所带的钱还缺元，若只买支玫瑰，则她所带的钱还剩下（   ） A．30元 B．25元 C．31元 D．28元 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设每支玫瑰元，每支百合元，根据总价单价数量结合小慧带的钱数不变，可得出关于，的二元一次方程，整理后可得出，再将其代入中即可求出结论． 【详解】设每支玫瑰元，每支百合元， 依题意，得：， ， ． 故选：C． 5．若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键，根据题意两式相加得，根据，可解得，即而得到答案． 【详解】解： 得：， 整理得：， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6．若一个长方形可以分割为几个大小不同的小正方形，则称这个长方形为完美长方形， 1925年数学家莫伦发现了第一个完美长方形， 它被分割成9个大小不同的正方形，已知最小正方形的周长为8，则最大正方形的面积为（    ）    A．1296 B．1444 C．2304 D．20736 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用二元一次方程组解决几何问题，解题的关键是假设未知数，找准等量关系． 对各正方形进行编号，假设正方形②的边长为，正方形③的边长为，表示出所有正方形的边长，找出等量关系，列出二元一次方程组进行求解即可． 【详解】解：如图所示，对各正方形进行编号，    根据题意可得： 正方形①的边长为： 假设正方形②的边长为，正方形③的边长为，则， 则正方形④的边长为， 正方形⑥的边长为， 正方形⑦的边长为， 正方形⑤的边长为， 正方形⑧的边长为， 正方形的边长为和，则， ∴， 解得， ∴最大正方形的面积为， 故选：A． 第II卷（非选择题） 2、 填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．若是关于x，y的二元一次方程，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，根据二元一次方程的定义得出，，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， 故答案为：2． 8．已知是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及解一元一次方程，将代入原方程，可得出，解之即可得出k的值． 【详解】解：将代入原方程得， 解得：， ∴k的值为． 故答案为：． 9．2025年春节，随着《哪吒2》电影的爆火，某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办．已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价便宜20元，按售价购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办共需540元．若设“哪吒”“敖丙”手办的售价分别为元、元，根据题意，可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 本题根据“哪吒”比“敖丙”每个便宜20元以及购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办的总费用为540元，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意，“哪吒”比“敖丙”每个便宜20元， 即： 购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办的总费用为540元， 因此：， 将以上两个方程联立，得到方程组： ． 故答案为：． 10．已知方程组，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了解三元一次方程组；方程组中三个方程左右两边相加，变形即可得到的值． 【详解】解：， ①②③，得 ， ， 故答案为：． 11．若二元一次方程组的解满足，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，把方程组中两个方程相加得到，再由题意可得，据此可建立方程求解． 【详解】解： 得， ∵二元一次方程组的解满足， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．已知x，y均为整数，按如下程序运算，输出结果为8．请写出满足条件的一对x，y的值 ．   【答案】（答案不唯一） 【分析】根据运算程序列出方程，取方程的一组整数解即可．此题考查了解二元一次方程，弄清题中的运算程序是解本题的关键． 【详解】解：依题意， ∵x，y均为整数， 当时，则， 解得 ∴是符合题意的； 故答案为：（答案不唯一）． 13．如图，用15块形状和大小完全相同的小长方形纸片拼成一个宽是10厘米的大长方形，则大长方形的面积是 平方厘米． 【答案】180 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形纸片的长为厘米，宽为厘米，由大长方形的宽为10厘米，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设小长方形纸片的长为厘米，宽为厘米， 根据题意得：， 解得：， 则大长方形的面积（平方厘米）， 故答案为：180． 14．已知关于的方程组，以下结论： ①当时，方程组的解也是方程的解； ②存在实数，使得； ③不论取什么实数，的值始终不变； 其中正确的序号是 ． 【答案】②③/③② 【分析】本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的方法和二元一次方程的解的定义是解题的关键． 当时，得，可判断结论①；由得，求出，可判断结论②，解方程组得到，继而得到，可判断结论③，即可得到答案． 【详解】解： 当时，得， 方程组的解不是方程的解， 故结论①错误； 得， ， ， ， 存在实数，使得， 故结论②正确； 解方程组得， ， 不论取什么实数，的值始终不变； 故结论③正确； 综上所述，结论正确的序号是②③， 故答案为：②③． 15．二元一次方程的非负整数解是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了求二元一次方程的非负整数解，由方程可得，根据为非负整数可得或，据此解答即可求解，掌握解二元一次方程的解的方法是解题的关键． 【详解】解：由方程得， ∴， ∵为非负整数， ∴或， ∴或， 当时，；当时，， ∴二元一次方程的非负整数解是为或， 故答案为：或． 16．若一个四位自然数，满足千位数字与个位数字之和为6，百位数字与十位数字之和也为6，则称它为“顺利数”，请问最小的“顺利数”为 ．将“顺利数”M的前三位数字组成的三位数记为m，它的后三位数字组成的三位数记为n，规定：，若能被7整除，则满足条件的M的最大值与最小值的差为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义——数字“顺利数”．熟练掌握数字表达式，解二元不定方程，是解题的关键．设“顺利数”（，，，）当千位和百位最小时“顺利数”最小，为；根据，，得，得，根据能被7整除，得，能被7整除，和当时，最大，当时，最小，即得两数之差． 【详解】解：设“顺利数”，则，， 当最小时，则，，，， ∴最小的“顺利数”为， 由“顺利数”的定义可得：，，，，且为整数， ∵，， ∴， ∴， ∵能被7整除， ∴能被7整除， ∴能被7整除， ∴当时，最大， 当时，最小， ∴． 故答案为：，5175 17．已知，，，…，中每一个数值只能取、0、1中的一个，且满足，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，根据题意列出关于p、q的二元一次方程组是解答此题的关键．先设有个取，个取，其余的取，根据，可得出关于，的二元一次方程组，求出，的值，再把，及的值代入求解． 【详解】解：设有p个x取1，q个x取， 则有， 解得， ∴． 故答案为：． 18．已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能求出是解此题的关键． 先求出方程组的解，再结合已知条件得到，然后根据a，b均为正整数最后得出答案即可． 【详解】解方程组得： ∵方程组的解满足 ∴， ∴， ∵ ∴ 整理得， ∵a，b均为正整数 ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； ∴n的值为0，，，共3个． 故答案为：3． 3、 （本大题共7小题，共64分） 19．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）运用加减消元法求解即可； （2）将方程组去分母化简后，运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴这个方程组的解为； （2）解：， 整理，得， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴这个方程组的解为． 20．解三元一次方程组： 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组，掌握加减消元法是关键．利用加减消元法解方程即可得答案． 【详解】解： ③-①，得④， ②+④，得， 解得． 把代入④，得， 解得． 把代入①，得 原方程组的解为． 21．在课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，飞镖盘上A区域所得分值和B区域所得分值不同，每人各投4次飞镖，其落点如图所示，已知小杰和小明的4次飞镖总分分别是分和分．求小丽的4次飞镖总分． 【答案】小丽的4次飞镖总分为分． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设A区域所得分值为x分，B区域所得分值为y分，根据小杰及小明的总分，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：设A区域所得分值为x分，B区域所得分值为y分，依题意得： ， 解得：， ． 答：小丽的4次飞镖总分为分． 22．2014年世界杯足球赛将于6月13日月14日在巴西举行.2014年巴西世界杯的吉祥物已经确定为一只可爱的三色犰狳（又称：铠鼠），吉祥物官方名称确定为“”（福来哥）（如图所示）．小鑫在一家销售巴西世界杯吉祥物的网站上，看到“福来哥”小毛绒玩偶每个元，大毛绒玩偶每个元．小鑫手上有元钱，想买大、小毛绒玩偶共个，如果将钱恰好用完，那么大、小毛绒玩偶各买了多少个？ 【答案】大毛绒玩偶买了个，小毛绒玩偶买了个． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．设大毛绒玩偶买了个，小毛绒玩偶买了个．根据“大毛绒玩偶小毛绒玩偶个、购买大毛绒玩偶总额购买小毛绒玩偶总额元”列出方程组并解答即可得答案． 【详解】解：设大毛绒玩偶买了个，小毛绒玩偶买了个， ∵大、小毛绒玩偶共个、小毛绒玩偶每个元，大毛绒玩偶每个元，购买总额为元， ∴， 解得：． 答：大毛绒玩偶买了5个，小毛绒玩偶买了10个． 23．“五一”节前，某商店拟购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用元． (1)A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？ (2)销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为元/台，B种品牌电风扇定价为元/台，商店拟用元购进这两种品牌电风扇（两种都有，且元刚好全部用完），为能在销售完这两种品牌电风扇后获得最大利润，该商店应采用哪种进货方案？ 【答案】(1)两种品牌电风扇每台的进价分别是元，元 (2)购进种品牌电风扇7台，种品牌电风扇2台 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用及销售问题，熟练的根据题意列出方程并掌握二元一次方程组的解法是解题的关键， （1）设两种品牌电风扇每台的进价分别是元，元，由题意列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）设购进种品牌电风扇台，种品牌电风扇台，根据题意，列出二元一次方程，求其正整数解，再分别计算出各种方案下的利润，即可得出答案． 【详解】（1）解：设两种品牌电风扇每台的进价分别是元，元， 根据题意，得 解得 答：两种品牌电风扇每台的进价分别是元，元． （2）解：设购进种品牌电风扇台，种品牌电风扇台，根据题意，得， 其正整数解为或或 当时， 利润为（元）； 当时， 利润为（元）； 当时， 利润为（元）． 因为， 所以当时，利润最大． 答：为能在销售完这两种品牌电风扇后获得最大利润，该商店应购进种品牌电风扇7台，种品牌电风扇2台． 24．对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与 （填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为，的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出、的值；如果不具有，请说明理由． 【答案】(1)具有，理由见解析 (2)或 (3)具有“友好关系”，或 【分析】（1）求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； （2）求出方程组的解，根据“友好关系”的定义列出方程解答即可求解； （3）由方程组可得，再根据都是正整数求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，方程组的解，理解定义是解题的关键． 【详解】（1）解：具有“友好关系”，理由如下： ， ①②得，， 解得， 将代入②得，， 解得， ∴方程组的解为， ， 方程组的解与具有“友好关系”， 故答案为：具有； （2）解：， ②①得，， ∴ 方程组的解与具有“友好关系”， ， 解得或， 的值为或； （3）解：， ①得，， 解得， 由②得， ∴ ∵方程组的解具有“友好关系”； ∴ ∴ ∴其中与都是正整数， ∴或 ∴或时，此时方程组的解具有“友好关系”． 25．我们知道： 关于的二元一次方程有无数个解，每个解记为点，称点为“中国结”，这些“中国结”在同一条直线上，称这条直线是所有“中国结”的“复兴线”，记作“复兴线”．特别的，我们把横坐标与纵坐标相等的“中国结”称为“超级中国结”，把横坐标与纵坐标均为整数的“中国结”称为“奇妙中国结”．回答下列问题： (1)已知，则是“复兴线”的“中国结”的是____； (2)“复兴线” （是常数且） 是否存在“超级中国结”？若存在，请求出“超级中国结”的坐标；若不存在，请说明理由； (3)平面直角坐标系中，，若“复兴线”与线段的交点为“奇妙中国结”，求整数a的值． 【答案】(1)A (2)存在唯一“超级中国结”的坐标为 (3)的值为 【分析】本题主要考查二元一次方程的计算，理解题目中的相关概念及计算，掌握二元一次方程的解的计算是关键． （1）根据“中国结”的定义代入计算即可求解； （2）根据“超级中国结”的定义进行计算，当时，可得，分类讨论即可求解； （3）根据“奇妙中国结”的定义计算，根据题意得到轴，“奇妙中国结”的纵坐标为，代入，整理得，分类讨论计算即可求解． 【详解】（1）解：，“复兴线”， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 故选：A； （2）解：已知“复兴线”，把横坐标与纵坐标相等的“中国结”称为“超级中国结”， 当时，由，消去得到：， ∴此方程的解的情况决定“超级中国结”的存在情况， ①当，即时，方程无解，不存在“超级中国结”； ②当，即时，方程有无数个解，此时存在无数个“超级中国结”，“超级中国结”的坐标可表示为（为任意实数）； ③当，即时， 得， ∴这种情况下存在唯一“超级中国结”的坐标为． （3）解：已知“复兴线”，把横坐标与纵坐标均为整数的“中国结”称为“奇妙中国结”， ∵，即纵坐标相等， ∴轴，“奇妙中国结”的纵坐标为， 代入，整理得， 当，即时，等式不成立，舍去， 当，即时，， ∵均为整数， ∴，或， 对应的， 当时，，此时“奇妙中国结”没有在线段上，应舍去， ∴的值为． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$