精品解析： 2025年河南省南阳市油田中招一模数学试卷

2025年南阳油田中招第一次模拟考试试卷 数 学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 将在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是（ ） A. B. 1 C. D. 3 2. 唐三彩是对汉代釉陶的发展，最早出现于唐高宗时期．下列唐三彩中，不考虑颜色和纹样等因素，只观察形状主视图和左视图相同的是（ ） A. B. C. D. 3. 在年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 4. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C D. 5. 如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的对角线，交于点，以下条件不能证明是菱形的是（ ） A. B. C D. 7. 如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（ ） A B. C. D. 9. 如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 将常温中温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算的结果为______． 12. 某型号蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，即，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为_________（V）． 13. 体育老师要在甲和乙两人中选择人参加篮球投篮大赛，下表是两人次训练成绩，从稳定的角度考虑，老师应该选______参加比赛． 甲 乙 14. 如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 _____________． 15. 矩形纸片中，，点M在边所在的直线上，且，将矩形纸片折叠，使点B与点M重合，折痕与分别交于点E，F，则线段的长度为_______________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 某校为增强学生身体素质，以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练，并对学生进行专项体能测试，以下是某次八年级男生引体向上测试成绩的抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取若干名男生的测试成绩． 【整理数据】将抽取的成绩进行整理，用x(引体向上个数)表示成绩，分成四组： A组，B组，C组，D组． 【描述数据】根据抽取的男生成绩，绘制出如下不完整的统计图． 【分析数据】抽取的八年级男生测试成绩的平均数为8，中位数为8，众数为11． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求A组人数，并补全条形统计图； （2）估计该校八年级参加测试的400名男生中成绩不低于10个的人数； （3）从平均数、中位数和众数这三个统计量中任选一个，解释其在本题中的意义． 18. 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图，是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）请找出截面的圆心O．（尺规作图不写画法，保留作图痕迹．） （2）若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深的地方为，求这个圆形截面的半径． 19. 如图，在中，，，点为上一点，，过点作交于点．点，的距离为，的周长与的周长之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 20. 研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米； 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，． 21. 2025年春节档，电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，其周边文创产品也备受消费者追捧，某文具店果断订购了印有影片图案A，B两种书签．经统计：订购15张A种书签与25张B种书签，共需付款275元；订购20张A种书签和30张B种书签，共需付款340元． （1）求A，B两种书签每张的进价分别是多少元？ （2）该文具店计划购进A，B两种书签共60张，A种书签的购进数量不超过B种书签数量的三分之一，已知A，B两种书签的销售单价分别为10元和12元，如何规划购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少元？ 22. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 23. 综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． （1）【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是______； （2）【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； （3）【类比迁移】在(2)的条件下，连接交于点，则______； （4）【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年南阳油田中招第一次模拟考试试卷 数 学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 将在数轴上对应点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，正确理解有理数所表示的点左右移动后得到的点所表示的数是解题的关键．将在数轴上对应的点向右平移2个单位，在数轴上找到这个点，即得这个点所表示的数． 【详解】根据题意：数轴上所对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是1． 故选B． 2. 唐三彩是对汉代釉陶的发展，最早出现于唐高宗时期．下列唐三彩中，不考虑颜色和纹样等因素，只观察形状主视图和左视图相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是根据主视图和左视图的定义，发挥空间想象能力选出正确的选项． 分别求出对应几何体的主视图和左视图即可得到答案． 【详解】解：根据从正面看到的图形和从左面看的图形相同的只有选项B符合， 故选：B． 3. 在年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，有理数的除法，熟练掌握大数的科学记数法的表示方法是解题的关键．先求得前三日平均每天的票房为元，再利用科学记数法表示． 【详解】解：亿， 前三日平均每天的票房为（元）， ， 故选：C． 4. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断． 【详解】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意； B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意； C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意； D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意； 故选：D． 5. 如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的定义，对顶角的性质，根据垂线的定义得到，根据对顶角相等得到，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如图，的对角线，交于点，以下条件不能证明是菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定．根据菱形的判定，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是菱形，故本选项不符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴是菱形，故本选项不符合题意； C、∵， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴是菱形，故本选项不符合题意； D、∵， ∴，无法得到是菱形，故本选项符合题意； 故选：D 7. 如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，有圆周角定理可得出，有圆的切线定理可得出，由直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵以为直径的与相切于点A， ∴， ∴． 故选：D． 8. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是运用树状图求概率，运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数是解答本题的关键． 运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数，然后用概率公式解答即可． 【详解】解：列树状图如图所示， 共有9种情况，至少一辆车向右转有5种， ∴至少一辆车向右转的概率是， 故选：D． 9. 如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，全等三角形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ， ，． 点的坐标为， ，， 点的坐标为． 故选：B． 10. 将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，根据温度计上升到一定的温度后不变，可得答案；注意温度计的温度升高到时温度不变． 【详解】解：将常温中的温度计插入一杯（恒温）的热水中，注意温度计的温度升高到时温度不变，故C选项图象符合条件， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法，底数不变，指数相减是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 某型号蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，即，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为_________（V）． 【答案】64 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用．根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为，其中U为电压，再把代入可得U的值． 【详解】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为， ∵过， ∴（V）， 故答案为：64． 13. 体育老师要在甲和乙两人中选择人参加篮球投篮大赛，下表是两人次训练成绩，从稳定的角度考虑，老师应该选______参加比赛． 甲 乙 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了方差，分别求出甲乙的方差即可判断求解，掌握方差计算公式是解题的关键． 【详解】解：甲的平均数为， ∴， 乙的平均数为， ∴， ∵， ∴甲成绩更稳定， ∴应选甲参加比赛， 故答案为：甲． 14. 如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 _____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．用扇形的面积减去的面积即可解决问题． 【详解】解：由题知， （）， ∵点，分别是，的中点， ∴（）， ∴（）， ∴花窗的面积为 故答案为：． 15. 矩形纸片中，，点M在边所在的直线上，且，将矩形纸片折叠，使点B与点M重合，折痕与分别交于点E，F，则线段的长度为_______________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，解直角三角形，分类讨论是解题的关键． 由折叠的性质可得，证明，可得，然后分两种情况：当点在点的右侧时，当点在点的左侧时，即可求解． 【详解】解：设交于点，由折叠的性质得：， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， 又， ∴， ∴； 当点在点的右侧时，如图所示， 矩形纸片中， ∵，，， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 当点在点的左侧时，如图所示， ∵，，， ∴在中，，  ∴， ∵， ∴ ∴， 综上所述，的长为：或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算及分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据二次根式的混合运算法则计算即可得答案； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可得答案． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 某校为增强学生身体素质，以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练，并对学生进行专项体能测试，以下是某次八年级男生引体向上测试成绩的抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取若干名男生的测试成绩． 【整理数据】将抽取的成绩进行整理，用x(引体向上个数)表示成绩，分成四组： A组，B组，C组，D组． 【描述数据】根据抽取的男生成绩，绘制出如下不完整的统计图． 【分析数据】抽取的八年级男生测试成绩的平均数为8，中位数为8，众数为11． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求A组人数，并补全条形统计图； （2）估计该校八年级参加测试的400名男生中成绩不低于10个的人数； （3）从平均数、中位数和众数这三个统计量中任选一个，解释其在本题中的意义． 【答案】（1）12人，见解析 （2）180人 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，中位数、众数、方差和加权平均数，理解中位数、众数、方差的意义以及和加权平均数的计算方法是解决问题的关键． （1）用组的频数除以组的频率，可得样本容量，再用样本容量分别减去其它三组的频数，即可得出组的频数，进而补全条形统计图； （2）用400乘样本中成绩不低于10个的人数所占比例即可； （3）根据平均数、中位数和众数解答即可． 【小问1详解】 解：样本容量：， 故组人数为：(人， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 (人， 答：估计该校八年级参加测试的400名男生中成绩不低于10个的人数大约有180人； 【小问3详解】 从平均数看，估计该校八年级男生引体向上测试成绩的平均个数为8个． 从中位数看，估计该校八年级男生引体向上测试成绩至少有一半不低于8个． 从众数看，估计该校八年级男生引体向上测试成绩为11个的最多．(答案不唯一，任选其中一个说明即可)． 18. 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图，是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）请找出截面的圆心O．（尺规作图不写画法，保留作图痕迹．） （2）若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深的地方为，求这个圆形截面的半径． 【答案】（1）见解析； （2）这个圆形截面的半径 【解析】 【分析】此题考查了作图-应用与设计作图，垂径定理的应用和勾股定理． （1）任取一条弦，分别作，的垂直平分线交点即为圆心，根据尺规作图的步骤和方法做出图即可； （2）连接，交于点E，交弧于点D，利用垂径定理求出，设半径为，则，再根据勾股定理列方程计算即可． 【小问1详解】 解：如图，点O即为所求， 【小问2详解】 解：如图，连接，交于点E，交弧于点D， ∴， 由题意得，， 设半径为，则， 在中，， ∴， 解得， ∴这个圆形截面的半径． 19. 如图，在中，，，点为上一点，，过点作交于点．点，的距离为，的周长与的周长之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】（1） （2）函数图象见解析，随x增大而增大，随x增大而减小 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质与判定： （1）证明，根据相似三角形的性质得到，据此可得答案； （2）根据（1）所求利用描点法画出对应的函数图象并根据函数图象写出对应的函数图象的性质即可； （3）找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 由函数图象可知，随x增大而增大，随x增大而减小； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时的取值范围． 20. 研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米； 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，． 【答案】点A到地面的距离的长约为27米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 延长交于点，根据矩形的性质得到，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：延长交于点， 由题意得，四边形为矩形， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， 设米． ， ， ， 解得， （米）； 答：点到地面的距离的长约为27米． 21. 2025年春节档，电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，其周边文创产品也备受消费者追捧，某文具店果断订购了印有影片图案的A，B两种书签．经统计：订购15张A种书签与25张B种书签，共需付款275元；订购20张A种书签和30张B种书签，共需付款340元． （1）求A，B两种书签每张的进价分别是多少元？ （2）该文具店计划购进A，B两种书签共60张，A种书签的购进数量不超过B种书签数量的三分之一，已知A，B两种书签的销售单价分别为10元和12元，如何规划购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1）种书签每张进价元，种书签每张进价元 （2）当购买张种书签、张种书签时，所获利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）由题意设种书签每张进价元，种书签每张进价元，进而列出二元一次方程组求解即可； （2）由题意设文具店共购进张种书签，则购进种书签张，列出不等式和函数关系式进行求解． 【小问1详解】 解：设种书签每张进价元，种书签每张进价元． 根据题意可得：， 解方程组得：； 答：种书签每张进价元，种书签每张进价元； 【小问2详解】 解：设文具店共购进张种书签，则购进种书签张， 根据题意可得：， 解得：， 文具店在这批书签全部售出后获得利润为： ， 销售利润随着的增大而增大， 当时，销售利润最大，最大利润为（元）， （张）， 当购买张种书签、张种书签时，所获利润最大，最大利润为元． 22. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点水平距离超过． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①将代入即可求解；②将变为，即可确定顶点坐标，得出，进而求得当时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可； （2）若火箭落地点与发射点的水平距离为，求得，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵火箭第二级的引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，． ②由①知，， ∴ ∴最大值 当时， 则 解得， 又∵时， ∴当时， 则 解得 ∴这两个位置之间的距离． 【小问2详解】 解：当水平距离超过时， 火箭第二级的引发点为， 将，代入，得 ， 解得， ∴． 23. 综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． （1）【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是______； （2）【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； （3）【类比迁移】在(2)的条件下，连接交于点，则______； （4）【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长度． 【答案】（1） （2）10 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，进而证明，即可求解； （2）根据（1）的方法证明，进而证明，求得，则，然后根据三角形的面积公式，即可求解． （3）过点作于点，证明得出，证明，设，则，代入比例式，得出，进而即可求解； （4）当在点的左侧时，过点作于点，当在点的右侧时，过点作交的延长线于点，分别解直角三角形，即可求解． 【小问1详解】 解：∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． ， ， ， ， ， 又且 ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 又且， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴ ∴， 即，即， 又∵ ∴ ∴， 设，则， 解得： ∴； 【小问4详解】 解：如图所示，当在点的左侧时，过点作于点 ∵ ∴，设，则， 又∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， 解得： 在中， ∴ ∴ 如图所示，当在点右侧时，过点作交的延长线于点， ∵ ∴ ∵ ∴ 设，则，， ∵， ∴ 解得： ∴ ∴ 综上所述，或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$