精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市第三中学2025届高三5月自我评价数学试题

石嘴山三中2025届高三年级数学学科自我评价 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出复数，进而求出模. 【详解】由复数对应的向量，则， 所以. 故选：A 2. 集合，，若，则的值为． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，选D. 3. 若是1和3的等差中项，是1和4的等比中项，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差中项和等比中项的定义计算求解. 【详解】由题知，所以，由得， 所以． 故选：D. 4. 已知双曲线的方程为，若过点的直线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意有得，又，代入离心率公式即可求解. 【详解】由题意有， 又， 所以， 故选：C. 5. 下图1是2020-2024年国内生产总值及其增长速度，图2是2020-2024年三次产业增加值占国内生产总值比重（三次产业包括第一产业，第二产业，第三产业）.根据图1，图2，以下描述不正确的是（ ） A. 2022年第二产业增加值较2021年有所减少 B. 2020-2024年国内生产总值呈逐年增长的趋势 C. 2022年与2024年国内生产总值的增长速度较上一年有明显回落 D. 2020-2024年第三产业增加值占国内生产总值比重的极差为 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的柱状图及折线图逐项分析判断即可. 【详解】对于A，结合图1图2知，2021年第二产业的增加值为：亿元； 2022年第二产业的增加值为：亿元， 而，因此2022年第二产业增加值较2021年有所增加，A错误； 对于B，由图1可以看出柱状图逐年增高，则2020-2024年国内生产总值呈逐年增长的趋势，B正确； 对于C，由图1可以看出折线在2022年与2024年处与上一年连线的斜率小于0，C正确； 对于D，由图2可以得出2020-2024年第三产业增加值占国内生产总值比重最大值为：54.5%， 最小值为：52.8%，所以极差，D正确； 故选：A 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件求出、，结合的范围，再由 可得答案. 【详解】，① 由， 得，代入①， 解得，所以， 又因为，所以， 所以， 因为， 所有. 故选：A. 7. 如图，已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，若为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，根据线面平行的判定定理，证得平面，平面，进而证得平面平面，得到当时， 平面，所以点在侧面内的轨迹为线段，在中，求得，结合，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接，，， 在正方体中，可得且， 因为，分别是棱的中点，则且， 所以四边形为平行四边形，则， 又因为平面，平面，所以平面， 同理可证：平面， 因为，且平面，所以平面平面， 又因为平面，当时，则平面，所以平面，所以点在侧面内的轨迹为线段， 因为正方体的边长为，可得，， 在中，可得，且， 则，所以的最小值为. 故选：B. 8. 已知函数，若曲线与有两条公切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义，结合公切线建立方程组，消元构造函数，利用函数有两个零点，借助导数求出范围. 【详解】设公切线与曲线、曲线相切的切点分别为， 而，依题意，，则，因，则， 消去得，令函数， 由曲线与有两条公切线，得函数有两个不同的正零点， ，当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增，， 而当从大于0的方向趋近于0时，，当时，， 则当且仅当，即时，函数有两个不同零点， 所以的取值范围是. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 当时，的最小值是5 C. 若数列是等比数列，则数列是等差数列 D. 已知为函数的极小值点，则等于2 【答案】BD 【解析】 【分析】利用必要不充分条件的定义判断A；利用基本不等式求出最小值判断B；举例说明判断C；求出函数的极小值点判断D. 【详解】对于A，当时，，“”是“”的充分不必要条件，A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，取，数列是等比数列，而当为奇数时无意义，C错误； 对于D，函数，求导得，当或时， ；当时，，因此分别是的极大值点和极小值点，，D正确. 故选：BD 10. 已知数列满足的前项和为，则（ ） A. B. C. 构成等差数列 D. 数列前100项和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的递推公式求出通项公式判断AB；求出前项和并结合等差数列定义判断C；利用裂项相消法求和判断D. 【详解】数列中，， 对于A，，A正确； 对于B，，则， 解得，当时，，而满足上式，因此， 所以，B正确； 对于C，，， ，C错误； 对于D，，则，D正确. 故选：ABD 11. 如图，矩形中，为的中点，将沿翻折成，得到四棱锥，点在线段上，则（ ） A. B. 存在，使平面 C. 四棱锥体积的最大值为 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】取的中点，以为原点建立空间直角坐标系，设，求出相关点的坐标，进而求出平面的法向量，再逐项求解判断. 【详解】取的中点，连接， 在矩形中，由为的中点，可得， 则，平面，则平面， 平面，于是平面平面，在平面内过点作， 而平面平面，因此平面，过作， 则直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设， ，的中点， 对于A，， ，不垂直，A错误； 对于B，，设平面的法向量， 则，取，得， 当为的中点时，， ，即， 而平面，因此平面，B正确； 对于C，梯形的面积， ，当且仅当，即平面时取等号，C正确； 对于D，， ，令，则 ，当且仅当时取等号， 因此直线与平面所成角的正弦值的最大值为，D正确. 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由直线垂直的判定即可得答案. 【详解】由，则，即. 故答案为： 13. 某同学从家到学校要经过三个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，该同学在各路口遇到红灯的概率分别为，则该同学从家到学校遇到两次红灯的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式及对立事件的概率公式即可求解． 【详解】该同学从家到学校遇到两次红灯的概率为, 故答案为：. 14. 已知函数，若，则的最小值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】求出函数的零点，再根据得到与的关系，最后利用函数性质求出的最小值. 【详解】令，则或. 由可得；由，即（），可得. 所以函数的零点为和.  因为恒成立，所以，即.  将代入，可得. 设（），对求导，可得. 令，即，因为，所以，解得. 当时，，，则，所以在上单调递减； 当时，，，则，所以在上单调递增. 所以在处取得极小值，也是最小值，，即的最小值为.  故答案为：1 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，. （1）求； （2）若，求的周长的最大值. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式及同角公式化简给定等式，再利用正弦定理、余弦定理求解. （2）由（1）中信息，利用基本不等式求出最大值即可. 【小问1详解】 在中，令内角所对边分别为， 由， 得，由正弦定理得， 由余弦定理，得，而，所以. 【小问2详解】 由已知及（1）得，， 解得，当且仅当时取等号， 所以求的周长的最大值为6. 16. 如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，分别是底面，圆周上的一点，，且点不与两点重合. （1）证明：平面平面； （2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 因为是底面圆上的一条直径，所以， 又因为底面，由， 所以底面，又平面，所以， 又，平面， 所以平面，因为平面，所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的角为直角得到，由线面垂直得到，从而得到线面垂直，面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，所以为二面角的平面角， 所以，又，所以为等边三角形， 以为原点，分别以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 由，所以， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知抛物线的焦点与椭圆的上顶点重合，点为坐标原点. （1）求抛物线的标准方程及其准线方程； （2）过点的直线交抛物线于两点，且，求直线的方程； （3）设点是抛物线的准线上任意一点，直线分别与抛物线相切于点，证明：三点共线. 【答案】（1），准线方程为； （2）或； （3） 依题意，设，， 由，求导得，因此抛物线在点处切线方程为， 即，整理得，同理抛物线在点处切线方程为， 而点是二切线的交点，则，， 于是直线的方程为，显然直线过点， 所以三点共线. 【解析】 【分析】（1）求出椭圆的上顶点坐标，进而求出抛物线方程及其准线方程. （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式求出参数即可. （3）设的坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，进而求得直线方程即可推理得证. 【小问1详解】 椭圆的上顶点为，则抛物线的焦点， 所以抛物线的标准方程为，其准线方程为. 【小问2详解】 设直线方程为：，， 由消去，得，， 则，解得， 所以直线的方程为或. 【小问3详解】 略 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论函数的零点个数； （3）对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）1； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）利用导数，结合零点存在性定理，分段探讨函数的零点即可. （3）构造函数，利用导数分类讨论的最值情况求解. 【小问1详解】 函数，求导得，， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 当时，函数和都为增函数，则函数为增函数， 而，，则， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，则当时，， 因此函数在上无零点； 当时，，当时，， 即当时，，函数在上单调递增，又， 于是函数在上有1个零点， 所以函数在上有1个零点. 【小问3详解】 令，，， 求导得， 令，求导得， 函数，即在上单调递增， ①当，即时，， 函数在上单调递增，，在上恒成立； ②当，即时，，由函数在上的图象连续不断， 知，当时，，函数在上单调递减， 当时，，不符合题意， 所以实数m的取值范围是. 19. 某学校排球社团为了解性别、身高等因素是否对学生喜欢排球有影响，随机调查了该校男、女生共100名，其中部分数据如下： 性别 排球 喜欢 不喜欢 女生 30 30 男生 30 10 （1）经计算，样本中女生身高的平均数和方差分别为168和48，男生的身高平均数和方差分别为178和30，根据以上信息，试估计该校全体学生身高的平均数和方差； （2）在某次社团活动中，甲、乙、丙这三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.记次传球后球在甲手中的概率为. （i）求； （ii）若随机变量服从两点分布，且，则.记前次（即从第1次到第次）传球中球在甲手中的次数为随机变量，求的数学期望，并比较前次传球中球分别在甲、乙、丙三人手中的次数的数学期望的大小. 【答案】（1）平均数172，方差64.8； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用分层抽样的平均数、方差公式列式计算即可. （2）（i）根据给定条件可得递推公式，再利用构造法求出通项公式；（ii）由结合分组求和及等比数列前n项和公式，求出，再求出球在乙、丙手中的次数的数学期望并比较大小. 【小问1详解】 样本平均数； 样本方差为. 【小问2详解】 （i）依题意，，则， 又，因此数列是以为首项，为公比的等比数列，， 所以. （ii）由（i）知， 则当时， ， 记次传球后球在乙手中的概率为，前次传球中球在乙、丙手中的次数分别为随机变量， 则，，而， 数列是以为首项，为公比的等比数列，，即， ， 同理，因此， 又， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山三中2025届高三年级数学学科自我评价 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的向量，则（ ） A. B. C. D. 2. 集合，，若，则的值为． A. B. C. D. 3. 若是1和3的等差中项，是1和4的等比中项，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4. 已知双曲线的方程为，若过点的直线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 5. 下图1是2020-2024年国内生产总值及其增长速度，图2是2020-2024年三次产业增加值占国内生产总值比重（三次产业包括第一产业，第二产业，第三产业）.根据图1，图2，以下描述不正确的是（ ） A. 2022年第二产业增加值较2021年有所减少 B. 2020-2024年国内生产总值呈逐年增长的趋势 C. 2022年与2024年国内生产总值的增长速度较上一年有明显回落 D. 2020-2024年第三产业增加值占国内生产总值比重的极差为 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，若为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若曲线与有两条公切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 当时，的最小值是5 C. 若数列是等比数列，则数列是等差数列 D. 已知为函数的极小值点，则等于2 10. 已知数列满足的前项和为，则（ ） A. B. C. 构成等差数列 D. 数列前100项和为 11. 如图，矩形中，为的中点，将沿翻折成，得到四棱锥，点在线段上，则（ ） A. B. 存在，使平面 C. 四棱锥体积的最大值为 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，，且，则______. 13. 某同学从家到学校要经过三个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，该同学在各路口遇到红灯的概率分别为，则该同学从家到学校遇到两次红灯的概率为__________. 14. 已知函数，若，则的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，. （1）求； （2）若，求的周长的最大值. 16. 如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，分别是底面，圆周上的一点，，且点不与两点重合. （1）证明：平面平面； （2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知抛物线的焦点与椭圆的上顶点重合，点为坐标原点. （1）求抛物线的标准方程及其准线方程； （2）过点的直线交抛物线于两点，且，求直线的方程； （3）设点是抛物线的准线上任意一点，直线分别与抛物线相切于点，证明：三点共线. 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论函数的零点个数； （3）对于恒成立，求实数的取值范围. 19. 某学校排球社团为了解性别、身高等因素是否对学生喜欢排球有影响，随机调查了该校男、女生共100名，其中部分数据如下： 性别 排球 喜欢 不喜欢 女生 30 30 男生 30 10 （1）经计算，样本中女生身高的平均数和方差分别为168和48，男生的身高平均数和方差分别为178和30，根据以上信息，试估计该校全体学生身高的平均数和方差； （2）在某次社团活动中，甲、乙、丙这三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.记次传球后球在甲手中的概率为. （i）求； （ii）若随机变量服从两点分布，且，则.记前次（即从第1次到第次）传球中球在甲手中的次数为随机变量，求的数学期望，并比较前次传球中球分别在甲、乙、丙三人手中的次数的数学期望的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $