精品解析：贵州省铜仁市石阡县石阡中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题

贵州省铜仁市石阡县石阡中学2023-2024学年 高一上学期期末考试数学 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知a是实数，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，若p是假命题，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如果，那么下列不等式中错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数，且，则的最小值为（ ） A 16 B. 18 C. 22 D. 26 6. 不等式的解集是 A B. 或 C. 或 D. 7. 函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的有（ ） A. 幂函数，且在单调递减，则 B. 单调递增区间是 C. 定义域为，则 D. 的值域是 10. 某个简谐运动可以用函数（，），来表示，其中部分图象如图所示，则（ ） A. B. 该简谐运动的频率为，初相为 C. 直线是的一个对称轴 D. 点是曲线的一个对称中心 11. 下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则__________． 13. 函数的严格增区间为，则实数__________. 14. 甲、 乙两人同时解关于的方程：.甲写错了常数，得两根为及；乙写错了常数，得两根及，则这个方程的真正的根为___________ 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分. 15. 已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若关于的方程有两个不相等的正实数根、，求的取值范围和的取值范围. 16. 已知且是偶函数. （1）求的值. （2）若在上的最大值比最小值大，求的值. 17. 设为正实数，函数； （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）设，记，若对任意，均满足，求取值范围； 18. 如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边、分别与单位圆交于、两点，，，. （1）若的横坐标为，求的值； （2）若，求的值. 19. 已知函数，其中，是非空数集且.设，. （1）若，，求； （2）是否存在实数，使得，且？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，说明理由； （3）若且，，单调递增，求集合，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 贵州省铜仁市石阡县石阡中学2023-2024学年 高一上学期期末考试数学 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解. 【详解】因为，，所以， 故选：A. 2. 已知a是实数，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当时，， 故，即成立，则成立； 当时，，但推不出成立， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 3. 已知，，若p是假命题，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】写出存在量词命题的否定，并得到为真命题，由根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】，， 由题意知，为真命题，故，解得， 故实数a的取值范围是. 故选：D 4. 如果，那么下列不等式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一分析每一个选项判断得解． 【详解】对于选项A，根据不等式的加法法则，显然正确，所以该选项正确； 对于选项B，因为，所以，所以该选项正确； 对于选项C，当c=0时，显然不成立，所以该选项错误； 对于选项D，所以，所以该选项正确． 故选：C 5. 已知实数，且，则的最小值为（ ） A. 16 B. 18 C. 22 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】变形得到，，由基本不等式求出最小值. 【详解】因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立，此时的最小值为22． 故选：C 6. 不等式的解集是 A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由,可得,进一步得到不等式的解集. 【详解】解:因为,所以, 所以或. 故选:B. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,属基础题. 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误； 当时，，选项B错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 8. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合幂函数性质由条件求，结合函数的性质化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数， 所以， 函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，， 所以不等式可化为 或或， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的有（ ） A. 幂函数，且在单调递减，则 B. 的单调递增区间是 C. 定义域为，则 D. 的值域是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据幂函数的概念和性质解答；对于B：先求出定义域后即可判断；对于C：验证，对于，求即可；对于D：利用换元法求函数值域. 【详解】对于A：，解得，正确； 对于B：由得的定义域为，故单调区间不可能为，错误； 对于C：当时，，定义域为，当时，对于，其，解得，综合，正确； 对于D：令，则，且， 则，由二次函数的性质可得，正确. 故选：ACD. 10. 某个简谐运动可以用函数（，），来表示，其中部分图象如图所示，则（ ） A. B. 该简谐运动的频率为，初相为 C. 直线是的一个对称轴 D. 点是曲线的一个对称中心 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象可得，选项A，利用的图象与性质可得，即可判断选项A的正误；选项B，由频率和初相的定义，结合，即可求解；选项C和D，，利用性质，求出的对称轴和对称中心，即可判断出选项C和D的正误. 【详解】由图知，由图像知，又， 所以，又由五点作图法知，第三个点为，所以，得到， 所以， 对于选项A：设，由， 得到， 所以，故选项A正确； 对于选项B：因为，所以频率为，由知初相为，所以选项B错误； 对于选项C：因为， 由，即，故直线是的一个对称轴，故选项C正确； 对于选项D：因为， 由，即， 故点是曲线的一个对称中心，故选项D正确； 故选：ACD 11. 下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用判断A，根据奇函数的定义判断B，根据函数的定义域判断C，根据偶函数定义判断D. 【详解】对于A，的定义域为，，故A是奇函数. 对于B，的定义域为，，故B是奇函数. 对于C，由解得，的定义域不关于原点对称，故C不是奇函数. 对于D，的定义域为，，故D不是奇函数，是偶函数. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用分段函数解析式先求，再求的值. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：. 13. 函数的严格增区间为，则实数__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由二次函数的性质即可得解. 【详解】函数严格增区间为 对称轴. 故答案为：2. 14. 甲、 乙两人同时解关于的方程：.甲写错了常数，得两根为及；乙写错了常数，得两根及，则这个方程的真正的根为___________ 【答案】或 【解析】 【分析】利用对数方程的解法进行分析即可求解. 【详解】原方程可变形为： 甲写错了，得到根为及，； 又乙写错了常数，得到根为及，； 原方程为，即， 或，或. 故答案：或. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分. 15 已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若关于的方程有两个不相等的正实数根、，求的取值范围和的取值范围. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）当时，利用二次不等式的解法解不等式，可得其解集； （2）利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，解出的取值范围，利用韦达定理可得出关于的函数关系式，结合不等式的基本性质可求得的取值范围. 【小问1详解】 当时，由，解得或， 所以，当时，不等式的解集为. 【小问2详解】 关于的方程有两个不相等的正实数根、， 所以，，解得， 因为， 因为，则，故. 故的取值范围为. 16. 已知且是偶函数. （1）求的值. （2）若在上的最大值比最小值大，求的值. 【答案】（1）0 （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由偶函数的定义，列出方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由指数函数的单调性，分与讨论，即可得到结果. 【小问1详解】 若为偶函数，则恒成立， 所以，即恒成立，解得. 故的值为0. 【小问2详解】 由（1）可得且. 当时，在上单调递增，，解得 当时，在上单调递减，，解得. 故的值为或. 17. 设为正实数，函数； （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）设，记，若对任意，均满足，求的取值范围； 【答案】（1）当 时，函数 既不是奇函数也不是偶函数 ；当 时，函数 是偶函数；，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出函数 的定义域，讨论和，利用函数的奇偶性的概念即可求解； （2）化简，令，讨论函数在的单调性并求出其最值，从而可得的最值，由题设可得，从而得解. 【小问1详解】 函数 的定义域为 ， 当 时，定义域不关于原点对称，因此 既不是奇函数也不是偶函数； 当 时，定义域关于原点对称，且 ， ， 即 ，所以 是偶函数. 综上，当 时， 既不是奇函数也不是偶函数；当 时， 是偶函数. 小问2详解】 ， 令，其图象开口向下，对称轴为 ， 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减， ， 在时取得最大值， 且 在 上先增后减，，， 根据复合函数的单调性性质可知， 在 上单调递增，在 上单调递减， 因此， 在 上的最大值为 ，最小值大于 ； 根据题意，任意， 使得 ， 因此， ， 即 ，解得 ； 【点睛】关键点点睛：第（1）小问需考虑和；第（2）小问需构造，利用复合函数的单调性求出在 上的单调性和最值是解题关键. 18. 如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边、分别与单位圆交于、两点，，，. （1）若的横坐标为，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义结合同角三角函数的基本关系可求得，由题意得出，可求出的值，再利用诱导公式化简可求得所求代数式的值； （2）由诱导公式结合已知条件可得出，利用同角三角函数的平方关系可求出的值，联立方程组求出、的值，再利用同角三角函数的商数关系可求得的值. 【小问1详解】 因为点在单位圆上且横坐标为，所以， 因为，所以. 因为，所以，所以. 所以. 【小问2详解】 因为，所以①， 由，得， 所以. 因为，所以，所以②， 联立①②得，，， 所以. 19. 已知函数，其中，是非空数集且.设，. （1）若，，求； （2）是否存在实数，使得，且？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，说明理由； （3）若且，，单调递增，求集合，. 【答案】（1）；（2）存在，3；（3），，其中或，，其中或，，或， 【解析】 【分析】 （1）依题意分别表示时的值域，结合的图像和性质和二次函数的图像和性质分别求出此分段函数两支上的值域，即可得出结论； （2）抓住线索，逐层深入，先判断，得的范围，再由已知推理缩小此范围，最后确定的值； （3）根据函数单调性，可得，再证明在上存在分界点的话，这个分界点应具有怎样的性质，最后根据此性质写出满足题意的集合. 【详解】（1）， ， ； （2）若则，不合题意， 从而， ，得. 若，则， 的原象且， ，矛盾. ，此时可取，满足题意. （3）是单调递增函数，对任意， ，同理可得：. 若存在，使得则， 于是，记， ，同理可知，由， 得， ， 对于任意，取 中的自然数，则 综上所述，满足条件的必有如下表示： ，其中， 或，其中， 或，或. 【点睛】本题综合考查了集合的表示方法和意义，函数的值域，逻辑推理和论证的能力，分析问题和解决问题的能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$