2025年九年级数学中考二轮复习三角形的中位线专题提升训练

2025年九年级数学中考二轮复习三角形的中位线专题提升训练 1．如图，中，点D、E分别为、的中点，延长到点F，使得，连接，求证： (1)； (2)． 2．如图，在中，对角线与相交于点，，点，，分别为的中点，连结． (1)求证：． (2)求证：四边形为平行四边形． 3．如图，在中，是的中点，延长至，使得，连接，延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接交于点，若，，，求，的长． 4．如图，在中，，分别是，的中点，，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当________时，四边形为菱形． 5．如图，在中，D、E分别是、的中点，连接． (1)作出线段的中点F（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； (2)根据（1）中作图，连接、．若，，，求证：四边形是菱形． 6．如图，在平行四边形中，点为的中点．仅用无刻度的直尺在给定图形中画图，画图过程用实线表示，按步骤完成下列问题： (1)若，请在图1中的边上找点，使； (2)如图2，点为边上一点，请在图2中的边上找点，使． 7．如图，在中，，分别是边和的中点，，在对角线上，且，连接，． (1)求证：； (2)连接，，当与满足怎样的数量关系时，四边形是矩形？请证明你的结论． 8．《九章算术》内容十分丰富，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中记录“出入相补法”原理如下：如图，在中，点D，E分别是的中点，连接，过点作，垂足为，延长至点，使，连接，延长至点，使，连接，则四边形的面积等于的面积．    (1)求证：； (2)若，，求的面积． 9．如图，在中，D为中点，延长至点E，使，延长至点F，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，求的长． 10．如图，在中，点、分别是、的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：． (2)直接写出与的数量关系． (3)若，，，求的长． 11．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，过点C作，交的延长线于点E． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，如果，，求的长． 12．如图，菱形中，，过点D作交菱形的对角线于点E，取的中点F，连接． (1)根据题意补全图形； (2)用等式表示线段的数量关系，并证明； (3)若，请直接写出的长度． 13．在正方形旁，正方形如图（1）放置，其中、、在同一条直线上． (1)是中点，求证：； (2)如图（2），将正方形逆旋转（），连接、． ①若，，则的值为 ； ②如图（3）若是中点，连接，交于点，求证：． 14．在中，，，于点D．点M，N分别是，上的动点，且满足．连接，交于点E，过点M作，交于点F，垂足为H． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，依题意补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 15．如图，在矩形中， ，，动点，分别从点，同时出发，沿相向而行，且运动速度均为每秒个单位长度，当点到达点时，两点均停止运动，设运动的时间为． (1)当秒时，__________； (2)若，分别是边，上的点，且，连结，，，． ①当四边形是矩形时，请直接写出的取值范围； ②在①的条件下，若是以为腰的等腰三角形，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年九年级数学中考二轮复习三角形的中位线专题提升训练》参考答案 1．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形判定，三角形中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据点是的中点，可得，由“边角边”即可求证； （2）先根据点D、E分别为、的中点，证明是的中位线，再根据中位线性质，，由此即可求解． 【详解】（1）证明：点是的中点， ， 在和中， ， ； （2）解：点，分别是，的中点， 是的中位线， ∴． 2．(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得出，再利用等腰三角形的三线合一即可得出结论； （2）利用三角形的中位线定理和平行四边形的性质得出且，再根据中点的性质得出且，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵是中点， ∴； （2）解：∵点、是、的中点， ∴且， ∵中，， ∴且， ∵点是的中点， ∴且， ∴四边形为平行四边形． 3．(1)证明见解析 (2)，的长为 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （）证明是的中位线, 得，即，再由平行四边形的判定即可得出结论； （）由（）可知，是的中位线，四边形为平行四边形，则，，，，然后由勾股定理求出，故，，再由勾股定理求出，，最后由平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）证明: ∵是的中点，， ∴是的中位线， ∴，即， ∵ ∴四边形为平行四边形； （2）解: 由（）可知，是的中位线，四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 即的长为． 4．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形的中位线的性质，平行四边形的判定及性质，直角三角形的性质，菱形的判定，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由题意可知为的中位线，得，结合，即可证明四边形为平行四边形； （2）由直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得，再结合四边形为平行四边形可知四边形为菱形． 【详解】（1）证明：∵，分别是，的中点， ∴为的中位线， ∴，即， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （2）当时，四边形为菱形； 理由如下：∵，是的中点， ∴， 又∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形． 故答案为：． 5．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了基本作图——作线段垂直平分线，三角形中位线定理，菱形的判定和性质，勾股定理的逆定理，掌握三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题关键． （1）利用尺规作图作线段的垂直平分线，即可得到线段的中点F； （2）连接，根据三角形中位线定理证明出四边形是平行四边形，再利用勾股定理得逆定理，得到，从而得到，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图，点即为所求作； （2）证明：如图，连接， D、E分别是、的中点， 是的中位线， ，， 四边形是平行四边形， D是的中点，， ， ，， ， 是直角三角形，且， ， E、F分别是、的中点， 是的中位线， ， ， 平行四边形是菱形． 6．(1)图见解析； (2)图见解析． 【分析】本题考查了作图-复杂作图，平行四边形的性质，三角形中位线的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接交于点，连接并延长，交于点，则点即为所求； （2）连接交于点，连接并延长，交于点，连接交于点，连接并延长，交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：连接交于点，连接并延长，交于点，则点即为所求，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点为中点， 又∵点为的中点， ∴为的中位线， ∴，即， 又∴， ∴， ∴； （2）解：连接交于点，连接并延长交于点，连接交于点，连接并延长，交于点，则点即为所求，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴点为的中点， 又∵点为的中点， ∴为的中位线， ∴，即， ∴， ∵点为的中点，， ∴是的中位线， ∴点是的中点， ∴是和的中位线， ∴， ∴． 7．(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，证明见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，求得，得到，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）由（1）知，，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，当时，求得，推出，于是得到四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∴， ∵E，F分别是边和的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：当时，四边形是矩形． 证明：连接交于O，如图， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，即， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判断，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，三角形中位线性质，熟练掌握矩形的判断、平行四边形的性质、三角形中位线性质是解题的关键． 8．(1)见解析 (2)24 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先证明可得，同理可得：，再根据等量代换即可证明结论； （2）先证明是的中位线可得，进而证明四边形为矩形． 可求得矩形的面积，最后说明即可解答． 【详解】（1）证明：点D，E分别是的中点， ． 在和中，，，， ． ． 同理可得：． ． （2）解：点D，E分别是的中点， 是的中位线． ． 由（1）可知，，， ，． 四边形为矩形． ．， ． 9．(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，中位线的性质，解直角三角形． （1）证明是的中位线，得，，再由得，即可得，即可得出结论； （2）根据角平分线定义求出，由平行四边形的性质得，即可得，，，根据等腰三角形的性质求出，再根据正切定义求解即可． 【详解】（1）证明：∵延长至点E，使， 为中点， 为中点， ∴是的中位线， ，， ∵延长至点F，使， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：平分， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ∴在中，． 10．(1)见解析 (2) (3) 【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，中位线的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据中位线的判定和性质得出，结合平行四边形的判定和性质即可证明； （2）由（1）得是的中位线，四边形为平行四边形，即可求解； （3）结合中位线的判定和性质得出，再由题意确定，结合勾股定理及平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：点、分别是、的中点， 是的中位线， ， 又， 四边形为平行四边形， ； （2）解：由（1）得是的中位线，四边形为平行四边形， ∴； （3）解：由（1）得是的中位线， ∴，， ， 点是的中点， ， ∵，， ， 在中，根据勾股定理，， ， 由（1）得四边形为平行四边形， ． 11．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的性质，三角形中位线定理，解直角三角形的应用，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据平行四边形的判定和性质求解即可； （2）过点O作于点F，根据矩形的性质，得到F为的中点，由（1）知四边形是平行四边形，则，由三角形中位线定理可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴ 四边形是平行四边形． （2）解：如图，过点O作于点F， ∵ 四边形是矩形，，， ∴，，， ∴F为的中点， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∵， ∴． 12．(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】本题是四边形的综合题，主要考查了菱形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质等，能够根据题意作出适当的辅助线是解题的关键． （1）根据条件画图即可； （2）取的中点G，连接，证明是等边三角形，利用中位线的性质等得出，由勾股定理得出，继而求解即可； （3）利用含30度角的直角三角形的性质求出，结合（2）即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：，证明如下： 取的中点G，连接， ∵， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵F是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （3）∵四边形是菱形， ∴， 由（2）得，在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．(1)见解析 (2)①40；②见解析 【分析】（1）连接，可得出是直角三角形，进一步得出结论； （2）①连接，设与交于点O，可证得，从而得出，进而得出，根据勾股定理可得出结果； ②延长至点P，使得，连接交于点Q，证明，得，然后证明，进而可以解决问题． 【详解】（1）证明：如图（1），连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 同理， ∴， 在中， ∵点H是的中点， ∴； （2）①解：如图（2），连接，设与交于点O， ∵四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：40； ②证明：如图（3），延长至点P，使得，连接交于点Q， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 14．(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质证明，结合，可得，再进一步的分别求解，即可得到结论； （2）如图，连接，，证明，，可得，，证明，可得三点共线，延长至，使，而，，可得，，，再证明，可得，从而可得答案． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，连接，， ∵，，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线， 延长至，使，而，， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是四边形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，三角形的中位线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 15．(1) (2)①或；②秒或秒 【分析】（1）先矩形的性质及勾股定理求出，再根据题意可得，，当秒时，得，可得答案； （2）①如图，连接交于点，连接，证明得，，继而得到，则，根据矩形的性质得，根据垂线段最短，当时，的长度最小，然后分两种情况：当点在线段上时，当点在线段上时，分别求解即可； ②分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∵动点，分别从点，同时出发，沿相向而行，且运动速度均为每秒个单位长度，当点到达点时，两点均停止运动，运动的时间为， ∴，， 当秒时，， ∴， 故答案为：； （2）①如图，连接交于点，连接， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 当时，的长度最小， 此时点为的中点， ∵，即点为的中点， ∴为的中位线， ∴， 当点在线段上时， ，即， ∴； 当点在线段上时， ，且， 即， ∴； 综上所述，当四边形是矩形时， 的取值范围为或； ②当时，过点作于点， 由①知：，点为的中点，， ∴，，， ∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∴， ∴点线段上， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：（舍去）或； 当时，过点作于点， ∴， 由①知：，点为和的中点， ∴，，， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴四边形是矩形，，， ∴，点线段中点的右侧， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：（舍去）或； 综上所述，在①的条件下，若是以为腰的等腰三角形，的值为秒或秒． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂线段最短等知识点．正确理解题意，掌握利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$