专题06 复杂图形类解三角形问题5种常考压轴题归类-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教B版2019必修第四册）

专题06 复杂图形类解三角形问题 5种常考压轴题归类 解决三角形图形类问题的方法： 方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 压轴题型一：三角形中线模型 满分技法 的三边分别为,边上的中线分别记为,利用余弦定理证明. 证明设边上的中线为,在中, ① 在中,② 由于,①+②可得,即有,同理可证. 值得一提的是,此结论除了可以用余弦定理证明以外,还可以用向量证明,证明如下: 因为, 所以,③ 在中,由余弦定理得:④ 由③④得. 比较上述两种证法,可以发现,如果已知的是三边,那么选择前一种方法好些,如果已知的是夹角,那么后一种做法相对好些.熟记这组结论,无论是对填空题还是大题,无论是对思维还是计算都大有裨益. 1．（24-25高一下·陕西西安·期中）在中，若，，边上的中线长为，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，，，边上的中线，则的面积S为(    ) A． B． C． D． 3．（23-24高三上·浙江·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)若，求边上的中线的长． 4．（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求A； (2)若，求中BC边中线AD长． 5．（22-23高一下·湖南长沙·期中）在锐角中，角的对边分别是，，，若 (1)求角的大小； (2)若，求中线长的范围（点是边中点）. 压轴题型二：平面四边形模型 满分技法 通法流程：设角，在某个三角形中由正弦定理用角表示边，在另一个三角形中用正弦定理或余弦定理找到等量关系，进而得出结论。若存在特殊三角形（如直角三角形、等腰三角形），优先从特殊三角形设角。 多角求解：当从一个三角形难以找到等量关系时，尽可能多求图中的角，通过寻找两个三角形中的共同边或角来建立等量关系解题。 6．（24-25高一下·广东清远·期中）如图，在平面四边形中，，，，，则 . 7．（24-25高一下·河南漯河·阶段练习）已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角的平分线，CB与AD相交于点O，，，. (1)求的值； (2)求的长； (3)若，求的面积. 8．（24-25高一下·浙江金华·阶段练习）如图，在中，内角所对的边分别为，已知，，．    (1)求的值； (2)若为边上一点，且，求的长． 9．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）如图，在四边形中，已知的面积为，记的面积为.    (1)求的大小； (2)若外接圆半径为1，求的周长最大值. (3)若，设，，问是否存在常数，使得成立，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 10．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图：四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知，，，且    (1)求BO的长； (2)若，求的值． 11．（24-25高三下·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，是边长为的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记. (1)若，求的长； (2)用表示的长度； (3)求的面积的取值范围. 12．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 压轴题型三：直角三角形模型 满分技法 设角表示边：要求某个角，可设该角为，从直角三角形出发，用表示其余两边。 定理找等式：寻找新的三角形，运用正弦定理寻找等式。若难以确定在哪个三角形中找等式，可在两个不同三角形中找到同一条边的不同表达，从而建立等式求解。 13．（24-25高一下·海南海口·阶段练习）如图，在中，，，，为内一点，且． (1)若，求的长； (2)若，求． 14．（23-24高一下·云南玉溪·期中）如图，在中，，为边上一点且，. (1)若，求的面积； (2)求的取值范围. 15．（23-24高一下·重庆·期末）某工业园区有A、B、C共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区外选择P处建一仓库，若，则CP的最大值为（    ）    A．6km B． C． D． 压轴题型四：外接圆模型 满分技法 . 正弦定理用半径：不要忽视利用正弦定理处理三角形外接圆半径， 设角求解：出现角之间的关系时，设其中一个小角为，再结合正弦定理、余弦定理求角，进而求解相关问题。 16．（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图，已知的内接四边形ABCD中，，，，则（   ） A．四边形ABCD的面积为 B．该外接圆的半径为 C．过D作交BC于F点，则 D． 17．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在圆内接四边形中，已知，，平分.则的值为 . 18．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）如图，已知圆的内接四边形中， ，，. 下列说法正确的是（    ）    A．四边形的面积为 B．该外接圆的直径为 C． D．过作交于点， 则 19．（2024·全国·模拟预测）已知：在中，M，N，P三点分别在边上，则，，的外接圆交于一点O，称为密克点．在梯形中，，，为边的中点，动点在边上，与的外接圆交于点（异于点），则的最小值为 ．    20．（22-23高一下·河南平顶山·期末）如图所示，四边形的外接圆为圆.    (1)求； (2)若，求的长. 21．（2022·江苏南京·模拟预测）法国的拿破仑提出过一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰好是一个等边三角形的三个顶点”.在中，，以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，，则 ；若的面积为，则三角形中的最大值为 . 22．（2021·河北·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，. （1）求B； （2）如图，圆O是的外接圆，延长交于点H，过圆心O作交于点G，且.求的长. 压轴题型五：相似三角形模型 满分技法 若题目中存在两直线平行等可构成相似三角形的条件，利用三角形相似求出相关线段长度。再在所得三角形中，运用余弦定理等求解边长或角度。 23．（20-21高一下·广东东莞·期末）在四边形中，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 24．（2020·山西运城·模拟预测）梯形中，，，，，与的交点为，则 . 一、单选题 1．（24-25高三上·河南驻马店·阶段练习）平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题，很多数学定理以费马的名字命名．对而言，若其内部的点满足，则称为的费马点．在中，已知，设为的费马点，，的外接圆半径长为，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）如图是某人设计的产品图纸，已知四边形ABCD的三个顶点A，B，C在某圆上，且，，，，，则该圆的面积为（    ）． A． B． C． D． 3．（23-24高一下·河南南阳·期中）如图，在中，，，为边AB的中点，线段AC与DE交于点，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·浙江宁波·期中）如图所示，在梯形中，，，点是上一点，，的面积为，则的长为（    ） A． B． C．8 D． 5．（23-24高一下·吉林·期末）如图，在平面四边形中，为钝角三角形，，则四边形的面积的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 6．（24-25高三上·河北·期中）已知四边形的外接圆半径为，若，四边形的周长记为，则当取最大值时，四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在平面四边形中，B，D位于线段的两侧，已知，，，，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）在中，D在线段上，且，，若，，则（   ） A． B．的面积为 C．为锐角三角形 D．的周长为 9．（24-25高三上·宁夏·期中）在中，，，，的角平分线交于，则（    ） A．是钝角三角形 B． C． D． 10．（23-24高二上·河南·阶段练习）如图，已知，M，N分别为两边上的点，，过M，N做圆弧，Q为的中点，且，则线段AQ长度的可能值为（    ）    A．2 B． C．5 D． 11．（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）如图，在四边形中，已知，，，，，则以下说法正确的有（    ） A． B． C．四边形的面积为 D． 三、填空题 12．（2025·河南·二模）若为等边内一点，，，，则 . 13．（2025·江西景德镇·模拟预测）在三角形中，已知，为三角形外接圆上一点（按逆时针方向排列），则四边形面积的最大值为 ． 14．（24-25高一下·河北邯郸·期中）四点共圆是平面几何中一种重要位置关系，古希腊数学家对凸四边形（是指没有角度大于180°的四边形）进行研究时，分别总结出如下结论： （1）（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立． （2）（婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大． 根据上述材料，如图，在凸四边形中，若，，，求四边形面积取得最大值时角的大小为 ，并求出此时四边形的面积为 ． 四、解答题 15．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）设的内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求的周长； (3)如图，点是外一点，设，且，记的面积S，求S关于的关系式，并求S的取值范围. 16．（24-25高一上·河北石家庄·期末）近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点在圆弧MN上，点在边ON上，且，米，设. (1)求扇形OMN的面积； (2)若，求矩形ABCD的面积； (3)若矩形ABCD的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 17．（24-25高一下·浙江宁波·阶段练习）已知A、B、C、D为平面四边形的四个内角． (1)若，，求； (2)如图，若，，，，. ①证明：； ②求的值． 18．（24-25高三下·湖北·阶段练习）已知四边形中，与相似，且． (1)求； (2)求的面积． 19．（24-25高一下·安徽·阶段练习）在中，已知. (1)求的取值范围； (2)若，点在线段上，且，，求的大小. 20．（24-25高一下·云南昆明·阶段练习）在中，角的对边分别为，已知，，为边上一点． (1)若为的中点，且，求； (2)若的面积为，且平分，求的长． 21．（24-25高一下·山东·阶段练习）在三角形中，分别是边的中点，已知． (1)求三角形的面积； (2)求三角形的周长． 22．（24-25高三上·辽宁大连·期中）在平面四边形中，，且. (1)中，设角、、的对边分别为、、，若. ①当时，求的值； ②当时，求ac的最大值. (2)若，当变化时，求长度的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 复杂图形类解三角形问题 5种常考压轴题归类 解决三角形图形类问题的方法： 方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 压轴题型一：三角形中线模型 √满分技法 的三边分别为,边上的中线分别记为,利用余弦定理证明. 证明设边上的中线为,在中, ① 在中,② 由于,①+②可得,即有,同理可证. 值得一提的是,此结论除了可以用余弦定理证明以外,还可以用向量证明,证明如下: 因为, 所以,③ 在中,由余弦定理得:④ 由③④得. 比较上述两种证法,可以发现,如果已知的是三边,那么选择前一种方法好些,如果已知的是夹角,那么后一种做法相对好些.熟记这组结论,无论是对填空题还是大题,无论是对思维还是计算都大有裨益. 1．（24-25高一下·陕西西安·期中）在中，若，，边上的中线长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的模长，可求解，，即可根据正弦定理求解. 【详解】由图可知边上的中线, 故,进而, 故，解得(负值舍去)， 又，则, 故，解得， 在中，由正弦定理可得， 故, 故选：C 2．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，，，边上的中线，则的面积S为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长到点使，连接，根据可得面积等于的面积，利用余弦定理求出，再求出sin∠ACE，根据三角形面积公式即可求得答案． 【详解】如图所示， 延长到点使，连接， 又∵，∴(SAS)， ∴的面积等于的面积． 在中，由余弦定理得， 又，则， ∴． 故选：C． 3．（23-24高三上·浙江·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)若，求边上的中线的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将条件式用商数关系切化弦，再利用三角恒等变换和正弦定理角化边化简得，代入条件，结合余弦定理可得解； （2）由（1）得，利用正余弦定理角化边得，由向量可得，平方根据向量数量积运算可得解. 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， 即， 由正弦定理可得， ∵，∴， 又∵， ∴， ∴．∴. （2）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴. 4．（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求A； (2)若，求中BC边中线AD长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和得正弦公式化简即可得解； （2）先利用余弦定理求出，再利用向量化即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 即， 即， 所以， 又，所以， 又，所以； （2）由余弦定理得， 即，所以， 因为为中BC边的中线， 所以， 则 ， 所以.    5．（22-23高一下·湖南长沙·期中）在锐角中，角的对边分别是，，，若 (1)求角的大小； (2)若，求中线长的范围（点是边中点）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理进行边角转化，可得到，从而求出结果； （2）先利用向量的中线公式得到，再利用正、余弦定理及条件求出的范围，进而求出结果. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得： 即，所以， 因为，所以，所以，因为，所以. （2）由（1）得，且，由余弦定理知，，得到， 因为点D是边BC中点，所以，两边平方可得: ， 所以， 因为，又，， 所以, 又因为为锐角三角形， 所以，，得到， 所以，由的图像与性质知，， 所以，所以，得到 故. 压轴题型二：平面四边形模型 √满分技法 通法流程：设角，在某个三角形中由正弦定理用角表示边，在另一个三角形中用正弦定理或余弦定理找到等量关系，进而得出结论。若存在特殊三角形（如直角三角形、等腰三角形），优先从特殊三角形设角。 多角求解：当从一个三角形难以找到等量关系时，尽可能多求图中的角，通过寻找两个三角形中的共同边或角来建立等量关系解题。 6．（24-25高一下·广东清远·期中）如图，在平面四边形中，，，，，则 . 【答案】/ 【分析】设，由正弦定理得，，两式相除即可求出. 【详解】设，在中，由正弦定理可得①， 由可得，则，， 在中，由正弦定理可得②， ①②两式相除，得，即， 整理得，故. 故答案为： 7．（24-25高一下·河南漯河·阶段练习）已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角的平分线，CB与AD相交于点O，，，. (1)求的值； (2)求的长； (3)若，求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）因为，利用二倍角公式直接求解即可； （2）在中，由余弦定理先求出，再求出，再把分成两个三角形，即和，利用三角形的面积公式列出等式，即可求出； （3）方法一，在中，利用正弦定理先求出，的正弦及余弦值，利用差角的正弦公式求出，在中，由余弦定理求出，再利用求面积即可；方法二，在等腰中，由去求，得到与的比例关系，从而得到与及与的比例关系，即可求出的面积. 【详解】（1）因为，对角线为钝角的平分线， 所以， 解得或（舍）， 所以； （2）由题意，在中，由余弦定理可得 ， 即， 整理可得，解得或（舍去）， 因为，所以， 又因为， 所以， 所以， 解得； （3）方法一：在中，由正弦定理可得， 即，所以， 因为为钝角，所以， 因为，所以， 所以，所以， 在中，由余弦定理可得 ， 解得， 因为 ， 所以； 方法二：在中，由， 可得，所以， 所以，所以， 又由于，从而，即， 所以， ， 所以. 8．（24-25高一下·浙江金华·阶段练习）如图，在中，内角所对的边分别为，已知，，．    (1)求的值； (2)若为边上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求解，由正弦定理即可求解. （2）作辅助线根据解直角三角形知识分别求出和即可. 【详解】（1）由余弦定理得： ∴ , 由正弦定理：得. （2）如图所示：    过作于，在中， ，， ∴，，在中，.       ∴       ∴ ∴ 9．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）如图，在四边形中，已知的面积为，记的面积为.    (1)求的大小； (2)若外接圆半径为1，求的周长最大值. (3)若，设，，问是否存在常数，使得成立，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】(1)利用余弦定理即三角形的面积公式，结合已知条件即可求出； (2)利用正弦定理将的周长中的边转化为角，再结合辅助角公式化简，利用即可求出的周长最大值； (3)设，将图形中的角用来表示，结合正弦定理即可求出的值，再利用三角形的面积公式即可求出的值. 【详解】（1）在中，由余弦定理知，， 所以， 因为， 所以，即， 又因为，所以； （2）由正弦定理得，，又， 所以，，， 由(1)可知，所以， 所以的周长， ， ， ， 因为，所以， 所以，所以的周长的取值范围是， 所以的周长的最大值为； （3）设，则，，， 在中，由正弦定理得，，即， 在中，由正弦定理，，即， 因为， 两式作商得，， 即，因为，所以， 所以，所以， 所以，， 假设，所以， 解得. 10．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图：四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知，，，且    (1)求BO的长； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，在和中分别应用余弦定理即可求解； （2）由（1）知，设,，，在和中分别应用正弦定理可得，结合已知可得，代入等式即可求解. 【详解】（1）设，，所以，， 在中，， 在中，， 因为，解得，所以BO的长为； （2）由（1）知，设,，， 在中，， 在中，， 所以， 若，则与全等，所以， 所以，所以， 不成立，所以 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以的值为. 11．（24-25高三下·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，是边长为的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记. (1)若，求的长； (2)用表示的长度； (3)求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理直接计算即可； （2）在中，直接利用正弦定理可得出关于的表达式； （3）利用三角形面积公式，结合辅助角公式及三角函数值域求出面积范围. 【详解】（1）由，且是边长为的正三角形， 则，且， 所以在中，由余弦定理得， 所以. （2）由，则，则， 在中，由正弦定理有， 得， （3）由三角形的面积公式得 ， 又，且，则，所以， 所以，则， 故的取值范围为. 12．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，，在中，利用正弦定理可得出，然后在中应用余弦定理可求出的值，由此可求得的长. 【详解】因为，，则， 设，则，， 在中，，，故， 由正弦定理可得，则， 在中，由余弦定理可得， 即，解得，故. 故选：C. 压轴题型三：直角三角形模型 √满分技法 设角表示边：要求某个角，可设该角为，从直角三角形出发，用表示其余两边。 定理找等式：寻找新的三角形，运用正弦定理寻找等式。若难以确定在哪个三角形中找等式，可在两个不同三角形中找到同一条边的不同表达，从而建立等式求解。 13．（24-25高一下·海南海口·阶段练习）如图，在中，，，，为内一点，且． (1)若，求的长； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，先求出，再在中，利用余弦定理求解即可； （2）设，则，在中，利用正弦定理求出，再在中，求出，进而可得出答案. 【详解】（1）在中，， 则， 所以， 在中，由余弦定理得 ， 所以； （2）设，则， 在中，因为， 所以, 在中，, 所以，即， 所以，即. 14．（23-24高一下·云南玉溪·期中）如图，在中，，为边上一点且，. (1)若，求的面积； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，利用正弦定理可求出的值，进而求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积； （2）利用正弦定理得出，，由三角形的内角和定理得出，且，利用三角恒等变换化简得出，利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1），，，且为锐角， 在中，由正弦定理得， 解得，， ， . （2）在中，由正弦定理得，可得， 在中，由正弦定理得，可得， ， ，，且， ， ，，， 故的取值范围为. 15．（23-24高一下·重庆·期末）某工业园区有A、B、C共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区外选择P处建一仓库，若，则CP的最大值为（    ）    A．6km B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据锐角三角函数可得，再在中利用余弦定理得到，再由三角恒等变换公式及三角函数的性质求出，即可得解． 【详解】设，， 则， 在中，， 在中， 所以当时，，， 所以最大值为． 故选：C． 压轴题型四：外接圆模型 √满分技法 . 正弦定理用半径：不要忽视利用正弦定理处理三角形外接圆半径， 设角求解：出现角之间的关系时，设其中一个小角为，再结合正弦定理、余弦定理求角，进而求解相关问题。 16．（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图，已知的内接四边形ABCD中，，，，则（   ） A．四边形ABCD的面积为 B．该外接圆的半径为 C．过D作交BC于F点，则 D． 【答案】BCD 【分析】对于A：在中，利用余弦定理结合圆的性质可得，进而可求得，，再利用面积公式运算求解；对于B：可知四边形的外接圆为即为的外接圆，利用正弦定理求外接圆半径；对于C：根据几何性质分析可得在方向上的投影向量为，进而可得结果.对于D：根据几何性质分析可得在方向上的投影向量为，进而可得结果； 【详解】 对于A：连接，由题意可知，则， 在中，由余弦定理可得， 即，解得， 所以， 且，则，即， 所以四边形的面积 ， 故A错误； 对B：该四边形的外接圆为即为的外接圆，设外接圆的半径为， 在中，由正弦定理可得， 即，故B正确； 对于C：由题意可得：， 过作，垂足，则为的中点，可得， 在方向上的投影向量即为， 所以，故C正确； 对于D：过作，垂足，则为的中点，可得， 过作，垂足，可得， 故，即在方向上的投影向量为， 所以，故D正确； 故选：BCD. 17．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在圆内接四边形中，已知，，平分.则的值为 . 【答案】 【分析】设，利用余弦定理分别解，根据圆的性质可建立方程计算，再根据向量的线性运算及数量积的运算律计算即可. 【详解】设，因为平分，所以. 在中由余弦定理可知：， 作差可得， 又. 故答案为： 18．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）如图，已知圆的内接四边形中， ，，. 下列说法正确的是（    ）    A．四边形的面积为 B．该外接圆的直径为 C． D．过作交于点， 则 【答案】ACD 【分析】A选项，利用圆内接四边形对角互补及余弦定理求出，，进而求出，利用面积公式进行求解；B选项，在A选项基础上，由正弦定理求出外接圆直径；C选项，作出辅助线，利用数量积的几何意义进行求解；D选项，结合A选项和C选项中的结论，先求出∠DOF的正弦与余弦值，再利用向量数量积公式进行计算. 【详解】对于A，连接，在中，， 在中，， 由于，所以，故， 解得， 所以，，所以， 故， ， 故四边形的面积为，故A正确；    对于B，设外接圆半径为，则， 故该外接圆的直径为，半径为，故B错误； 对于C，连接，过点作于点，过点B作于点，则由垂径定理得：， 由于，所以，即， 解得，所以，所以，且， 所以，即在向量上的投影长为1，且与反向， 故，故C正确；    对于D，由C选项可知：，故，且， 因为，由对称性可知：为的平分线，故， 由A选项可知：，显然为锐角， 故，， 所以 ， 所以，故D正确.    故选：ACD 19．（2024·全国·模拟预测）已知：在中，M，N，P三点分别在边上，则，，的外接圆交于一点O，称为密克点．在梯形中，，，为边的中点，动点在边上，与的外接圆交于点（异于点），则的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】延长，交于点得为正三角形，且得、、的外接圆有唯一公共点为密克点Q，接着由题给条件推出是直角三角形，进而得其外接圆半径，再在中由余弦定理求出即可得的最小值. 【详解】延长，交于点E，则由题可知为正三角形，为正三角形，      由题设结论，，的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点Q， 故点Q在的外接圆上，如上图， 又由题，, 所以，故， 所以是直角三角形，而， 故外接圆半径，且圆心为， 在中，由余弦定理，    所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决本题得关键是正确作出辅助线，从而创造密克环境找到并明确点位置，从而结合已知条件得出是直角三角形且其外接圆半径以及是点B与外接圆上的点的距离，于是求出即可求出. 20．（22-23高一下·河南平顶山·期末）如图所示，四边形的外接圆为圆.    (1)求； (2)若，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得出，由余弦定理得出，最后由正弦定理求出； （2）由，，结合余弦定理得出. 【详解】（1）由，可得. 设， 在中，由余弦定理得，即， 解得（舍去）或， 由正弦定理得. （2）， 由已知得， 设. 在中，由余弦定理得， ，即.. 21．（2022·江苏南京·模拟预测）法国的拿破仑提出过一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰好是一个等边三角形的三个顶点”.在中，，以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，，则 ；若的面积为，则三角形中的最大值为 . 【答案】 4 【分析】第一空，根据正三角形的外接圆圆心也即正三角形的中心，即可求得答案， 第二空，根据等边的面积求出边长，利用正弦、余弦定理求出、和，求出，结合基本不等式，求得答案. 【详解】第一空，由于是正外接圆圆心，故也是它们的中心， 所以在中，，同理, 由，所以; 第二空：由题意知为等边三角形，设边长为， 则，解得； 设，，， 在等腰中，，则， 解得，同理得， 在中，由余弦定理得， 即，即， 即 ，故， 解得 ，当且仅当时取等号， 故三角形中的最大值为4， 故答案为： 22．（2021·河北·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，. （1）求B； （2）如图，圆O是的外接圆，延长交于点H，过圆心O作交于点G，且.求的长. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）结合已知条件和余弦定理，可推出，再利用余弦定理，即可求得的值； （2）由正弦定理得外接圆的半径，延长，交圆于点，作于点，结合圆的性质知为等边三角形，进而得，再证，推出点为的中点，从而得解． 【详解】解：（1）由余弦定理知，， ∵， ∴，化简得， 由余弦定理知，， ∵，∴． （2）设圆的半径为； 由正弦定理知，，∴， 延长，交圆于点，作于点， 则， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即点为的中点， ∴． 压轴题型五：相似三角形模型 √满分技法 若题目中存在两直线平行等可构成相似三角形的条件，利用三角形相似求出相关线段长度。再在所得三角形中，运用余弦定理等求解边长或角度。 23．（20-21高一下·广东东莞·期末）在四边形中，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理求出对角线夹角的余弦，再由余弦定理求得线段长． 【详解】设与交于点， 因为，，，， 所以，， ， 所以， ， 所以． 故选：B． 24．（2020·山西运城·模拟预测）梯形中，，，，，与的交点为，则 . 【答案】 【分析】设，可知，与的夹角为，，结合△与△相似，可用表示出，进而可求出. 【详解】如图，设，则， 易知△与△相似，所以， 所以，， 因为与的夹角为，，所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 一、单选题 1．（24-25高三上·河南驻马店·阶段练习）平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题，很多数学定理以费马的名字命名．对而言，若其内部的点满足，则称为的费马点．在中，已知，设为的费马点，，的外接圆半径长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】中，由正弦定理求出，中，由外接圆半径长结合正弦定理求. 【详解】，，则， 中，由正弦定理得，， 的外接圆半径长为，由正弦定理，， .    故选：C. 2．（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）如图是某人设计的产品图纸，已知四边形ABCD的三个顶点A，B，C在某圆上，且，，，，，则该圆的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据直角三角形求出,再利用余弦定理求出,结合正弦定理可得圆的半径，然后可得面积. 【详解】连接AC， 在中，，，， 则， 所以，， 因为，所以， 所以，， 所以， 所以， 设该圆的半径为R，则， 所以该圆的面积为． 故选：B． 3．（23-24高一下·河南南阳·期中）如图，在中，，，为边AB的中点，线段AC与DE交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助几何性质可得，借助余弦定理可得，再借助余弦定理的推论即可得解. 【详解】因为，，所以是等边三角形，所以， 因为，所以，所以， 设，则， 在中，由余弦定理可得， 所以． 故选：C. 4．（23-24高二下·浙江宁波·期中）如图所示，在梯形中，，，点是上一点，，的面积为，则的长为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】设，求得，得到方程，再由的面积为，得到，联立方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由题意，设，则， 可得，整理得， 又由，即， 联立可得，联立方程组，解得， 所以. 故选：A. 5．（23-24高一下·吉林·期末）如图，在平面四边形中，为钝角三角形，，则四边形的面积的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】（方法一）设，利用余弦定理求出，由，求出四边形的面积为，求出最大值； （方法二）四边形的面积，求出最大值. 【详解】（方法一）设，则，在中，， 因为，所以. 四边形的面积为 ， 当，即时， 四边形的面积取得最大值，最大值为. （方法二）四边形的面积. 故选：B 6．（24-25高三上·河北·期中）已知四边形的外接圆半径为，若，四边形的周长记为，则当取最大值时，四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理和基本不等式可确定当且时，取得最大值； 根据此时为四边形外接圆直径和解三角形的知识，可求得此时四边形的面积. 【详解】在中，， （当且仅当时取等号）， ； ，， 在中，， （当且仅当时取等号）， ； ； 当取得最大值时，且， 为弦的垂直平分线，为四边形外接圆的直径， ，， 又此时， ，， 当取得最大值时，四边形的面积. 故选：A. 7．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在平面四边形中，B，D位于线段的两侧，已知，，，，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，可得四边形有外接圆，利用余弦定理、正弦定理求出外接圆的直径，再借助勾股定理及直角三角形面积公式求解. 【详解】由，，得四边形的外接圆的直径为， 所以在中，，由余弦定理得， 由正弦定理得，， 所以四边形的面积. 故选：D 二、多选题 8．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）在中，D在线段上，且，，若，，则（   ） A． B．的面积为 C．为锐角三角形 D．的周长为 【答案】ABD 【分析】A选项，设，则，由余弦定理列出方程，得到，故，由正弦定理得到；B选项，由三角形面积公式进行求解；C选项，利用同角三角函数关系得到，利用余弦定理得到；D选项，利用，得到D正确. 【详解】A选项，设，则， 由余弦定理得， 解得，负值舍去，故， 由正弦定理得， 其中， 故，解得，A正确； B选项，， ，B正确； C选项，由于，故为锐角， 又，故，故， 在中，由余弦定理得 ， 故， 因为，故在中，最大角为， 由余弦定理得， 故为钝角，C错误； D选项，的周长为，D正确. 故选：ABD 9．（24-25高三上·宁夏·期中）在中，，，，的角平分线交于，则（    ） A．是钝角三角形 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据余弦定理结合余弦的和角公式可判定A、B，作出三角形图形，利用边角关系、角平分线的性质及勾股定理计算可判定C、D. 【详解】由题意可知边长最大，即B是最大角， 由余弦定理知， 则，是锐角三角形，故A错误； 由余弦定理知，则，故B正确； 由上可知，作出三角形图形如上， 由平分，可知，即，故C正确； 作，易得均为等腰直角三角形， 且，所以，故D正确. 故选：BCD 10．（23-24高二上·河南·阶段练习）如图，已知，M，N分别为两边上的点，，过M，N做圆弧，Q为的中点，且，则线段AQ长度的可能值为（    ）    A．2 B． C．5 D． 【答案】BCD 【详解】设，则． 在中，由正弦定理知，所以． 因为Q为的中点，所以，所以． 在中，． 由余弦定理可得 ． 显然，所以，所以． 故选：BCD． 11．（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）如图，在四边形中，已知，，，，，则以下说法正确的有（    ） A． B． C．四边形的面积为 D． 【答案】AB 【分析】分别在、中，利用余弦定理求得，即可判断A；利用勾股定理判断B；结合面积公式求四边形的面积，即可判断C；对于D：利用两角和差公式求，结合角的关系分析判断. 【详解】连接， 对于AB，在中，由余弦定理可得， 即， 在中，由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得，故A正确； 可知，则，故B正确； 对于CD，可得，所以四边形的面积为，故C错误； 在中，可得， 在中，可得， 则， 若，注意到， 则，可得， 即，故D错误； 故选：AB. 三、填空题 12．（2025·河南·二模）若为等边内一点，，，，则 . 【答案】/ 【分析】在中，由正弦定理可得，再在中，利用正弦定理化简可得，进而可得与，即可得解. 【详解】 如图所示，设等边三角形的边长为， 又，，， 则，，， 在中，由正弦定理可得， 化简可得，即， 在中，由正弦定理， 化简可得，即， 又在中可知，， 则，， 即， 故答案为：. 13．（2025·江西景德镇·模拟预测）在三角形中，已知，为三角形外接圆上一点（按逆时针方向排列），则四边形面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】由余弦定理及正弦定理求出，将问题转化为求面积的最大值，利用余弦定理及基本不等式求解. 【详解】由余弦定理可得， , 所以， 所以，所以， 所以，， 在中， , 即，所以，当且仅当时等号成立， 所以， 所以四边形的面积， 所以当，即为 中点时，四边形面积最大值. 故答案为： 14．（24-25高一下·河北邯郸·期中）四点共圆是平面几何中一种重要位置关系，古希腊数学家对凸四边形（是指没有角度大于180°的四边形）进行研究时，分别总结出如下结论： （1）（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立． （2）（婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大． 根据上述材料，如图，在凸四边形中，若，，，求四边形面积取得最大值时角的大小为 ，并求出此时四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】先分析出当 A、B、C、D四点共圆时，四边形的面积达到最大，然后分别在，中，根据余弦定理表示出，再由圆的内接四边形对角互补，即可求出角A；再根据三角形的面积公式分别求出，的面积，相加即可得到四边形的面积. 【详解】由题设当 A、B、C、D四点共圆时，四边形的面积达到最大，如图， 连接，在中，由余弦定理得： ，① 在中，由余弦定理得： ，② 因为A、B、C、D四点共圆，所以， 从而，③ 由①②③解得 ，因为，所以 ． 从而， ， 所以 ． 故答案为：；. 四、解答题 15．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）设的内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求的周长； (3)如图，点是外一点，设，且，记的面积S，求S关于的关系式，并求S的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； （2）由向量数量积运算律以及，结合余弦定理计算可得周长； （3）利用正弦定理表示出S关于的关系式，构造函数求导得出单调性可得S的取值范围. 【详解】（1）由可得； 由正弦定理可知， 所以， 所以，即. 由余弦定理， 因此. （2）因为，所以等号两边同时平方可得； 即. 又，由（1）知， 所以，可得，所以， 因此的周长为. （3）由正弦定理可得，即， 且，即. 因为四边形的内角和为，且， 所以 所以. ， 记， 令， 则. 因为在中，所以，所以， 所以当时，单调递增. 当，即时，； 当，即时，， 则， 所以. 16．（24-25高一上·河北石家庄·期末）近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点在圆弧MN上，点在边ON上，且，米，设. (1)求扇形OMN的面积； (2)若，求矩形ABCD的面积； (3)若矩形ABCD的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 【答案】(1)平方米. (2)平方米. (3)，最大值为. 【分析】（1）由扇形面积公式可得； （2）根据，求得和的长度，即可求得矩形的面积； （3）利用直角三角形利用半径与分别表示出，进而可得矩形面积表达式，利用辅助角公式将化简变形，结合角的范围求最大值可得. 【详解】（1）由题意，，扇形半径即米， 则扇形OMN的面积为平方米. （2）因为，在中，，， 在中，，则， 所以. 则矩形ABCD的面积. 所以当时，矩形ABCD的面积平方米. （3）在中，，， 在中，，则， 所以. 则矩形ABCD的面积 ， 所以，其中. 由于， 则当时，即时，. 所以当时，取得最大值，最大值为. 17．（24-25高一下·浙江宁波·阶段练习）已知A、B、C、D为平面四边形的四个内角． (1)若，，求； (2)如图，若，，，，. ①证明：； ②求的值． 【答案】(1)10 (2)①证明见解析；② 【分析】（1）利用三角形全等得到，再利用余弦定理即可求得结果. （2）①利用二倍角公式与同角三角函数的商数关系即可证明， ②先对所求式子化简得到，原式即是求的结果，再多次利用余弦定理即可求得结果. 【详解】（1）易知四边形是平行四边形 在中，由余弦定理得 同理在三角形得到：, 因为，，且有公共边AC，所以, 所以,又,所以,即, 所以在平行四边形中,, 故， （2）证明：①等式左边==右边              所以等式成立．                                                                                                                      ②由，得，， 由①可知： ，                                                                                                                         连结BD， 在中，由余弦定理有， ，，，， 在中，由余弦定理有， 所以， 则： 又，可知， 于是，                                                                                连结AC，同理可得：， 又，可知， 于是                                                                                         所以 18．（24-25高三下·湖北·阶段练习）已知四边形中，与相似，且． (1)求； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分，与，两种情况讨论，结合相似的性质计算可得； （2）分别利用余弦定理求出、，即可求出，再由面积公式计算可得. 【详解】（1）因为与相似，且， 当，时，，即，解得，； 当，时，、、共线，不符合题意； 综上可得，；    （2）在中，由余弦定理， 所以， 在中，由余弦定理， 所以， 所以 ， 所以. 19．（24-25高一下·安徽·阶段练习）在中，已知. (1)求的取值范围； (2)若，点在线段上，且，，求的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角和的正切公式求出，再根据三角形内角和定理结合三角恒等变换化简，再根据三角函数的性质即可得解； （2）在中，求出，在中，利用正弦定理求出角，注意检验. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 因为，所以，则， 所以 ， 由知，所以， 即的取值范围为； （2）在中，，，则， 在中，由正弦定理得， 即，所以 因为，所以，所以， 则或，解得或， 当时，，此时不存在，舍去； 综上，. 20．（24-25高一下·云南昆明·阶段练习）在中，角的对边分别为，已知，，为边上一点． (1)若为的中点，且，求； (2)若的面积为，且平分，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的模长公式即可求解， （2）利用等面积法即可结合面积公式求解. 【详解】（1）在中，，因为为的中点， 所以， 两边平方得， 则，解得 （2）因为平分， 所以， 又， 即 所以， 解得， 21．（24-25高一下·山东·阶段练习）在三角形中，分别是边的中点，已知． (1)求三角形的面积； (2)求三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】如图设，利用结合余弦定理可得三角形三边. （1）由余弦定理可得，进而可得，即可得面积； （2）三边相加可得周长. 【详解】（1）如图，因分别是边的中点， 则设. 注意到， 则. 则由余弦定理： . 解得.则在三角形中，. 由余弦定理可得， 从而. 则三角形的面积为：； （2）由（1）易得三角形的周长为 22．（24-25高三上·辽宁大连·期中）在平面四边形中，，且. (1)中，设角、、的对边分别为、、，若. ①当时，求的值； ②当时，求ac的最大值. (2)若，当变化时，求长度的最大值. 【答案】(1)①16；② (2) 【分析】（1）①根据正弦定理结合三角恒等变换与化简即可； ②作于，根据几何关系可得，再根据基本不等式求解即可； （2）设，由余弦定理可得，由正弦定理可得，再根据余弦定理可得，进而可得长度的最大值. 【详解】（1）①当时，由正弦定理可得，故 . ②当时，因为，故均为锐角，作于. 由图可得，，由可得 ，故，则 . . 故 ，当且仅当， 即时取等号，故的最大值为 （2）设，由余弦定理，即. 由正弦定理可得. 则， . 故当时，取最大值，即的最大值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$