精品解析：河南省信阳市固始县高级中学第一中学、第二中学2024-2025学年高三下学期二模联考数学试题

2024-2025学年固始县一高二高二模联考 高三数学试题卷 注意事项: 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡. 第I卷(选择题，共58分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 展开式中第3项的系数是（ ） A. 90 B. C. D. 270 2. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（ ） A. B. C. D. 4. 在正三棱锥中，，，则三棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为８小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ） A. 0.96 B. 0.94 C. 0.79 D. 0.75 6. 学校某生物老师指导学生培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为，母线长为，其母线与底面所成的角为，则这个圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是各项均为正整数的递增数列，前项和为，若，当取最大值时，的最大值为（ ） A. 63 B. 64 C. 71 D. 72 8. 双曲线，左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，如图，已知动直线l与双曲线C左、右两支分别交于P，Q两点，与其两条渐近线分别交于R，S两点，则下列命题正确的是（ ） A. 存在直线l，使得 B. 当且仅当直线l平行于x轴时， C. 存在过的直线l，使得取到最大值 D. 若直线l的方程为，则双曲线C的离心率为 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知（，，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 在内有3个极值点 D. 在区间上的最大值为 10. 已知函数定义域为，是奇函数，，，分别是函数，的导函数，函数在区间上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 11. 双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线的左、右焦点分别为，从发出的两条光线经过的右支上的两点反射后，分别经过点和，其中共线，则（ ） A. 若直线的斜率存在，则的取值范围为 B. 当点的坐标为时，光线由经过点到达点所经过的路程为6 C. 当时，的面积为12 D. 当时， 第II卷(非选择题，共92分) 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知空间中的三个点，则点到直线的距离为__________． 13. 函数的最小正周期为_____________. 14. 在中，三边，，所对应的角分别是，，，已知，，成等比数列.若，数列满足前项和为，____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前n项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，是等边三角形， ，点 ， 分别为和的中点. （1）求证: 平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知函数. （1）求证: 当时，; （2）已知函数有3个不同的零点， （i）求证: ; （ii）求证: 是自然对数的底数). 19. 第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示在点处的一阶､二阶导数） （1）已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点处的曲率是多少？ （2）若函数，不等式对于恒成立，求的取值范围； （3）若动点的切线沿曲线运动至点处的切线，点的切线与轴的交点为.若，，是数列的前项和，证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年固始县一高二高二模联考 高三数学试题卷 注意事项: 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡. 第I卷(选择题，共58分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 展开式中第3项的系数是（ ） A. 90 B. C. D. 270 【答案】A 【解析】 【分析】由二项展开式的通项求解可得. 【详解】展开式的通项为. 则，所以第3项的系数是. 故选：A. 2. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的性质可判断A,B,C，利用基本不等式，当且仅当时等号成立，即可判断D. 【详解】对于A，由，可得，故A错误； 对于B，由，，，可得，故B错误； 对于C，若，且当时，可得为任意值，故C错误； 对于D，因为，当且仅当时，等号成立， 即，故D正确. 故选：D. 3. 已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦函数的有界性确定命题的真假性，由指数函数的知识确定命题的真假性，由此确定正确选项. 【详解】由于，所以命题为真命题； 由于在上为增函数，，所以，所以命题为真命题； 所以为真命题，、、为假命题. 故选：A． 4. 在正三棱锥中，，，则三棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正三棱锥的结构特征可求解高的长度，进而根据勾股定理即可求解半径，即可由表面积公式求解，或者利用空间直角坐标系求解半径. 【详解】方法一：如图，取正三角形的中心为，连接， 则三棱锥的外接球球心在上，连接. 在正三角形中，，所以. 在中，，所以. 设外接球的半径为， 由，，解得， 所以三棱锥的外接球表面积. 故选:C. 方法二：在正三棱锥中，过点作底面于点， 则为底面正三角形的中心， 因为正三角形的边长为2，所以. 因为，所以. 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，. 设三棱锥的外接球球心为，半径为. 由，得，解得， 所以， 则三棱锥的外接球表面积. 故选：C. 5. 为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为８小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ） A. 0.96 B. 0.94 C. 0.79 D. 0.75 【答案】B 【解析】 【分析】利用抽样中样本平均数、方差与总体平均数、方差之间的关系式即可算出． 【详解】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：（小时）， 该地区中学生每天睡眠时间的方差为：． 故选：B． 6. 学校某生物老师指导学生培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为，母线长为，其母线与底面所成的角为，则这个圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可设圆台的上、下底面半径分别为，，根据题意求出圆台的高和的值，即可求出圆台的体积． 【详解】根据题意，设圆台的上、下底面半径分别为，， 因为母线长为8，且母线与底面所成的角为， 所以圆台的高为，并且，得 所以圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为． 由此可得圆台的体积为． 故选：B． 7. 已知是各项均为正整数的递增数列，前项和为，若，当取最大值时，的最大值为（ ） A. 63 B. 64 C. 71 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】因为是定值，要使当取最大值时也取得最大值，需满足前项是首项为，公差为的等差数列，通过计算的前项和与作比较，前项和与作比较即可得出的最大值. 【详解】因为是定值，要使当取最大值时也取得最大值，需满足各项尽可能取到最小值，又因为是各项均为正整数的递增数列，所以，即是首项为，公差为的等差数列，其中；的前项和为； 当时，； 当时，； 又因为， 所以的最大值为，此时，取得最大值为. 故选：C. 8. 双曲线，左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，如图，已知动直线l与双曲线C左、右两支分别交于P，Q两点，与其两条渐近线分别交于R，S两点，则下列命题正确的是（ ） A. 存在直线l，使得 B. 当且仅当直线l平行于x轴时， C. 存在过的直线l，使得取到最大值 D. 若直线l的方程为，则双曲线C的离心率为 【答案】D 【解析】 【分析】根据与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点可对A项判断；设直线分别与双曲线联立，渐近线联立，分别求出和坐标，从而可对B、C项判断；根据，求出，从而可对D项判断. 【详解】解：对于A项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A项错误； 对于B项：设直线，与双曲线联立，得： ，其中， 设，由根与系数关系得：， 所以线段PQ中点， 将直线，与渐近线联立得点S坐标为， 将直线与渐近线联立得点R坐标为， 所以线段RS中点， 所以线段PQ与线段RS的中点重合．所以，对任意的直线l，都有，故B项不正确； 对于C项：因为为定值，当k越来越接近渐近线的斜率时，趋向于无穷， 所以会趋向于无穷，不可能有最大值，故C项错误； 对于D项：联立直线l与渐近线，解得， 联立直线l与渐近线，解得由题可知，， ，解得，所以，故D项正确． 故选：D． 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法： ①定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； ②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解； ③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知（，，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 在内有3个极值点 D. 在区间上的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的部分图象求得，，值，可得函数解析式，进而根据正弦函数的图象和性质即可逐一判断得解. 【详解】对于AB，根据函数的部分图象知，， ，，故AB正确， 对于C，由五点法画图知，，解得， 由于，所以， . 令，则， 时，，时，， 当时，，当时，，当时，， 故在内有2个极值点，分别为，，故C错误， 对于D，，可得：， 故当此时取最大值，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数定义域为，是奇函数，，，分别是函数，的导函数，函数在区间上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由是奇函数，，令可求判断选项A，两边求导判断选项B，由，得到和的关系，求导判断选项C，利用单调性判断选项D. 【详解】对于A，由是奇函数，则，令，有，A正确. 对于B，由是奇函数，则，有， 所以，B正确. 对于C，由，有，， ∴，∴，C错. 对于D，由知关于直线对称， ∵在上单调递增，∴在上单调递减， ，当且仅当时取等号， 令，则， 解得，在上单调递增， 则，即，有. 令，，时，在上单调递减， 所以， 有，即. 而， ∴，D正确. 故选：ABD. 11. 双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线的左、右焦点分别为，从发出的两条光线经过的右支上的两点反射后，分别经过点和，其中共线，则（ ） A. 若直线的斜率存在，则的取值范围为 B. 当点的坐标为时，光线由经过点到达点所经过的路程为6 C. 当时，的面积为12 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线的斜率，可得判定A正确；根据双曲线的定义，求得由经过点到达点所经过的路程，可判定B正确；根据向量的数量积的运算，得到，得到，设，列出方程，求得，进而可判定C错误；在直角中，结合，可判定D正确． 【详解】如图所示，过点分别作的两条渐近线的平行线，则的斜率分别为和， 对于A中，由图可知，当点均在的右支时，或，所以A正确； 对于B中，光线由经过点到达点所经过的路程为 ，所以B正确； 对于C中，由，得，即，所以， 设，则， 因为，所以，整理得， 解得或（舍去），所以，， 所以的面积，所以C错误； 对于D项，在直角中，， 所以，所以D正确． 故选：ABD． 第II卷(非选择题，共92分) 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知空间中的三个点，则点到直线的距离为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意求出和在上的投影，根据勾股定理计算即可求解. 【详解】由题意知，， 所以， 得，， 所以点A到直线BC的距离为 . 故答案为： 13. 函数的最小正周期为_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据二倍角的余弦公式可得，结合公式计算的周期即可求解. 【详解】， 因为的最小正周期为， 故的最小正周期为. 故答案为： 14. 在中，三边，，所对应的角分别是，，，已知，，成等比数列.若，数列满足前项和为，____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等比中项及正弦定理、余弦定理求出B，再分奇偶求出，分组求和即可得解. 【详解】因为，，成等比数列，所以，即, 又，所以，即， 由知，所以， ，为偶数， ，为奇数， 所以 . 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前n项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据的关系由：求解即可； （2）根据通项分奇偶分别计算求和，结合裂项相消和等比数列求和公式即可. 【小问1详解】 当时，. 当时，， 当时，也符合. 综上，. 【小问2详解】 由 则 ， 故的前项和. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系可求，进而利用正弦定理以及求得的值； （2）由题意利用余弦定理可得，解得的值； （3）利用二倍角公式可求，的值，利用同角三角函数基本关系可求的值，进而利用两角和的正弦公式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以，又， 所以由正弦定理可得：，即，解得 【小问2详解】 因为，，， 化简可得：，解得(负值舍去)， 【小问3详解】 因为，， 因为，为锐角，可得， 所以 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，是等边三角形， ，点 ， 分别为和的中点. （1）求证: 平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明： 过作于点，连接，由，得， 则，即，而， 因此，又平面，则平面，平面， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）过作于点，借助三角形全等，及线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得. （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，， 则，， 设平面的一个法向量，则，令，得， 设平面 的一个法向量 ， 则由 ，取， 设平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知函数. （1）求证: 当时，; （2）已知函数有3个不同的零点， （i）求证: ; （ii）求证: 是自然对数的底数). 【答案】（1）证明见解析 （2） ， 当 在 上单调递增，在 单调递减， 当 在上单调递增， 又函数有 3 个不同的零点 ， 所以，， （i）令 ， 在上单调递增，又 ， 又 在上单调递减， ，即 （ii)在处的切线方程与交点的横坐标， 过点 和的直线方程 与交点的横坐标 ， 由 （1）取 ， 则与在轴右侧交点横坐标为 ， ， 综上: 【解析】 【分析】(1)在条件下利用导数求的最大值，在时利用导数求的最小值，由此完成证明；(2) （i）利用证明极值点偏移的方法证明，再结合基本不等式证明；（ii）根据(1)证明，结合切线方程证明. 【小问1详解】 ①当 ，即证 ， 令 ， 令 ，则当时，所以在上单调递减， 则有当时，所以在上单调递减， 所以当， 成立 ②当 时，，即证 ， 令 设，则，所以在上单调递增，所以 所以， 在上单调递减，，即 ， 综合①②当 时， 【小问2详解】 略 【点睛】本题第二小问中的第一个小题的解决的关键在于利用证明极值点偏移的方法证明，再利用基本不等式证明结论. 19. 第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示在点处的一阶､二阶导数） （1）已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点处的曲率是多少？ （2）若函数，不等式对于恒成立，求的取值范围； （3）若动点的切线沿曲线运动至点处的切线，点的切线与轴的交点为.若，，是数列的前项和，证明. 【答案】（1） （2） （3） 由题可得， 所以曲线在点处的切线方程是， 即， 令，得，即， 显然，， 由，知，同理， 故，从而， 设，即，所以数列是等比数列， 故，即，从而， 所以，， ， 当时，显然； 当时，， ， 综上，. 【解析】 【分析】（1）首先根据已知条件求出的值，再分别求出函数的一阶导数和二阶导数，代入公式求解即可； （2）根据的奇偶性和单调性得到，根据，的奇偶性和得到在处三角函数的曲率不大于曲线的曲率，代入公式求解即可； （3）首先求出在处的切线方程，进而得到与之间的关系，构造函数得到数列是等比数列，根据的通项公式得到和，适当放缩得到，进而得到. 【小问1详解】 抛物线的焦点到准线的距离为3，， 即抛物线方程为，即，则，， 又抛物线在点处的曲率，则， 即在该抛物线上点处的曲率为； 【小问2详解】 ， 在上为奇函数，又在上为减函数. 对于恒成立等价于对于恒成立. 又因为两个函数都是偶函数， 记，，则曲线恒在曲线上方， ，，又因为， 所以在处三角函数的曲率不大于曲线的曲率，即， 又因为，， ，，所以，解得：， 因此，的取值范围为； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的关键点之一在于理解所给新定义平均曲率，利用新定义解决函数恒成立问题；关键点之二在于新定义平均曲率与数列结合，通过切线方程转化为数列相邻项之间的关系，再构造新数列求出通项公式，最后适当放缩求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $