精品解析：北京市第三十五中学2024～2025学年八年级下学期期中数学试卷

2024-2025学年度第二学期北京市第三十五中学期中质量检测 初二数学 考生 须知 1．本试卷共8页，共四道大题，28道小题，附加题计入总分，总分不超过100分． 2．考试时间100分钟． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 第一部分选择题 一、选择题（每小题2分，共16分）． 1. 下列四个式子中，最简二次根式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，结合选项求解即可． 【详解】解：A． ，不是最简二次根式，所以选项不符合题意； B． ，被开方数12中含有能开得尽方的因式4，因此选项不符合题意； C． ，被开方数中含有分母，因此选项不符合题意； D． ，是最简二次根式，因此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式的概念，解答本题的关键在于掌握最简二次根式的概念，对各选项进行判断． 2. 下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 6，8，11 C. 5，12，14 D. 1，1， 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可. 【详解】解：A、∵，∴2，3，4为边长的线段不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，∴6，8，11为边长的线段不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵，∴5，12，14为边长的线段不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵，∴1，1，为边长的线段能构成直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D. 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，属于基础题型，熟知在一个三角形中，如果两短边的平方和等于较大边的平方，那么这个三角形是直角三角形是解题的关键. 3. 下列各式中，从左向右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，二次根式的加法运算，正确计算是解题的关键． 根据二次根式的性质和运算法则逐一判断即可得． 【详解】A：，而非，故本选项不符合题意； B：在实数范围内，负数没有平方根，和无意义，故本选项不符合题意； C：，故本选项符合题意； D： ，而非，故本选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图，在中，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，由平行四边形的性质得，，即得，进而由平行线的性质即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 5. 下列命题中正确的是（ ） A. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正方形、矩形、菱形、平行四边形的判定，根据正方形、矩形、菱形、平行四边形的判定定理进行判定即可得到结论 【详解】解：A. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，说法正确，故选项A符合题意； B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法错误，故选项B不符合题意； C. 对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，故选项C不符合题意； D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原说法错误，故选项D不符合题意； 故选：A 6. 在平面直角坐标系中，点都在函数的图象上．若，则下列四个推断中错误的是（ ） A. 点P在第二象限 B. 坐标原点不在此函数图象上 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的图象和性质求解即可． 【详解】∵，， ∴y随x的增大而减小，经过第一，二，四象限 ∵ ∴，故C选项正确，不符合题意； ∴点P在第二象限，故A选项正确，不符合题意； ∵当时，， ∴坐标原点不在此函数图象上，故B选项正确，不符合题意； ∵，y随x的增大而减小， ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质． 7. 如图，在四边形中，P 是对角线的中点，点E，F 分别是的中点，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，根据三角形中位线定理得到，，得，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵P是的中点，E是的中点， ∴是的中位线， ∴，, ∴ ∴ 同理，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，在正方形中，点E，F分别是边上的点，，且，过点E作于点H，过点F作于点G，交于点D，连接设，，，给出下面三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、三角形的三边关系等知识点，①根据即可判断；②根据题意可推出四边形是正方形，结合即可判断；③证，结合即可判断； 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴ ∴ 即：，故③错误； ∵，， ∴四边形均是矩形 ∵， ∴四边形是正方形 ∴ ∴ ∵ ∴，故①正确； ∵, ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴，故②正确； 故选：A 第二部分非选择题 二、填空题（本题共16分，每小题2分）． 9. 函数中自变量x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围问题，根据二次根式有意义，则被开方数大于或等于求出x的范围． 【详解】解：∵函数有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 10. 已知正比例函数的图象经过第二，四象限，请写出一个符合条件的函数表达式______． 【答案】y=-2x（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质得出k<0求解即可． 【详解】解：∵正比例函数y=kx的图象经过第二，四象限， ∴k<0， ∴函数解析式为：y=-2x， 故答案为：y=-2x（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键． 11. 直角三角形两直角边长分别是6cm和8cm，则斜边上的中线长等于_____． 【答案】5cm##5厘米 【解析】 【分析】先利用勾股定理求解斜边，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：∵直角三角形两直角边长分别是6cm和8cm， ∴斜边为：， ∴斜边上的中线长等于． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的应用，熟记直角三角形斜边上的中线的性质是解本题的关键． 12. 如图，矩形的对角线交于点O，，则的长为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键，首先根据矩形的性质，可得；接下来再根据和，即可判断为等边三角形；根据等边三角形的性质，可得，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为4． 13. 一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．根据函数图象即可求解． 【详解】解：由函数图象可知，当时，， 故答案为：． 14. 如图，菱形的对角线相交于点O，P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，则的最小值为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据菱形的性质得到，，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，求得，当时，最小，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，如图所示， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵当取最小值时，的值最小， ∴当时，最小，即的值最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 15. 我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图1所示．在图2中，若正方形的边长为7，正方形的边长为1，且，则正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，解题关键是熟练掌握正方形面积公式以及面积的和差关系，难点是得到正方形的面积．根据正方形的面积公式，结合面积的和差关系可得8个直角三角形的面积，进而得到一个直角三角形的面积，再结合正方形的面积等于4个直角三角形的面积与1个小正方形面积之和，进行列式计算，即可求解． 【详解】解：依题意 ， 设正方形的边长为 ∵正方形的面积等于4个直角三角形的面积与1个小正方形面积之和 ∴ ∴（舍去） 则正方形的边长为． 故答案为：． 16. 甲车与乙车同时从M地出发去往N地，如图所示，折线和线段分别是甲、乙两车行进过程中路程与时间的关系，已知甲车中途有事停留36分钟后再继续前往N地，两车同时到达N地，则下列说法：①乙车的速度为70千米/时；②甲车再次出发后的速度为100千米/时；③两车在到达N地前不会相遇；④甲车再次出发时，两车相距60千米．其中正确的有________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题主要考查行程问题的函数图象，掌握“速度路程时间”以及函数图象上的点的坐标的实际意义，是解题的关键．根据“速度路程时间”，可得乙的速度以及甲车再次出发后的速度，即可判断①②；根据函数图象，可直接判断③；求出甲车再次出发时，乙车行驶的路程，即可得到两车的距离，即可判断④． 【详解】解：乙车的速度为：千米/时，故①错误； 甲车再次出发后的速度为：千米/时，故②正确； 由图象知，两车在到达B地前不会相遇，故③正确； ∵甲车再次出发时，两车相距：千米，故④正确， 故答案为：②③④． 三、解答题（本题共68分，17题10分，19、26每题8分，18、20-25每题6分）. 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质化简、二次根式加法运算、二次根式减法运算、二次根式乘法运算、二次根式除法运算、有理数减法运算等知识，熟记二次根式性质、二次根式加减乘除运算法则求解是解决问题的关键． （1）先由二次根式性质化简，再由二次根式加减运算合并同类二次根式求解即可得到答案； （2）先由二次根式除法运算法则和乘法运算法则求解，再由二次根式性质化简，最后由有理数减法运算计算即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 在证明直角三角形相关性质时，班里善于思考的两位同学提出了如下两种添加辅助线的方法，请乐于探究的你选择其中一种方法，完成证明． 求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，点是的中点． 求证：． 方法一 证明：如图，延长到点，使得，连接，． 方法二 证明：如图，取的中点，连接． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】方法一：延长到点，使得，连接，如图所示，根据线段中点的定义可得，从而可得四边形是平行四边形，进而可得四边形是矩形，然后利用矩形的性质可得，从而可得，即可得证； 方法二：取的中点，连接，如图所示，从而可得是的中位线，，然后利用三角形的中位线定理可得，从而可得，进而可得是的垂直平分线，最后利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，即可得证． 【详解】解：方法一：延长到点，使得，连接，如图所示： ∵点是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； 方法二：取的中点，连接，如图所示： ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查几何证明，涉及中点定义、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形的中位线的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等知识，熟练掌握握矩形的判定与性质，以及三角形的中位线定理是解题的关键． 19. 已知：如图，在中，． 求作：以为对角线的矩形． 作法：①以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线与交于点D； ②以点 A 为圆心，的长为半径画弧；再以点C 为圆心，的长为半径画弧，两弧在的右侧交于点E； ③连接． 四边形 为所求的矩形． （1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹)； （2）完成以下证明． 证明：∵， ∴四边形为平行四边形( )．(填推理的依据) 由作图可知，平分， 又∵， ∴ ( )．(填推理的依据) ∴． ∴平行四边形是矩形( )．(填推理的依据) 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，角平分线的尺规作图，等腰三角形三线合一： （1）根据题意作图即可； （2）根据矩形的判定定理和等腰三角形三线合一定理证明即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：∵， ∴四边形为平行四边形 (两组对边分别相等的四边形是平行四边形)． 由作图可知，平分， 又∵， ∴ (三线合一定理)． ∴． ∴平行四边形是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)． 20. 如图，在中，，点D，E，F分别为，，的中点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）四边形的面积为 【解析】 【分析】（1）根据中位线的性质得出且，且，得出四边形为平行四边形，根据，得出，证明四边形是菱形． （2）根据中位线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理求出，最后根据菱形的面积公式求出结果即可． 【小问1详解】 证明：∵D，E分别是，的中点， ∴且， 同理：且， ∵，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵，，点D，E，F分别为，，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，中位线性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 21. 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，将矩形ABCD翻折，使得点B落在CD边上的点E处，折痕AF交BC于点F，求FC的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据翻转前后，图形的对应边和对应角相等，可知EF=BF，AB=AE，故可求出DE的长，然后设出FC的长，则EF=4-FC，再根据勾股定理的知识，即可求出答案． 【详解】解：由题意，得AE=AB=5，AD=BC=4，EF=BF， 在Rt△ADE中，由勾股定理，得DE=3． 在矩形ABCD中，DC=AB=5． ∴CE=DC-DE=2． 设FC=x，则EF=4-x． 在Rt△CEF中，x2+22=（4-x）2． 解得x＝． 即FC=． 【点睛】本题考查了翻转变换的知识，属于基础题，注意掌握图形翻转前后对应边和对应角相等． 22. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b； （2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，画出临界状态图象分析即可． 【小问1详解】 解：由题意，将代入得：， 解得：， 将，，代入函数中， 得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为， 当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， 即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为： 由图象得：当直线与直线平行时符合题意或者当与x轴的夹角大于直线与直线平行时的夹角也符合题意， ∴当直线与直线平行时，， ∴当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方时，， ∴m的取值范围为． 23. 数学兴趣小组的同学想要自制弹簧测力计，为此他们需要了解弹簧在弹性限度内的弹簧长度与拉力的关系，再根据实验数据制作弹簧测力计．经过实验测量，他们得到了6组拉力与弹簧长度之间的数据，如表所示： 弹簧受到的拉力(单位：) 0 5 10 15 20 25 弹簧的长度 (单位：) 6 8 10 12 14 16 （1）在平面直角坐标系中，描出以上述试验所得数据为坐标的各点并顺次连线； （2）结合表中数据，求出弹簧长度关于弹簧受到的拉力的函数表达式； （3）若弹簧的长度为，求此时弹簧受到的拉力的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）若弹簧的长度为，此时弹簧受到的拉力的值为 【解析】 【分析】本题考查了画函数图象、一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解此题的关键． （1）先描点、再连线，即可得出函数图象； （2）利用待定系数法计算即可得出答案； （3）求出当时的的值即可． 【小问1详解】 解：描点、连线如图所示： 【小问2详解】 解：设弹簧长度关于弹簧受到的拉力的函数表达式为， 将，代入函数解析式得：， 解得：， ∴弹簧长度关于弹簧受到的拉力的函数表达式为； 【小问3详解】 解：由题意得：当时，， 解得：， ∴若弹簧的长度为，此时弹簧受到的拉力的值为． 24. 邻边比为的矩形叫做“黄金矩形”．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．若要将一张边长为2的正方形纸片剪出一个以为边的黄金矩形，小松同学的作法如下： ①作的垂直平分线分别交，于点，； ②连接，作的角平分线，交于点； ③过点作于点； 矩形即为所求． （1）根据上述作图过程，补全图形； （2）小松证明四边形是黄金矩形的思路如下： 作于点，连接，设， 根据角平分线的性质，可知． 根据条件，可求得的长度为__________，的长度为__________． 在和中，由勾股定理可得． 由此可列关于的方程为__________． 解得__________． 所以，矩形为黄金矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）作于点，连接，设，则，由角平分线的性质可得，求出，证明得到，则，勾股定理得到，解得．所以，则矩形为黄金矩形． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：作于点，连接， 设，则， 根据角平分线的性质，可知， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，由勾股定理可得． ∴ ． 解得． 所以， ∴矩形为黄金矩形． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，垂线的尺规作图等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 25. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完成： （1）化简函数解析式，当x≥-1时，y＝　 　，当x＜-1时y＝　 　； （2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数的图象； （3）结合函数图象，写出该函数的一条性质：　 　． （4）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程只有一个实数根，直接写出实数a的取值范围：　 　． 【答案】（1）x，-1（2）见解析（3）当时，y随x的增大而增大（4） 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的意义化简即可； （2）根据（1）中化简的结果画出图像即可； （3）结合图像回答即可； （4）根据的性质，结合图像解答即可. 【详解】（1） 当x≥-1时， ； 当x＜-1时 ； (2)如图， （3）函数有最小值-1，函数无最大值，当时，y随x的增大而增大（此题答案不唯一） （3）∵经过点（0,1） ∴当时，方程只有一个实数根. 【点睛】本题考查了绝对值的意义，画函数图像，利用图像解不等式等知识，正确画出函数图像是解答本题的关键. 26. 在正方形中，点O为对角线的中点，点E在对角线上，连接，点F在直线上（点F与点D不重合），且． （1）如图1，当点E在线段上（不与端点重合）时． ①求证：； ②用等式表示线段，，的数量关系并证明； （2）如图2，当点E在线段上（不与端点重合）时，补全图形，并直接写出线段，，的数量关系． 【答案】（1）①见解析；②，证明见解析； （2）图见解析，． 【解析】 【分析】（1）连接，证明，，可得，，，从而可得答案；②过点E作交于点G，证明，，再证明，可得 ，从而可得结论； （2）先补全图形，过点E作于N，交于M，证明，可得，由线段的和差关系可求解． 【小问1详解】 ①证明：连接． 四边形是正方形 ，． 点E在对角线上 ， ． ，． ， ． ． ②； 证明：过点E作交于点G． ， ． ，， ， ， ，， ， ． ． 【小问2详解】 补全图形如下： 如图2，过点E作于N，交于M， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴四边形是矩形，是等腰直角三角形， ∴，，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 即． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 四、选做题（共10分、第27题4分、第28题6分) 27. 甲、乙两位同学合作为班级联欢会制作、、、四个游戏道具，每个道具的制作都需要拼装和上色两道工序，先由甲同学进行拼装，拼装完成后再由乙同学上色．两位同学完成每个道具各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示： A B C D 甲 9 5 6 8 乙 7 7 9 3 （1）如果按照的顺序制作，两位同学合作完成这四个道具的总时长最少为______分钟； （2）两位同学想用最短的时间完成这四个道具的制作，他们制作的顺序应该是______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，熟悉理解题意是解题的关键． （1）根据题目所给的组装顺序运算时间即可； （2）让甲给道具拼接的时间最短，先拼接时间短的道具，且在乙上色时能够拼接好下一个道具，排出顺序即可． 【小问1详解】 解：甲先拼接用9分钟，然后乙再给上色7分钟，这7分钟甲可以给B拼接，（分），还剩下的时间给拼接2分钟，这时还需要（分），乙开始给上色又花了7分钟，这7分钟甲给拼接，还留有（分），这3分钟甲给拼接，在乙完成的上色时甲给口拼接还需要（分），此时乙给上色9分钟，甲就能把拼接完了，最后乙再给上色； 综上所述，总时长为（分）； 故答案为：． 【小问2详解】 解：要用最短的时间完成这四个道具的制作，开始的时候要让甲给道具拼接的时间最短，先拼接时间短的道具，且在乙上色时能够拼接好下一个道具，所以制作的顺序应该是：； 故答案为：． 28. 在平面直角坐标系中，对于线段和点P作出如下定义：若点M，N分别是线段，的中点，连接，我们称线段的中点Q是点P关于线段的“关联点”． （1）已知点，点P关于线段的“关联点”是点Q． ①若点P的坐标是，则点Q的坐标是______； ②若点E的坐标是，点F的坐标是．点P是线段上任意一点，求线段长的取值范围； （2）点A是直线上的动点．在矩形中，边轴，．点P是矩形边上的动点，点P关于其所在边的对边的“关联点”是点Q．过点A作x轴的垂线，垂足为点G．设点G的坐标是．当点A沿着直线运动到点时，点G沿着x轴运动到点，点Q覆盖的区域的面积S满足，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）①；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①设点O和点M分别是，的中点，根据定义求出，再由点Q是的中点即可得到答案； ②设点O和点M分别是，的中点，，同理可得，由勾股定理得到，据此求解即可； （2）设，则，，，当点P在上时，设，点C和点B分别是，的中点，则，，点Q的坐标为，由此可得到点Q在直线上的一条线段上该线段的两个端点坐标分别为；同理可得当点P在上时，点Q在直线的一条线段上，该线段的两个端点坐标分别故当点A在平移的过程中，点Q覆盖的面积即为平行四边形和平行四边形面积之和的两倍（面积无重叠时）；根据平移的性质可得当点G沿着水平方向移动个单位长度时，相当于平行四边形边上的高为，平行四边形边上的高为，由此可得（当且仅当面积没有重叠的时候），当时，如下图所示，刚好点Q覆盖的四个区域没有重合的部分，故当时，面积没有重叠的部分，当时，，由此根据列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：①设点O和点M分别是，的中点， ∵，点P的坐标是， ∴， ∵点Q是的中点， ∴点Q的坐标为，即， 故答案为：； ②设点O和点M分别是，的中点，， ∴， ∵点Q是的中点， ∴点Q的坐标为，即， ∴ ， ∵， ∴， ∴当s增大时，的值也增大，则的值也增大， 当时，，即； 当时，，即； ∴； 【小问2详解】 解：设，则，，， 当点P在上时，设，点C和点B分别是，的中点， ∴，， ∵点Q是的中点， ∴点Q的坐标为，即， ∵ ∴， ∴点Q在直线上的一条线段上该线段的两个端点坐标分别为； 同理可得当点P在上时，点Q在直线的一条线段上，该线段的两个端点坐标分别为， ∴； ∴当点A在平移的过程中，点Q覆盖的面积即为平行四边形和平行四边形面积之和的两倍（面积无重叠时）， ∵点A在直线上， ∴当点G沿着水平方向移动个单位长度时，相当于平行四边形边上的高为，平行四边形边上的高为， ∴（当且仅当面积没有重叠的时候）， 当时，如下图所示，刚好点Q覆盖的四个区域没有重合的部分，故当时，面积没有重叠的部分， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴或 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一次函数与几何综合，勾股定理，平行四边形的性质，平移的性质等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期北京市第三十五中学期中质量检测 初二数学 考生 须知 1．本试卷共8页，共四道大题，28道小题，附加题计入总分，总分不超过100分． 2．考试时间100分钟． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 第一部分选择题 一、选择题（每小题2分，共16分）． 1. 下列四个式子中，最简二次根式为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 6，8，11 C. 5，12，14 D. 1，1， 3. 下列各式中，从左向右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 下列命题中正确的是（ ） A. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形 6. 在平面直角坐标系中，点都在函数的图象上．若，则下列四个推断中错误的是（ ） A. 点P在第二象限 B. 坐标原点不在此函数图象上 C. D. 7. 如图，在四边形中，P 是对角线的中点，点E，F 分别是的中点，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，点E，F分别是边上的点，，且，过点E作于点H，过点F作于点G，交于点D，连接设，，，给出下面三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 第二部分非选择题 二、填空题（本题共16分，每小题2分）． 9. 函数中自变量x的取值范围是______． 10. 已知正比例函数的图象经过第二，四象限，请写出一个符合条件的函数表达式______． 11. 直角三角形两直角边长分别是6cm和8cm，则斜边上的中线长等于_____． 12. 如图，矩形的对角线交于点O，，则的长为__________． 13. 一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围为______． 14. 如图，菱形的对角线相交于点O，P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，则的最小值为 ______． 15. 我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图1所示．在图2中，若正方形的边长为7，正方形的边长为1，且，则正方形的边长为______． 16. 甲车与乙车同时从M地出发去往N地，如图所示，折线和线段分别是甲、乙两车行进过程中路程与时间的关系，已知甲车中途有事停留36分钟后再继续前往N地，两车同时到达N地，则下列说法：①乙车的速度为70千米/时；②甲车再次出发后的速度为100千米/时；③两车在到达N地前不会相遇；④甲车再次出发时，两车相距60千米．其中正确的有________． 三、解答题（本题共68分，17题10分，19、26每题8分，18、20-25每题6分）. 17. 计算 （1）； （2）． 18. 在证明直角三角形相关性质时，班里善于思考的两位同学提出了如下两种添加辅助线的方法，请乐于探究的你选择其中一种方法，完成证明． 求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，点是的中点． 求证：． 方法一 证明：如图，延长到点，使得，连接，． 方法二 证明：如图，取的中点，连接． 19. 已知：如图，在中，． 求作：以为对角线的矩形． 作法：①以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线与交于点D； ②以点 A 为圆心，的长为半径画弧；再以点C 为圆心，的长为半径画弧，两弧在的右侧交于点E； ③连接． 四边形 为所求的矩形． （1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹)； （2）完成以下证明． 证明：∵， ∴四边形为平行四边形( )．(填推理的依据) 由作图可知，平分， 又∵， ∴ ( )．(填推理的依据) ∴． ∴平行四边形是矩形( )．(填推理的依据) 20. 如图，在中，，点D，E，F分别为，，的中点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 21. 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，将矩形ABCD翻折，使得点B落在CD边上的点E处，折痕AF交BC于点F，求FC的长． 22. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 23. 数学兴趣小组的同学想要自制弹簧测力计，为此他们需要了解弹簧在弹性限度内的弹簧长度与拉力的关系，再根据实验数据制作弹簧测力计．经过实验测量，他们得到了6组拉力与弹簧长度之间的数据，如表所示： 弹簧受到的拉力(单位：) 0 5 10 15 20 25 弹簧的长度 (单位：) 6 8 10 12 14 16 （1）在平面直角坐标系中，描出以上述试验所得数据为坐标的各点并顺次连线； （2）结合表中数据，求出弹簧长度关于弹簧受到的拉力的函数表达式； （3）若弹簧的长度为，求此时弹簧受到的拉力的值． 24. 邻边比为的矩形叫做“黄金矩形”．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．若要将一张边长为2的正方形纸片剪出一个以为边的黄金矩形，小松同学的作法如下： ①作的垂直平分线分别交，于点，； ②连接，作的角平分线，交于点； ③过点作于点； 矩形即为所求． （1）根据上述作图过程，补全图形； （2）小松证明四边形是黄金矩形的思路如下： 作于点，连接，设， 根据角平分线的性质，可知． 根据条件，可求得的长度为__________，的长度为__________． 在和中，由勾股定理可得． 由此可列关于的方程为__________． 解得__________． 所以，矩形为黄金矩形． 25. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完成： （1）化简函数解析式，当x≥-1时，y＝　 　，当x＜-1时y＝　 　； （2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数的图象； （3）结合函数图象，写出该函数的一条性质：　 　． （4）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程只有一个实数根，直接写出实数a的取值范围：　 　． 26. 在正方形中，点O为对角线的中点，点E在对角线上，连接，点F在直线上（点F与点D不重合），且． （1）如图1，当点E在线段上（不与端点重合）时． ①求证：； ②用等式表示线段，，的数量关系并证明； （2）如图2，当点E在线段上（不与端点重合）时，补全图形，并直接写出线段，，的数量关系． 四、选做题（共10分、第27题4分、第28题6分) 27. 甲、乙两位同学合作为班级联欢会制作、、、四个游戏道具，每个道具的制作都需要拼装和上色两道工序，先由甲同学进行拼装，拼装完成后再由乙同学上色．两位同学完成每个道具各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示： A B C D 甲 9 5 6 8 乙 7 7 9 3 （1）如果按照的顺序制作，两位同学合作完成这四个道具的总时长最少为______分钟； （2）两位同学想用最短的时间完成这四个道具的制作，他们制作的顺序应该是______． 28. 在平面直角坐标系中，对于线段和点P作出如下定义：若点M，N分别是线段，的中点，连接，我们称线段的中点Q是点P关于线段的“关联点”． （1）已知点，点P关于线段的“关联点”是点Q． ①若点P的坐标是，则点Q的坐标是______； ②若点E的坐标是，点F的坐标是．点P是线段上任意一点，求线段长的取值范围； （2）点A是直线上的动点．在矩形中，边轴，．点P是矩形边上的动点，点P关于其所在边的对边的“关联点”是点Q．过点A作x轴的垂线，垂足为点G．设点G的坐标是．当点A沿着直线运动到点时，点G沿着x轴运动到点，点Q覆盖的区域的面积S满足，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $