精品解析：辽宁省沈阳市第七中学协作体2024-2025学年下学期八年级期中数学试题

2024-2025学年度下学期期中质量调研 八年级数学学科 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在2024年巴黎奥运会上，中国体育代表队获得40金、27银和24铜共91枚奖牌，创造了中国参加境外奥运会的最佳战绩．以下是巴黎奥运会部分项目的图标，其中是中心对称图形的是（　　） A B. C. D. 2. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右变形是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 4. 用反证法证明“已知：中，，求证：．”时，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点A、B的坐标为、，将平移到，已知坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知不等式的解是，下列有可能是函数的图像的是（ ） A. B. C. D. 7. 两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（ ） A. 的平分线上 B. 边的高上 C. 边的垂直平分线上 D. 边的中线上 8. 若一个正多边形的每个内角均为，则这个多边形是（ ） A. 正四边形 B. 正五边形 C. 正六边形 D. 正八边形 9. 如图，四边形的对角线相交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，和交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接和交于点，连接．若，则的长为（　　） A. 2 B. C. 4 D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若等腰三角形的周长为18，一边长为4，则其腰长是________． 12. 随着几代航天人的努力，我国在载人航天领域取得了非凡的成就．某校航空兴趣小组利用课后服务时间开展了航空航天知识竞赛，共有20道题目，答对一题得5分，答错一题扣3分，小颖的得分在76分以上（含76分），则她至少答对了______道题． 13. 如图，为了测量某工件内槽宽，把两根钢条、的端点O连在一起，点C、D分别是、的中点．经测得，则该工件内槽宽的长为_________． 14. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转一定的角度后得到，若，，则图中的旋转角的度数是________． 15. 如图，线段与线段相交于点O，，，，，，则线段的长为______． 三、解答题（共8小题，75分） 16. 分解因式： （1）； （2）． 17. （1）解不等式： （2）解不等式组： 18. 如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点，仅用无刻度的直尺完成下列作图． （1）在图①中画出向右平移4个单位后图形（注意标上字母）； （2）连接，，线段和的关系是 ； （3）在图②中画出绕点B顺时针旋转后的； （4）在图②方格纸中存在 个点D，使得以A、B、C、D为顶点四边形是平行四边形． 19. 【概念呈现】 设一个钝角三角形的两个锐角为与，如果，那么我们称这个钝角三角形是倍余三角形，这个锐角叫做这个三角形的倍余角． 【特例感知】 （1）若一个三角形的三个内角分别为，和，则这个三角形 （填写“是”或“不是”）倍余三角形． 【深入探究】 （2）若一个等腰三角形是倍余三角形，则这个三角形的倍余角的度数为 °． 【拓展延伸】 （3）在中，，，点D是边上一点，若是倍余三角形，则的度数为 ． 20. 如图，在平行四边形中，点E在边上，且，点F为线段上一点，且．求证：． 21. 在学习完“因式分解”后，为了开拓学生的思维，宋老师在黑板上写了题目： 因式分解：．下面是甜甜的解法： 解： （分组） （提公因式） ． 请利用上述方法，解答下列各题： （1）因式分解：； （2）已知的三边满足，判断的形状，并说明理由． 22. 问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题： 首先令，再通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行了探究． 如表y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 3 5 3 1 … （1）如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，请你画出该函数的图象；并观察函数的图象，当时，y随x的增大而 ；（填“增大”“减小”或“不变”） （2）若，为该函数图象上不同的两点，则 ； （3）当时，自变量x的取值范围是 ； （4）定义 ，例如， ，则函数的最大值为 ． 23. 【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，且，点D在CA的延长线上，连接DE，．求证：． ①如图2，小明同学从这个条件出发，给出如下解题思路：过作交的延长线于点，则，是等腰直角三角形，，再证明两个三角形全等，转化等量线段． ②如图3，小涛同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：在线段上截取，则是等腰直角三角形，得到，将线段，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，构造全等转化等量线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，提出下面问题，请你解答． 如图4，在中，，延长至点，使，射线，点在线段上，点在射线上，连接，，且，求证：． 【类比分析】 （3）如图5，在中，，延长至点、使，射线，点在线段的延长线上，点在射线上，连接，，且，若，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度下学期期中质量调研 八年级数学学科 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在2024年巴黎奥运会上，中国体育代表队获得40金、27银和24铜共91枚奖牌，创造了中国参加境外奥运会的最佳战绩．以下是巴黎奥运会部分项目的图标，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义，数形结合分析是解题的关键． 在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转后，能与另一个图形重合，那么这两个图形就称为关于这个点成中心对称，这个点被称为对称中心，根据定义，结合图形分析即可求解． 【详解】解：A、该图不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、该图不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴是中心对称图形，故本选项符合题意； D、该图不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质， 根据不等式的基本性质1解答A，D，再根据不等式的基本性质3判断B，然后举出反例判断C即可． 【详解】解：∵， ∴， 所以A，D不正确； ∵， ∴， 所以B正确； 当时， ， 所以C不正确． 故选：B． 3. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是理解因式分解的定义．把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可． 【详解】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； C．等式右边不乘积形式，故选项错误，不合题意； D．符合定义，故选项正确，符合题意． 故选：D． 4. 用反证法证明“已知：中，，求证：．”时，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答． 【详解】解：用反证法证明：“已知在中，，求证：．”时， 第一步应假设：， 故选：D 5. 如图，点A、B的坐标为、，将平移到，已知坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质， 根据平移的特征可知点A向右平移2个单位，再向上平移1个单位长度，根据平移特征得出答案． 【详解】解：根据点平移到点，可知横坐标增加2，纵坐标增加1， ∴将点A向右平移2个单位，再向上平移1个单位长度得到点， ∴将点B向右平移2个单位，再向上平移1个单位长度得到点， ∴点，即． 故选：C． 6. 已知不等式的解是，下列有可能是函数的图像的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象与坐标轴的交点分析判断即可． 【详解】根据题意，不等式的解是， 则当时，函数图象位于轴下方，据此只有D选项符合题意， 故选D 【点睛】本题考查了一次函数的交点问题及不等式，数形结合是解决此题的关键． 7. 两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（ ） A. 的平分线上 B. 边的高上 C. 边的垂直平分线上 D. 边的中线上 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等在角平分线上是解题的关键．作射线，根据角平分线的判定定理得到平分，得到答案． 【详解】解：作射线， 由题意得，，，， 平分， 故选A． 8. 若一个正多边形的每个内角均为，则这个多边形是（ ） A. 正四边形 B. 正五边形 C. 正六边形 D. 正八边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形求角度问题，涉及正多边形外角与内角等知识，根据正多边形外角和为与正多边形性质即可得到答案，熟练掌握正多边形外角与内角关系是解决问题的关键． 【详解】解：一个正多边形的每个内角均为， ， ， 这个多边形是正五边形， 故选：B． 9. 如图，四边形的对角线相交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法． 结合全等三角形的性质，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，故C符合题意， 但是A、B、D条件均不能证明，故不符合题意， 故选：C． 10. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，和交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接和交于点，连接．若，则的长为（　　） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线，由作图可知，直线为线段的垂直平分线，为的平分线，可知为等腰三角形，则为的中线，即点为的中点，则为的中位线，根据三角形中位线定理可得答案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：由作图可知，直线为线段的垂直平分线，为的平分线， ∴点为的中点， ，为等腰三角形， ∴为的中线， ∴点为的中点， ∴为的中位线， ， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若等腰三角形的周长为18，一边长为4，则其腰长是________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质、三角形三边关系等知识，由题意可知，等腰三角形的腰可以是4或者等腰三角形的底边可以是4，分两种情况求解即可得到答案，熟练掌握等腰三角形性质分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知， ①当等腰三角形的腰是4时， 由等腰三角形周长是18可知，三边长分别为4、4和10， 由于，根据构成三角形的三边关系可知4、4和10不能构成三角形， 此种情况不成立； ②当等腰三角形的底边是4， 由等腰三角形周长是18可知，三边长分别为4、7和7， ∴该等腰三角形的腰长为7， 故答案为：7． 12. 随着几代航天人的努力，我国在载人航天领域取得了非凡的成就．某校航空兴趣小组利用课后服务时间开展了航空航天知识竞赛，共有20道题目，答对一题得5分，答错一题扣3分，小颖的得分在76分以上（含76分），则她至少答对了______道题． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设她答对道，则答错道，小颖的得分在76分以上（含76分），列不等式，即可解答，解题的关键是理解题意，列出不等式准确计算． 【详解】解：设她答对道，则答错道， 则可得， 解得， 故她至少答对了道题， 故答案为：． 13. 如图，为了测量某工件的内槽宽，把两根钢条、的端点O连在一起，点C、D分别是、的中点．经测得，则该工件内槽宽的长为_________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，解答本题的关键要熟练掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 根据点C，D分别是、中点，可知是的中位线，根据三角形中位线定理可知，从而可求槽宽的长． 【详解】∵把两根钢条、的端点连在一起，点C，D分别是、的中点，， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：11． 14. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转一定的角度后得到，若，，则图中的旋转角的度数是________． 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质旋转角为，结合，即可解决问题． 【详解】解：∵将绕点O按逆时针方向旋转一定的角度后得到， ∴旋转角为， ∵， ∴，即旋转角的度数是， 故答案为：． 15. 如图，线段与线段相交于点O，，，，，，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题是四边形综合问题，主要考查平移的基本性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理及其逆定理等知识点．作，过作，两直线交于，连接，证是直角三角形，得，过点作的垂线交于点，求出，，根据四边形是平行四边形可得答案． 【详解】解：作，过作，两直线交于，连接， 则四边形是平行四边形， 所以，，， ， ， ， 是直角三角形， ，， 由勾股定理得：， 过点作的垂线交于点， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，75分） 16. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）先提公因式，再用完全平方公式法进行因式分解即可； （2）先提公因式，再用平方差公式法进行因式分解即可； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 17. （1）解不等式： （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． （1）先去分母，再求得不等式的解集即可； （2）分别求出每一个不等式的解集即可得到不等式组的解集． 【详解】解：（1）， ， ， ， ； （2）， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为． 18. 如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点，仅用无刻度的直尺完成下列作图． （1）在图①中画出向右平移4个单位后的图形（注意标上字母）； （2）连接，，线段和的关系是 ； （3）在图②中画出绕点B顺时针旋转后的； （4）在图②方格纸中存在 个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）平行且相等 （3）见解析 （4）1 【解析】 【分析】本题考查了画平移图形，旋转图形，平移的性质，平行四边形的性质，正确画出图形是解题的关键． （1）根据平移的概念画出图形即可； （2）根据平移的性质即可解答； （3）根据旋转的概念画出图形即可； （4）根据平行四边形的性质即可解答． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：根据平移的性质可得线段和的关系是平行且相等， 故答案为：平行且相等； 【小问3详解】 解：如图，即为所求； 【小问4详解】 解：有三种情况， 当为对角线时，图②中画不下； 当为对角线时，如图所示； 当为对角线时，图②中画不下； 故在图②方格纸中存在1个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：1． 19. 【概念呈现】 设一个钝角三角形的两个锐角为与，如果，那么我们称这个钝角三角形是倍余三角形，这个锐角叫做这个三角形的倍余角． 【特例感知】 （1）若一个三角形的三个内角分别为，和，则这个三角形 （填写“是”或“不是”）倍余三角形． 【深入探究】 （2）若一个等腰三角形是倍余三角形，则这个三角形的倍余角的度数为 °． 【拓展延伸】 （3）在中，，，点D是边上一点，若是倍余三角形，则的度数为 ． 【答案】（1）是；（2）30；（3）或 【解析】 【分析】本题考查了三角形的余角与补角，等腰三角形的性质； 特例感知：本题直接考查对倍余三角形定义的理解和简单应用，只需将三角形的锐角代入定义式子验证即可； 深入探究：本题综合考查等腰三角形性质和倍余三角形定义，需要分类讨论等腰三角形角的关系，对逻辑思维和知识综合运用能力要求较高．； 拓展延伸：本题结合直角三角形和倍余三角形知识，通过分类讨论不同锐角组合满足倍余三角形定义的情况来求解角度，考查对知识的灵活运用和分类讨论思想． 【详解】解：特例感知：倍余三角形定义为钝角三角形中两个锐角与满足． 在三角形三个内角为，和，两个锐角为，，， 满足倍余三角形定义， 故答案为：是； 深入探究：情况一，当是底角时，是底角，那么，代入，解得； 情况二，当是底角时，是顶角，根据三角形内角和为，，，所以，不成立； 情况三：当是顶角时，是底角，，且，由可得，代入，即，不成立． 故答案为：； 拓展延伸：在中，，，则因为是倍余三角形，，设，，然后分情况讨论． 情况一：当时，，则，根据三角形内角和； 情况二：当时，，，，． 故答案为：或． 20. 如图，在平行四边形中，点E在边上，且，点F为线段上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，由平行四边形的性质推出，得到，由推出． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 21. 在学习完“因式分解”后，为了开拓学生的思维，宋老师在黑板上写了题目： 因式分解：．下面是甜甜的解法： 解： （分组） （提公因式） ． 请利用上述方法，解答下列各题： （1）因式分解：； （2）已知的三边满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）是等腰三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了分组分解法，等腰三角形判定，三角形三边的关系． （1）用分组分解法求解即可； （2）利用分组分解法求出，可得，从而可判断是等腰三角形． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：是等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 22. 问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题： 首先令，再通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行了探究． 如表y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 3 5 3 1 … （1）如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，请你画出该函数的图象；并观察函数的图象，当时，y随x的增大而 ；（填“增大”“减小”或“不变”） （2）若，为该函数图象上不同的两点，则 ； （3）当时，自变量x的取值范围是 ； （4）定义 ，例如， ，则函数的最大值为 ． 【答案】（1）函数图象见解析，减小； （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，函数图象，解一元一次不等式组，利用数形结合的思想解题是关键． （1）描点画图即可；根据图象可得答案； （2）把，代入解析式，解方程即可； （3）解不等式组即可解答； （4）分类讨论，分为或两种情况，逐一计算即可解答． 【小问1详解】 解：函数图象如下： ， 根据图象可得当时，y随x的增大而减小， 故答案为：减小； 【小问2详解】 解：根据题意可得， 可得， 解得或， ，为该函数图象上不同的两点， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， ， ， 可得，解得， 或可得，解得， 故答案为：或； 【小问4详解】 解：当时，此时， 可得或， 解得或，即 ， 当时，取最大值为； 当时，此时， 根据上述自变量取值范围，可得此时或， ， 当时，， 当时，， 当或，， 故函数的最大值为， 故答案：． 23. 【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，且，点D在CA的延长线上，连接DE，．求证：． ①如图2，小明同学从这个条件出发，给出如下解题思路：过作交的延长线于点，则，是等腰直角三角形，，再证明两个三角形全等，转化等量线段． ②如图3，小涛同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：在线段上截取，则是等腰直角三角形，得到，将线段，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，构造全等转化等量线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，提出下面问题，请你解答． 如图4，在中，，延长至点，使，射线，点在线段上，点在射线上，连接，，且，求证：． 【类比分析】 （3）如图5，在中，，延长至点、使，射线，点在线段的延长线上，点在射线上，连接，，且，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）①选择小明同学的解题思路：过作，交的延长线于，结合，可得是等腰直角三角形，推出，证明可得，，最后根据线段的和差即可证明；②选择小涛同学的解题思路：在上截取，连接，可得为等腰直角三角形，推出，证明可得，最后根据线段的和差即可证明； （2）过作于，则，证明可得，再证明可得，最后根据线段的和差即可证明； （3）过作于，则，证明，得到，再证明，可得，，进而得到，即可求解． 【详解】（1）①选择小明同学的解题思路， 证明：如图1，过作，交的延长线于， ， ， 等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， ； ②选择小涛同学的解题思路， 证明：如图2，在上截取，连接， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 又， ， ， 又， ， 又， ， ， ， ， ； （2）证明：如图3，过作于，则， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， 又，， ， ， ， ； （3）如下图，过作于，则， ， ， ， 又， ， ， 又，， ， ， ， ， ， 又， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$