精品解析：2025年湖南省长沙市长沙县中考一模数学试题

2025年长沙县中考适应性试卷 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 在温度计上，以上的温度记作正数，以下的温度记作负数．据天气数据显示，2024年1月23日长沙县的最低气温为零下，记作（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正负数的应用，理解正负数的意义是解题关键．根据以上的温度记作正数，以下的温度记作负数即可得． 【详解】解：∵在温度计上，以上的温度记作正数，以下的温度记作负数， ∴零下，记作， 故选：A． 2. 2024年，我国农业农村经济运行总体平稳、稳中向好，粮食产量首次突破1400000000000斤，其中1400000000000用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故选：B． 3. 中国象棋是中华民族的文化瑰宝，历史悠久，趣味浓厚．下列棋子图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键． 根据中心对称图形和轴对称图形的定义即可求解． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项正确，符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 5. 从长度分别为2，3，4，5，6的五条线段中随机抽取三条，能围成三角形的组合共有（ ） A. 4种 B. 5种 C. 6种 D. 7种 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边”，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．根据三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：∵，，，，，，， ∴能围成三角形的三条线段长度分别为、、、、、、，组合共有7种， 故选：D． 6. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 太阳从东边升起 B. 布袋里有2个红球，1个白球，从中同时摸出2个球，其中必有红球 C. 367人中至少有两人生日相同 D. 走到十字路口正好是绿灯 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查必然事件和随机事件的有关概念：在一定条件下，必定发生的事件称为必然事件；一定不发生的事件称为不可能事件；如果一件事情可能发生，也可能不发生，那么这个事件是随机事件．解题的关键是根据以上定义对选项作出正确的判断． 根据随机事件定义对各个选项作出判断即可． 【详解】解：A、太阳从东边升起是必然事件，不符合题意； B、布袋里有2个红球，1个白球，从中同时摸出2个球，其中必有红球是必然事件，不符合题意； C、367人中至少有两人生日相同是必然事件，不符合题意； D、走到十字路口正好是绿灯是随机事件，符合题意， 故选：D． 7. 已知一组数据：1，3，5，1，2，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 1，2 B. 1，3 C. 3，1 D. 1，5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求中位数“将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数”、求众数“众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据”，熟记中位数和众数的定义是解题关键．根据中位数和众数的定义求解即可得． 【详解】解：在这组数据中，1出现的次数最多， 所以这组数据的众数是1． 将这组数据从小到大进行排序为， 则其中位数是2， 故选：A． 8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的求法，掌握求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键． 分别求出两个不等式的解集，在找到其公共部分，在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴原不等式组的解集为：， ∴在数轴表示为： 故选：B． 9. 如图，直线与直线 ，都相交，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角，掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得到，再由即可求解． 【详解】解：如图： ∵若，， ∴， ∴， 故选：C． 10. 有三张牌，分别为红心A、红心2、红心8，将这三张牌按任意左右顺序排列，再根据下列步骤操作： 第一步：将红心2与左边的牌互换，如果红心2已经在最左边，则不动； 第二步：将红心8与右边的牌互换，如果红心8已经在最右边，则不动； 第三步：将红心A与左边的牌互换，如果红心A已经在最左边，则不动． 经过以上三步操作后，请问最右边的牌是（ ） A. 红心A B. 红心2 C. 红心8 D. 红心A、红心2、红心8都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的逻辑推理，三张牌的所有排列组合共有6种：A， 2， 8，A， 8， 2，2， A， 8，2， 8， A，8， A， 2，8， 2， A，据此分6种情况分别求出三步操作后最右边的牌即可得到答案． 【详解】解：首先，三张牌的所有排列组合共有6种： A， 2， 8， A， 8， 2， 2， A， 8， 2， 8， A， 8， A， 2， 8， 2， A， 第一种初始排列：A，2，8， 第一步：红心2的位置是中间，左边是A．所以红心2与左边的A互换位置，变为2， A， 8， 第二步：处理红心8的位置，此时排列是2，A，8．红心8在最右边，所以不动． 第三步：处理红心A，此时红心A在中间位置，左边是2，所以A与左边的2互换位置，得到A，2，8．，所以第三步结束后的排列是A，2，8．所以最右边是8． 第二种初始排列：A，8，2， 第一步：红心2的位置是右边第三位，即最右边，所以红心2在初始排列的最右边，左边是8．所以第一步需要把红心2和左边的8互换位置，得到A，2，8． 第二步处理红心8的位置．此时排列是A，2，8，红心8在最右边，所以不动． 第三步处理红心A，此时红心A在第一位，已经是最左边，所以不动．最终排列还是A，2，8，最右边是8． 第三种初始排列：2，A，8， 第一步：红心2已经在最左边，所以不动，排列还是2，A，8， 第二步：红心8在最右边，所以不动，排列还是2，A，8， 第三步：红心A在中间位置，左边是2，所以红心A与2互换位置，得到A，2，8．最右边还是8． 第四种初始排列：2，8，A， 第一步：红心2在第一位，不动，排列保持2，8，A， 第二步：红心8在中间位置，右边是A．所以将红心8与右边的A互换位置，得到2， A，8， 第三步：处理红心A的位置，此时红心A在中间，左边是2，所以互换，得到A，2，8．最右边是8． 第五种初始排列：8，A，2， 第一步：红心2在最右边，所以需要将红心2与左边的A互换位置，得到8，2，A， 第二步：处理红心8的位置，此时红心8在第一位，左边没有牌，右边是2．但红心8的操作是与右边的牌互换．所以红心8现在在第一位，右边是2．将红心8与右边的2互换，得到2，8，A， 第三步：处理红心A的位置，此时排列是2，8，A．红心A在最右边，左边是8．所以需要将A与左边的8互换位置，得到2 ，A，8．最右边是8． 第六种初始排列：8，2，A， 第一步：红心2在中间位置，左边是8．所以将红心2与左边的8互换，得到2，8，A， 第二步：处理红心8的位置，此时红心8在中间位置，右边是A．所以将红心8与右边的A互换，得到2，A，8， 第三步：处理红心A的位置，此时红心A在中间，左边是2，所以互换后得到A， 2， 8．最右边是8． 综上所述，经过以上三步操作后，请问最右边的牌是红心8， 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件“二次根式的被开方数是非负的”，熟练掌握二次根式的被开方数是非负的是解题关键．根据二次根式的被开方数是非负的求解即可得． 【详解】解：若二次根式有意义，则， 解得， 故答案为：． 12. 一个不透明的布袋里装有3个红球，4个黄球，2个白球，2个黑球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率，根据概率公式直接计算即可求解，掌握概率公式是解题的关键．让黄球的个数除以球的总个数即为所求的概率． 【详解】解： 一个不透明的布袋里装有3个红球，4个黄球，2个白球，2个黑球， 从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为． 故答案为：． 13. 若点，都在反比例函数的图象上，则________（填“”或“ ”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的自变量的值，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．将点代入反比例函数的解析式求出的值，由此即可得． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 14. 如图，在平行四边形 中，延长 到点 ，连接 ，使．若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，再根据等腰三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在 中，，，将 沿 边所在直线向右平移2个单位长度得到， 与 相交于点 ，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用平移的性质得到，则，根据相似三角形的性质得到的长，由勾股定理可求出答案． 【详解】解：∵ 沿直角边 所在直线向右平移2个单位得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴， 在中，， 故答案为：． 16. 如图， 是 的直径，点 ，在 上，点是的中点，点 是直径 上的一个动点，连接 ，，，若，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称：最短路线问题，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图添加适当的辅助线是解题的关键． 作点D关于 的对称点为点E，连接交 于点G，连接， ，，，根据对称性可得，，从而可得，此时有最小值即为，再利用圆周角定理可得，从而可得，再根据垂径定理可得，从而可得，进而可得，最后可得是等腰直角三角形，由勾股定理即可解答． 【详解】解：作点D关于 的对称点为点E，连接交 于点G，连接， ，，， ∴，， ∴，当点P与点G重合时，此时有最小值，最小值为 ∵， ∴， ∵点D是弧 的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴ ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法与加减法、零指数幂与负整数指数幂、特殊角的三角函数值的运算等知识，熟练掌握运算法则是解题关键．先化简二次根式、计算零指数幂与负整数指数幂、特殊角的三角函数值，再计算二次根式的乘法，然后计算加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后将的值代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， 将代入得：原式． 19. 如图，在 中，，，按下列步骤作图： ①分别以点 ， 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，连接分别交 ， 于点 ，； ②以点 为圆心，小于 的长为半径画弧，分别交 ， 于点 ，； ③分别以点 ，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点 ，连接并延长交 于点 ． （1）若，求 的长； （2）求证：是等腰三角形． 【答案】（1） （2） 证明：由作图可得：平分， ∴， ∴， ∵在 中，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，三角形的内角和定理和外角性质，以及等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由作图可知：垂直平分 ，然后解即可； （2）由作图可得：平分，然后由三角形的外角性质求出的度数，再由三角形内角和定理求出的度数，即可求证． 【小问1详解】 解：由作图可知：垂直平分 ， ∵，， ∴ 【小问2详解】 略 20. 随着社会的发展和人们生活水平的提高，越来越多的人开始关注自己的生活品质和精神需求．在这个过程中，一部分人选择远离都市喧嚣，走进乡村，成为农业农村的参与者，解锁田园生活新体验．某市举办了“我最喜欢的田园生活体验”活动，共开展四个项目：A．我在星村有丘田；B．我在星村有块地；C．我在星村有棵树；D．我在星村有口塘．要求每个家庭只能参与一项．现从参与该项活动的家庭中随机抽取若干家庭进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了________个家庭； （2）请补全条形统计图； （3）请计算扇形统计图中“我在星村有丘田”所对应的圆心角的度数； （4）若此次参加田园生活体验的家庭共有2000个，请你估计选择“我在星村有口塘”的家庭有多少个？ 【答案】（1）200 （2） 补全统计图如图： （3） （4）700个 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，用样本估计总体，读懂统计图和题意是解题的关键． （1）由C项目得人数除以占比即可求解； （2）先用总数减去B、C、D项目的人数求出A项目的人数，即可补全条形统计图； （3）用乘以A项目的占比即可求解； （4）用2000乘以D项目的占比即可求解． 【小问1详解】 解：（人）， 故答案为：200； 【小问2详解】 解：A项目的人数为：（人）， 【小问3详解】 解：由题意得，， ∴图中“我在星村有丘田”所对应的圆心角的度数为； 【小问4详解】 解：由题意得，， 答：选择“我在星村有口塘”的家庭有700个． 21. 如图， 是 的直径，点 是 上一点，延长 到点 ，连接 ，， ，，若． （1）求证： 是 的切线； （2）若 的半径为1，是的中点，求劣弧的长（结果用 表示）． 【答案】（1） 证明：∵ 是 的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵是 的半径， ∴ 是 的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定、直角三角形斜边上的中线性质、弧长等知识，熟练掌握圆的切线的判定和弧长公式是解题关键． （1）先根据圆周角定理可得，再根据等量代换可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）先根据直角三角形斜边上的中线性质可得，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，从而可得，然后利用弧长公式计算即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ 的半径为1， ∴， 由（1）已得：， ∵是的斜边的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴劣弧的长． 22. 某社区计划将一个长12米、宽8米的长方形花坛扩建为公共休息区．扩建方案是在花坛四面修建一条宽度相同的小道，使扩建后的长方形公共休息区的总面积为192平方米． （1）求这条小道的宽度； （2）如果用篱笆围住扩建后的休息区，需要多少米篱笆？ 【答案】（1）这条小道的宽度为2米 （2）需要56米篱笆 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设这条小道的宽度为 米，根据扩建后的长方形公共休息区的总面积为192平方米建立方程，解方程即可得； （2）根据（1）的结果求出扩建后的长方形公共休息区的长与宽，再利用长方形的周长公式计算即可得． 【小问1详解】 解：设这条小道的宽度为 米， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：这条小道的宽度为2米． 【小问2详解】 解：由（1）可知，扩建后的长方形公共休息区的长为（米），宽为（米）， 则（米）， 答：如果用篱笆围住扩建后的休息区，需要56米篱笆． 23. 如图，在矩形 中，对角线 ， 相交于点 ，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求矩形 的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形 是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． （1）先根据矩形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据平行线的判定可得，则可得四边形是平行四边形，最后根据菱形的判定即可得证； （2）先根据菱形的性质可得，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后根据矩形的性质和勾股定理可得，由此即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）已证：四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形 是矩形， ∴， ∴， ∴矩形 的面积为． 24. 不妨约定，关于 的二次函数，若（为正整数），则称该函数为“函数”，为“值”．例如：二次函数，有，故该函数为“函数”，“值”． （1）判断下列二次函数是否为“函数”，是的在括号里打“√”，不是的在括号里打“×”． ①；（ ） ②；（ ） ③．（ ） （2）已知二次函数（ ，为常数，）是“函数”，且“值”． ①求证：该函数与 轴总有两个交点； ②该函数经过某一定点，求出该定点的坐标． （3）如图，在（2）的条件下，二次函数与 轴交于两点 ， （点 在点 的左侧），与轴相交于点 ，顶点为，过点作，交抛物线于点 ，过点 作，当时，求点 的坐标． 【答案】（1）×，×，√ （2） ①证明：根据题意得，得， 则二次函数（为常数，）， 令，则， ∵ ∴， 那么，该函数与 轴总有两个交点； ② （3）． 【解析】 【分析】（1）根据已知分别求得a，b和c，结合已知的定义即可判定是否属于“函数”； （2）①根据题意解得，则二次函数，令，求得，即可判定； ②二次函数，当 ，则 即可； （3）根据二次函数求得点，，，，进一步求得直线 的解析式，和直线 的解析式，延长与y轴交于点G，延长与x轴交于点H，过点E作于点I，过点C作于点L，则四边形为矩形，，求得，联立求得点，可判定，，进一步求得，，，结合已知求得c即可． 【小问1详解】 解：①， 则，根据已知得， ∵不为正整数 ∴不是“函数”； ②， 则，根据已知得， ∵不为正整数 ∴不是“函数”； ③， 则，根据已知得， ∵为正整数 ∴是“函数”； 故答案为：×，×，√； 【小问2详解】 解：①略 ②二次函数， 当 ，则， 则该函数经过定点； 【小问3详解】 解：二次函数（为常数，）， 令，解得， 当 ，， 则点，，，， 设直线 的解析式为，则 ，解得， 那么，直线 的解析式为， ∵， ∴直线 的解析式为， ∵直线 过点D， ∴，解得， 则直线 的解析式为， 延长与y轴交于点G，延长与x轴交于点H，过点E作于点I，过点C作于点L，如图， 则四边形为矩形，， ∵点， ∴， 由，解得， 则的长为， 那么，点， ∵，， ∴，， ∴， ，， ∵ ∴，解得（负值已舍去）， 则点． 【点睛】本题主要依托新定义考查二次函数的性质和平行线的性质、等腰直角三角形的判定和性质、一次函数的性质、坐标与图形性质等知识点，解题的关键是熟悉二次函数的性质、过定点的求解和解一元二次方程． 25. 如图1，已知 是等腰三角形的外接圆，，是 上一点，连接 ，交 于点 ．射线与 的夹角的角平分线 交 于点 ，射线 交射线于点． （1）若， ，，求的长度； （2）求证：； （3）如图2，当 为直径时，若，，求的面积． 【答案】（1）2 （2） 证明：如图，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ 平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴， ∴ （3） 【解析】 【分析】本题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，较难的是题（3），通过添加辅助线，构造相似三角形是解题关键． （1）先根据圆周角定理可得，，再证出，根据相似三角形的性质即可得； （2）连接，先证明，进而根据圆周角定理得出，再根据三角形的外角性质可得，然后根据圆周角定理可得，等量代换即可得证； （3）连接，延长 交于点 ，过点 作于点 ，连接 ， ， ，先根据等腰直角三角形的判定与性质可得， ，证明，根据相似三角形的性质可得，的长，然后设（ ），则利用的面积可求出 的值，从而可得 ，的长，最后利用三角形的面积公式计算即可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴, ∵， ，， ∴， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，延长 交于点 ，过点 作于点 ，连接 ， ， ， 设 的半径为（），则 为 的直径， ， ， 平分， ， 由圆周角定理得：， 由（2）知：， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 由圆周角定理得：， ， ， 设（ ），则 在中，由勾股定理得：，即 解得：（负值舍去） ， ， 的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年长沙县中考适应性试卷 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 在温度计上，以上的温度记作正数，以下的温度记作负数．据天气数据显示，2024年1月23日长沙县的最低气温为零下，记作（ ） A. B. C. D. 2. 2024年，我国农业农村经济运行总体平稳、稳中向好，粮食产量首次突破1400000000000斤，其中1400000000000用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 中国象棋是中华民族的文化瑰宝，历史悠久，趣味浓厚．下列棋子图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 从长度分别为2，3，4，5，6的五条线段中随机抽取三条，能围成三角形的组合共有（ ） A. 4种 B. 5种 C. 6种 D. 7种 6. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 太阳从东边升起 B. 布袋里有2个红球，1个白球，从中同时摸出2个球，其中必有红球 C. 367人中至少有两人生日相同 D. 走到十字路口正好是绿灯 7. 已知一组数据：1，3，5，1，2，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 1，2 B. 1，3 C. 3，1 D. 1，5 8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线与直线 ，都相交，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 有三张牌，分别为红心A、红心2、红心8，将这三张牌按任意左右顺序排列，再根据下列步骤操作： 第一步：将红心2与左边的牌互换，如果红心2已经在最左边，则不动； 第二步：将红心8与右边的牌互换，如果红心8已经在最右边，则不动； 第三步：将红心A与左边的牌互换，如果红心A已经在最左边，则不动． 经过以上三步操作后，请问最右边的牌是（ ） A. 红心A B. 红心2 C. 红心8 D. 红心A、红心2、红心8都有可能 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是________． 12. 一个不透明的布袋里装有3个红球，4个黄球，2个白球，2个黑球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为________． 13. 若点，都在反比例函数的图象上，则________（填“”或“ ”）． 14. 如图，在平行四边形 中，延长 到点 ，连接 ，使．若，则的度数为________． 15. 如图，在 中，，，将 沿 边所在直线向右平移2个单位长度得到， 与 相交于点 ，则________． 16. 如图， 是 的直径，点 ，在 上，点是的中点，点 是直径 上的一个动点，连接 ，，，若，，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在 中，，，按下列步骤作图： ①分别以点 ， 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，连接分别交 ， 于点 ，； ②以点 为圆心，小于 的长为半径画弧，分别交 ， 于点 ，； ③分别以点 ，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点 ，连接并延长交 于点 ． （1）若，求 的长； （2）求证：是等腰三角形． 20. 随着社会的发展和人们生活水平的提高，越来越多的人开始关注自己的生活品质和精神需求．在这个过程中，一部分人选择远离都市喧嚣，走进乡村，成为农业农村的参与者，解锁田园生活新体验．某市举办了“我最喜欢的田园生活体验”活动，共开展四个项目：A．我在星村有丘田；B．我在星村有块地；C．我在星村有棵树；D．我在星村有口塘．要求每个家庭只能参与一项．现从参与该项活动的家庭中随机抽取若干家庭进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了________个家庭； （2）请补全条形统计图； （3）请计算扇形统计图中“我在星村有丘田”所对应的圆心角的度数； （4）若此次参加田园生活体验的家庭共有2000个，请你估计选择“我在星村有口塘”的家庭有多少个？ 21. 如图， 是 的直径，点 是 上一点，延长 到点 ，连接 ，， ，，若． （1）求证： 是 的切线； （2）若 的半径为1，是的中点，求劣弧的长（结果用 表示）． 22. 某社区计划将一个长12米、宽8米的长方形花坛扩建为公共休息区．扩建方案是在花坛四面修建一条宽度相同的小道，使扩建后的长方形公共休息区的总面积为192平方米． （1）求这条小道的宽度； （2）如果用篱笆围住扩建后的休息区，需要多少米篱笆？ 23. 如图，在矩形 中，对角线 ， 相交于点 ，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求矩形 的面积． 24. 不妨约定，关于 的二次函数，若（为正整数），则称该函数为“函数”，为“值”．例如：二次函数，有，故该函数为“函数”，“值”． （1）判断下列二次函数是否为“函数”，是的在括号里打“√”，不是的在括号里打“×”． ①；（ ） ②；（ ） ③．（ ） （2）已知二次函数（ ，为常数，）是“函数”，且“值”． ①求证：该函数与 轴总有两个交点； ②该函数经过某一定点，求出该定点的坐标． （3）如图，在（2）的条件下，二次函数与 轴交于两点 ， （点 在点 的左侧），与轴相交于点 ，顶点为，过点作，交抛物线于点 ，过点 作，当时，求点 的坐标． 25. 如图1，已知 是等腰三角形的外接圆，，是 上一点，连接 ，交 于点 ．射线与 的夹角的角平分线 交 于点 ，射线 交射线于点． （1）若， ，，求的长度； （2）求证：； （3）如图2，当 为直径时，若，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $