精品解析：安徽省望江县第二中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

2023级高二下学期期中考试数学 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1. 已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，，求出双曲线的渐近线方程. 【详解】根据题意，. 故选：A. 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求导，再代值求出，，即可求得，再求即可 【详解】因为，， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：A 3. 在等比数列中，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，由已知条件求出的值，由此可得出，即可得解. 【详解】设等比数列的公比为，则，可得， 因此，. 故选：C. 4. 安徽年均降雨量近似服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为且，则， 所以. 故选：C 5. 二项式的展开式中的系数为（ ） A. B. 40 C. D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】由利用的通项可得答案. 【详解】， 的通项为， 根据题意，. 故选：B. 6. 设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，其中甲厂、乙厂、丙厂生产的分别为5盒、3盒、2盒，且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由全概率公式即可处理. 【详解】设=“任取一个X光片为次品”，=“X光片为某厂生产”（甲、乙、丙厂依次对应） 则,且两两互斥. 由题意可得：, . 故选：A. 7. 某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人．则不同的选派方法的种数是（ ） A. 18 B. 21 C. 36 D. 42 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，先分析甲地的安排方法，分“分派2名女生”和“分派1名女生”两种情况讨论，由分类计数原理得到甲地的分派方法数目，再在剩余的3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，甲地需要选派2人且至少有1名女生， 若甲地派2名女生，有种情况； 若甲地分配1名女生，有种情况， 则甲地的分派方法有种方法； 甲地安排好后，在剩余3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，有种安排方法， 由分步计数原理，可得不同的选派方法共有种. 故选：D. 8. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，N点在边AD上且，将沿BD翻折到的位置，使得. 空间四点，B，C，D的外接球为球O，过N点作球O的截面，则截球O所得截面面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先找出BD的中点O为四面体的外接球球心，再分析当截面时截面面积最小，求出截面面积即可. 【详解】如图，取BD的中点为O， 由正方形ABCD的边长为2，则， 因此O为四面体的外接球球心，外接球半径， 设球心到平面的距离为d，截面圆的半径为r， 则有，即， 当截面时，d最大，此时截面面积最小，且， 在中，，，， 由余弦定理可得，， 此时， 所以截面面积最小值为. 故选：A 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，满分18分． 9. 甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有5个红球和5个绿球；乙袋中装有4个红球和6个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”.下列说法正确的是（ ） A. ，是互斥事件 B. ，是独立事件 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据，是互斥事件可判断A；求出是否相等可判断B；计算出可判断C；计算出可判断D. 【详解】对于A，依题意，因每次只摸出一个球，， 所以，是互斥事件，A正确； 对于B，，， ，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的递减区间是(，1) B. 函数在(e，)上单调递增 C. 函数的最小值为1 D. 若，则m＋n＞2 【答案】BCD 【解析】 【分析】计算以及函数的定义域，然后根据的符号判断原函数的单调性以及最值，可知ABC正误，然后采用换元法，以及导数判断函数的单调性，可知D正误，最后可得结果 【详解】因为，所以， 由于函数的定义域为(0，)，故A错误； 当x(e，)时，， 所以函数在(e，)上单调递增，B正确； 令，则 令，则 所以函数在单调递减，在单调递增 所以当x＝1时，函数有最小值为，故C正确； 选项D，姑且令m＜n，由得， 欲证m＋n＞2，只要证明， 令，即成立即可， 令， 所以当时，，所以在递增 所以，故不等式成立， 故选项D正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查函数导数的应用，熟悉导数与原函数之间的关系，同时换元法的使用，使问题便于计算，考查分析问题能力以及计算能力，属中档题. 11. 如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中正确的是（ ） A B. 平面 C. 三棱锥的体积为定值 D. 异面直线，所成的角为定值 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过线面的垂直关系可判A项真假；根据线面平行可判B项真假；根据三棱锥的体积计算的公式可判C项真假；根据列举特殊情况可判D项真假. 【详解】因为，，， 平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以，故A项正确； 易知，所以，且平面，平面， 所以平面，故B项正确； 如图1，连结交于点. 图1 因为平面，平面，所以， 所以. 因为，，，平面，平面，，所以平面. 所以到平面的距离为， 所以为定值，故C项正确； D．当，，取为，如下图2所示： 图2 因为，所以异面直线所成角为，， 且； 当，，取为，如下图3所示： 图3 易知，，所以四边形是平行四边形，所以. 因为，是的中点，所以. 又，，， 所以异面直线所成角为，且， 由此可知：异面直线所成角不是定值，故错误. 故选：ABC. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 已知椭圆：上有两点，，点P是椭圆C上异于M，N的点，则的面积的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先代入点求得椭圆方程，由题意需使点P到直线的距离最大，即应使点为与平行的椭圆的切线的切点，联立直线与椭圆方程，使即可求得参数，回代入直线方程，以两平行直线的距离作为的高即可求得. 【详解】 如图，由点在椭圆上，代入解得，则椭圆：， 当的面积最大，因长度不变，则需使点P到直线的距离最大， 直线的方程为， 设直线：，使得与椭圆：相切， 联立可得：消去得，，令， 可得，，解得 此时直线l到直线的距离为，， 故此时的面积最大值为. 故答案为：. 13. 给图中六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色且相邻的区域不同色．若有4种不同的颜色可供选择，则共有______种不同的染色方案． 【答案】288 【解析】 【分析】分类考虑用三种不同颜色涂色和用四种不同颜色涂色，算出每种情况的不同涂色方案，即可得答案. 【详解】如图示，六个区域分别设为A,B,C,D,E,F区域， 若仅用三种不同的颜色涂色，那么A,C一定涂相同颜色， 此时共有种不同的涂色方案； 若选四种不同颜色涂色， 那么当A,C涂色相同时，那么A，B，C，D用了三种不同颜色， 这时考虑给E涂色时，可能是涂剩下那一种颜色，也可能涂和AC或B相同的颜色， 此时有 种不同涂色方案， 当A,C涂色不相同时，有 种不同涂色方案， 故共有的涂色方案共有 种， 故答案为：288 14. 已知函数，使不等式成立，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得，再利用导数求出最值，代入即可得解. 【详解】由题意，可得， 当时，， 由，可得，由，可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为，所以在上单调递减，所以， 所以，解得.所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 从、、三个奇数中取两个，再从、、三个偶数中取两个组成满足下列条件的四位数，问： （1）能够组成多少个无重复数字的四位数？ （2）能够组成多少个比大四位奇数？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对取出的数字是否含进行分类讨论，结合组合计数原理、分类加法、分步乘法计数原理可得结果； （2）对最高数位上的数字进行分类讨论，结合组合计数原理、分类加法、分步乘法计数原理可得结果. 【小问1详解】 解：当取出的数字含时，则首位不能排零，共有个无重复数字的四位数， 当取出的数字不含时，则四个数位上的数字无限制，共有个无重复数字的四位数， 因此，能构成个无重复数字的四位数． 【小问2详解】 解：当最高位为时，有个比大四位奇数， 当最高位为时，有个比大的四位奇数， 当最高位为时，有个比大的四位奇数， 能构成个比大的四位奇数. 16. 已知数列的前项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由条件结合与的关系，证明数列是等比数列，从而得到数列的通项公式； (2)由(1)可知，利用分组转化为等差数列和等比数列求和. 【小问1详解】 ∵，① ∴．② ①-②得，即 又，，∴，∴， ∴是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴． 【小问2详解】 由（1）得，， ∴ ． 17. 已知点是椭圆：上的一点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若的面积为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若点Q为椭圆C上的第一象限内一点，直线，与直线分别交于M，N点，若与的面积之比为t，求t的最小值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由在椭圆上，的面积为，求出，得椭圆C的标准方程； （2）由，，三点共线，可得，由，，三点共线，可得，故，通过换元利用二次函数的性质求最小值. 【小问1详解】 因为在椭圆：上，， 又的面积为，解得， 代入，解得，所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 由，，三点共线，可得，故， 同理，由，，三点共线，可得， 若与的面积分别为，， 则， 因为，所以， 所以，又， 故， 因为，令，则， 所以，其中， 函数，，函数图象抛物线开口向下，对称轴为， 则时，有最大值， 即当时， t的最小值为. 18. 如图，在四棱柱中，平面，底面ABCD满足∥BC，且 (Ⅰ)求证:平面; (Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(Ⅰ) 证明见解析；(Ⅱ) 【解析】 【分析】 (Ⅰ)证明，根据得到，得到证明. (Ⅱ) 如图所示，分别以为轴建立空间直角坐标系，平面的法向量，，计算向量夹角得到答案. 【详解】(Ⅰ) 平面，平面，故. ，，故，故. ，故平面. (Ⅱ)如图所示：分别以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，. 设平面的法向量，则，即， 取得到，，设直线与平面所成角为 故. 【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 19. 已知函数.（注：…是自然对数的底数） （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若只有一个极值点，求实数m的取值范围； （3）若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据导数的几何意义，结合点斜式求切线方程； (2)讨论的符号，判断的单调性，进而确定的零点； (3)要使取到最小值，则取最大，分析可得，结合零点代换处理即可. 【小问1详解】 （1）当时，， 故， 故在点处的切线方程为； 【小问2详解】 解：由题意知有且只有一个根且有正有负， 构建，则. ①当时，当时恒成立，在上单调递增， 因为， 所以有一个零点，即为的一个极值点； ②当时，在上恒成立，即无极值点； ③当时，当；当， 所以在单调递减，在上单调递增， 故， 若，则，即. 因为，所以当时，， 当时，， 令，则，故， 故在上为增函数. 故， 故， 故当时，有两个零点，此时有两个极值点， 当时，当时恒成立，即无极值点； 综上所述：. 【小问3详解】 解：由题意知，对于任意的，使得恒成立， 则当取最大值时，取到最小值. 当时，因为，故当时，的最小值为； 当时，当时，， 所以无最小值，即无最小值； 当时，由（2）得只有一个零点，即且， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 此时， 因为，所以， 代入得， 令， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，此时， 所以的最小值为. 【点睛】方法点睛：对于利用导数求参数时，常采用分离常数法，转化求函数的最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023级高二下学期期中考试数学 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1. 已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则值为（ ） A. B. C. D. 3. 等比数列中，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 安徽年均降雨量近似服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 二项式的展开式中的系数为（ ） A. B. 40 C. D. 60 6. 设某医院仓库中有10盒同样规格光片，其中甲厂、乙厂、丙厂生产的分别为5盒、3盒、2盒，且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人．则不同的选派方法的种数是（ ） A. 18 B. 21 C. 36 D. 42 8. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，N点在边AD上且，将沿BD翻折到的位置，使得. 空间四点，B，C，D的外接球为球O，过N点作球O的截面，则截球O所得截面面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，满分18分． 9. 甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有5个红球和5个绿球；乙袋中装有4个红球和6个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”.下列说法正确的是（ ） A. ，是互斥事件 B. ，是独立事件 C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的递减区间是(，1) B. 函数在(e，)上单调递增 C. 函数的最小值为1 D. 若，则m＋n＞2 11. 如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 平面 C. 三棱锥的体积为定值 D. 异面直线，所成的角为定值 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 已知椭圆：上有两点，，点P是椭圆C上异于M，N的点，则的面积的最大值为___________. 13. 给图中六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色且相邻的区域不同色．若有4种不同的颜色可供选择，则共有______种不同的染色方案． 14. 已知函数，使不等式成立，则实数的取值范围是_________． 四､解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 从、、三个奇数中取两个，再从、、三个偶数中取两个组成满足下列条件的四位数，问： （1）能够组成多少个无重复数字的四位数？ （2）能够组成多少个比大的四位奇数？ 16. 已知数列前项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 17. 已知点是椭圆：上的一点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若的面积为. （1）求椭圆C标准方程； （2）若点Q为椭圆C上的第一象限内一点，直线，与直线分别交于M，N点，若与的面积之比为t，求t的最小值. 18. 如图，在四棱柱中，平面，底面ABCD满足∥BC，且 (Ⅰ)求证:平面; (Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知函数.（注：…是自然对数的底数） （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若只有一个极值点，求实数m的取值范围； （3）若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$