精品解析：2025年黑龙江省龙东地区九年级数学中考二模试卷

二○二五年升学模拟大考卷（二） 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 某几何体由若干个大小相同的小正方体组成，其主视图、左视图和俯视图都如图所示．则组成该几何体的小正方体的个数最少为（ ） A. 4个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 4. 学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动，小明随机调查了本校九年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如表所示： 课外书数量/本 6 7 9 12 人数 6 9 10 5 则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（ ） A. 8，9 B. 10，9 C. 7，12 D. 8，10 5. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 6. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或3 7. 小明购买口罩，现在有A、B两种型号的口罩可供选择，A型口罩每个6元，B型口罩每个4元，他一共花了40元钱，则小明的购买方案有（ ）． A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 8. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A在x轴上，顶点B在第一象限，AB⊥x轴，函数（x＞0）的图象经过边OB上的一点C．若BC＝2OC，则△OAB的面积为（　　） A. 9 B. 4 C. 4.5 D. 3 9. 如图，在菱形中，于点E，，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 10. 如图，将正方形纸片沿折叠，使点C的对应点E落在边上，点D的对应点为点F，交于点G，连接交于点H，连接．下列结论：①；②；③平分；④．其中结论正确的序号是（ ） A. ①③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 2025年春运全社会跨区域人员流动量达亿人次，比2024年同期增长．将亿用科学记数法表示为______． 12. 在函数中，自变量的取值范围是______． 13. 如图，四边形是平行四边形，使它成为菱形的条件可以是________． 14. 如图，电路图上有一个小灯泡以及4个断开状态的开关A，B，C，D，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为______． 15. 已知关于的不等式组的整数解仅为1、2，则的最大值为______． 16. 如图所示，是的外接圆，是的直径，若，则__________． 17. 已知圆锥的侧面展开的扇形面积是6π，圆心角是60°，则这个圆锥的底面圆的半径是___． 18. 如图，正方形的边长为，E是平面上一动点，且．连接，将绕点E顺时针旋转得到，M为边上的点，且，则线段长的最小值是______． 19. 在矩形中，，E是的中点，点M在线段上，点N在直线上，将沿折叠，使点A与点E重合，连接．当时，的长为_____． 20. 如图．在平面直角坐标系中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，过点作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点，以，BA为邻边作；过点作y轴的垂线交直线l于点，过点作直线l的垂线交y轴于点，以，为邻边作……按此作法继续下去，则点的坐标是______． 三、解答题（满分60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标为，，． （1）画关于y轴对称的； （2）画绕点O逆时针旋转90°后的； （3）在（2）的条件下，求点A所经过的路径长． 23. 如图，抛物线经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线上，在直线下方的抛物线上是否存在点P，使得的面积最大？若存在，请直接写出面积的最大值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 为落实国家“双减”政策，某校为学生开展了课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：A．乒乓球；B．足球；C．篮球；D．武术．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如图尚不完整的统计图表． （1）本次调查的样本容量是______，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，“A．乒乓球”对应的扇形圆心角的度数是______； （3）若该校共有名学生，请你估计该校最喜欢“B．足球”的学生人数． 25. 一辆巡逻车从地出发沿一条笔直的公路匀速驶向地，小时后，一辆货车从地出发，沿同一路线以千米/时的速度匀速驶向地，货车到达地装货耗时分钟，然后立即以低于来时的速度按原路匀速返回地，巡逻车、货车离地的距离（单位；千米）与货车出发时间（单位：小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1），两地之间的距离是______千米，______； （2）求巡逻车离地的距离与货车出发时间之间的函数解析式； （3）请直接写出货车出发多长时间与巡逻车相遇． 26. 在中，，点D与点B在所在直线的同侧，且，过点B作交于点E，M为的中点，连接． （1）当时，如图①，易证线段与的数量关系是； （2）当时，如图②；当时，如图③，分别写出线段与的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 27. 近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元． （1）该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ （2）若该小区计划用不超过16.2万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案； （3）现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的条件下，若仅有两种方案可供选择，直接写出的取值范围． 28. 已知直线与x轴、y轴分别交于点和点，与直线交于点，，的长（）是一元二次方程的两个根，为直线上一点，作轴交直线于点，连接． （1）求点的坐标； （2）若点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式； （3）若点，点在直线上，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二○二五年升学模拟大考卷（二） 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，平方差公式逐一分析判断即可． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意， C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，平方差公式，熟记运算法则是解本题的关键． 2. 体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：选项A、B、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 3. 某几何体由若干个大小相同的小正方体组成，其主视图、左视图和俯视图都如图所示．则组成该几何体的小正方体的个数最少为（ ） A. 4个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三视力，在俯视图中标出相应正方体的个数可得答案． 【详解】解：如图所示： 或 ， 故组成该几何体的小正方体的个数最少为：（个）． 故选：B． 4. 学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动，小明随机调查了本校九年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如表所示： 课外书数量/本 6 7 9 12 人数 6 9 10 5 则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（ ） A. 8，9 B. 10，9 C. 7，12 D. 8，10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中位数和众数，根据中位数：“将数据按照顺序排列后，中间一位或中间两位的平均数即为中位数”，众数：“出现次数最多的数据”，进行判断即可． 【详解】解：数据排序后，第15个和第16个数据为7和9， ∴中位数为， ∵9出现的次数最多， ∴众数为9． 故选：A． 5. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义及根的判别式求参数，正确掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．根据一元二次方程有实数根得到且，即可求出答案． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 6. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解分两种情况：①方程有增根；②原分式方程化简后的整式方程无解． 【详解】解：去分母，得， 移项、合并同类项，得， 分式方程无解， ①当方程有增根时，原方程无解，即， ，解得； ②当时，原方程无解，即， 综合①②，若分式方程无解，的值为或． 故选：C． 7. 小明购买口罩，现在有A、B两种型号的口罩可供选择，A型口罩每个6元，B型口罩每个4元，他一共花了40元钱，则小明的购买方案有（ ）． A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出二元一次方程，求出方程的正整数解即可． 【详解】解：设购买A型口罩x个，B型口罩y个， 由题意得：6x＋4y＝40， ∴， 因为x，y是正整数， ∴或或， 所以小明的购买方案有3种， 故选：B． 【点睛】此题考查二元一次方程的应用，关键是求出方程的正整数解． 8. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A在x轴上，顶点B在第一象限，AB⊥x轴，函数（x＞0）的图象经过边OB上的一点C．若BC＝2OC，则△OAB的面积为（　　） A. 9 B. 4 C. 4.5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】作CD⊥x轴垂足为D，求出△OCD的面积，根据相似三角形的性质即可求得△AOB的面积． 【详解】解：如图作CD⊥x轴垂足为D， ∵函数（x＞0）的图象经过点C， ∴S△ODC=×2=1， ∵BC=2OC， ∴BO=3OC， ∵CD∥AB， ∴△OCD∽△OBA， ∴， ∴S△OBA=9S△ODE=9， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，求出△OCD的面积是解题的关键，记住反比例函数的比例系数|k|=S△OCD． 9. 如图，在菱形中，于点E，，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，菱形的性质，解直角三角形得到，设，则；由菱形的性质可得，，则，，再根据正切的定义求出即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 设， ∴； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 10. 如图，将正方形纸片沿折叠，使点C的对应点E落在边上，点D的对应点为点F，交于点G，连接交于点H，连接．下列结论：①；②；③平分；④．其中结论正确的序号是（ ） A. ①③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】①利用有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可；②过点C作于，通过证明，进而说明，可得，可得②不正确；③由折叠可得：，由可得，结论③成立；④连接，由，可知：，，所以，由于，则，由折叠可得：，则；利用勾股定理可得；由，得到，所以四点共圆，所以，通过，可得，这样，，因为，易证，则得，从而说明④成立． 【详解】解：①四边形是正方形， ． 由折叠可知： ．故①正确； ②过点作于， 由折叠可得：， ， ， ， 在和中， ， ． ， ， ， ∴， ∴②不正确； ③由折叠可得：， ∵， ∴， ∴， 即平分． ∴③正确； ④连接，如图，    ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． ∴． 由折叠可得：， ∴． ∴． 由折叠可知：． ∴． ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∵ ∴ ∵ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴④正确； 综上可得，正确的结论有：①③④． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似形的综合题，正方形的性质，翻折问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，三角形的相似的判定与性质，四点共圆，由翻折得到对应角相等，对应边相等是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 2025年春运全社会跨区域人员流动量达亿人次，比2024年同期增长．将亿用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法进行解答即可． 【详解】解：亿用科学记数法表示为． 故答案为：． 12. 在函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式以及分式有意义的条件，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据二次根式以及分式有意义的条件列出不等式，解之即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，四边形是平行四边形，使它成为菱形的条件可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，进行作答即可． 【详解】解：根据一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴当时，平行四边形是菱形； 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，电路图上有一个小灯泡以及4个断开状态的开关A，B，C，D，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握利用列举法求解概率是解题的关键．根据题意列举随机闭合两个开关的所有情况，以及能使小灯泡发光的情况，从而完成求解． 【详解】解：由题意得，随机闭合两个开关有 、 、 、 、 、 六种情况，其中能使小灯泡发光的有 、 ，即2种， ∴小灯泡发光的概率为； 故答案为：． 15. 已知关于的不等式组的整数解仅为1、2，则的最大值为______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数， 代数式求值，先分别求出两个不等式的解集，再由不等式组的整数解仅为1和2得到，，据此推出即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组的整数解仅为1、2， ∴，， ∴， ∴， ∴的最大值为11， 故答案为：11． 16. 如图所示，是的外接圆，是的直径，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角，结合已知条件得出，根据同弧所对的圆周角相等，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示， ∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，直角三角形的两锐角互余，掌握以上知识是解题的关键． 17. 已知圆锥的侧面展开的扇形面积是6π，圆心角是60°，则这个圆锥的底面圆的半径是___． 【答案】1 【解析】 【分析】设扇形的半径为r，圆锥的底面半径为R．利用扇形的面积公式求出r，再根据扇形的弧长＝圆锥底面圆的周长，构建方程求出R即可． 【详解】解：设扇形的半径为r，圆锥的底面半径为R． 由题意，， 解得：r＝6或﹣6（舍弃）， ∵扇形的弧长＝圆锥底面圆的周长， ∴， ∴R＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查圆锥的计算，弧长公式，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 18. 如图，正方形的边长为，E是平面上一动点，且．连接，将绕点E顺时针旋转得到，M为边上的点，且，则线段长的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质以及相似三角形的综合应用，还涉及到解直角三角形和勾股定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．特别是分析出动点的运动轨迹从而进行问题的分析求解考查学生的动态分析思维．本题连接，，，通过证明结合两点间线段的长度最短进行分析即可． 【详解】解：如图，连接，，， 是正方形， ， 绕点E顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， ， ， 可知在以点为圆心，为半径的圆周上运动， 当三点在同一直线上时，此时长取最小值， 正方形的边长为，， ， 在中，由勾股定理可得： ， 长的最小值：． 故答案为：． 19. 在矩形中，，E是的中点，点M在线段上，点N在直线上，将沿折叠，使点A与点E重合，连接．当时，的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，折叠的性质，勾股定理，根据题意，可分成三种情况进行分析，①当点N在的延长线上时；②当点N在线段上时，③当点N在线段的延长线上，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：根据题意，在矩形中，， ∵点是的中点， ∴， ①当点N在AB的延长线上时，如图，过点E作EH⊥AB于H， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可得， ∵， ∴在中，由勾股定理得； ∴； ②当点N在线段上时，过点E作于G， 同理得，， 在中，由勾股定理，得； ∴； ③当点N在延长线上时，将沿折叠，点A与点E不可能重合，此种情形不存在； 综合上述，的长为或； 故答案为：或． 20. 如图．在平面直角坐标系中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，过点作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点，以，BA为邻边作；过点作y轴的垂线交直线l于点，过点作直线l的垂线交y轴于点，以，为邻边作……按此作法继续下去，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线的解析式为，设点坐标为，根据直线经过点，求出点坐标为，解，得出，由平行四边形的性质得出，则点的坐标为，即；根据直线经过点，求出点坐标为，解，得出，由平行四边形的性质得出，则点的坐标为，即；同理，可得点的坐标为，即；进而得出规律，求得的坐标是即可得到答案． 【详解】解：∵直线经过原点，且与轴正半轴所夹的锐角为， ∴直线的解析式为． ∵轴，点， ∴设点坐标为， 将代入，得，解得， ∴点坐标为， 则． 在中，， ∴， ∵在中，， ∴点的坐标为，即； 由，解得， ∴点坐标为， 则． 在中，， ∴， ∵在中，， ∴点的坐标为，即； 同理，可得点的坐标为，即； 以此类推，则的坐标是， 的坐标． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标规律，涉及图形与坐标、平行四边形的性质、勾股定理解直角三角形以及一次函数的综合应用，先分别求出点的坐标，从而发现规律是解题的关键． 三、解答题（满分60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、特殊角的三角函数值等知识点，掌握分式的混合运算法则及特殊角的三角函数值成为解题的关键． 先根据特殊角的三角函数值求得的值，然后再根据分式的混合运算法则化简，最后将的值代入计算即可． 【详解】解：原式． 当时，原式． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标为，，． （1）画关于y轴对称的； （2）画绕点O逆时针旋转90°后的； （3）在（2）的条件下，求点A所经过的路径长． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 如图，即为所求： （3） 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，旋转作图，弧长公式，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别找出关于y轴对称的点，再依次连接，即可作答． （2）先分别找出绕点O逆时针旋转后的点，再依次连接，即可作答． （3）先运用勾股定理算出，再结合弧长公式列式计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示： 则， 在（2）的条件下，， ∴． 即点A所经过的路径长为． 23. 如图，抛物线经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线上，在直线下方的抛物线上是否存在点P，使得的面积最大？若存在，请直接写出面积的最大值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）面积的最大值是，此时点P的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，用函数的思想求最值． （1）根据题意将A，B两点的坐标代入即可求出解析式； （2）将点代入求得点，设点P的坐标为，过点P作于点M，过点E作于点N，则，，，，，根据，利用二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：把点，代入，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， 设点P的坐标为， 如图，过点P作于点M，过点E作于点N，则，，，，， ∴ ， ∴当时，面积的最大值是，此时点P的坐标为． 24. 为落实国家“双减”政策，某校为学生开展了课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：A．乒乓球；B．足球；C．篮球；D．武术．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如图尚不完整的统计图表． （1）本次调查的样本容量是______，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，“A．乒乓球”对应的扇形圆心角的度数是______； （3）若该校共有名学生，请你估计该校最喜欢“B．足球”的学生人数． 【答案】（1）， 补全条形统计图如图． （2） （3）估计该校最喜欢“B．足球”的学生人数为名 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，从两个统计图中获取数量之间的关系，和样本估计总体是解决问题的关键． （1）首先根据C项目的人数和百分比求出总人数，然后计算出B项目的人数，进而补全条形统计图； （2）求出“A．乒乓球”人数占总人数的比例，再乘以，可得答案； （3）用全校人数乘样本中喜欢“B．足球”的百分比得出人数． 【小问1详解】 解：（1）(名)， 喜欢“B．足球”的人数为（名）． 图略； 【小问2详解】 ， 故答案为． 【小问3详解】 （名）． 答：估计该校最喜欢“B．足球”的学生人数为名． 25. 一辆巡逻车从地出发沿一条笔直的公路匀速驶向地，小时后，一辆货车从地出发，沿同一路线以千米/时的速度匀速驶向地，货车到达地装货耗时分钟，然后立即以低于来时的速度按原路匀速返回地，巡逻车、货车离地的距离（单位；千米）与货车出发时间（单位：小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1），两地之间的距离是______千米，______； （2）求巡逻车离地的距离与货车出发时间之间的函数解析式； （3）请直接写出货车出发多长时间与巡逻车相遇． 【答案】（1）， （2）巡逻车离地的距离与货车出发时间之间的函数解析式为 （3）小时或小时 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）根据货车从地到地花了小时，结合路程速度时间，即可求出、两地的距离；根据货车装货花了分钟即可求出的值； （2）利用待定系数法求解即可； （3）分两车从地前往地途中和货车从地往地途中两种情况，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：（千米）， ，两地之间的距离是千米， 货车到达地填装货物耗时分钟， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意得，巡逻车的速度为（千米/小时）， 货车返回时的速度为（千米/小时）， 则点，点， 设巡逻车对应的函数表达式为， ， 解得：， ； 【小问3详解】 解：点，点，点， 设所在直线的解析式为， 将点，点代入，得： ， 解得：， 所在直线的解析式为， 当时，， ； 当时，， ； 货车出发小时或小时与巡逻车相遇． 26. 在中，，点D与点B在所在直线的同侧，且，过点B作交于点E，M为的中点，连接． （1）当时，如图①，易证线段与的数量关系是； （2）当时，如图②；当时，如图③，分别写出线段与的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 【答案】（1） 证明：如图1，延长交于F， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，平分， ∴， ∴； （2） 解：当时，如图②，， 当时，如图③，， 选择图②证明如下： 如图，延长交于F， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，平分， ∴， 在中，， ∴． 选择图③证明如下： 如图，延长交于F， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，平分， ∴， 在中，， ∴． 【解析】 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判断和性质，等腰三角形的判断和性质，勾股定理． （1）延长交于F，先判断出，得出，，进而判断出，得出，即可得出结论； （2）选择图②，延长交于F，同（1）的方法，先判断出，得出，，进而判断出，得出，进而可得出结论；选择图③同理证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 27. 近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元． （1）该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ （2）若该小区计划用不超过16.2万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案； （3）现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的条件下，若仅有两种方案可供选择，直接写出的取值范围． 【答案】（1）该小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元 （2）共有3种建造方案，方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩；方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩；方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩 （3） 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是关键． （1）设该小区新建1个地上充电桩需要万元，1个地下充电桩需要万元，新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）设新建个地上充电桩，则新建（）个地下充电桩，该小区计划用不超过16.2万元的资金，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，据此列出不等式组并解不等式组，进一步写出方案即可； （3）求出各方案新建充电桩的总占地面积，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设该小区新建1个地上充电桩需要万元，1个地下充电桩需要万元， 根据题意得：， 解得：． 答：该小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元； 【小问2详解】 设新建个地上充电桩，则新建（）个地下充电桩， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为18，19，20， 共有3种建造方案， 方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩； 方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩； 方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩； 【小问3详解】 选择方案1时新建充电桩的总占地面积为（）； 选择方案2时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案3时新建充电桩的总占地面积为． 在（2）的条件下，若仅有两种方案可供选择， ． 28. 已知直线与x轴、y轴分别交于点和点，与直线交于点，，的长（）是一元二次方程的两个根，为直线上一点，作轴交直线于点，连接． （1）求点的坐标； （2）若点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式； （3）若点，点在直线上，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，一次函数，平行四边形的判定和性质，熟练掌握一次函数图象和性质是解题的关键； （1）解方程 ，确定点和点的坐标，进而求解直线的解析式，进而求解； （2）设点的横坐标为，分时，时，讨论即可求解； （3）根据题意求解的长度，进而求解的值，进而求解； 【小问1详解】 解 ：解方程 ， 解得，， ， ，； ∴点， 将点 ，代入， ， 解得：； 直线的解析式为：； 联立， 解得：， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：点的横坐标为， ，， ， 当时，； 当时，； 综上所述；； 【小问3详解】 解：在直线上存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形 理由： ∵点，轴， ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形， ， 轴 设点，则点， ， 解得：或， 当时，， 此时点； 当时，， 此时点 综上所述，在直线上存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，点或； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $