2026年中考数学三轮复习备考 二次函数压轴之线段周长问题归纳练

二次函数压轴之线段周长问题归纳练-2026年中考数学三轮复 习备考 1,(25-26九年级上江西南昌月考)如图1，抛物线y,=-x2+bx与x轴交于点A,与直线 y2=-x交于点B(6,-6),点C(0,-6)在y轴上，点P从点B出发，沿线段B0方向匀速运动， 运动到点O时停止. 图1 图2 (1)求抛物线y,=-x2+bx的解析式： (2)当BP=3√2时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D,连接PC,OD,并判断 四边形OCPD能否为平行四边形，并说明理由； (3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方 向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动.连接BQ,PC,求CP+BQ的最小值 2.(25-26九年级上·江苏宿迁月考)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点 A-2,0),B(4,0)且与y轴交于点C(0,4),点D是直线BC上方抛物线上的点. (备用图) ()求二次函数的函数表达式： (②)点E是二次函数图象的对称轴上一个动点，当BE的垂直平分线恰好经过点C时，求点E 的坐标； 试卷第1页，共3页 (3)当SBCD:S。4Bc=1:3时，点F是x轴上一个动点，连接CF、DF,求CF+DF的最小值， 并求出此时点F的坐标， 3.(25-26九年级上黑龙江绥化·月考)如图，一次函数与二次函数y=x2+mx+n的图象交 于点A(-1,0),B(4,5). VA 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为： (③)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E, 求线段DE长度的最大值并求出此时点D的坐标， (4)在(2)条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内 一点，若以C,M,F,N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标 4.（25-26九年级上·安徽毫州期末)如图，抛物线y=-x2+2x+8与x轴交于点A,B(点 A在点B的左侧)，与y轴交于点C. VA M B P 图1 备用图 (I)求点A,B,C的坐标： (2)点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线交直线BC于点M,交抛物线于点N,求线段 MN的最大值； (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使BQ=AC？若存在，请直接写出点Q的坐标： 试卷第1页，共3页 若不存在，请说明理由. 5.(25-26九年级上·北京大兴期末)在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=-x2+bx+2与直 线y=-x+2相交于点A和点B(d,-1. (1)求b,d的值； 2)T(,0),TI+)0为x轴上两点，Pm,0)为线段TT,上一动点，过点P作x轴的垂线，交 2 抛物线于点M,交直线y=-x+2于点N(点M,N不重合). ①当m=-1时，求MN的长； ②已知在点P从点T,运动到点工的过程中，线段MN的长随m的值增大而增大，求t的 取值范围 6.(25-26九年级上.宁夏吴忠·期末)已知，抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-1,0)和C(0,3) 备用图 (1)求抛物线的解析式： (②)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PAC的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标， 如果不存在，请说明理由： (3)设第一象限内的点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标. (不写过程，直接写坐标) 7.(25-26九年级上·山东济宁·月考)己知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过0，-3)， 试卷第1页，共3页 -b,c两点，其中a,b,c为常数，且ab>0. 备用图 (1)求a,c的值； (2)若该二次函数的最小值是-4，且它的图像与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧)，与 y轴交于点C. ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A,B的坐标； ②如图，在第三象限内二次函数的图像上有一动点P,连接BP,与直线AC交于点E,当 PE的值最大时，求点P的坐标，及PE的值 B BE 8.(2026甘肃白银·二模)抛物线y=ax2+bx+6过点A-2,0),点B(6,0),顶点为C,与y 轴相交于点D,点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m(2<m<6). B 0 图1 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，连接BD,PB,PD,求出△PBD的面积范围； (3)连接AC,过点P作PM⊥AC于点M,且PM=2CM,求此时M点坐标. 9.（25-26九年级上·天津·月考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴 交于A1,0),B(-6,0)两点，与y轴交于点C. 试卷第1页，共3页 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PD∥x轴交抛物线于点D, 作PE⊥BC于点E,求PD+√2PE的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线CB方向平移2√2个单位，在PD+√2PE取得最大值的条件下，连接AP交 y轴于点M,平移后的抛物线上是否存在一点N,使得∠AMN=90,若存在，直接写出符 合条件的N点坐标，若不存在，请说明理由. 10.(25-26九年级全国一轮复习)如图，在平面直角坐标系x0y中，抛物线 L,:y=x2-2x-3的顶点为P,直线1过点M(0,m)川m≥-3)，且平行于x轴，与抛物线L交 于A,B两点(B在A的右侧).将抛物线L沿直线1翻折得到抛物线L,抛物线L交y轴 于点C,顶点为D, 备用图 (1)当m=1时，求点D的坐标： (2)连接BC,CD,DB,若△BCD为直角三角形，求此时抛物线L2所对应的函数表达式： (3)在(2)的条件下，若△BCD的面积为3，E,F两点分别在边BC,CD上运动，且 EF=CD,以EF为边作正方形EFGH,连接CG,写出CG长度的最小值，并简要说明理 由 试卷第1页，共3页 11.(25-26九年级上·福建莆田·月考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 D=2+bx+c与x轴交于A,BV2,0两点，与y轴交于点C(0,31 O (1)求该抛物线的表达式： (2)点P为直线AC上方抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥AC于点D,求√PD的最大值 及此时点P的坐标； (3)在(2)中√6PD取得最大值的条件下，将原抛物线y向左平移，使新抛物线y经过原点， 平移后点A的对应点为A,过点P作PI⊥x轴于点I,N为直线PI上一点，且满足 ∠AN0=90°，在x轴下方新抛物线y上确定一点M,使∠AMO的角平分线MG与x轴所成 钝角与∠ONI互补，直接写出所有符合条件的点M的坐标. 12.(25-26九年级上重庆期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=- x2+bx+c与 2 x轴交于A,B(3,0)两点，与y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x= 备用图 (1)求抛物线的表达式： (②)点E是直线BC上方抛物线上一动点，过点E作x轴垂线，交BC与x轴分别为点F与点 G,点P,Q为抛物线对称轴上的动点（点P在点Q的上方），且PQ=3,连接EP,EQ.当 EF+二BG取得最大值时，求点E的坐标及△EPQ周长的最小值： ③)在(2)中EF+}BG取得最大值的条件下，将抛物线y=-x2+bx+c向右平移2个单位， 2 试卷第1页，共3页 向上平移3个单位得到y,点H为点E的对应点，点M为y上的一动点，若 ∠HCM=∠CAB-∠ABC,请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐 标的其中一种情况的过程. 13.(2026重庆市沙坪坝区)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x+x+c交x轴 于A(-2,0),B两点，交y轴于点C(0,4). B B 备用图 (1)求该抛物线的表达式； (2)点P是直线BC上方该抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D,过点P作PF∥y轴 交BC于点E,交x轴于点F.点G、H是y轴上两动点，点H在点G上方，且GH=I,连 接BG,PH,当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标及BG-GH+PH的最小值； (3)在(2)的条件下，将该抛物线y沿射线DP方向平移5√2个单位长度得到新的抛物线y, M是新抛物线y对称轴上纵坐标为2的点，N是新抛物线y上一动点.若 ∠MFN=∠CMF,请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中 一种情况的过程 试卷第1页，共3页 参考答案 1.(1)解：将点B(6,-6)代入y,=-x2+bx得-36+6b=-6,解得b=5, 抛物线的解析式为y,=-x2+5x; (2)解：四边形OCPD不能为平行四边形，理由如下： 如图1，作PD⊥OA交抛物线于点D,垂足为点H,连接PC,OD. 图1 :点P在y2=-x上， .0H=PH,∠P0H=45°. 连接BC, :0C=BC=6, 0B=6V2. :BP=3V2, :OP OB-BP=32, :.OM-POP x3V2=3. 2 2 当x=3时，y=-9+5×3=6, .PD=DH+PH=6+3=9. :点C(0,-6), .0C=6. :OC⊥x轴，PD⊥x轴， .PD∥OC,而PD=9≠OC, 四边形OCPD不可能是平行四边形； (3)解：如图2，由题意得BP=OQ,连接BC,在OA上方作△OMQ,使得∠MOQ=45°， OM=BC. 答案第1页，共2页 M 图2 .OC=BC=6,BC LOC, ∠CBP=45°， .∠CBP=∠MOQ. :BP=OQ,∠CBP=∠MOQ,BC=OM, .△CBP≌aMOQ(SAS), .CP=MO, .CP+BQ=MQ+BQ≥MB, .CP+BQ的最小值为MB, :∠M0B=∠M00+∠B00=45°+45°=90°， ÷MB=V0M2+0B2=V62+6W2'=65, 即CP+BQ的最小值为6√3. 20=444 (2)E1,4+V3T或E1,4-3T (3)217,F(1,0 【分析】(1)运用待定系数法求解即可： (2)连接CB,CE,根据BE的垂直平分线恰好经过点C得到CB=CE,设E(1,y),根据 两点间距离公式得到CE=√y2-8y+17,BC=42,由CB=CE列出方程，求解即可. (3)过D作DM⊥x轴交BC于M,由待定系数法得直线BC解析式为y=-x+4,设 D大-r2+x+4,Mx-r+4,由SBcD=Snw+Se0w可求出Sao,由三角形积得 答案第1页，共2页 1 S,Bc=,×(x,-x小OC,即可求解；取C关于x轴的对称点C,连接C'D交x轴于点F, 2 此时CF=CF,CF+DF=C'F+DF,C'F+DF≥C'D,即CF+DF最小值为C'D的长， 即可求解 【详解】(1)解：设二次函数的函数表达式为y=ax2+br+c, :二次函数的图象经过点A(-2,0),B(4,0),且与y轴交于点C(0,4), 4a-2b+c=0 a=-1 2 16a+4b+c=0,解得b=1, e=4 c=4 .二次函数的解析式为y=-。x2+x+4. (2)解：连接CB,CE, :BE的垂直平分线恰好经过点C, .CB=CE, :二次函数为y= 二x2+x+4, x=_ .对称轴为 1 2× 、2 设E(1,y), B4,0,C(0,4, CE=VP+(y-4)2=Vy2-8y+17, BC=V42+42=4V2, .CB=CE, 答案第1页，共2页 Vy2-8y+17=4V2, 解得y=4±√ 点E的坐标为1,4+3T或1,4-3： (3)解：过D作DM⊥x轴交BC于M, 设直线BC的解析式为y=mx+n, 将B(4,0),C0,4)代入得， 4m+n=0 n=4 解得 m=-1 n=4, :直线BC解析式为y=-x+4, 设D产+x+4则M(红-+ DM=+x+4-x+4到=+2， S.BCD =S.BDM+S.CDM -号DM-+号DM(o- =0M-+- =DM4-0 r+24 =-x2+4x, c=。-x小-0c=x6x4=12 答案第1页，共2页 SABC 3, :-x2+4x=1 ,解得x=2=2, 12 3 名7x2+x+4三 2×22+2+4=4 :点D(2,4). 取C关于x轴的对称点C, ：C'(0,-4), 连接CD交x轴于点F, 此时CF=CF, :.CF+DF=C'F+DF, :C'F+DF≥CD,即CF+DF最小值为CD的长， :D2,4, ·CD=V2-0)2+(4+42=217, :CF+DF最小值为217， 设直线C'D的解析式为y=px+qp≠O), 直线CD过点C'(0,-4),D(2,4), +4解 9=4 p=4 (9=-4' :直线CD的解析式为y=4x-4, 当y=0时，4x-4=0, 解得x=1, 答案第1页，共2页 F(1,0). 【点晴】本题考查了二次函数综合，待定系数法，垂直平分线的性质，勾股定理，轴对称的 性质，两点之间线段最短，掌握相关知识是解题的关键， 3.(1)y=x2-2x-3 (2)1,2 ④N-L2N4[G引 【分析】(1)将A(-1,0),B(4,5)代入y=x2+mx+n得到关于m,的二元一次方程组求 解即可； (2)抛物线的对称轴为x=1,求出直线AB与对称轴的交点即可求解； (3)设D(d,d2-2d-3,则E(d,d+),则 DE=(d+1)-d2-2d-3=-d2+3d+4(-1<d<4),根据二次函数的性质得出DE的最大值， 即可求解此时点D坐标； (4)根据题意画出图形，分情况求解即可. 【详解】(1)解：将A-1,0),B(4,5)代入y=x2+mx+n得， 1-m+n=0 m=-2 16+4m+n=5，解得 n=-3' :抛物线的解析式为：y=x2-2x-3: (2)解：如图，设直线AB的解析式为：y=x+b, 把点A-1,0,B(4,5代入y=x+b, 「-k+b=0 k=1 4+65解得6， 得 :直线AB的解析式为：y=x+1, 由(1)知抛物线y=x2-2x-3的对称轴为x=- -2 =1, 2×1 :点C为抛物线对称轴上一动点，AC+BC≥AB, :当点C在AB上时，AC+BC最小， 答案第1页，共2页 把x=1代入y=x+1,得y=2, ·点C的坐标为1,2)， 故答案为：(1,2)； (3)解：如图，由(2)知直线AB的解析式为y=x+1, 设Dd,d2-2d-3,则E(d,d+1), 则DE=(d+l-(d-2d-3)=-a2+3d+4=-（d- 3）2 十 4 1<d<4, 当d=时，DE有最大值为空， 6》 (4)解：如图，：直线AB的解析式为：y=x+1, :直线与y轴的交点为D(0,1,OD=1, A(-1,0),0A=1, :OA=OD,∠DA0=∠AD0=45°， 若以点C,M,F,N为顶点的四边形是正方形，分情况讨论： ①过点C作CM1⊥y轴于点M,则aDM,C为等腰直角三角形，过点C作CN,⊥DN,,则 四边形CMDN为正方形， 答案第1页，共2页 依题意，知D与F重合，点N,的坐标为1,1)： ②以M1为中心分别作点F,点C的对称点M2,N2,连接CM2,M,N2,N,F,则四边形 M,N,FC是正方形， C(1,2), 点N2的坐标为-1,2)； B M N个C M N A ③延长N,M,到N,使N,M,=M,C,作NE⊥AB于点E,则四边形M,NFC是正方形， M N2/个C M D A F :点N2的坐标为-1,2)，M,0,2+1)即M,0,3),且M2为NN3中点， .N,的坐标为1,4)： ④取M,C的中点N4,FC的中点E,则MF,CN4为正方形， 答案第1页，共2页 M2(0,3,C(1,2 :N,的坐标为22) 15 M N F) 综上所运，点N的坐标为：N,N(L2￥04引 【点晴】本题考查了二次函数综合问题，用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二 次函数的性质，三角形面积问题，特殊四边形问题，正方形的性质，根据题意正确画图是解 本题的关键。 4.(1)点A坐标为-2,0)；点B坐标为4,0)；点C坐标为(0,8) (2)4 (3)点0的坐标为1V59)或1，-59) 【分析】(1)根据二次函数性质，当x=0时，y=8,当y=0时，-x2+2x+8=0,解得 x=-2或x=4,即可求解； (2)设直线BC的函数表达式为y=+b,将点B(4,0),点C(0,8),得y=-2x+8,设 点P坐标为(a,0)(0≤a≤4)，点M坐标为a,-2a+8),点N坐标为a,-a2+2a+8),即可 求解： (3)在该抛物线的对称轴上存在点Q,设点Q坐标为1，m),使BQ=AC,即BQ=AC2, 代入即可求解 【详解】(1)解：当x=0时，y=8, .点C坐标为0,8)： 当y=0时，-x2+2x+8=0,解得x=-2或x=4, :点A在点B的左侧， 答案第1页，共2页 点A坐标为-2,0) 点B坐标为(4,0)： (2)解：设直线BC的函数表达式为y=c+b, 点B(4,0),点C(0,8), [4k+b= 0,解得 k=-2 b=8 b=8’ .y=-2x+8; 设点P坐标为a,0)(0≤a≤4)， 点M坐标为a,-2a+8),点N坐标为a,-a2+2a+8), .MN=-a2+2a+8-(-2a+8)=-a2+4a=-(a-22+4, -1<0,0≤a≤4， .当a=2时，MN有最大值，最大值为4； (3)解：在该抛物线的对称轴上存在点Q,设点Q坐标为(1，m), 使BQ=AC,即BQ=AC2, .(4-1+(m-0)=(0+2)2+(8-0)2,解得m=±V59, 点9的坐标为1，V59或(1，-√59)： 【点晴】本题是二次函数综合题，考查一元二次方程配方法、二次函数图象性质相关知识.熟 练掌握二次函数图象性质，将问题转化，是解此题的关键. 5.(1)b=2,d=3 (2)①4；②0<1≤1或1>3 【分析】本题考查一次函数和二次函数的图象性质： (1)根据B在一次函数图象上，求出d,再根据B在抛物线上即可求出b: (2)①求出M和N的纵坐标即可求出MN的长；②分0<m<3、m≤0、m>3三种情况讨 论，结合二次函数性质即可求解. 【详解】(1)解：点B(d,-1)在直线y=-x+2上，代入得：-1=-d+2,则d=3, .B(3,-1), 答案第1页，共2页 点B(3,-1)在抛物线y=-x2+bx+2上，代入得：-1=-32+3b+2,则b=2: (2)解：①如图： -1/ 当m=-1时，P(-1,0),过P作x轴垂线x=-1. 则M的纵坐标为yM=-(-1)2+2×(-1)+2=-1, N的纵坐标为yw=-(-1)+2=3, MN的长为3-(-)=4； ②P(m,0),则Mm,-m2+2m+2,N(m,-m+2), 则MN=(-m2+2m+2）-(←m+2)=m2+3m, (i)当0<m<3时，如图： MN=-m2+3m, O P N=-m+3m是开口向下的二次函数，对称轴为m= :当O<m≤时，线段MN的长随m的值增大而增大， 2 :点Pm,0)在T,0,7t+20之间， [t20 故 13,解得0≤1≤1： 【+2≤2 (i)当m≤0时，如图： 答案第1页，共2页 VA MN m2-3m, B 二次函数MN=m2-3m的图象开口向上，对称轴为m=3 当m≤0时，MW随m增大而减小，不符合条件； (ii)当m>3时，如图： VA 交MN=m2-3m, 3 二次函数MN=m2-3m的图象开口向上，对称轴为m= 当m>3时，MN随m增大而增大， :点Pm,0)在T,0Z+20之间， 故t>3; 综上所述，0<t≤1或t>3. 6.(1)y=-x2+2x+3 (2)存在，点P坐标为1,2 3)当△M4C是直角三角形时，点M的坐标为L,山或L,2)或1，氵打 【分析】(1)由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的 一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点： (2)设抛物线与x轴的另一个交点为点B,连接BC交抛物线对称轴于点P,此时△PAC的 最小值为AC+CP+AP=AC+CB,利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标， 由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛 物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标： (3)设点M的坐标为1，m,则MA2=1+1)2+m2=4+m2, 答案第1页，共2页 MC2=(1-02+(m-3)2=1+(m-3)2,AC2=「0-(-1)]+(3-02=10，分∠ACM=90°、 ∠AMC=90°、∠CAM=90°三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元 一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标. 【详解】(1)解：由题意知，将A-1,0),C(0,3)代入y=-x2+bx+c中， -1-b+c=0 [b=2 得 c=3 ,解得： c=3' .抛物线的解析式为y=-x2+2x+3; (2)解：存在， 如图，设抛物线与x轴的另一个交点为点B,连接BC交抛物线对称轴于点P,此时△PAC的 最小值为AC+CP+AP=AC+CB, B 当y=0时，有-x2+2x+3=0, 解得：x=-1,x2=3, 点B的坐标为3,0)， :抛物线的解析式为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, 抛物线的对称轴为直线x=1, 设直线BC的解析式为y=kx+bk≠O), 将B(3,0)、C(0,3)代入y=c+b中， 3k+b=0 「k=-1 得： 1b=3 ,解得： b=3· .直线BC的解析式为y=-x+3, :当x=1时，y=-x+3=2, 当△PAC周长最小时，点P的坐标为(1,2). 答案第1页，共2页 (3)解：如图，设点M的坐标为1，m), B 由勾股定理得，MA2=(1+1)2+m2=4+m2, MC2=(1-0)2+(m-3)2=1+(m-3)2, AC2=[0-(-1]+(3-0)2-10, 此时分三种情况考虑： ①当LACM=90°时，有AM2=AC2+CM2,即4+m2=10+1+(m-3)2, 朝行：加多 点M的坐标为 ②当∠AMC=90°时，有AC2=AM2+CM2,即10=4+m2+1+m-32, 解得：m1=1,m2=2, 点M的坐标为(1,1)或1,2)， ③当∠CAM=90°时，有CM2=AM2+AC2,即1+(m-32=4+m2+10, 解得：m=- 点M的坐标为，-) (不符合题意，舍去)， 综上所达，当△M4C是直角三角形时，点M的坐际为或L,2或】 【点晴】本题考查了抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、动点最值问题求解对称轴 上点的坐标、勾股定理及直角三角形的性质应用. 7.(1)a=1,c=-3 (2)①该二次函数的解析式为y=x2+2x-3;A(-3,0),B1,0):②P 》能的雕 答案第1页，共2页 为名 【分析】(1)先求得c=-3,则可得0，-3列和(-b,c)关于对称轴x=-。对称，由此可得 2a 0-b b 2 ，进而可求得a=1; 2a (2)①根据抛物线顶点坐标公式得物=2，力。-4，由此可求得6=2，进而可得抛 4 物线的表达式为y=x2+2x-3,进而可得A(-3,0),B(1,0); ②先求得直线AC的表达式为y=-x-3,过P作y轴平行线交直线AC于Q,过B作y轴平 行线交直线AC于H,则PO/BH,先证明aPE0aBEH得到能= ,设 Pm,m2+2m-3(-3<m<0),则Q(m,-m-3,H(1,-4),利用坐标与图形性质得到 E-m+3+9 -4m+2+16 利用二次函数的性质求解即可. BE 【详解】(1)解：：y=ar2+bx+c的图像经过(0，-3， c=-3, :(0,-3到和(-b,关于对称轴x=-力对称， 2a :0-b、b 22a ab>0, b≠0， .a=1, .a=1,c=-3; (2)解：①a=1,c=-3, .y=x2+bx-3, :y最小值 4×1x-3-B2-12-B=-4, 4×1 4 .b=±2， ab>0,且a=1>0, .b>0, .b=2, 答案第1页，共2页 .该二次函数的解析式为y=x2+2x-3, 当y=0时，x2+2x-3=0, 解得x=-3,x2=1, A-3,0,B(1,0); ②设直线AC的表达式为：y=kx+b, 「-3k+b=0 则 b=-3’ ∫k=-1 解得6=3 .直线AC的表达式为y=-x-3, 过P作y轴平行线交直线AC于Q,过B作y轴平行线交直线AC于H, 则PQ∥BH, :△PEQ∽aBEH, PE=Po BE BH 设Pm,m2+2m-3(-3<m<0),则0(m,-m-3),H(1,-4), .PQ=(-m-3)-m2+2m-3=-m2-3m,BH=4, -m-名 当m=-3: 时，距以得最大值，最大植为。 2 答案第1页，共2页 此时m42m-3(+2引3=- 即点P单标为）】 【点晴】本题考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与几何综合，利用待定系数法求二 次函数和一次函数的表达式，利用数形结合思想和相似三角形的性质求解是解题的关键。 80y=号+2x+6 e0am号 ag】 【分析】(1)利用待定系数法求解即可； (2)直线BD解析式为y=-x+6,过点P作PQ∥y轴交BD于点Q,点 P@m+2m+6,则点Q(,m+61,PQ=m-习+号，进而表据 Sm=50+50,得到Sm=m-3+,据此求据二次函数的性质求解即可， (3)解直角三角形得到tan∠MCP=2,设AC交y轴于点F,延长CP交x轴于点G,连接 GF,过点C作CE⊥x轴于点E,求出C(2,8),tan∠CAE=2,则可证明∠MCP=∠CAE, 得到GA=GC;证明点F为AC的中点.得到GF⊥AC,则可证明∠OFG=∠OAF;解直 +.联立 角三角形求出0F=4,0G=8,则G(8,0):求出直线cG的解析式为y=-x+32 4.32 [14 y=- x+ x= 3 3 1 ,解得 3 x=2 或 40 8则P1440) 3):过点M和点P分别作x轴的垂 y=-5x2+2x+6 y= 2 9 线，垂足分别为T证明△CEG”△PTG,推出名专证明△CWP△cFG,雀甜 g,则17 CM2 了：证男△4Sw△4C,推出48=SMS-则9的 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+bx+6过点A-2,0),点B(6,0), 4a-2b+6=0 36a+6b+6=0 1 a=- 解得2. b=2 答案第1页，共2页 :抛物线的表达式为y=-X+2x+6 2 2)解：在)=r+2x+6,当x=0时，=6， D(0,6, [6k+b'=0 设直线BD的表达式为y=x+b',则 b=6’ ∫k=-1 16=6 :直线BD解析式为y=-x+6; 如图所示，过点P作PQ∥y轴交BD于点Q, 0 B 设点Pm,2 1 m2+2m+6,则点0(m,-m+6), P0m+2m+6-m+6j=-m+3m=m-3+ SPBD=S△PDe+S△PBe =P0(o+P0。- =1pQ-(x-xp) 2 =3P9 =m-r 2 :-3<0,2<m<6, 2 :当m=3时，Sm有最大值，最大值为子，当2<m≤3时，S心随m的增大而端大，当 3<m<6时，SP8D随m的增大而减小， 当w=2时，高m+召引2-+召-2 2 答案第1页，共2页 当m=6时，m-+=6-3-0, 2 2 当2<m≤3时，0<Sms73 (3)解：在Rt△CMP中，PM=2CM :tan∠MCP=PM=2, CM 设AC交y轴于点F,延长CP交x轴于点G,连接GF,过点C作CE⊥x轴于点E, :y=-x2+2x+6=- 2 -2妒8. C(2,8, .0E=2,CE=8, :A-2,0, .0A=2, .0A=0E,AE=4, 在R△AEC中，an∠CAE=CE=2, AE :tan∠MCP=tan∠CAE, :∠MCP=∠CAE, ..GA=GC; :FO⊥AB,CE⊥AB, FO∥CE, 装兴 点F为AC的中点. GF⊥AC .∠0AF+∠0GF=90°=∠0GF+∠0FG, .∠0FG=∠0AF; 在ROF中，an∠0AF-OF-2. OA .0F=4, 在R1AFOG中，an∠0FG=OC=2, OF .0G=8, 答案第1页，共2页 .G8,0); 设直线CG的解析式为y=kx+b, [2k+b=8 8k+k=01 解得 32 b= 3 :直线cG的解析式为y=-4x+32 3x+ 3 4.,32 14 y=- x+ x- 3 3 「x=2 联立 3 ,解得 或 2+2x+6 y=2 40 J= y=8 :p1440) (3’9 如图所示，过点M和点P分别作x轴的垂线，垂足分别为S,T, y M F OSE TB G PT=40 9； :CE⊥x轴，PT⊥x轴， .CE∥PT, .△CEG∽△PTG, 40 :.PG=PT=9=5, CG CE 8 9 CP 4 CG9' 同理可证明△CMP∽△CFG, CM CP 4 ·CF=CGg' 答案第1页，共2页 CM 2 AC 9' AM 7 AC 同理可证明△ASM∽△AEC, :4S-MAM、7 AE CE AC 9 As= 8 9 MS=56 9 10 .OS=AS-OA= 9, 1056 :M99 9.(1)y=x2+5x-6 (2)PD+√2PE的最大值为9，P(-2,-12】 -37+V473-91-V473-37-√473-91+V473 (3)存在； 或 32 8 32 【分析】(1)直接运用待定系数法求解即可： (2)如图：过P作PH∥y轴交直线BC于H,由二次函数的性质可得点C(0,-6),对称轴 为直线x= 乞：再通过证明aPHE是等腰直角三角形，即EH=PE,进而得到PH=2PE: 再运用待定系数法求得直线BC的解析式为y=-x-6,设点P(p,p2+5p-6),则 H(p,-p-6),进而得到PD+√2PE=PD+PH=-(p2+4P)+5,然后运用配方法求最值即 可解答； （3)先直线AP的解析式为y=4x-4，再求得M(0,-4),然后确定平移后的抛物线解析式 为到 再用两点间距离公式表示出AN2、MW2、AM ，然后再运用勾股定理列方程求得n即可解答， 【详解】(1)解：将A1,0),B(-6,0)两点代入y=x2+bx+c可得： 0=1+b+c 10=36-6b+c' 答案第1页，共2页 b=5 解得： c=61 .抛物线的表达式为y=x2+5x-6: (2)解：如图：过点P作PH∥y轴交直线BC于H, B :抛物线的表达式为y=x2+5x-6, 点C(0,-6),对称轴为直线x=-3 0C=6, B(-6,0), .0B=6, .OB=OC,即aBOC是等腰直角三角形， ∠0CB=45°， :PH∥y轴， .∠PHC=L0CB=45°， :PE⊥BC, .△PHE是等腰直角三角形，即EH=PE, ∴PH=VHE2+PE2=VPE2+PE2=√2PE, 设直线BC的解析式为y=kc+b, 0=-6k+b 则 -6=b [k=-1 解得： b=6 答案第1页，共2页 直线BC的解析式为y=-x-6, 设点P(p,p2+5p-6,则H(p,-p-6, P0-2p-(-5+2p,m-p-6-p5p--g-6p .PD+√2PE=PD+PH =5+2p+(-p2-6p) =-(p2+4p)+5 =-(p+22+9, .当p=-2时，即P(-2,-12)时，PD+√2PE的最大值为9. .PD+√2PE的最大值为9，P(-2,-12). (3)解：存在； 如图：设直线AP的解析式为y=mx+n, 0=m+n 则 -12=-2m+n' m=4 解得： (n=-4' .直线AP的解析式为y=4x-4, 把x=0代入y=4x-4得：y=-4, 连接AP交y轴于点M, .M(0,-4), 答案第1页，共2页 y=x2+5r6x+)-,范物线沿射线CB方向平移22个单位， ?月左平移两个单位，向上平移两个单位得到平移后的雨数解新 M(0,-4),A1,0), AM2=1-0)2+[0-(-4)]=17, w 除- :∠AMN=90°， :AN2 =MN2+AM2, r 整理得：4n2+37n+56=0, 解得：n=-37+47或n=-37-473 8 8 起”代-g 〔+9丽 32 起-”代Ae+- e1g5 答案第1页，共2页 -37+V473-91-V473 或 -37-V473-91+V473 点N的坐标为 32 32 【点晴】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与线段的综合、等腰直角三角形的判 定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识成为解题的关键。 10.(1)D(1,6 (2)抛物线L2所对应的函数表达式为y=-x2+2x+3或y=-x2+2x-3 ③而-巨，见解析 2 【分析】本题考查二次函数的对称的相关知识，直角三角形的三个角为直角的情况分析，不 同情况下的最值问题.解题的关键是理解对称的关键，直角三角形的不同情况分析： (1)先求出抛物线L的顶点P的坐标，再根据点P和点D关于直线y=1对称，即可求出点 D的坐标； (2)先求出抛物线L的顶点P的坐标，再根据点P和点D关于直线y=m对称，即可求出 点D的坐标；由△BCD为直角三角形，分三种情况讨论：①当∠BCD=90°时，②当 ∠BDC=90°时，③当∠DBC=90°时，分别求解即可； (3)由(2)知，当∠BCD=90°时，m=0,此时△BCD的面积为3，取EF的中点Q,连 接CQ,易知当Q,C,G三点共线时，CG取最小值，由此求解即可. 【详解】(1)解：y=x2-2x-3=(x-12-4, 抛物线L的顶点P的坐标为1，-4)： :m=1,点P和点D关于直线y=1对称， D1,6. (2)解：由题意，得抛物线L的顶点P1,-4与抛物线L的顶点D关于直线y=m对称， .D1,2m+4), .抛物线L2:y=-（x-1)+(2m+4)=-x2+2x+2m+3. 当x=0时，可得C(0,2m+3). ①当∠BCD=90°时，如答图①，过点D作DN⊥y轴，垂足为N. 答案第1页，共2页 O0入BD(1,2m+4), L 答图① ∴.N(0,2m+4 :C(0,2m+3, .DN NC=1. .∠DCN=45°. :∠BCD=90°， ∠BCM=45°. :直线1∥x轴， LBMC=90°. LCBM=∠BCM=45°. :BM CM :m≥-3， BM=CM=(2m+3-m=m+3. B(m+3,m）. 又：点B在抛物线L,:y=x2-2x-3上， .m=(m+3)2-2(m+3-3, 解得m=0或m=-3. 当m=-3时，可得B(0,-3,C(0,-3),此时B,C重合，舍去. 当m=0时，符合题意. 将m=0代入抛物线L,:y=-x2+2x+2m+3, 答案第1页，共2页 得L2y=-x2+2x+3. ②当∠BDC=90°时，如答图②，过点D作DN⊥y轴于点N,过点B作BT⊥ND,交ND的 延长线于点T. /L1 ND :D(1,2m+4, C(M) B 答图② .N(0,2m+4. :C(0,2m+3), :DN NC =1. .∠DCN=45°. :∠BDC=90°， :∠BDT=45°. :∠BDT=∠TBD=45°. .BT=DT. :DT=BT=2m+4-m=m+4. :NT =DN +DT=1+(m+4)=m+5. :B(m +5,m). 又：点B在抛物线L:y=x2-2x-3上， ∴m=(m+5)-2(m+5)-3, 解得m=-3或m=-4. m≥-3，m=-3. 此时B(2,-3,C(0,-3)符合题意. 答案第1页，共2页 将m=-3代入抛物线L2:y=-x2+2x+2m+3, 得L2:y=-x2+2x-3. ③易知，当∠DBC=90°时，此情况不存在. 综上，抛物线L2所对应的函数表达式为y=-x2+2x+3或y=-x2+2x-3. (3)解：CG长度的最小值为0-V2 2 理由：由(2)知，当∠BDC=90°时，m=-3,此时△BCD的面积为1，不合题意，舍去. 当∠BCD=90°时，m=0,此时△BCD的面积为3，符合题意. 由题意可求得EF=FG=CD=√2· 如答图③，取EF的中点Q,连接CO. B O(M) L2 答图③ 在Rt△CEF中可求得CQ=lEF- 1 2 2 在RtAFGO中可求得GQ= v10 易知当0，C,G三点共线时，cG取最小值，最小值为0-2 2 11.(①y=2 2-2x+3 ②V6PD有最大值为号，此时P 3W215 2’4月 (3)-22-25,-2或-22+25，-2. 【分析】(1)利用待定系数法即可求解； 答案第1页，共2页 C-冶.又PHoc,所 C2》过点P作PH1x轴交4C于点H,求出sin∠ACO-4O-2 HD4C0,则m∠PD-阳语得6PD=2PH,再求直线4C解行式为 -+3,设-+认则号+小所以 60=阳=.，）--3，伦运过资货的板可可求解， (3)过M作MT⊥AB于T,设MG交x轴于点F,平移后新抛物线的解析式为 y=-号-25x,设Mm,m-2m,证明w70o4TM,则7-07 7M7,即 MT=AT0T,则(，m2-2V2m2=mm+4),然后求出m的值即可. _1×2+N2b+c=0 【详解】1)解：将B5,0,C0,3到代入抛物线y=+b+e得 1 ×0+0×b+c=3 解得 b=-V2 c=3 抛物线解析式为y= -3. (2)解：如图，过点P作PH⊥x轴交AC于点H, OB 在y= -2x+3中，令y0,则0=-x*3. 解得x=-3√2或x=√2， 则A-32,0, 在RtaA0C中，A0=32,AC=3V3, 答案第1页，共2页 ·sin∠AC0=40-V2 AC3 :PH∥OC, ∠PHD=∠AC0, .sin∠PHD= PD√2 PH3 :.6PD =2PH, 设直线4C解析式y=+3,将A-3V2,0)代入得0=-32x+3, 解得k=V2 2 :直线4C解析式为y=2 +3, 2 设P--+3 t=-2-3V2t, 2 :-1<0,开口向下，-3√2<t<0, 当！=时，60有经大值为} 此时P 3V215 24 (3)解：过M作MT⊥AB于T,设MG交x轴于点F, G 平移后新抛物线的解析式为y=-】x2-2√2x, 2 答案第1页，共2页 设Mmm2-2n :A-32,0, 3V215 P Γ2’41 :PI是线段A0的垂直平分线， :∠AN0=90°， .△ANO、△IN0都是等腰直角三角形， .∠IN0=∠10N=45°， 由题意得∠A'FM=180°-∠IN0=135°， .∠0FM=45°， ∠FMT=45°， :MG是∠A'MO的角平分线， .∠A'MF=∠FMO, :∠TA'M+∠A'MF=∠0FM=45°，∠FM0+∠TM0=∠F0M=45°， .∠TA'M=∠TMO, .△MT0∽△A'TM, 智册 ∴MT2='T0T, (Cm-2m=mlm+42列， 4+42时r-2+]=0. .w+4a)-1(w+4/m)0. a+4m小-1=0或m45n)0合去. m=-25±25，-m-22m=-2. M的坐标为-22-25，-2或-2W2+25,-2. 【点晴】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标与图形，相似三角形的判定和性质，解 一元二次方程，二次函数的平移，解直角三角形等知识，掌握知识点的应用是解题的关键. 12.0+*3 答案第1页，共2页 (2)E(1,3),V10+3 (同点3的华标为26或传智》，过程见详解 【分析】(1)先利用对称轴与点B的坐标求得点A的坐标，再利用待定系数法即可求解二 次函数解析式： (2)先求出直线BC的解析式，再设Em,一 则F(m,-m+3,Gm,0),表 示出EF+。BG的表达式，此时表达式为开口向下的二次函数，化为顶点式后即可得出点E 的横坐标，代入二次函数解析式即可求得点E的坐标，将点E往下平移3个单位得到 E,(1,O),则EE∥PQ,且EE=PQ,连接E,Q,得平行四边形EPQE,则EQ=EP,作E关 于对称维直线x=的对称点E:00,即为坐标原点0，则50-E0.当E,C。5,大线 时取等，即可求得△EPQ周长的最小值； (3)先根据平移情况求出新抛物线解析式和点E平移后的点H坐标，作CP∥x轴，延长 AC于点N,根据题意可得出点M,在CN上，求出AC的解析式后联立新抛物线解析式即可 求得M1的坐标；作CN关于CH对称的直线CM,交y于点M2,设∠CA0=a,得出 a-瓷-号利用学角将出，CP-∠ACP-2∠HCN=心-，再过4，作，K1cP交 CP于点K延长M,C交x轴于点R求得m∠CMK=,设CK=3话，MK=2, 从面球得m以，CP:总答-兰-子，进而得出m∠出，9号子求得点F的室标，设直 线CM,的解析式为y=k,x+b2,求出解析式联立新抛物线解析式即可求得M2的坐标， 【详解】1)解：地物线的对称轴为x弓4,8(3.0为抛物线与x轴的交点， .AB=2 3-2=5, .x4=xg-5=-2, .A-2,0, 将A-2,0、B3,0)代入y=-x+bx+c, 答案第1页，共2页 2×-22+-2xb+c=0 得： x32+3xb+c=0 1 解得b 2’c=3, 1 (2)解：：点C是抛物线与y轴交点， 当x=0时，y=3, .C(0,3, 设直线BC解析式为y=kx+b, [3=b k=-1 将B(3,0),C(0,3代入得： 0=3次+6’解得 b=31 .直线BC:y=-x+3, 设Emm+m+小，则Fm,m+,G1m01, =2m-+2, 1 -2<0, 抛物线开口向下有最大值， :在0<m<3中，当m=1时，EF+BG有最大值，此时E1,3), 如图，将点E往下平移3个单位得到E,(1,O),则EE∥P2,且EE=PQ, 连接E,Q, 则平行四边形EPQE, :E O=EP, 作6关于对称轴直线x=的对称点E,0,0,即为坐标原点0，则5Q=6Q, 答案第1页，共2页 P C A B 7E)0 ∴C&EPO=EP+EQ+PQ=E,Q+EQ+3≥EE,+3=0+3,当E,Q,E,共线时取等， 即E(1,3),△EPQ周长最小值为√0+3. (3)解：由二次函数的平移可得新抛物线解析式为： y=x-2+-2+3+3+ 2 +3, :点H对应点E平移的坐标， .H(3,6), 如图，作CP∥x轴，延长AC至点N,CN交抛物线y于点M1, 、M B .ZCAB=ZNCP, 过点H作HG⊥CP交CP于点G, :HG=yu-yc =3,CG=Xn-xc=3, .HG=CG, ∴.∠HCP=45°， :0C=0B=3, .LABC=45°， .∠HCP=LABC=45°， :∠HCN=∠NCP-∠HCP=∠CAB-∠ABC,即∠HCM,=∠CAB-∠ABC, 答案第1页，共2页 设直线AC的解析式为y=k2x+b2, 0=-2k2+b 3 得： 3=b2 ,解得 k222 b2=3 3 直线AC的解析式为：y= x+3， 2 联立y得：。x+3=- 5 2 2 解得x=0（舍去)，x2=2, M12,6: 作CN关于CH对称的直线CM,交y于点M2,延长M,C交x轴于点F, 设∠CA0=a, 0C3 .tana= 0A2' :CP∥x轴，∠HCN=∠HCM2,∠HCP=45°， ∴.∠NCP=∠CA0=a,∠HCN=∠HCM2=a-45°， .∠MCP=∠NCP-2∠HCN=90°-a, 过M作M,K⊥CP交CP于点K, ∠CM2K=90°-∠MCP=a, ·an∠CM,K=CK=3 M2K2’ 设CK=3k,M2K=2k, ·tan∠M,cp=M,K_=2k2 CK 3k3' :CP∥x轴， .∠MCP=∠CFO, 在Rt△CF0中，an∠M,FB=CO_?, F03 O解得F0=) 32 r号 设直线CM,的解析式为y=kx+b, 答案第1页，共2页 0=-+, 2 k= 将点C,F代入得： 3 3=b b=3 2 直线CM,的解析式为y=二x+3, 3 联立y得： x+3=-x2+x+3, 5 3 2 2 11 解得x=0(舍去)，x2= 3’ 1149 M239 锭上所选，度的唑标为26碳得智)】 【点晴】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数线段周 长综合题，二次函数的平移，解直角三角形等知识点. 1 13.(1)y=-。x2+x+4 (2)点P的坐标为2,4)，BG-GH+PH的最小值为3V5-1 (3)符合条件的点N的坐标为11，-3)或(5,9)，见解析 【分析】(1)利用待定系数法求解即可； (2)求出直线BC的表达式可得∠OCB=45°，进而得出△PDE是等腰直角三角形，求出 DP+DE+PE=V2+1PE,可知当PE取最大值时，△PDE的周长取最大值，然后利用二 次根式的性质求出PE取最大值时点P的坐标即可，然后将点P向下平移1个单位长度得到 点Q,利用轴对称求最短路径的方法进行解答即可； (3)首先求出直线CM的表达式，然后分情况讨论：①当点N在FM下方时，②当点N'在 FM上方时，分别求出直线FN及FN'的解析式，再与新抛物线y进行联立求解即可. 【详解】1D解：把4-2.0，C04利代入y=r+bx+c中， -2-2b+c=0 得 c=4 b=1 解得 c=4' 该抛物线的表达式为y三-，+x+4 答案第1页，共2页 (2)在y=-x2+x+4中，令y=0 2 解得x=-2,x2=4 B4,0 :直线BC过点B4,0),C0,4, :直线BC的表达式为y=-x+4,且∠0CB=45° :PF∥y轴，PD⊥BC, .∠PED=∠OCB=45°，∠PDE=90 在△PDE中，DE=PE-c45=2PE,PD=PEsn45-5PE 2 △PDE的周长为：DP+DE+PE=V2+IPE 设Pmm+m+4 (0<m<4),则E(m,-m+4) PE=- m2+m+4+m-4 2 2m2+2m 1 =m-2+2 0, :当m=2时，PE取得最大值，则△PDE的周长取得最大值 此时点P的坐标为2,4) 如图1，将点P向下平移1个单位长度得到点9，则点0的坐标为2,3)，连接QG ∴.PQ∥HG,PQ=HG 图1 :四边形PQGH是平行四边形 :.QG=PH 答案第1页，共2页 即 BG-GH+PH=BG+QG-1 作点B(4，0)关于y轴的对称点K(-4，0)，连接KG，则KG=BG 当 Q，G，K 三点共线时， KG+QG 取最小值为 ∴BG+PH=KG+QG 的最小值为KQ 又： $$： K Q = \sqrt { Q F ^ { 2 } + K F ^ { 2 } } = \sqrt { 3 ^ { 2 } + \left( 2 + 4 \right) ^ { 2 } } = 3 \sqrt 5 ，$$ ∴BG-GH+PH 的最小值为 $$3 \sqrt 5 - 1$$ ：点P的坐标为( (2，4)，BG-GH+PH 的最小值为 $$3 \sqrt 5 - 1 ；$$ (3)由(2)知 △PDE 是等腰直角三角形， $$\therefore \angle D P E = 4 5 ^ { \circ } ，$$ ∴将该抛物线y沿射线DP方向平移 $$5 \sqrt 2$$ 个单位长度，相当于将该抛物线向右平移5个单位 长度，向上平移5个单位长度， ：.平移后新抛物线的表达式为 $$y ' = - \frac { 1 } { 2 } \left( x - 5 \right) ^ { 2 } + x - 5 + 4 + 5 = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + 6 x - \frac { 1 7 } { 2 } ，$$ ∵C(0，4)，F(2，0)，M(6，2)， 设直线CM的表达式为 y=kx+4， 代入M(6，2)得： 2=6k+4， 解得： $$k = - \frac { 1 } { 3 } ，$$ ∴ 直线CM的表达式为 $$y = - \frac { 1 } { 3 } x + 4$$ ①当点N在 FM 下方时， ∵∠MFN=∠CMF， 如图2，过点F作 FN∥CM 交新抛物线于点N 答案第1页，共2页 VA :设直线FN的表达式为y=写+b, M B 图2 代入F2.01:0-号6 解得：b=2 3 :直线FN的表达式为y=-x+ 由+6x-23,得，5 二x+ (不合题意，舍去) 3 12 当x=11时，y=3+ =-3, 3 N(11,-3: ②当点N'在FM上方时， 如图3，当∠MFN'=∠CMF时，FN'交CM于L, B 图3 :∠MFN'=∠CMF, :LM =LF, 答案第1页，共2页 期，a-6+4-2-a-2++4 解得：n=3, L(3,3, 设直线FL的解析式为y=kx+b, 2k+b=0 k=3 3弘+6=3’解得： 则 b=-6' .直线FL的解析式为y=3x-6, 由+6x=3-6,得5=5,61（不合题意.含去. 2 N'(5,9, 综上，符合条件的点N的坐标为11，-3)或(5,9). 答案第1页，共2页