精品解析：内蒙古赤峰元宝山区第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

元宝山区第一中学高二年级下学期期中考试试题 数学 2025.5 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数在处可导，且，则（ ） A. B. C. D. 2 2. 学校要求学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这7科中选3科参加考试，不同的选法种数共有（ ） A. 10种 B. 35种 C. 105种 D. 210种 3. 设随机变量X的概率分布列为 则（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式的常数项为（　　） A. 210 B. 252 C. D. 5. 一个盒子中装有2个红球，8个黑球，从中不放回地任取1个小球，则第二次才取出红球的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是函数的导函数，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 拓扑排序（Topological Sorting）是图论中的一个概念，它适用于有向无环图（DAG，DirectedAcyclic Graph）.拓扑排序的结果是一个线性序列，该序列满足对于图中每一条有向边，顶点在序列中都出现在顶点之前，每个顶点出现且只出现一次.如果图中含有环，则无法进行拓扑排序.在一所大学的计算机科学系，学生们必须按照特定的顺序选修一系列专业课程.这些课程之间存在先修要求，意味着某些课程必须在其他课程之前完成.例如，如果课程是课程的先修课，那么学生必须首先完成课程才能选修课程.下图展示了五门课程及其之间的先修关系.箭头表示了先修的要求方向，即箭头起点的课程必须在箭头终点的课程之前完成.如果没有直接的先修关系，两门课程可以互换位置.根据图形，下列代表了这五门课程的一个正确拓扑排序为（    ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. 若，则 B. C. D. 10. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9．以下叙述正确的是（ ） A. 若重复发送信号0两次，则接收信号均为0的概率为0.96 B. 若重复发送信号1两次，则两次接收信号不同的概率为0.18 C. 若发送信号为1或0的概率均为0.5，则接收信号为1的概率为0.55 D. 若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为0.8 11. 现有4个编号为的不同的球和4个编号为的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（ ） A. 共有24种不同的放法 B. 恰有一个盒子不放球，共有144种放法 C. 每个盒子内只放一个球，恰有1个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有8种 D. 将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有12种 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 13. 若在区间上单调递减，则实数的取值范围是______． 14. 随机变量的分布列如下表所示，则___________. 1 2 3 四、解答题：共5题，15题13分，16、17题每个题15分，18、19题每个题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求这个函数的导数； （2）求这个函数的图象在点处的切线方程. 16. 工厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件. （1）求取到次品的概率； （2）若取到的是次品，则此次品由甲车间生产的概率是多少? 17. 若，求： （1）求的值； （2）； （3）． 18. “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加学科知识竞答活动，题库中共有10道题目，随机抽取3道让学生回答．已知某同学只能答对其中的6道，试求： （1）抽到他能答对题目数的分布列； （2）求的期望和方差． 19. 已知函数，． （1）求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若，且当时，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 元宝山区第一中学高二年级下学期期中考试试题 数学 2025.5 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数在处可导，且，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的定义即可求值. 【详解】由导数的定义知. 故选：D. 2. 学校要求学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这7科中选3科参加考试，不同的选法种数共有（ ） A. 10种 B. 35种 C. 105种 D. 210种 【答案】B 【解析】 【分析】由组合数的定义即可求解. 【详解】由组合数的定义可知共有种选法. 故选：B. 3. 设随机变量X的概率分布列为 则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机变量的概率和为，即可求得的值，再将的概率相加，即可得解. 【详解】， 则. 故选：B． 4. 的展开式的常数项为（　　） A. 210 B. 252 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式来求解展开式的常数项． 【详解】对于二项式，根据二项式展开式通项公式得： ， 对进行化简： ， 令， 解得．  将代入到中可得：  故选：C． 5. 一个盒子中装有2个红球，8个黑球，从中不放回地任取1个小球，则第二次才取出红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，根据计算即可求解. 【详解】第一次取出的是黑球设为事件A，第二次取出红球设为事件， 则，， 所以第二次才取出红球的概率是． 故选：D 6. 已知随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分布列求，再应用期望的性质求即可. 【详解】由题设， 所以. 故选：C 7. 已知是函数的导函数，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导函数，令即可求解. 【详解】由，可得， 故，解得. 故选：A. 8. 拓扑排序（Topological Sorting）是图论中的一个概念，它适用于有向无环图（DAG，DirectedAcyclic Graph）.拓扑排序的结果是一个线性序列，该序列满足对于图中每一条有向边，顶点在序列中都出现在顶点之前，每个顶点出现且只出现一次.如果图中含有环，则无法进行拓扑排序.在一所大学的计算机科学系，学生们必须按照特定的顺序选修一系列专业课程.这些课程之间存在先修要求，意味着某些课程必须在其他课程之前完成.例如，如果课程是课程的先修课，那么学生必须首先完成课程才能选修课程.下图展示了五门课程及其之间的先修关系.箭头表示了先修的要求方向，即箭头起点的课程必须在箭头终点的课程之前完成.如果没有直接的先修关系，两门课程可以互换位置.根据图形，下列代表了这五门课程的一个正确拓扑排序为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一个有效的拓扑排序应该是先列出没有其他课程作为先修要求的课程，然后是它的后续课程，依次分析各课程特点即可得出结果. 【详解】课程和课程没有先修关系，所以它们可以互换位置. 根据图中的箭头指向，我们知道课程依赖于课程， 课程依赖于课程和课程，而课程依赖于课程和课程. 因此，一个有效的拓扑排序应该是先列出没有其他课程作为先修要求的课程（如）， 然后是它的后续课程（如），接着是依赖于或的课程（如）， 最后是.选项C符合. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. 若，则 B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据求导公式依次判定选项即可得到答案. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：AC 10. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9．以下叙述正确的是（ ） A. 若重复发送信号0两次，则接收信号均为0的概率为0.96 B. 若重复发送信号1两次，则两次接收信号不同的概率为0.18 C. 若发送信号为1或0的概率均为0.5，则接收信号为1的概率为0.55 D. 若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为0.8 【答案】BCD 【解析】 【分析】设出对应事件，根据条件概率和全概率公式计算即可得解. 【详解】根据题意，设事件为“发送信号0”，事件为“发送信号1”，事件为“接收信号为0”，事件为“接收信号为1”， 则，，，. 若重复发送信号0两次，则接收信号均为0的概率为 ，A错误； 若重复发送信号1两次，则两次接收信号不同的概率为 ，B正确； 若发送信号为1或0的概率均为0.5，则接收信号为1的概率为 ，C正确； 接收信号为1的概率为 ，解得 即发送信号为1的概率为0.8，D正确. 故选：BCD. 11. 现有4个编号为的不同的球和4个编号为的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（ ） A. 共有24种不同的放法 B. 恰有一个盒子不放球，共有144种放法 C. 每个盒子内只放一个球，恰有1个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有8种 D. 将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有12种 【答案】BCD 【解析】 【分析】按照分步乘法计数原理判断A，先分组，再分配，即可判断B，先选定盒子的编号与球的编号相同，再排其他球，即可判断C，先确定空盒子，再确定放个球的盒子，即可判断D. 【详解】对于A，每个球都有种放法，共有种放法，故A错误； 对于B，把球全部放入盒子内，恰有一个盒子不放球， 则个盒子的球数分别为、、，所以种放法，故B正确； 对于C，每个盒子内只放一个球，恰有个盒子的编号与球的编号相同， 不同的放法有种，故C正确； 对于D，将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒，则有个盒子放个球， 另外两个盒子各放个球，所以有种放法，故D正确， 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 【答案】1024## 【解析】 【分析】根据二项式定理，赋值法计算即可. 【详解】由于， 令，得①， 令，得②， ①-②可得， 所以. 故答案为：1024 13. 若在区间上单调递减，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求函数的单调递减区间，再根据集合的包含关系求实数的取值范围. 【详解】因为，所以. 由或. 所以函数的单调减区间为和. 又函数在上单调递减， 所以或. 解得：. 故答案为： 14. 随机变量的分布列如下表所示，则___________. 1 2 3 【答案】 【解析】 【分析】根据分布列的性质可得，即可求解期望，由方差的计算公式即可求解. 【详解】由题意可得，故，解得或（舍去）， 故随机变量的分布列如下：. 1 2 3 故，， 故答案为： 四、解答题：共5题，15题13分，16、17题每个题15分，18、19题每个题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求这个函数的导数； （2）求这个函数的图象在点处的切线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的除法运算法则求解即可； （2）根据导数的几何意义求切点坐标和斜率，即可得切线方程. 【小问1详解】 由题意可得：， 所以这个函数的导数为. 【小问2详解】 由（1）可得：， 即切点坐标为，切线斜率， 所以所求切线方程为，即. 16. 工厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件. （1）求取到次品的概率； （2）若取到的是次品，则此次品由甲车间生产的概率是多少? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）记事件表示车间生产的产品，记事件表示车间生产的产品，记事件表示车间生产的产品，记事件表示抽取到次品，利用全概率公式计算可得； （2）利用条件概率的概率公式计算可得. 【小问1详解】 记事件表示车间生产的产品， 记事件表示车间生产的产品， 记事件表示车间生产的产品， 记事件表示抽取到次品， 则, ， 取到次品的概率为 ； 【小问2详解】 若取到的是次品，此次品由甲车间生产的概率为： . 17. 若，求： （1）求的值； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二项展开式的通项公式可求的值； （2）利用赋值法可求系数和； （3）同（2）利用赋值法可求系数和. 【小问1详解】 二项式展开式的通项为， 其中． 因为，所以． 【小问2详解】 ， 令，解得； 令，整理得， 故． 【小问3详解】 的展开式通项为，则， 其中且，当为偶数时，；当为奇数时，． 所以 令可得， 所以． 18. “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加学科知识竞答活动，题库中共有10道题目，随机抽取3道让学生回答．已知某同学只能答对其中的6道，试求： （1）抽到他能答对题目数的分布列； （2）求的期望和方差． 【答案】（1） 的分布列为： 0 1 2 3 （2）， 【解析】 【分析】（1）求出的可能取值及其对应的概率，即可求出随机变量的分布列；（2）根据分布列由期望方差公式求解即可得出答案； 【小问1详解】 由题意知：所有可能的取值为， ；； ；； 的分布列为： 0 1 2 3 【小问2详解】期望； 又， 方差． 19. 已知函数，． （1）求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若，且当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）求导，再根据极值的定义即可得解； （2）分和两种情况讨论求解即可； （3）不等式，令函数，利用导数求出函数的最小值，即可得解. 【小问1详解】 函数，定义域为，， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 有极小值，无极大值； 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 【小问3详解】 当时，， 不等式， 令函数，依题意，，恒成立， 求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 而， 则存在，使，即， 此时， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，由，得， 则，， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $