精品解析：广东省珠海市第二中学2024-2025学年高三下学期考前冲刺数学试题

珠海市第二中学2025届高三年级考前冲刺卷（数学学科） 满分150分考试用时120分钟 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 5 3. 已知是等差数列，是数列的前项积，若，则（ ） A. 15 B. 21 C. 108 D. 243 4. 设，，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数定义域为，且满足，，若的图象与的图象的交点分别为，，……，，则（ ） A. 0 B. C. D. 6. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，直线与直线的交点为，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 已知，，满足，则的取值范围为 A. [4，12] B. [4, ） C. [0，6] D. [4，6] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某公司2019年研发成功一款新产品投放市场，为了做好后期的市场开拓工作，该公司收集了2019年至2023年共5年的销售量数据如下表： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 销售量（万个） 2 17 36 93 142 根据上表，利用最小二乘法可得关于的回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 五年销售量的极差是140 B. 五年销售量的第八十百分位数是93 C. D. 根据回归方程估计2024年销售量为760万个 10. 对于以下结论正确的选项是（ ） A. 已知，则 B. 的最小值是 C. 有两个零点，则实数的最小值为 D. 若不等式恒成立，则正实数的最小值为 11. 已知正方体的棱长为4，点是空间中的一动点，则（ ） A. 若点为底面的中心，则四棱锥外接球体积为 B. 若点在棱上运动，则点到面的最大值为 C. 若点在正方体的表面运动，且四面体的体积为，则点的轨迹的周长为 D. 若点在过且垂直于面的平面上，且与中点的连线与所成角的正切值为，则点所在椭圆的离心率为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量满足，则与夹角的大小为______. 13. 已知是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，若是数列的前项和，则的最小值为________． 14. 在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，且，若三角形的外接圆与曲线交于点（异于，，）则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，P为半圆（AB为直径）上一动点，，，记． （1）当时，求OP的长； （2）当面积最大时，求． 16. 已知正三棱柱中，底面边长为8，，，分别为，，边的中点，过，，三点作三棱柱的截面交棱于，且四边形为正方形． （1）求四面体的体积； （2）若为线段上的点，且二面角为直二面角，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 在一个不透明的箱子里放入大小，材质均相同的5个小球，红球3个，白球2个．甲、乙两人现在一起玩抽球游戏，规则如下：甲每次直接抽取两个球，若同色则继续抽球；若异色则交由乙抽球．乙每次有放回的抽球两次，每次抽一球，若同色则继续抽球；若异色则交由甲抽球．由甲先抽球，两人共进行次抽球后，游戏结束． （1）分别求甲，乙两人每次抽球时，抽到两个球颜色相同的概率； （2）求第次甲抽球的概率； （3）若表示乙抽球前甲抽球的次数，求． 18. 已知函数． （1）当时，讨论的零点个数； （2）当时，证明：在区间内存在唯一的零点； （3）若对于任意的，都有，求整数的最大值． 19. 已知点，以线段为直径的圆内切于圆． （1）求点的轨迹的方程； （2）当过点的动直线与轨迹相交于两点（可以相同）时，，．求动点的轨迹长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 珠海市第二中学2025届高三年级考前冲刺卷（数学学科） 满分150分考试用时120分钟 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合中元素范围，然后再求交集即可. 【详解】，又 则. 故选：B. 2. 设复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由复数四则运算求解出之后，结合共轭复数的概念以及复数乘法运算即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 即. 故选： C. 3. 已知是等差数列，是数列的前项积，若，则（ ） A. 15 B. 21 C. 108 D. 243 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列定义，得到数列为等比数列，利用等比数列性质即可得到结果. 【详解】是等差数列，设其公差为d，因为， 是等比数列，． 故选：D． 4. 设，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得，结合角的范围及诱导公式得到或，即可得. 【详解】由题设， 所以， 因为，，则，又， 所以或，即或（舍）， 故． 故选：D 5. 已知函数定义域为，且满足，，若的图象与的图象的交点分别为，，……，，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断与图象的对称性，从而求得． 【详解】对于，，， 所以的图象关于点对称．因为 所以是奇函数，是奇函数，图象关于原点对称， 所以的图象关于点对称， 所以，的图象的交点关于对称， 所以． 故选：D 6. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据二项展开式的通项判断各项系数的正负，然后利用赋值法求出，根据二项展开式的通项求出系数即可. 【详解】由， 其展开式的通项为，， 由于，且的展开式中的次数均为偶数， 所以当为偶数时，对应项的的次数为偶数，且对应项的系数大于0， 当为奇数时，对应项的的次数为奇次，且对应项的系数小于0， 所以为正数，为负数， 由， 令，则， 则， 此时由， 其展开式的通项为，， 而的展开式的通项为，， 要使的展开式中的次数为3， 则或， 则， 故选：A． 7. 点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，直线与直线的交点为，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线定义将转化为，可知当，，三点共线时，最小，又点的轨迹方程为圆心在，半径为2的圆，再利用两边之和大于第三边即可求得结果. 【详解】由双曲线的方程可得，焦点， 可得， 所以， 当，，三点共线时，最小， 因为直线和相互垂直， 且和分别过定点和，所以交点的轨迹方程是以和为直径的两个端点的圆，圆心在，半径为2， 所以， 当三点共线且在和之间时最小，所以的最小值为6， 故选：A 8. 已知，，满足，则的取值范围为 A. [4，12] B. [4, ） C. [0，6] D. [4，6] 【答案】A 【解析】 【分析】可转化为，然后进行三角换元为（为参数），将目标函数转化为三角函数问题求解范围． 【详解】解：可转化为 ， 故可设（为参数），解得 所以， 因为， 所以，，故选A． 【点睛】本题是一个多元最值的问题，如何“减元”是解决问题的关键．本题采用的方法是三角换元，将转化为角的三角函数，由多元转化为单元，然后再借助三角函数求解其最值． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某公司2019年研发成功一款新产品投放市场，为了做好后期的市场开拓工作，该公司收集了2019年至2023年共5年的销售量数据如下表： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 销售量（万个） 2 17 36 93 142 根据上表，利用最小二乘法可得关于的回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 五年销售量的极差是140 B. 五年销售量的第八十百分位数是93 C. D. 根据回归方程估计2024年销售量为760万个 【答案】AC 【解析】 【分析】利用极差、百分位数定义即可判断选项A，B；利用线性回归方程过样本中心点即可判断选项C，将代入回归方程即可求得选项D. 【详解】对于选项A：五年销售量的极差是，A选项正确． 对于选项B：，所以2，17，36，93，142的第八十百分位数为，B选项错误． 对于选项C:令，则关于的回归方程为，转化为， ，， 所以，解得，C选项正确． 对于选项D:由上述分析可知，估计2024年销售量为万册，D选项错误 故选：AC 10. 对于以下结论正确的选项是（ ） A. 已知，则 B. 的最小值是 C. 有两个零点，则实数的最小值为 D. 若不等式恒成立，则正实数的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A选项，构造函数，求导根据单调性可得；对于B选项，把变形为，令，利用求最小值，当取等；对于C选项，转化为有两个根.对求导判断单调性，得，所以；对于D选项，由推出，令，根据单调性得，即，求最大值为，所以最小值是. 【详解】对于A，因为，构造函数，，当时，，单调递增，又因为，则，故A正确； 对于B，设，则，当且仅当，即时取等，故B不正确； 对于C，已知， 令，函数单调递增，方程有两个根，等价于有两个根. 对求导，. 当且时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以在处取得最小值. 要使与有两个交点，那么，故C不正确. 对于D，由，两边同乘得，而. 令，，当，所以，在上单调递增. 因为，当时，不等式显然成立，当时， 所以，即恒成立. 令，求导. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以在处取得最大值，则. 所以最小值是，故D正确. 故选：AD. 11. 已知正方体的棱长为4，点是空间中的一动点，则（ ） A. 若点为底面的中心，则四棱锥外接球体积为 B. 若点在棱上运动，则点到面的最大值为 C. 若点在正方体的表面运动，且四面体的体积为，则点的轨迹的周长为 D. 若点在过且垂直于面的平面上，且与中点的连线与所成角的正切值为，则点所在椭圆的离心率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：找出球心构造直角三角形利用勾股定理求出半径，利用球的体积公式即可求得结果； 对于B：利用线面垂直的判定定理即可得到面，当移动到非点，作面于，比较长度即可得到结果； 对于C：先求出四面体的体积正好是四面体的体积的二倍， 即到面的距离是到面的距离的，得到轨迹即可求得轨迹长度； 对于D：由面，所以到面的距离等于到面的距离， 再求出长轴长与短轴长即可求得离心率. 【详解】对于A选项，若点为底面的中心， 则四棱锥为正四棱锥． 取底面的中心为，则球心在上， 令球的半径为，则在直角三角形中， ，即， 则，．故A正确． 对于B选项，当移动到点，则作于， 面，又因为平面，， 又且，面， 即面，为点到面的距离． 当移动到非点，则作面于， 则因为点到面的距离最短故，所以点到面的最大距离为．故B正确 对于C选项， 四面体， 到面的距离是到面的距离的， 如图，均为所在棱的中点， 则的轨迹为正三角形和正六边形， 所以的轨迹的长度为．故C错误． 对于D选项，如图 取中点，中点， 取面的中心为，取面的中心为， 则又为中点，所以， 所以面，所以到面的距离等于到面的距离， 作交面于，则为与所成角， 所以，且点的轨迹与点相同． ，， 所以点在面的轨迹为正方形的外接圆． 在面中，令，则为椭圆长轴， ，． 取中点，连接并延长交于，又， 则，，，． 过点作的垂线，交的外接圆于，两点， 根据相交弦定理，有，， 过作的平行线交于，于，则为椭圆短轴， 则，，．故D正确． 故选：ABD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量满足，则与夹角的大小为______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用向量的运算律求得及，然后利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】因为平面向量满足， 所以， 所以，即， 所以， 设与夹角为，则， 又，所以. 故答案为： 13. 已知是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，若是数列的前项和，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据，，成等比数列，可得，利用等差数列的前n项和公式化简，然后利用基本不等式求出最值即可. 【详解】令的公差为，成等比数列， ，，，． ， 当且仅当，即时取等号． 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，且，若三角形的外接圆与曲线交于点（异于，，）则________． 【答案】 【解析】 【分析】方法1：设，，，由四点共圆，设该圆的方程为，联立圆和抛物线方程，可得即为关于的方程的3个根，待定系数可得，从而得到的值； 方法2：设，，，结合抛物线方程表示出的斜率，再利用斜率表示和的值，由四点共圆，可得，化简可得的值. 【详解】方法1：，， 因为四点共圆，设该圆的方程为， 联立，消去，得， 即， 所以即为关于的方程的3个根， 则， 因为， 由的系数对应相等得，，所以. 方法2：，，，则，，，， ， ， 因为四点共圆，所以，即， 化简可得：，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，P为半圆（AB为直径）上一动点，，，记． （1）当时，求OP的长； （2）当面积最大时，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出的值，由正弦定理即可求出OP的长； （2）由余弦定理及基本不等式求出与的乘积关系，写出面积表达式，即可得出的值. 【小问1详解】 由题意， 在中，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴在以为直径的圆上， 取的中点，连接， ∴，， 在中，，， 由正弦定理， ， 解得： 【小问2详解】 由题意及（1）知，，， 在中，，， 由余弦定理， ， 即， 即， ∴，当且仅当时，等号成立， 又， ∴当且仅当时，的面积最大，此时， ∴． 16. 已知正三棱柱中，底面边长为8，，，分别为，，边的中点，过，，三点作三棱柱的截面交棱于，且四边形为正方形． （1）求四面体的体积； （2）若为线段上的点，且二面角为直二面角，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直证得平面，计算，根据计算求解即可； （2）根据二面角定义得，根据计算得后，建立空间直角坐标系，运用空间向量计算即可求解. 【小问1详解】 令，连接，． 四边形为正方形，所以． 又在正三棱柱中， 平面，平面． 又平面，． 又为正三角形，且边长为，为的中点， ，，， 又，分别为，边的中点， ，，． 又，，平面， 平面． ． 所以四面体的体积的为． 【小问2详解】 由（1）知平面，，， 为二面角的平面角， 因为二面角为直二面角，所以 四边形为正方形， 所以，又， ，． 又为的中位线，所以为中点， 所以，，． 以为原点，分别以，，为，，轴正方向如图建系． 则，，，，， 则，，， 令为平面的法向量，则，，，， 所以，取，则，，， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【点睛】 17. 在一个不透明的箱子里放入大小，材质均相同的5个小球，红球3个，白球2个．甲、乙两人现在一起玩抽球游戏，规则如下：甲每次直接抽取两个球，若同色则继续抽球；若异色则交由乙抽球．乙每次有放回的抽球两次，每次抽一球，若同色则继续抽球；若异色则交由甲抽球．由甲先抽球，两人共进行次抽球后，游戏结束． （1）分别求甲，乙两人每次抽球时，抽到两个球颜色相同的概率； （2）求第次甲抽球的概率； （3）若表示乙抽球前甲抽球的次数，求． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）借助组合计数问题求出古典概率得甲抽球概率；利用互斥事件及相互独立事件概率求得乙抽球概率. （2）利用全概率公式列出递推关系，再利用构造法求出第次甲抽球的概率. （3）求出的概率，再利用期望的定义列式，并利用错位相减法求和即得. 【小问1详解】 甲每次抽球，抽到两个颜色相同的球的概率为； 乙每次抽球，抽到两个颜色相同的球的概率为. 【小问2详解】 表示第次抽球的人是甲，表示第次抽球的人是乙，表示抽到两个球为同色，， 则 ，于是， 又，，因此为以为首项，为公比的等比数列， 则，即， 所以第次甲抽球的概率为. 【小问3详解】 ，，， ， ， 两式相减得 ， 所以. 18. 已知函数． （1）当时，讨论的零点个数； （2）当时，证明：在区间内存在唯一的零点； （3）若对于任意的，都有，求整数的最大值． 【答案】（1） 只有一个零点． （2） 证明：当时，，， 当时，， 在上单调递增， ，， 在区间内存在唯一的零点． （3）3 【解析】 【分析】（1）求导得到单调性，利用零点存在定理即可证明结论； （2）求导得到单调性，利用零点存在定理即可证明结论； （3）利用分离参数法得到，令，求导得到函数最小值，即可得到结果. 【小问1详解】 由， 当时，由得，在上单调递减， 解得， 当时，在内只有一个零点． 当时，，在上单调递减. ，，. 又， 在内有一个零点． 又在上单调递减， 当时，在内有一个零点． 综上，当时，只有一个零点． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，且，， 令，则，， 由（2）知，在上单调递增，且在区间内存在唯一的零点， 设该零点为，则， 故当时，，即，在上单调递减， 当时，，即，在上单调递增， ， ， 故整数的最大值为3． 19. 已知点，以线段为直径的圆内切于圆． （1）求点的轨迹的方程； （2）当过点的动直线与轨迹相交于两点（可以相同）时，，．求动点的轨迹长度． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）取，根据几何关系得出，即可得出点的轨迹为椭圆，进而求出其方程即可； （2）直线斜率不存在时求得，斜率存在时，设，根据，可求出，因点在直线上，则将值代入直线方程中即可求得点满足的方程，再根据求出，进而得出的范围，求出轨迹方程，即可求出轨迹长度. 【小问1详解】 取，记线段的中点为，连接， 由于线段的中点为，则，， 设圆的半径为，圆与圆内切于，连接， 则三点共线，且， 于是， 又， 根据椭圆的定义可得点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 则轨迹的方程为． 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，点重合， 则由，可得，，，则点三点重合， 此时点； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 设，，， 由，得， 则， ，得， 由，，得，，， 故， 化简得， 所以，得， 又因为动点在直线上， 所以，化简得， 经检验符合上式， 所以动点的轨迹为线段， 线段端点为，所以动点的轨迹长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $