精品解析：黑龙江省大庆外国语学校2025届高三下学期高考适应性检测数学试题

大庆外国语学校2025届高三年级高考适应性检测 数学试题 命题：高三数学组 校对：高三数学组 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场号/座位号填写在答题卡上. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 在边长为的正三角形中，（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 3 B. 7 C. 11 D. 23 4. 将甲､乙､丙､丁四名学生分到三个不同的班级，每个班级至少分到一名学生，则不同的分法种数为（ ） A. 112 B. 81 C. 72 D. 36 5. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则的值为 A. B. C. D. 6. 在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，则|AF|的最大值为（　　） A. B. 1 C. D. 2 7. 已知直线与交于点，点是抛物线的焦点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 3 C. D. 2 8. 已知函数是定义域为的偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，与所成的角和与所成的角相等，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 10. 已知随机变量服从正态分布，即，则（ ）． A. B. C. D. 11. 定义：是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为.则下列选项正确的有（ ） A. B. 的值是 C. 函数有一个零点 D. 过可以作三条直线与图象相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的二项展开式中，常数项等于_______. 13. 焦点在轴上的双曲线与双曲线有共同的渐近线，且的焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线的方程为______． 14. 干支纪年法是我国古代一种纪年方式，它以十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）和十二地支（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥）的组合来表示年份，循环纪年．比如某一年为甲子年‘，则下一年为乙丑年，再下一年为丙寅年，以此类推，排列到癸酉年后，天干回到“甲”，即甲戌年，下一年为乙亥年，之后地支回到“子”，即丙子年，以此类推．已知2025年是乙巳年，则2025年之后的首个己巳年是_______年．（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求A； （2）若，的面积为，求a的值． 16. 某校高一年级开设建模，写作，篮球，足球，音乐，朗诵，素描7门选修课，每位同学须彼此独立地选3门课程，其中甲选择篮球，不选择足球，丙同学不选素描，乙同学没有要求. （1）求甲同学选中建模且乙同学未选中建模的概率； （2）用表示甲、乙、丙选中建模的人数之和，求的分布列和数学期望. 17. 如图，在四棱锥中，平面为棱的中点，为棱上的动点． （1）证明：． （2）若二面角的余弦值为，求的值． 18. 已知椭圆C： (a＞b＞0)的短轴长为2，椭圆C上的动点到左焦点的距离的最大值为．过点P(0，2)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为M，且不与原点重合． （1）求椭圆C的方程； （2）若y轴上的一点Q满足QA＝QB，求证：线段QM的中点在定直线上； （3）求的取值范围． 19. 已知函数． （1）若曲线在处的切线平行于直线，求的值以及函数的最小值； （2）证明：对一切的，都有； （3）当时，若曲线与曲线存在两交点，记直线的斜率为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆外国语学校2025届高三年级高考适应性检测 数学试题 命题：高三数学组 校对：高三数学组 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场号/座位号填写在答题卡上. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数运算法则直接求解即可. 【详解】. 故选：A. 2. 在边长为的正三角形中，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量数量积定义直接求解即可. 【详解】. 故选：C. 3. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 3 B. 7 C. 11 D. 23 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式和求和公式得到方程，求出公差，得到答案. 【详解】，解得， . 故选：C 4. 将甲､乙､丙､丁四名学生分到三个不同的班级，每个班级至少分到一名学生，则不同的分法种数为（ ） A. 112 B. 81 C. 72 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】先将四人分成三组，然后再分配即可. 【详解】由题意，不同的分法种数为. 故选：D. 5. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则的值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，向左平移个单位得到函数=，故 6. 在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，则|AF|的最大值为（　　） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出坐标，利用C1E⊥EF，求出|AF|满足的关系式，然后求出最大值即可． 【详解】以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则C1（4，4，4），设E（0，0，z），z∈[0，4]，F（x，0，0），x∈[0，4]，则|AF|＝x．＝（4，4，4﹣z），＝（x，0，﹣z）．因为C1E⊥EF，所以 ，即：z2+4x﹣4z＝0，x＝z﹣． 当z＝2时，x取得最大值为1．|AF|的最大值为1． 故选B． 【点睛】本题考查直线与直线的垂直关系的应用，利用向量法得到|AF|的关系式是解题的关键，属于中档题 7. 已知直线与交于点，点是抛物线的焦点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 3 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线与分别过定点及，利用可知点在以为直径的圆上（不含），根据抛物线的定义可得，结合圆下性质可得. 【详解】由题意可知，直线恒过点，直线恒过点， 因为，所以， 所以点的轨迹是以线段为直径的圆（由直线的斜率存在知，不含点）， 此时圆心为，半径. 即点的轨迹方程为（不含点， 抛物线可化为，其焦点坐标为， 所以. 故选：B. 8. 已知函数是定义域为的偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 运用导数判断在的单调性，可得在递增，由偶函数的性质可得，可将原不等式的“f”去掉，解不等式可得所求解集． 【详解】当时， 由时，的导数为，可得在递增； 又时，的导数为，可得在递增， 且，可在递增． 又是定义域为R的偶函数，可得， 由，不等式， 即为， 由在递增，可得， 化为解得或 则原不等式的解集为 故选：D． 【点睛】此题考查函数单调性与奇偶性的综合应用，根据分段函数单调性，结合函数奇偶性解决不等式问题，涉及等价转化思想. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，与所成的角和与所成的角相等，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】判断命题真假可以直接对各选项逐个判断.对于A可通过直观想象判断其存在平行或异面或相交几种情况；对于B可通过直线与平面垂直的性质得到；对于C通过直线与平面垂直性质和平面与平面垂直的判定定理判断；对于D可直观想象知存在或两种情况. 【详解】对于A，若，与所成的角和与所成的角相等，则或与相交或与异面，故A错误； 对于B，若，，由线面垂直的性质可知，故B正确； 对于C，若，，则，又因为，则，故C正确； 对于D，若，，则或，故D错误. 故选:BC 10. 已知随机变量服从正态分布，即，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由正态分布概念、组成的理解和正态分布曲线的对称性逐一判断即得. 【详解】由可得，，故A错误；B正确； 对于C，因,则，故C错误； 对于D，因，则,故，即D正确. 故选：BD. 11. 定义：是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为.则下列选项正确的有（ ） A. B. 的值是 C. 函数有一个零点 D. 过可以作三条直线与图象相切 【答案】BD 【解析】 【分析】求出函数的一阶导数，二阶导数，令，依题意可得且，即可求出、的值，从而判断A，根据对称性得到，利用倒序相加法判断B，利用导数说明函数的单调性，求出函数的极值，结合零点存在性定理判断C，设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，判断关于的方程的根的个数即可判断D. 【详解】由，所以，， 令，得，由函数的对称中心为， 所以且，解得，故A错误； 因为的对称中心为， 即， 令, 则， 所以，所以，故B正确； 因为，则， 所以当时，，当或时，， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增， 因此函数的极大值为，极小值为； 又，即，， 所以在和上存在零点，所以函数有三个零点， 故C错误； 设切点为，则切线方程为， 又切线过，则， 化简得，令 ， 则， 当或时，，单调递增，当时，， 单调递减，而，，，，所以有3个零点，即方程有3个不等实根，所以过可以作三条直线与图象相切，故D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的二项展开式中，常数项等于_______. 【答案】-20 【解析】 【详解】展开式通项，令6-2r=0，得r=3， 故常数项为. 13. 焦点在轴上的双曲线与双曲线有共同的渐近线，且的焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】由共渐近线的双曲线系方程可设，根据焦点到渐近线距离为可构造方程求得，由此可得双曲线方程. 【详解】由题意可设双曲线的方程为：，即； 则，， 双曲线焦点到渐近线距离为，，解得：， 双曲线的方程为：. 14. 干支纪年法是我国古代一种纪年方式，它以十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）和十二地支（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥）的组合来表示年份，循环纪年．比如某一年为甲子年‘，则下一年为乙丑年，再下一年为丙寅年，以此类推，排列到癸酉年后，天干回到“甲”，即甲戌年，下一年为乙亥年，之后地支回到“子”，即丙子年，以此类推．已知2025年是乙巳年，则2025年之后的首个己巳年是_______年．（用数字作答） 【答案】2049 【解析】 【分析】天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，分析计算可得解. 【详解】天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列， 从2025年是乙巳年，以2025年的天干和地支分别为首项， 因为地支为巳，则经过的年数为12的倍数， 又因为2025年为天干为乙，到天干为已，需经过丙、丁、戊、己， 故经过年数除以10的余数为4，故需经过24年，所以2025年之后的首个已巳年是2049. 故答案为：2049. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求A； （2）若，的面积为，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理可求，进而可求； （2）由已知结合三角形的面积公式可求，然后结合余弦定理即可求解． 【小问1详解】 由得，由正弦定理得． 由余弦定理得． ，． 【小问2详解】 由于的面积为， ， ， 由余弦定理得：． ． 16. 某校高一年级开设建模，写作，篮球，足球，音乐，朗诵，素描7门选修课，每位同学须彼此独立地选3门课程，其中甲选择篮球，不选择足球，丙同学不选素描，乙同学没有要求. （1）求甲同学选中建模且乙同学未选中建模的概率； （2）用表示甲、乙、丙选中建模的人数之和，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）根据甲选择建模与乙同学未选中建模的概率求解即可； （2）由题意可能的取值有0，1，2，3，再分别分情况求解即可. 【小问1详解】 由题意，甲选择篮球，并在建模，写作，音乐，朗诵，素描5门里再选2门，则选中建模的概率为； 乙同学没有要求，则选中建模的概率为. 故甲同学选中建模且乙同学未选中建模的概率为. 【小问2详解】 由（1）甲选中建模的概率为，乙选中建模的概率为，丙选中建模的概率为， 由题意可能的取值有0，1，2，3，故 ， ， ， . 故的分布列： 0 1 2 3 17. 如图，在四棱锥中，平面为棱的中点，为棱上的动点． （1）证明：． （2）若二面角的余弦值为，求的值． 【答案】（1）证明：取的中点，连接， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以为等边三角形，则， 所以，所以，所以， 因为平面，平面， 所以， 又平面，， 所以平面， 又平面，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证明，则，再利用线面垂直的性质证明，进而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系， 由（1）知，， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，可取， 设， 则， 设平面的法向量为， 则有， 所以，令，则， 所以， 则， 化简得，解得或， 经检验，当时，二面角为钝二面角， 所以， 所以. 【点睛】 18. 已知椭圆C： (a＞b＞0)的短轴长为2，椭圆C上的动点到左焦点的距离的最大值为．过点P(0，2)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为M，且不与原点重合． （1）求椭圆C的方程； （2）若y轴上的一点Q满足QA＝QB，求证：线段QM的中点在定直线上； （3）求的取值范围． 【答案】（1）； （2）显然直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋2， 代入整理得(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则， 所以， 所以直线QM的方程为． 令x=0，得，则yQ＝－yM，即， 所以QM的中点在定直线x轴上． （3）. 【解析】 【分析】（1）由题可得和，由此即可求出方程； （2）设直线方程为y＝kx＋2，联立直线与椭圆，由此求出的纵坐标，满足即可判断； （3）令，可得，由判别式可得，利用韦达定理得出，即可求出. 【详解】（1）由于椭圆C的短轴长为2，所以b＝1， 因为椭圆C上的动点到左焦点的距离的最大值为， 所以a＋c＝＋1， 又因为b2＝a2－c2，所以a－c＝－1，所以a＝，c＝1． 所以椭圆C的方程为； （2）略 （3）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，，由（2）中知， 由(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0，得，即k2>， 又， 所以， 令，则， 由k2>，得，即， 解之得且λ≠1，即的取值范围为． 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 已知函数． （1）若曲线在处的切线平行于直线，求的值以及函数的最小值； （2）证明：对一切的，都有； （3）当时，若曲线与曲线存在两交点，记直线的斜率为，证明：． 【答案】（1），最小值为4； （2）证明：先证，则． 设，则， 因为，所以，即在上单调递增，又， 所以当时，， 当，则，所以； 同理，当，则也成立； 所以，则． （3）证明：设，其中，由（2）知，则， 取，得，，所以①， 将和相减，得，，所以代入①， 所以，即． 【解析】 【分析】（1）求导，，即可求出.求出以后，根据导函数判断原函数单调性，进而求出的最小值. （2）先证时，化简，从而构造函数，只需证恒成立即可. （3）根据（2）可得，在抛物线中由点差法可得，即可证明不等式成立. 【小问1详解】 由题意，，所以， 所以， 法1：， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以． 法2：， 当且仅当，即时，取等号，所以函数的最小值为4； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题利用导数证明不等式的关键是能够采用构造函数的方式，将不等式问题转化成恒成立问题.. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $