精品解析：四川省泸州市龙马潭区泸化中学2024-2025学年高一下学期5月期中测试数学试题

2025年四川省泸化中学高2024级高一半期测试 数 学 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．考试结束后，只将答题卡交回． 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量 ，若 ，则 （ ） A. 1 B. -1 C. 0 D. 2. 下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. 7 D. 5. 要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 6. 如图为地动仪的模型图，地动仪共有东、南、西、北、东南、西南、东北、西北八个方位，每个方位上均有一个含龙珠的龙头，且每个龙头下方均有一只蟾蜍与其对应，任何一方如有地震发生，该方向龙口所含龙珠即落入蟾蜍口中，由此便可测出地震的方向．在相距的，两地各放置一个地动仪，在的南偏西方向，若地地动仪正东方位的龙珠落下，地地动仪东南方位的龙珠落下，则震中的位置距离地（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角所对的边分别为，已知，且，则（    ） A. B. C. D. 8. 设均为单位向量，且，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图所示，点M，N是函数的图象与x轴的交点，点P在M，N之间的图象上运动，若，且当的面积最大时，则（ ） A. B. C. ， D. 的单调增区间为 10. 若向量，，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 与的夹角为 11. 是的重心，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上的投影向量等于. C. D. 的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角所对应的边分别为．若，则__________． 13. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标______. 14. 在下列各式中， ①如果，，，，成等比数列，那么； ②中，若，且 ，则是等边三角形； ③若两个正实数、满足，并且 恒成立，则实数的取值范围是； ④若等比数列的前项和，则 的值为； ⑤若，，则 有最大值为． 其中正确的有 _______ ．（填上你认为正确的所有序号） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足的夹角. （1）求的值； （2）求. 16. 已知向量，，设函数，. （1）求函数的解析式； （2）求的单调递减区间和对称轴方程； 17. 在中，内角对应的边分别是，且． （1）求角A的大小； （2）若的面积是，求的周长； （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 18. 在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． （1）求证：； （2）若，求a边的范围； （3）求的取值范围． 19. 函数（，，）的部分图像如图所示. （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递增区间； （3）将函数的图像上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图像，若时，的图像与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为，，且，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年四川省泸化中学高2024级高一半期测试 数 学 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．考试结束后，只将答题卡交回． 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量 ，若 ，则 （ ） A. 1 B. -1 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查向量垂直的坐标表示，代入求值即可. 【详解】， 又， ，即， 解得：. 故选：B. 2. 下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量作基底的条件，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】能作为基底的向量不可以是共线向量， 对A：，，，故//，不可作基底，故A错误； 对B：，，，故//，不可作基底，故B错误； 对C：，，，故，不共线，可以作基底，故C正确； 对D：，，，故//，不可作基底，故D错误； 故选：C. 3. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理代入计算即可. 【详解】由余弦定理可知， 又因为，所以可得. 故选：A 4. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正切函数定义求出，利用两角和的正切公式求解. 【详解】由题意，可得， . 故选：B. 5. 要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】B 【解析】 【分析】变形函数的解析式，根据变换规则求解即可. 【详解】因为， 所以只需将的图象向左平移个单位即可， 故选：B. 6. 如图为地动仪的模型图，地动仪共有东、南、西、北、东南、西南、东北、西北八个方位，每个方位上均有一个含龙珠的龙头，且每个龙头下方均有一只蟾蜍与其对应，任何一方如有地震发生，该方向龙口所含龙珠即落入蟾蜍口中，由此便可测出地震的方向．在相距的，两地各放置一个地动仪，在的南偏西方向，若地地动仪正东方位的龙珠落下，地地动仪东南方位的龙珠落下，则震中的位置距离地（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理解三角形即可得到答案. 【详解】如图： 由题意：中，，，. 由正弦定理可得：. 故选：B 7. 在中，角所对的边分别为，已知，且，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理化简已知式可得，再由余弦定理可知，最后由正弦定理即可得出答案. 【详解】由正弦定理可得：， 所以由余弦定理可得：， 所以，再由正弦定理可得：. 故选：D. 8. 设均为单位向量，且，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量数量积的运算律和模长的计算求解即可. 【详解】，即，则， 所以. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图所示，点M，N是函数的图象与x轴的交点，点P在M，N之间的图象上运动，若，且当的面积最大时，则（ ） A. B. C. ， D. 的单调增区间为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意求出从而求得此函数表达式，再运用三角函数相关知识对各选项逐一分析即可. 【详解】因为当的面积最大时在最高点，此时在中，， 所以，，即，， 因为函数经过，则， 即，又，所以取. 所以函数表达式为.B正确. 对于A，，错误； 对于C，取得函数最小值，所以的图象关于直线对称，即，，正确； 对于D，令，解得，所以的单调增区间为，正确； 故选：BCD. 10. 若向量，，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 与的夹角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量模与数量积的坐标表示判断AB，利用投影向量公式判断C，利用向量夹角公式判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，又，所以，故B正确； 对于C，易得， 所以在上的投影向量为，故C正确； 对于D，因为， 又，所以，故D错误. 故选：ABC. 11. 是的重心，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上的投影向量等于. C. D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A，根据投影向量的定义，判断B；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D. 【详解】A.以为邻边作平行四边形，交于点，是的中点， 因为是的重心，所以三点共线，且， 所以，，所以，故A正确； B.在上的投影向量等于，故B错误； C.如图，因为，所以, 即，即, 因为点是的重心，，故C正确； D. 取的中点，连结，取中点，则，， , 则， , 显然当重合时，，取最小值，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于重心性质的应用，以及向量的转化. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角所对应的边分别为．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】因为，所以． 故答案为：. 13. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标______. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】在方向上的投影向量为， 故答案为：. 14. 在下列各式中， ①如果，，，，成等比数列，那么； ②中，若，且 ，则是等边三角形； ③若两个正实数、满足，并且 恒成立，则实数的取值范围是； ④若等比数列的前项和，则 的值为； ⑤若，，则 有最大值为． 其中正确的有 _______ ．（填上你认为正确的所有序号） 【答案】②③⑤ 【解析】 【分析】 根据等比数列的性质判断①；利用余弦定理及和角公式判断②；利用基本不等式判断③；等比数列前项和公式判断④；依题意可得，利用换元法及二次函数的性质判断⑤. 【详解】解：①，，，，成等比数列， ，， ，①不正确； ②由可得：， 根据余弦定理：，则， 由可得：， ， ， ，，为三角形的内角， ，即， ，即为等边三角形，②正确； ③由恒成立得 ， 由题得， ， 当且仅当时，即，时等号成立， ， 解得：， ，③正确； ④易得等比数列公比不为1， 则， ， ，， ，④不正确； ⑤， ， ， 令，则， 则上式，当时取最大值， 代入得，⑤正确． 综上：正确的有②③⑤． 故答案为：②③⑤ 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是一正：各项均为正；二定：积或和为定值；三相等：等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足的夹角. （1）求的值； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用数量积的定义及数量积的运算律，即可求解； （2）利用数量积的运算律及模长的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 因为， 则 . 【小问2详解】 . 16. 已知向量，，设函数，. （1）求函数的解析式； （2）求的单调递减区间和对称轴方程； 【答案】（1） （2）减区间，对称轴方程, 【解析】 【分析】（1）根据两个向量数量积的坐标表示以及二倍角公式、辅助角公式化简得出结果； （2）根据正弦函数单调递减区间和对称轴公式整体代入求解. 【小问1详解】 因为向量，，则 . 【小问2详解】 令，，则， 的单调递减区间为，. 令，，解得，. 对称轴方程，. 17. 在中，内角对应的边分别是，且． （1）求角A的大小； （2）若的面积是，求的周长； （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理的边角互化，代入计算，即可得到结果； （2）由三角形的面积公式可得的值，再由余弦定理可得的值，从从而可得，即可得到结果； （3）由三角形的内角和将转化为关于的式子，再由三角函数的性质即可求得结果. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 即，因为，所以， 则，即. 【小问2详解】 因为，所以， 由余弦定理可得， 即，所以， 则，所以， 则的周长为. 【小问3详解】 由可得， 则 ， 且为锐角三角形，则，解得， 所以，则， 所以， 即的取值范围是. 18. 在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． （1）求证：； （2）若，求a边的范围； （3）求的取值范围． 【答案】（1） 因为， 所以， 由正弦定理可得， 又因为， 代入可得， 即， 因为，，则，故， 所以或，即或（舍去）， 所以． 法二：由正弦定理可得：， 则， 则， 又，故， 因为，，则，故， 所以或，即或（舍去）， （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）由，进而得到，再利用正弦定理将边转化为角，利用两角和的正弦公式求解；法二：由，利用正弦定理转化为，进而得到，再利用和差化积求解. （2）由（1）知，进而得到，再根据为锐角三角形，得到，再由，利用正弦定理求解； （3）由（2）知，转化为，再令，得到求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为锐角三角形，， 所以， 由，解得， 又故． 【小问3详解】 由（2）知． 由， ， 令，则在上单调递增，所以， 所以的取值范围为． 19. 函数（，，）的部分图像如图所示. （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递增区间； （3）将函数的图像上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图像，若时，的图像与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为，，且，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的最低点求得的值，根据图象得到函数的周期，并求得的值，代入点求得的值.由此求得函数的解析式； （2）利用余弦函数的性质，即可求出函数的单调增区间； （3）令，则，利用的图象可得，，又，从而得到，再利用，即可求得结果. 【小问1详解】 由图象可得，，， ，则， ，又图象过点， 所以，解得， 又，， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 由余弦函数可知，， ，， 所以函数的单调递增区间为. 【小问3详解】 由题可得，， 又因为，所以， 令，则， 设直线与的图象交点横坐标自左向右依次为， 由的图象可知，，， 且， ，又由图象知，所以， 又，， 所以，又 ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $